【期末必备】四年级上册数学期末复习专题5- 平行四边形和梯形（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）人教版

专题5  平行四边形和梯形

思维导图

知识梳理

知识点一：平行与垂直

1. 在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
2. 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。这两条直线的交点叫做垂足。
3. 画垂线

过直线上(外)一点画已知直线的垂线的方法：
（1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合；
（2）沿直线移动三角尺，使三角尺的顶点(或边)与已知直线重合；
（3）过已知点沿三角尺的另一条直角边画一条直线；
（4）在垂足处标出垂直符号。
4. 点到直线的距离与平行线间的距离

（1）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

（2）平行线间的距离：两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。

5. 运用平行和垂直画长方形

用画垂线的方法来画长方形：先画出一条线段，然后过这条线段的两个端点画与这条线段垂直的线段，最后连接这两条垂直线段的另外的端点。

知识点二：平行四边形

1.两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
2.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
3.平行四边形的两组对边分别平行并且相等。两组对角分别相等。
4.平行四边形有无数条高；对边之间的高长度相等；对边之间的高互相平行。
5.平行四边形有不稳定性，容易变形。

知识点三：梯形

1. 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

3. 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

4. 梯形只有一类高，为无数条。

5. 正方形是特殊的长方形；长方形和正方形是特殊的平行四边形。

6. 等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形。

精讲精练

考点一：平行与垂直

典例分析

【例1】如图中有几组平行线？

【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行于同一条直线的两直线平行。最上面那条（第一条）线段有4组平行线，第二条线段除去重复有3组平行线，第三条线段除去重复有2组平行线，第四条线段除去重复有1组平行线，第五条线段除去重复有0组。最后相加即可算出答案。

解：平行于同一条直线的两直线平行。最上面那条（第一条）线段有4组平行线，第二条线段除去重复有3组平行线，第三条线段除去重复有2组平行线，第四条线段除去重复有1组平行线，第五条线段除去重复有0组平行线。即一共：4+3+2+1+0＝10（组）

答：有10组平行线。

【点评】考查平行线的概念和判定。

举一反三

1．如图是一组平行线，利用这组平行线画出一个最大的正方形．

【分析】先在两条平行线中画出一条垂线段，量出长度，然后以这条垂线段的两个端点为正方形的两个顶点，在两条平行线上分别截取和垂线段相等的两条线段，连接截取的另两个端点即可得出平行线里最大的正方形．

解：由分析作图为：

【点评】解答此题应明确：所作出的正方形的边长等于这两条平行线之间的垂线段的长度．

2．两条直线有三种位置关系“相交”、“平行”、“垂直”，请把这三种位置关系填在图中。

【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有二种平行或相交，垂直也算相交，由此解答即可。

解：由题意得：

。

【点评】考查平行和相交的判断。需注意垂直也属于相交。

3．图中有几组互相垂直的线段？

　6　组．

【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，只要数出直角的个数，即互相垂直线段的组数；据此数出即可．

解：因为有6个直角，所以有6组互相垂直的线段；

故答案为：6．

【点评】解答此题的关键：明确垂直的含义，并能结合题目进行灵活运用．

考点二：平行四边形

典例分析

【例2】如图，ABCD是一个平行四边形．

（1）量一量，∠1＝　60　°，它是一个　锐　角．

（2）AD∥　BC　，AE⊥　CD　．

（3）CD地边上的高是　5　米，BC底边上的高是　3　米．

（4）以F点为垂足画出平行四边形ABCD的一条高．

【分析】（1）用量角器量一量，可以量出∠1＝60°，它是一个锐角；

（2）看图可知：AD∥BC，AE⊥CD．

（3）通过观察可知：CD地边上的高是5米，BC底边上的高是3米．

（4）以F点为垂足画出平行四边形ABCD的一条高即可．

解：如图，ABCD是一个平行四边形．

（1）量一量，∠1＝60°，它是一个锐角．

（2）AD∥BC，AE⊥CD．

（3）CD地边上的高是5米，BC底边上的高是3米．

（4）以F点为垂足画出平行四边形ABCD的一条高，如下图：

故答案为：60，锐，BC，CD，5，3．

【点评】此题涉及的平行四边形的知识，理解平行四边形的含义及特征，是解答此题的关键．

举一反三

1．在点子图里画一个平行四边形并画出它的一条高．

【分析】有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，习惯上作平行四边形的高时都从对边一个顶点出发作底的垂线．

