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陕西省西安市碑林区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)
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这是一份陕西省西安市碑林区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市碑林区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点A（3，﹣2）在双曲线y＝上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A．（1，6） B．（2，3） C．（﹣1，﹣6） D．（﹣2，3）
3．如图，AD∥BE∥FC，直线l1、l2分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为（ ）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．8
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
7．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（ ）
A．﹣6，﹣1 B．2﹣，﹣1 C．2﹣，1 D．﹣6，1
8．在平面直角坐标系中，已知矩形OA1B1C1与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，6），则B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（8，6） B．（4，3）或（﹣4，﹣3）
C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
9．若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
10．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF＝，则正方形的边长为（ ）
A．7 B．7 C．6 D．8
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．如果＝，那么＝ ．
12．如图是某几何体的三视图．已知主视图和左视图是两个全等的矩形，俯视图是直径等于2的圆，若矩形的长为3，宽为2，则这个几何体的体积为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，M、N分别是AD、BC的中点，连接MN，则MN将矩形ABCD分成两个矩形，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
14．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为 最合适．
15．如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y＝（k1＜0）的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y＝（k2＞0）的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB∥y轴，BD＝2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为 ．
16．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，若EC平分∠BED，∠BED＝2∠D，则cos∠ABE＝ ．
三、解答题（共9小题，计72分，解答应写出规范过程）
17．解方程：（x﹣3）（x+7）＝﹣9．
18．先化简，再求值：（﹣x﹣1），其中x＝4．
19．在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0．
（1）若这个一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足x12+x22+x1x2＝7，求m的值．
22．2021年第十四届全国运动会在陕西省西安市举行，吉祥物“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”深受大家的喜欢，组委会现将四张正面分别印有以上4个吉样物图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念，将这4张明信片背面朝上，洗匀．
（1）若小杰从中随机抽取1张，抽得得明信片上的图案恰好为“金金”的概率是 ．
（2）若小杰先从中随机抽取1张，小丽再从剩余的明信片中随机抽取1张，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
23．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）
24．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（a，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；
（3）请直接写出不等式mx+n＜的解集．
25．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，AC＝3，则线段CH的长度为 ．
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点F为CD边的中点，点E是BC边上的一点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，BC＝6，CD＝2，求线段EF的长．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，∠C＝90°，点M，N是BC边上的两点，连接AM，AN，BD，BD交AM于点E，交AN于点F．若∠MAN＝30°，BE＝4，DF＝6，求△AMN的面积．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
解：从左边看，是一列两个矩形．
故选：C．
2．已知点A（3，﹣2）在双曲线y＝上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A．（1，6） B．（2，3） C．（﹣1，﹣6） D．（﹣2，3）
【分析】求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．
解：∵A（3，﹣2）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．
A、因为1×6＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故A选项不符合题意；
B、因为2×3＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故B选项不符合题意；
C、因为（﹣1）×（﹣6）＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故C选项不符合题意；
D、因为﹣2×3＝﹣6＝k，所以该点在双曲线y＝上．故D选项符合题意．
故选：D．
3．如图，AD∥BE∥FC，直线l1、l2分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为（ ）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．8
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝8，
∵AD∥BE∥FC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝7.5，
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断．
解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinA＝cosB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝．
故选：B．
