专题05 直线与圆-备战2022年高考数学二轮复习专题之提分秘典

专题05 直线与圆

一、单选题

1．（2021·广东实验中学高二期中）经过，两点的直线的倾斜角是（    ）

A．45° B．60° C．90° D．135°

【答案】C

【分析】

根据两点的横坐标相等，可知该直线斜率不存在，即可求得直线的倾斜角.

【详解】

解:因为，，

所以经过两点的直线斜率不存在，

所以倾斜角为.

故选：C.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线满足，那么这条直线的图象一定不经过是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】

将直线的一般方程化成斜截式即可判断.

【详解】

由得到：．

，

，，

直线经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．

直线不经过第三象限．

故选：C．

3．（2022·全国·高三专题练习）两条直线与的图像可能是如图中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据直线的截距式方程求出斜率，然后结合选项即可判断.

【详解】

由于两条直线与的斜率分别为、，故这两条直线的斜率同号，

而选项、、中的两条直线的斜率异号，只有中的两条直线的斜率同号，

故选：B．

4．（2021·广东实验中学高二期中）已知直线（为实数）是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）

A．6 B． C．7 D．8

【答案】A

【分析】

根据题意可求出圆心的坐标，半径为，结合条件可知直线经过圆心，可列式求出的值，从而得出点的坐标，再根据两点间的距离公式可求出，最后根据直线与圆相切得出，代数计算即可得出结果.

【详解】

解：根据题意，得出圆的标准方程为：，

可知圆心的坐标，半径为，

因为直线是圆的对称轴，

所以直线经过圆心，则，

解得：，，

则，

由于过点作圆的一条切线，切点为，

.

故选：A.

5．（2021·四川·高二期中（文））直线在轴，轴上的截距分别为，且直线与圆相切，则实数的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】A

【分析】

根据题意得直线的方程为，再根据直线与圆相切求解即可.

【详解】

解：因为直线在轴，轴上的截距分别为，，

所以直线的方程为，即，

因为直线与圆相切，圆心为，半径，

所以，解得或

故选：A

6．（2021·广东·广州市第八十九中学高一期中）已知动直线l：(m+1)x+(m+2)y-m-3=0与圆C1：(x-2)2+(y+1)2=36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求出动直线l恒过的定点坐标，借助圆的性质求出弦AB长的最小值即可计算作答.

【详解】

依题意，直线l：(m+1)x+(m+2)y-m-3=0，即m(x+y-1)+(x+2y-3)=0，

由解得：，则直线l恒过定点(-1，2)，令此点为M(-1，2)，

圆C1：(x-2)2+(y+1)2=36的圆心C1为(2，-1)，半径r=6，

|MC1|==，当MC1与直线l垂直，即M为AB的中点时，|AB|最小，此时==，

所以弦AB为直径的圆C2面积的最小值为.

故选：D

7．（2021·河北省晋州市第二中学高二期中）已知直线l1：（k－3）x＋（4－k）y＋1＝0与l2：2（k－3）x－2y＋3＝0平行，则k的值是（    ）

A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2

【答案】C

【分析】

利用两直线平行的必要条件列式求得的值，然后检验即可.

【详解】

∵，∴，即，∴或5，

当时，两直线方程分别为：和,两直线平行；

当时，两直线方程分别为：和,两直线平行；

故选：C.

8．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）圆与直线的位置关系为（    ）

A．相离 B．相切

C．相交 D．以上都有可能

【答案】C

【分析】

确定圆心和半径，直线过定点，计算，得到关系.

【详解】

，即，圆心，半径.

，当时，，即直线过定点，

，点在圆内，故直线与圆相交.

故选：C.

9．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）直线，当k变化时，所有直线恒过定点（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

解方程且，即得解.

【详解】

由题得，

令且，

所以.

所以直线过定点.

故选：B

二、填空题

10．（2021·广东·广州市第七中学高二期中）已知，直线和直线垂直，则的最大值为________．

【答案】

【分析】

根据垂直得到，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】

直线和直线垂直，则，

即，，当时等号成立.

故答案为：.

11．（2021·广东·广州市第八十九中学高一期中）经过点，且与直线垂直的直线方程为__________________.