解：如图所示：

．

【点评】本题考查了学生根据平行四边形和高的定义在点子图上画图的能力．

2．已知一个平行四边形的周长是38厘米，其中一条边长10厘米，另外三条边长分别是多少厘米？

【分析】根据平行四边形的特点，对边相等可得，平行四边形的周长的求解方法与长方形相似，都是相邻两条边的和的2倍，由此先用周长38厘米除以2，求出相邻两边的和，再减去其中的一条边10厘米，即可求出另一条边．

解：如下图的平行四边形中，AD＝BC＝10厘米，

38÷2﹣10

＝19﹣10

＝9（厘米）

答：平行四边形另外三条边分别是10厘米，9厘米，9厘米．

【点评】熟知平行四边形的特点，找出其周长的计算方法是解决本题的关键．

3．从三角形ABC的A点作对边平行线，从C点作对边的平行线，两条平行线相交于D点，图形ABCD是　平行四边形　

【分析】根据题意，作出两条平行线，进而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；进行解答即可．

解：因为AD∥BC，

CD∥AB，

所以四边形ABCD是平行四边形；

故答案为：平行四边形．

【点评】此题属于操作题，主要考查动手操作能力，解答此题的关键是应理解和掌握平行四边形的特征和性质．

考点三：梯形

典例分析

【例3】在如图提供的点中选一个点记作D，使四边形ABCD成为一个梯形。D点的位置有多少种选法？请你把每种选法表示在图上。

【分析】根据体型的概念梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。可进行解答。

解：只要保证只有一组对边平行即可。AB∥CD的有四种，AC∥BD的有一种，D点的位置有5种选法，图形分别为：

答：有五种选法。

【点评】本题考查根据梯形的概念进行画出梯形。

举一反三

1．若你把一个梯形两腰的中点进行连结，得到的这条线段就是这个梯形的中位线．

（1）试画出这个梯形的中位线．（用铅笔和直尺作图）

（2）量一量中位线的长度，再量一量这个梯形上底和下底的长度，你发现了什么？把你的发现写在下面？

【分析】（1）先找到两腰的中点，再连结即可求解；

（2）根据线段的测量方法量出中位线的长度，上底和下底的长度，再依此找到它们的规律即可求解．

解：（1）如图所示：

（2）我的发现：梯形中位线＝上底和下底的和的一半．

【点评】考查了梯形的特征及分类，关键是熟悉梯形中位线＝上底和下底的和的一半．

2．接着画下去，画一个梯形，面积为15平方厘米．

【分析】根据梯形的面积公式，先确定出梯形的上底下底和高的长度，即可进行作图．

解：梯形的上底是6厘米，下底是4厘米，高是3厘米，面积是：（6+4）×3÷2＝15（平方厘米），

画图如下：

【点评】解答此题的关键是先依据梯形面积确定出图形主要线段的长度，再作图即可．

3．如图哪些图形是梯形？（请在是梯形下面的□里画“√”）

【分析】根据梯形的定义可知：有一组对边平行的四边形是梯形，据此解答即可．

解：图形（1）（2）是梯形，（3）（4）不是梯形；

所以

故答案为：√，√，×，×．

【点评】熟知梯形的特点是解决本题的关键．

巩固提升

基础训练

一．选择题（共8小题）

1．下列图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据三角形的稳定性，解答此题即可。

【解答】解：根据三角形的稳定性，最不容易变形的是。

故选：A。

【点评】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，据此解答即可。

2．在同一平面内的两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）

A．垂直 B．互相垂直 C．平行 D．互相平行

【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可。

【解答】解：在同一平面内的两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。

故选：D。

【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。

3．一个平行四边形相邻的两条边的长度分别为5厘米和8厘米，它的高可能是（　　）。

A．5 B．8 C．9 D．无法确定

【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高；根据平行线之间的距离可知，平行四边形的高就是这两边之间最短的线段，所以平行四边形的高要小于它对应底的邻边，即以5厘米的边为底时，高要小于5厘米，以8厘米的边为底时，高要小于8厘米，所以这个平行四边形的高要小于8厘米，由此求解。