5．如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【分析】由▱ABCD证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵EC：DC＝1：3，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴C△DFE：C△BFA＝2：3．
故选：D．
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
故选：B．
7．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（ ）
A．﹣6，﹣1 B．2﹣，﹣1 C．2﹣，1 D．﹣6，1
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2++t＝4，（2+）•t＝c，然后先求出t，再计算c的值．
解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2++t＝4，（2+）•t＝c，
所以t＝2﹣，c＝（2+）（2﹣）＝1，
即方程的另一个根和c的值分别为2﹣，1．
故选：C．
8．在平面直角坐标系中，已知矩形OA1B1C1与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，6），则B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（8，6） B．（4，3）或（﹣4，﹣3）
C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的位似比为2：1，
∵点B的坐标为B（8，6），
∴B的对应点B1的坐标为（8×2，6×2）或（8×（﹣2），6×（﹣2）），即（16，12）或（﹣16，﹣12），
故选：D．
9．若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．
解：∵反比例函数的解析式为y＝（a为常数），
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，
∴A在第三象限内，B、C在第一象限内，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF＝，则正方形的边长为（ ）
A．7 B．7 C．6 D．8
【分析】过点E作EG⊥BD于点G，根据正方形的性质证明△BOF∽△BGE，可得＝，根据DE：EC＝1：3，设DE＝x，则EC＝3x，可得DC＝BC＝4x，列出方程即可求出结果．
解：如图，过点E作EG⊥BD于点G，
∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，
∴∠BOF＝∠BGE，
∵∠OBF＝∠GBE，
∴△BOF∽△BGE，
∴＝，
∵DE：EC＝1：3，
设DE＝x，则EC＝3x，
∴DC＝BC＝4x，
∴BD＝4x，DG＝GE＝x，
∴BG＝BD﹣DG＝4x﹣x＝x，
∴OB＝OD＝2x，
∴＝，
解得4x＝7，
∴BC＝4x＝7，
∴正方形的边长为7．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．如果＝，那么＝ ﹣ ．
【分析】利用比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行计算求解．
解：∵，
∴2（a+3b）＝5b，
整理，得：b＝﹣2a，
∴＝﹣，
故答案为：﹣．
12．如图是某几何体的三视图．已知主视图和左视图是两个全等的矩形，俯视图是直径等于2的圆，若矩形的长为3，宽为2，则这个几何体的体积为 3π ．
【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．
解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是1，高是3，
∴这个几何体的体积为：π×12×3＝3π．
故答案为：3π．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，M、N分别是AD、BC的中点，连接MN，则MN将矩形ABCD分成两个矩形，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 6 ．
【分析】矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长．
解：由已知得MN＝AB，MD＝AD＝BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴＝，
∵MN＝AB＝6，DM＝AD，BC＝AD，
∴AD2＝AB2，
∴由AB＝6得，AD＝6，
故答案为：6．
14．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为 16 最合适．
【分析】设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，利用每天销售这种商品的利润＝每件的销售利润×日销售量（日进货量），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润”，即可得出每件商品的售价定为16元最为合适．
解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，
∴x＝16．
∴每件商品的售价定为16元最为合适．
故答案为：16．
15．如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y＝（k1＜0）的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y＝（k2＞0）的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB∥y轴，BD＝2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为 ﹣4 ．
【分析】设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，根据矩形的性质得出S矩形ABFC＝2S△ABC＝12，由反比例函数比例系数k的几何意义得出S矩形ABOE+S矩形EOFC＝|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝12 ①．根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，那么OB＝2EC，由此可设C（x，），则A（﹣2x，﹣），根据AC∥x轴，得出＝﹣，即k1＝﹣2k2②，把②代入①，求出k2＝4，再求出k1＝﹣8，进而得出结论．
解：如图，设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，
则S矩形ABFC＝2S△ABC＝12，
∴S矩形ABOE+S矩形EOFC＝|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝12 ①．
∵AC∥BF，
∴＝＝，
∴OB＝2EC，
∴可设C（x，），则A（﹣2x，﹣），
∵AC∥x轴，
∴＝﹣，
∴k1＝﹣2k2②，
把②代入①，得2k2+k2＝12，
∴k2＝4，
∴k1＝﹣8，
∴k1+k2＝﹣8+4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，若EC平分∠BED，∠BED＝2∠D，则cos∠ABE＝ ．
【分析】在BF上取一点G，连接AG，使∠GAB＝∠AEB，作AF⊥BE于点F，设BE＝m，BA＝x，∠ABE＝α，先证明△GBA∽△ABE，推得BA2﹣BE•BG＝0，再证明BA＝EA＝EG，得到方程x2+mx﹣m2＝0，求出该方程的一个正根就是BA的长，即可求出cos∠ABE的值．
解：如图，在BF上取一点G，连接AG，使∠GAB＝∠AEB，作AF⊥BE于点F，设BE＝m，BA＝x，∠ABE＝α，
∵∠GBA＝∠ABE，
∴△GBA∽△ABE，
∴，
∴BA2﹣BE•BG＝0，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠EBC＝∠GAB＝α，
∴BA＝EA＝x，BF＝EF＝m，∠AGE＝∠ABE+∠GAB＝2α，
∵∠BEC＝∠CED，
∴∠BED＝2∠BEC＝2∠CED，
∵∠BED＝2∠D，
∴2∠BEC＝2∠CED＝2∠D，
∵∠D＝∠ABC＝2α，
∴∠BEC＝∠CED＝∠D＝2α，
∴∠AGE＝∠BEC，
∴AG∥EC，
∴∠GAE＝∠CED，
∴∠AGE＝∠GAE，
∴EG＝EA＝x，
∴BG＝m﹣x，
