专题20 高考中的数学文化-备战2022年高考数学二轮复习专题之提分秘典

专题20 高考中的数学文化

一、单选题

1．（2021·全国·高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（    ）

A．6m2 B．9m2 C．12m2 D．15m2

【答案】B

【分析】

根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.

【详解】

依题意，弦(m)，矢(m)，

则弧田面积=(m2)，

所以弧田面积约是9m2.

故选：B

2．（2021·广东·高三月考）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且，则该曲池的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用柱体体积公式求体积.

【详解】

不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，即.故该曲池的体积.

故选：B

3．（2021·四川攀枝花·高三月考（文））“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.如图是求“大衍数列”前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据程序流程图，代入，计算出结果即可.

【详解】

①，，，，此时；

②，，，此时；

③，，，此时；

④，，，此时；

⑤，，，此时；

⑥，，，此时，

结束程序，输出结果为44，

故选：C

4．（2021·吉林·高三月考（文））声强是指声音在传播途径上每平方米面积上声能流密度，用表示，人类能听到的声能流范围很广，其中能听见的声音的声强（约为）为标准声强，记作，声强与标准声强之比的常用对数作声强的声强级，记，即，声强级的单位名称为贝尔，符号为，取贝尔的十倍作为响度的单位，称为分贝尔，简称分贝（）．《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为，一个士兵大喝一声的响度为，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度，那么这群士兵的人数约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

张飞大喝一声的声强为，每一个士兵大喝一声的声强为，由此能求出答案．

【详解】

解：因为，所以，

则张飞大喝一声的声强为：

，

每一个士兵大喝一声的声强为：

，

，

如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，

那么这群士兵的人数为10000人．

故选：C．

5．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ）

A．171 B．190 C．174 D．193

【答案】C

【分析】

根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值．

【详解】

后项减前项可得

所以，

所以

.

所以.

故选：C

6．（2020·广东揭东·高一期末）工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某同学想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为20cm，内圆半径为10cm.则制作这样一面扇面需要的布料为（    ）cm

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

分别求出两个扇形的面积，相减即可得解.

【详解】

解：扇形的圆心角为

大扇形的面积为，

小扇形的面积为，

所以制作这样一面扇面需要的布料为.

故选：B.

7．（2021·广东广雅中学高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.

【详解】

设，因为点，，，

所以即，

所以，可得圆心，半径，

由圆可得圆心，半径，

因为在圆上存在点满足，

所以圆与圆有公共点，

所以，整理可得：，

解得：，

所以实数的取值范围是，

故选：D.

8．（2021·河南·高二期中（理））太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、挂摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在某个太极图图案中，阴影部分可表示为，设点，则的最大值与最小值之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先画出不等式组所表示的可行域，结合图形，平移直线可得到，当直线与阴影部分相切时取得最值，利用点到直线的距离公式即可求得.

【详解】

画出或表示的可行域，如图，

由，得，

当直线与圆相切时，如图，此时的值最大，

此时圆心到直线的距离为，所以，

解得或(舍)，所以；

当直线与圆相切时，如图，此时的值最小，

由圆心到直线的距离为，得，

解得(舍)或，所以，

所以的最大值与最小值之和为，

故选：A.

9．（2021·河南·高二期中（文））大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘､走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段的长度）.他在该雕塑塔的正东处沿着南偏西的方向前进米后达到处（，，三点在同一个水平面内），测得图中线段在东北方向，且测得点的仰角为，则该雕塑的高度大约是（参考数据：）（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【分析】

在中，由正弦定理求出的长，在由边角关系即可求得的长.

【详解】

在中，，，，

由正弦定理，所以（米），

在中，，

所以（米）

故选：C.

10．（2021·河南·高二期中（文））我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，，，为三角形的三边）.在斜中，，，为内角，，所对应的三边，若，且，则的面积最大时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先利用三角恒等变换和正弦定理化简得到，再利用正弦定理化简，即得，再求出,利用二次函数即得解.

【详解】

因为，

所以，

即，

，

因为且，则，

所以，

所以，又，即，

所以，

所以，

所以时，.

此时，，

而，所以.

故选：B.

11．（2021·重庆九龙坡·高三期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，按此规律得到的数列记为，则（    ）

A．98 B．112 C．128 D．132

【答案】B

【分析】

根据题意可得奇数项的通项公式，即可求出.

【详解】

奇数项为0，4，12，24，40，…，即

可得当为奇数时，，.

故选：B.

12．（2021·全国·高一课时练习）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.

【详解】

如图所示，，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故选：D．

二、填空题

13．（2021·山东邹城·高二期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为______.

【答案】

【分析】

由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.

【详解】

解：由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，

∴“欧拉线”的方程为.

故答案为：.

14．（2021·浙江·金乡卫城中学高二期中）（图1）庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡， 前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶四面斜坡， 也称“四阿顶”；（图2）是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等， 已知，则_______________

【答案】3

【分析】

取的中点，连接，过点作面于点，过点作面于点；根据题意分析出点在直线上，然后根据即可求出的长.

【详解】

取的中点，连接，

过点作面于点，过点作面于点，作于点，连接，

因为底面是矩形，所以，

又因为面，面，所以面，

又因为面，面面，

所以，

因为面，面都与底面所成的角相等，

所以点在直线上，且，，

根据三垂线定理可得，为面与面所成的角，为面与面所成的角，

所以，又为公共边，

所以，所以，

同理，

所以.

故答案为：3.

三、解答题

15．（2021·广东龙岗·高一期中）2021年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元/ m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/ m2，再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元/ m2.设AD长为xm，DQ长为ym.

（1）试找出与满足的等量关系式；

（2）设总造价为元，试建立与的函数关系.若总造价不超过138000元，求长的取值范围.

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）由十字形区域面积为矩形面积的4倍与正方形面积之和可得关系式；

（2）根据题意计算出总造价，利用（1）可得关系式，然后解不等式可得所求范围．

（1）

解：由已知，十字形区域面积为矩形面积的4倍与正方形面积之和，

则与满足的等量关系式为：

.

（2）

由（1）得 ，

，；          

由，得，            

，，即，

所以长的取值范围是.