【解答】解：如图，以5厘米的边为底时，高要小于5厘米，以8厘米的边为底时，高要小于8厘米，所以这个平行四边形的高要小于8厘米，

选项中只有5厘米符合要求。

故选：A。

【点评】解决本题关键是明确“平行四边形的高要小于它对应底的邻边”。

4．如图，将一个长方形拉成一个平行四边形，这两个图形（　　）。

A．周长相等 B．面积相等 

C．周长和面积都相等

【分析】一个长方形拉成平行四边形后只是形状发生了变化，周长不变（还是4根木条的总长度）；根据“平行四边形的面积＝底×高”，以一边为底，拉成平行四边形，高减少了，面积减少；据此解答即可。

【解答】解：四条边长度不变，所以周长不变；以一边为底，高减少了，面积减少。

故选：A。

【点评】解答此题应认真分析题意，根据平行四边形的特性进行分析，解答即可。

5．等腰梯形的（　　）相等．

A．上底和下底 B．两条腰 C．四个角 D．对角

【分析】等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。据此可知，等腰梯形的两条腰相等。

【解答】解：等腰梯形的两条腰相等。

故选：B。

【点评】此题考查了等腰梯形的特征，要熟练掌握。

6．直线x平行于y，梯形有（　　）个。

A．2 B．3 C．4

【分析】根据梯形的定义，只有一组对边平行的四边形是梯形，据此解答即可。

【解答】解：图中的梯形有4个。

故选：C。

【点评】熟练掌握梯形的定义，是解答此题的关键。

7．如图，下面两条平行线之间的线段最短的一条是（　　）

A．AB B．CD C．EF D．GH

【分析】平行线之间垂直线段的长度最短，由此解答即可。

【解答】解：如图，下面两条平行线之间的线段最短的一条是CD，

故选：B。

【点评】记住结论：平行线之间垂直线段的长度最短。

8．如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）

A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交

【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．

【解答】解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；

故选：C。

【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质．

二．填空题（共8小题）

9．从直线外一点到这条直线所画的　垂直线段的长度　，叫做这点到这条直线的距离．

【分析】根据点到直线的距离的含义：从直线外一点向这条直线所画的垂直线段的长度，叫做点到直线的距离；由此判断即可．

【解答】解：根据点到直线的距离含义可知：

从直线外一点向这条直线所画的线段，叫做点到直线的距离；

故答案为：垂直线段的长度．

【点评】此题考查了点到直线的距离的含义．

10．一个等腰梯形有两个相等的 　锐　角和两个相等的 　钝　角。

【分析】根据等腰梯形的特征可知，等腰梯形的同一底边上的两个底角是相等的，由于四边形的内角和是360度，所以一个等腰梯形有两个相等的锐角和两个相等的钝角。

【解答】解：一个等腰梯形有两个相等的锐角和两个相等的钝角。

故答案为：锐，钝。

【点评】本题考查了等腰梯形的特征。

11．许多电动门、防盗窗都是由平行四边形组成的，这是因为它具有 　不稳定性　的特性。

【分析】根据四边形不具有稳定性，解答此题即可。

【解答】解：许多电动门、防盗窗都是由平行四边形组成的，这是因为它具有不稳定性的特性。

故答案为：不稳定性。

【点评】熟练掌握四边形的性质，是解答此题的关键。

12．平行四边形的对边 　平行且相等　，有 　2　个锐角，　2　个钝角。

【分析】根据平行四边形的特征，平行四边形的对边平行且相等，有2个锐角，2个钝角，解答此题即可。

【解答】解：平行四边形的对边平行且相等，有2个锐角，2个钝角。

故答案为：平行且相等；2；2。

【点评】熟练掌握平行四边形的特征，是解答此题的关键。

13．平行四边形相邻两条边分别为3cm、6cm，这个平行四边形的周长是　18　cm．

【分析】平行四边形的周长是四条边长度的和，平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长就是2个3和2个6的和，据此解答．