∴x2﹣m（m﹣x）＝0，
整理得x2+mx﹣m2＝0，
解得x1＝m，x2＝m（不符合题意，舍去），
∴BA＝m，
∵∠AFB＝90°，
∴cos∠ABE＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，计72分，解答应写出规范过程）
17．解方程：（x﹣3）（x+7）＝﹣9．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：方程整理得：x2+4x﹣12＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣6．
18．先化简，再求值：（﹣x﹣1），其中x＝4．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后求出答案即可．
解：原式＝•
＝•
＝•
＝﹣，
当x＝4时，原式＝﹣＝﹣3．
19．在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】直接利用角平分线的作法得出∠ABC的平分线进而得出答案．
解：如图所示：△ABC∽△BDC．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形．
【解答】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0．
（1）若这个一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足x12+x22+x1x2＝7，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣3m）≥0，求出不等式的解集即可；
（2）将x12+x22+x1x2转化为3m2+7m+1＝7，再代入计算即可解答．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣3m）＝16m+1≥0，
解得：m≥﹣，
即m的取值范围是m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2﹣3m，
∴x12+x22+x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+x1x2＝（2m+1）2﹣（m2﹣3m）＝3m2+7m+1，
∵x12+x22+x1x2＝7，
∴3m2+7m+1＝7，即3m2+7m﹣6＝0，
解得m＝﹣3或m＝．
∵m≥﹣；
∴m＝．
故m的值为．
22．2021年第十四届全国运动会在陕西省西安市举行，吉祥物“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”深受大家的喜欢，组委会现将四张正面分别印有以上4个吉样物图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念，将这4张明信片背面朝上，洗匀．
（1）若小杰从中随机抽取1张，抽得得明信片上的图案恰好为“金金”的概率是 ．
（2）若小杰先从中随机抽取1张，小丽再从剩余的明信片中随机抽取1张，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“金金”的概率是，
故答案为：；
（2）把“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”4个吉样物图案的卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的有2种，
则两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的概率为＝．
23．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）
【分析】延长MM′交DE于H，如图，易得HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，先证明Rt△ACD∽Rt△DHM，则根据相似三角形的性质得＝＝，再证明△ABD∽△MM′D，则利用相似比得到＝，然后利用比例性质求AB即可．
解：延长MM′交DE于H，如图，则HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，
∵CD∥HM，
∴∠ADC＝∠DMH，
∴Rt△ACD∽Rt△DHM，
∴＝＝，
∵AB∥MM′，
∴△ABD∽△MM′D，
∴＝＝，即＝，解得AB≈2.52（米）．
答：遮阳篷的宽AB是2.52米．
24．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（a，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；
（3）请直接写出不等式mx+n＜的解集．
【分析】（1）首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）设一次函数y＝﹣x+7的图象与x轴相交于C点，根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求解；
（3）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）把点A（2，6）代入y＝得k＝12．
∴反比例函数表达式为y＝．
把点B（a，1）的坐标代入y＝得a＝12．
∴B点坐标为（12，1）．
把A（2，6）、B（12，1）代入y＝mx+n得，
解得．
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+7．
（2）设一次函数y＝﹣x+7的图象与x轴相交于C点．
则C点坐标为（14，0）．
∴OC＝14．
∵A点坐标为（2，6），
∴A点到x轴的距离为6．即△AOC的高为6，
∴△AOC的面积为：×14×6＝42．
∵B点坐标为（12，1），
∴B点到x轴的距离为1．即△BOC的高为6．
∴△BOC的面积为：×14×1＝7．
∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC，
∴S△AOB＝42﹣7＝35；
（3）由图象得，不等式mx+n＜的解集为0＜x＜2或x＞12．
25．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，AC＝3，则线段CH的长度为 ．
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点F为CD边的中点，点E是BC边上的一点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，BC＝6，CD＝2，求线段EF的长．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，∠C＝90°，点M，N是BC边上的两点，连接AM，AN，BD，BD交AM于点E，交AN于点F．若∠MAN＝30°，BE＝4，DF＝6，求△AMN的面积．
【分析】（1）先根据勾股定理计算BC＝5，根据面积法可得高AH的长，最后由勾股定理可得CH的长；
（2）作辅助线构建全等三角形，证明△ABE≌△ADG（ASA），得DG＝BE，AG＝AE，再证明△EAF≌△GAF（SAS），得EF＝FG，设BE＝x，根据勾股定理列方程可得结论；
（3）如图③，过点A作AO⊥BD于O，设AO＝a，则OB＝OD＝a，证明△AFE∽△BFA，列比例式并综合勾股定理列方程可得a的值，分两种情况计算可得AM和MN的长，最后根据三角形面积公式可得答案．
解：（1）如图①，∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝5，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AH，
∴×3×4＝×5AH，
∴AH＝，
由勾股定理得：CH＝＝＝，
故答案为：；
（2）如图②，过点A作AE⊥AG，交CD的延长线于点G，
∴∠EAG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠C＝90°，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴DG＝BE，AG＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠GAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵F是CD的中点，且CD＝2，
∴DF＝CF＝1，
