专题08 等差等比数列的性质与应用-备战2022年高考数学二轮复习专题之提分秘典

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专题08 等差等比数列的性质与应用一、单选题1．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））等差数列中，，，为等比数列，则公比为（    ）A．1或 B． C． D．1【答案】A【分析】设等差数列的公差为，由，，为等比数列，可得或，分情况讨论即可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，为等比数列，所以，，解得或，当时，等差数列为常数列，所以，所以公比为1；当时，，所以公比为.故选：A.2．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））已知数列是等差数列，且满足，则等于（    ）A．84 B．72 C．75 D．56【答案】C【分析】利用等差数列的性质进行求解.【详解】由等差数列的性质，得，所以.故选：C.3．（2021·湖南师大附中高二期中）在数列中，为前n项和，若，，则（    ）A．95 B．105 C．115 D．125【答案】A【分析】根据在数列满足，得到数列是等差数列,再根据求解.【详解】因为在数列中，，所以数列是等差数列,又因为，所以，解得，所以，故选：A4．（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））若数列的通项公式，则此数列（    ）A．是公差为-2的等差数列 B．是公差为2的等差数列C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列【答案】A【分析】根据等差数列的定义即可求解.【详解】解：，是公差为，首项为的等差数列．故选：A.5．（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（文））在等差数列中，，，则（    ）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式求出公式，最后根据计算可得；【详解】解：由，，得公差，所以．故选：A．6．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知数列为等差数列，其前n项和为，，则（    ）A．110 B．55 C．50 D．45【答案】B【分析】根据给定条件结合等差数列的性质计算出，再利用前n项和公式结合等差数列的性质计算即得.【详解】在等差数列中，，于是得，所以．故选：B.7．（2021·广西桂林·模拟预测（理））等差数列的前项和为，且，则（    ）A．88 B．48 C．96 D．176【答案】A【分析】利用等差数列的性质求得，再由求解.【详解】由等差数列的性质得，，解得，所以，故选：A.8．（2021·浙江金华·高三月考）已知数列的各项均不为零，，它的前n项和为．且，，（）成等比数列，记，则（    ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】C【分析】结合等比性质处理得，再分和分类讨论，时较为简单，结合裂项法直接求解，当时，为不规则数列，但放缩后满足，再采用裂项即可求解.【详解】由，，成等比数列可得，①，也即②，②-①得，因为，所以，，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，当时，，即，对A、B，当时，，此时数列为等差数列，前项和为，，故，当时，，故A、B错误；对C、D，当时，，，，此时，故C正确，D错误.故选：C二、填空题9．（2021·上海市行知中学高二期中）若等差数列满足，，则当___时，的前项和最大．【答案】【分析】根据等差数列的性质可得，即可求解.【详解】因为是等差数列，所以，可得，因为，所以，所以等差数列的前项为正，从第项开始小于，所以的前项和最大，故答案为：.10．（2019·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（文））《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢？其大意是：现有良马和劣马同时从长安出发去齐地，已知齐地离长安有3000里远，良马第一天可行193里，之后每天比前一天多行13里；劣马第一天可行97里，以后每天比前一天少行半里路.良马先到达齐地后，马上返回去迎接劣马，问：________天后两马可以相遇？(结果填写整数值)【答案】16【分析】良马每日行走距离记为，劣马每日行走距离记为，，都是等差数列，，，由等差数列的前项和公式求出两马于行走路程之和，的最小正整数解即为结论．【详解】设天后相遇，良马每日行走距离记为，劣马每日行走距离记为，，都是等差数列，，，所以由得，，设，显然在上是增函数，又，，， 所以第16天可以相遇，故答案为：16．三、解答题11．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知在递增的等差数列中，，．（1）求和；（2）求的通项公式．【答案】（1），（2）【分析】（1）根据等差数列下标和性质可得，再与联立，即可解出；（2）设出数列的公差为，所以，解出，即可得到的通项公式．（1）因为，所以且递增∴，（2）设数列的公差为，所以∴，，∴．12．（2021·上海市行知中学高二期中）已知等差数列和等比数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求和：．【答案】（1）（2）【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式列方程求得的值即可求解；（2）由（1）求得的值，设等比数列的公比为，根据已知条件可得的值，再由等比数列的求和公式即可求解.（1）设等差数列的公差为，由题意可得：可得，所以.（2）由（1）知：，设等比数列的公比为，由题意可得：，解得：，所以.13．（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））在公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前项和．【答案】（1）（2）【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.（2）首先根据题意得到，再利用分组求和求解即可.（1）设等差数列的公差是d，则，解得．所以．（2）由（1）知．所以14．（2021·江西赣州·高三期中（文））设是公比大于0的等比数列，其前n项和为，是公差为1的等差数列，已知，，．（1）求和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求．【答案】（1）（2）【分析】（1）设的公比为q，利用等比数列的通项公式可求得q的值，再由即可得，求出的值，根据已知条件列关于和d的方程，即可求；（2）利用分组求和即可求解．（1）设的公比为q，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以，设的公差为d，则，所以，解得，所以；（2）因为，所以，所以，所以 ，∴．15．（2021·天津市咸水沽第一中学高三月考）正项等比数列的前项和记为，，（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的各项为正，且，又，，成等比数列，设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用求得，进而求得通项公式；（2）利用等比中项可得，设，，代入可得，则，再利用错位相减法即可求解.（1）设公比，则，得或，因为，所以，可得；（2）设公差为，因为，可设，，又由（1）知：，，，因为，，成等比数列，所以，即解得：或，因为等差数列的各项为正，所以，所以，所以所以， 两式相减可得：，所以.