【解答】解：（3+6）×2

＝9×2

＝18（厘米）

答：这个平行四边形的周长是18厘米．

故答案为：18．

【点评】本题主要考查了学生对平行四边形周长意义和计算方法的掌握．

14．在两条平行线之间画几条垂直线段，第一条长4厘米，第三条长 　4　厘米。

【分析】两条平行线之间的距离处处相等，据此判断即可。

【解答】解：画图分析：

故答案为：4厘米。

【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。

15．一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，这个梯形的高是 　16　厘米。

【分析】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，由此可知，12厘米相当于这个直角梯形的上底的（4﹣1）倍，且梯形的高等于下底，根据已知一个数的几倍是的是，求这个数，用除法求出上底，上底的长度乘4就是下底的长度（高），据此解答。

【解答】解：12÷（4﹣1）

＝12÷3

＝4（厘米）

4×4＝16（厘米）

答：这个梯形的高是16厘米。

故答案为：16。

【点评】此题考查的目的是理解掌握直角梯形的特征、正方形的特征及应用。

16．　在同一平面内，不相交的两条直线　叫做平行线．

【分析】根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此解答即可．

【解答】解：根据根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；

故答案为：在同一平面内，不相交的两条直线．

【点评】此题考查了平行线的含义，应注意基础知识的积累．

三．判断题（共5小题）

17．不相交的两条直线是平行线．　×　．（判断对错）

【分析】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．

【解答】解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，

故答案为：×．

【点评】解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．

18．在同一平面内，两条直线相交组成的4个角中如果有一个角是直角，那么其它3个角也一定是直角。 　√　（判断对错）

【分析】两条直线相交，有两种情况，垂直或不垂直，如果其中一个角是90°，那么其它各个角都是90°，这两条直线就相互垂直。

【解答】解：在同一平面内，两条直线相交组成的4个角中如果有一个角是直角，那么其它3个角也一定是直角，说法正确。

故答案为：√。

【点评】此题考查了垂直的含义，注意对一些基础概念和性质的理解。

19．平行四边形的四个角可以都是钝角，也可以都是锐角。 　×　（判断对错）

【分析】根据平行四边形的内角和等于360°，对角相等，解答此题即可。

【解答】解：平行四边形的四个角可以都是直角，也可能是两个钝角两个锐角，所以题干说法是错误的。

故答案为：×。

【点评】根据平行四边形的性质，解答此题即可。

20．因为梯形有一组对边平行，所以梯形是特殊的平行四边形。 　×　（判断对错）

【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的两组对边分别平行且相等，而梯形只有一组对边平行，并且平行的一组对边不相等；或由平行四边形和梯形的意义判断，在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。

【解答】解：由分析可知：梯形不是特殊的平行四边形，所以本题说法错误。

故答案为：×。

【点评】本题是考查平行四边形及梯形的意义及性质。

21．在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条。 　√　（判断对错）

【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条。据此解答即可。

【解答】解：在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条。所以原题干正确。

故答案为：√。

【点评】解答本题的依据是：再同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条。

拓展提升

四．应用题（共2小题）

22．李叔叔靠墙用篱笆围成了一个平行四边形的花坛．（如图）

【分析】观察图可知，这个平行四边形的一条边靠墙，只要求出另外三边的和，就是需要准备篱笆的长度．

【解答】解：4+3+3＝10（米）

答：李叔叔需要准备10米长的篱笆．

【点评】本题根据平行四边形的特点求解，注意给出的高2米没有用处，不要被迷惑．

23．一个直角梯形，上底为5厘米，下底为12厘米，如果把上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形。这个直角梯形的高是多少厘米？