设BE＝x，则DG＝x，EF＝FG＝x+1，EC＝6﹣x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝EC2+CF2，
∴（x+1）2＝12+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴EF＝x+1＝+1＝；
（3）如图③，过点A作AO⊥BD于O，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵AB＝AD，
∴∠ABF＝∠ADF＝30°，
∴AB＝AD＝2AO，
设AO＝a，则OB＝OD＝a，
∵BE＝4，DF＝6，
∴BF＝2a﹣6，EF＝2a﹣4﹣6＝2a﹣10，
∵∠EAF＝∠ABF＝30°，∠AFE＝∠AFB，
∴△AFE∽△BFA，
∴＝，
∴AF2＝BF•EF＝（2a﹣6）（2a﹣10），
∵AF2＝AO2+OF2，
∴a2+（a﹣6）2＝（2a﹣6）（2a﹣10），
2a2﹣5a+6＝0，
解得：a1＝2，a2＝，
当a＝2时，OD＝a＝×＝6，此时O与F重合，如图1所示，
∴BF＝DF＝6，
∴EF＝2，
Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴AE＝2EF＝4＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵∠ABM＝60°，
∴∠AMB＝90°，∠MBE＝30°，
∴EM＝2，
∴AM＝4+2＝6，
∴MN＝＝2，
∴△AMN的面积＝AM•MN＝×6×2＝6；
当a＝时，OA＝，OB＝OD＝，
∴BD＝OB+OD＝3＜4+6＝10，
此种情况不成立，
∴△AMN的面积6．
2021-2022学年陕西省西安市碑林区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点A（3，﹣2）在双曲线y＝上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A．（1，6） B．（2，3） C．（﹣1，﹣6） D．（﹣2，3）
3．如图，AD∥BE∥FC，直线l1、l2分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为（ ）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．8
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
7．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（ ）
A．﹣6，﹣1 B．2﹣，﹣1 C．2﹣，1 D．﹣6，1
8．在平面直角坐标系中，已知矩形OA1B1C1与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，6），则B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（8，6） B．（4，3）或（﹣4，﹣3）
C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
9．若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
10．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF＝，则正方形的边长为（ ）
A．7 B．7 C．6 D．8
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．如果＝，那么＝ ．
12．如图是某几何体的三视图．已知主视图和左视图是两个全等的矩形，俯视图是直径等于2的圆，若矩形的长为3，宽为2，则这个几何体的体积为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，M、N分别是AD、BC的中点，连接MN，则MN将矩形ABCD分成两个矩形，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
14．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为 最合适．
15．如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y＝（k1＜0）的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y＝（k2＞0）的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB∥y轴，BD＝2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为 ．
16．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，若EC平分∠BED，∠BED＝2∠D，则cos∠ABE＝ ．
三、解答题（共9小题，计72分，解答应写出规范过程）
17．解方程：（x﹣3）（x+7）＝﹣9．
18．先化简，再求值：（﹣x﹣1），其中x＝4．
19．在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0．
（1）若这个一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足x12+x22+x1x2＝7，求m的值．
22．2021年第十四届全国运动会在陕西省西安市举行，吉祥物“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”深受大家的喜欢，组委会现将四张正面分别印有以上4个吉样物图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念，将这4张明信片背面朝上，洗匀．
（1）若小杰从中随机抽取1张，抽得得明信片上的图案恰好为“金金”的概率是 ．
（2）若小杰先从中随机抽取1张，小丽再从剩余的明信片中随机抽取1张，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
23．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）
24．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（a，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；
（3）请直接写出不等式mx+n＜的解集．
25．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，AC＝3，则线段CH的长度为 ．
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点F为CD边的中点，点E是BC边上的一点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，BC＝6，CD＝2，求线段EF的长．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，∠C＝90°，点M，N是BC边上的两点，连接AM，AN，BD，BD交AM于点E，交AN于点F．若∠MAN＝30°，BE＝4，DF＝6，求△AMN的面积．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
解：从左边看，是一列两个矩形．
故选：C．
2．已知点A（3，﹣2）在双曲线y＝上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A．（1，6） B．（2，3） C．（﹣1，﹣6） D．（﹣2，3）
【分析】求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．
解：∵A（3，﹣2）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．
A、因为1×6＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故A选项不符合题意；
B、因为2×3＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故B选项不符合题意；
C、因为（﹣1）×（﹣6）＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故C选项不符合题意；