【答案】

【分析】

根据垂直关系设所求直线的方程为，把点代入直线方程求出的值，即可得到所求直线的方程．

【详解】

解：设所求直线的方程为，把点代入直线方程可得，

，故所求直线的方程为：；

故答案为：

12．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）两平行直线，的距离为_______.

【答案】

【分析】

结合两平行直线间的距离公式即可直接求出结果.

【详解】

因为，所以，

又因为，所以

故答案为：.

三、解答题

13．（2021·广东实验中学高二期中）直线l经过两直线：和：的交点.

（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；

（2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程.

【答案】

（1）

（2）或.

【分析】

（1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解；

（2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解.

（1）

解：联立方程组，解得交点，

又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，

则直线的方程为，即.

（2）

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

则点到直线的距离为，求得，

故直线的方程为，即，

综上可得，直线的方程为或.

14．（2021·广东·新会会城华侨中学高二期中）已知直线：与直线：平行，圆C是以和为直径端点的圆.

（1）求m的值；

（2）写出圆C的方程；

（3）若直线与圆相交于，两点，求

【答案】

（1）；

（2）；

（3）.

【分析】

（1）根据两直线平行的条件即可直接求出答案；

（2）根据题意可得出所求圆的圆心为线段的中点，半径为，从而可求出圆的方程；

（3）根据圆心到直线的距离，圆的半径，三者成勾股数即可求出答案.

（1）

因为直线：与直线：平行，

所以，解得；

（2）

易知所求圆的圆心为线段的中点，即，所以圆心，

又半径，

所以所求圆的方程为；

（3）

由（1）知，所以直线：，即

点到直线：的距离，

所以.

15．（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）已知圆和点.

（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；

（2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；

【答案】

（1）或

（2）

【分析】

(1)分斜率不存在和斜率存在两种情况求解；

（2）根据垂径定理和弦长公式求解即可.

（1）

（1）当切线的斜率不存在，直线方程为，为圆的切线； 

当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，

∴圆心到切线的距离为，解得，∴直线方程为

综上切线的方程为或.

（2）

点到直线的距离为，

∵圆被直线截得的弦长为8，∴，

∴圆的方程为.

16．（2021·上海市松江二中高二月考）已知椭圆的焦距与长轴的比值为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.

（1）求椭圆的方程;

（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆，相交于两点，与椭圆相交于两点，

①若，求圆的方程;

②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.

【答案】

（1）

（2）①，②

【分析】

（1）由椭圆以及抛物线的性质，可求得b的值，结合离心率可求得a，得到椭圆方程；

（2）①用待定系数法求出圆的标准方程；

②设出M(2，t)，求出直线方程，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，由弦长公式，求出弦长AB，这样就可用t表示S2的函数，进而就可把表示为t的函数，结合基本不等式，可求出函数的值域，即可求出的取值范围.

（1）

短轴的下端点在抛物线的准线上，

又，

（2）

①由(1)知，设，则的圆心坐标为

的方程为

当时，所在直线方程为此时与题意不符，所以

所以设所在直线方程为

又圆的半径由

解得

所以圆的方程为

②当时，由①知所在直线方程为与椭圆方程联立，消去，得，则△

所以

因为

所以当且仅当t=0时取等号.

又因为，所以.

当t=0时，直线PQ的方程是x=1，，，

所以，，所以.

综上的取值范围是.

17．（2021·广东·广州市第八十九中学高一期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的圆C经过两点和，直线的方程为.

（1）求圆C的方程；

（2）过点作圆C切线，求切线方程；

（3）当时，Q为直线上的点，若圆C上存在唯一的点P满足，求点Q的坐标.

【答案】

（1）

（2）或

（3）或

【分析】

（1）设出圆的标准方程，将两点代入即可求解；

（2）直线斜率不存在时满足，斜率存在时，设出直线点斜式，利用点到直线距离公式求解；

（3）设，，利用化简得，故圆与圆C相切，结合圆心距和半径关系即可求解.

（1）

设圆的方程为，将M，N坐标代入，得：，

解得，所以圆的方程为；

（2）

当切线斜率不存在时，直线与圆相切；

当切线斜率存在时，设直线方程为，即，

由圆心到直线的距离，

解得，故切线方程为，

综上，切线方程为或；

（3）

设，，则，

化简得，

此圆与圆C相切，

所以有，解得，

所以或.