【分析】根据正方形的特征，可知，梯形的高是上底增加3厘米或下底减少4厘米，据此回答。

【解答】解：5+3＝8（厘米）

12﹣4＝8（厘米）

答：这个直角梯形的高是8厘米。

【点评】本题主要考查了正方形的特征以及直角梯形的特征，需要学生熟练掌握。

五．操作题（共2小题）

24．在方格中分别画一组平行线和一组互相垂直的直线。

【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；由此利用每个方格相等，画出AB∥CD，EF⊥GH即可。

【解答】解：

。

【点评】本题考查了平行和垂直的性质，利用每个方格相等，画出AB∥CD，EF⊥GH。

25．在点子图上按要求画图。

【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，只有一组对边平行的四边形是梯形，解答此题即可。

【解答】解：

（画法不唯一）。

【点评】熟练掌握平行四边形和梯形的特征，是解答此题的关键。

六．解答题（共6小题）

26．直线a与直线b互相平行．量一量线段AE、BF、CG、DH的长度，你发现了什么？

【分析】先量出线段AE、BF、CG、DH的长度，再根据它们长度之间的关系回答．

【解答】解：量得线段AE、BF、CG、DH的长度都是2厘米；

线段AE、BF、CG、DH的都与直线a、b垂直，是这两条直线之间的距离，而直线a∥直线b，所以可以得出：

两条平行线之间的距离处处相等．

【点评】本题让学生通过自己测量得出：两条平行线之间的距离处处相等这一结论．

27．准备一个正方体的纸盒，在纸盒的每个顶点旁标上字母，你能写出多少组互相平行或互相垂直的边？

【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答．

【解答】解：据分析解答如下：

平行：AB∥EF∥GH∥CD，

AD∥EH∥GF∥BC；

垂直：AB⊥ADAB⊥BCAB⊥AEAB⊥BF；

BC⊥CDBC⊥BFBC⊥CG；

CD⊥ADCD⊥DHCD⊥CG；

BF⊥FGFG⊥GH；

AE⊥FEAE⊥EH；

BF⊥FEBF⊥FG；

FG⊥GHEH⊥GH．

【点评】此题考查了垂直和平行的定义，注意基础知识的积累．

28．用篱笆围一块边长分别为4米和2米的平行四边形花圃，需要篱笆多少米？

【分析】花圃的形状是一个平行四边形，利用长方形的周长是即可求出篱笆的长度．

【解答】解：（4+2）×2＝12（米）；

答：需要篱笆12米．

【点评】此题主要考查平行四边形的周长的计算方法．

29．如图，哪两条路是互相平行的，哪两条路是互相垂直的？

【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答．

【解答】解：据分析可知：

体育场路和凤起路，凤起路和庆春路，新华路和建国北路，体育场路和健康路，西健康路和东健康路互相平行；

体育场路、凤起路、庆春路分别和新华路、建国北路、西健康路、东健康路互相垂直．

【点评】此题考查了平行和垂直的定义，注意基础知识的积累．

30．小刚用一根长50厘米的铁丝围成了一个平行四边形，其中一条边长是18厘米，另外三条边分别是多少厘米？

【分析】如图所示，已知平行四边形的周长，则根据平行四边形的性质可知AB+AD等于的周长，假设AB的长度为18厘米，则可算出AD的长度．根据平行四边形的对边相等的性质可得出每一条边的长度．

【解答】解：AB+AD＝50÷2＝25厘米，

假设AB＝18厘米，所以AD＝25﹣18＝7厘米，

由于平行四边形的对边相等则，

所以CD＝AB＝18厘米，BC＝AD＝7厘米．

答：平行四边形另外三条边分别是18厘米、7厘米、7厘米．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．

31．

【分析】由题意得出：四周胶带的长度就是平行四边形的周长，根据周长＝（长边长度+短边长度）×2，代数计算即可．

【解答】解：（14+14×2）×2，

＝42×2，

＝84（厘米）．

答：需要84厘米长的胶带．

【点评】解决本题的关键是明确胶带的长度等于平行四边形的周长，再根据周长公式计算即可．