D、因为﹣2×3＝﹣6＝k，所以该点在双曲线y＝上．故D选项符合题意．
故选：D．
3．如图，AD∥BE∥FC，直线l1、l2分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为（ ）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．8
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝8，
∵AD∥BE∥FC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝7.5，
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断．
解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinA＝cosB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝．
故选：B．
5．如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【分析】由▱ABCD证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵EC：DC＝1：3，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴C△DFE：C△BFA＝2：3．
故选：D．
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
故选：B．
7．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（ ）
A．﹣6，﹣1 B．2﹣，﹣1 C．2﹣，1 D．﹣6，1
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2++t＝4，（2+）•t＝c，然后先求出t，再计算c的值．
解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2++t＝4，（2+）•t＝c，
所以t＝2﹣，c＝（2+）（2﹣）＝1，
即方程的另一个根和c的值分别为2﹣，1．
故选：C．
8．在平面直角坐标系中，已知矩形OA1B1C1与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，6），则B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（8，6） B．（4，3）或（﹣4，﹣3）
C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的位似比为2：1，
∵点B的坐标为B（8，6），
∴B的对应点B1的坐标为（8×2，6×2）或（8×（﹣2），6×（﹣2）），即（16，12）或（﹣16，﹣12），
故选：D．
9．若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．
解：∵反比例函数的解析式为y＝（a为常数），
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，
∴A在第三象限内，B、C在第一象限内，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF＝，则正方形的边长为（ ）
A．7 B．7 C．6 D．8
【分析】过点E作EG⊥BD于点G，根据正方形的性质证明△BOF∽△BGE，可得＝，根据DE：EC＝1：3，设DE＝x，则EC＝3x，可得DC＝BC＝4x，列出方程即可求出结果．
解：如图，过点E作EG⊥BD于点G，
∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，
∴∠BOF＝∠BGE，
∵∠OBF＝∠GBE，
∴△BOF∽△BGE，
∴＝，
∵DE：EC＝1：3，
设DE＝x，则EC＝3x，
∴DC＝BC＝4x，
∴BD＝4x，DG＝GE＝x，
∴BG＝BD﹣DG＝4x﹣x＝x，
∴OB＝OD＝2x，
∴＝，
解得4x＝7，
∴BC＝4x＝7，
∴正方形的边长为7．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．如果＝，那么＝ ﹣ ．
【分析】利用比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行计算求解．
解：∵，
∴2（a+3b）＝5b，
整理，得：b＝﹣2a，
∴＝﹣，
故答案为：﹣．
12．如图是某几何体的三视图．已知主视图和左视图是两个全等的矩形，俯视图是直径等于2的圆，若矩形的长为3，宽为2，则这个几何体的体积为 3π ．
【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．
解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是1，高是3，
∴这个几何体的体积为：π×12×3＝3π．
故答案为：3π．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，M、N分别是AD、BC的中点，连接MN，则MN将矩形ABCD分成两个矩形，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 6 ．
【分析】矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长．
解：由已知得MN＝AB，MD＝AD＝BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴＝，
∵MN＝AB＝6，DM＝AD，BC＝AD，
∴AD2＝AB2，
∴由AB＝6得，AD＝6，
故答案为：6．
14．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为 16 最合适．
【分析】设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，利用每天销售这种商品的利润＝每件的销售利润×日销售量（日进货量），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润”，即可得出每件商品的售价定为16元最为合适．
解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，
∴x＝16．
∴每件商品的售价定为16元最为合适．
故答案为：16．
15．如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y＝（k1＜0）的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y＝（k2＞0）的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB∥y轴，BD＝2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为 ﹣4 ．
【分析】设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，根据矩形的性质得出S矩形ABFC＝2S△ABC＝12，由反比例函数比例系数k的几何意义得出S矩形ABOE+S矩形EOFC＝|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝12 ①．根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，那么OB＝2EC，由此可设C（x，），则A（﹣2x，﹣），根据AC∥x轴，得出＝﹣，即k1＝﹣2k2②，把②代入①，求出k2＝4，再求出k1＝﹣8，进而得出结论．
解：如图，设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，
则S矩形ABFC＝2S△ABC＝12，
∴S矩形ABOE+S矩形EOFC＝|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝12 ①．
∵AC∥BF，
∴＝＝，
∴OB＝2EC，
∴可设C（x，），则A（﹣2x，﹣），
∵AC∥x轴，
∴＝﹣，
∴k1＝﹣2k2②，
把②代入①，得2k2+k2＝12，
∴k2＝4，
∴k1＝﹣8，
∴k1+k2＝﹣8+4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，若EC平分∠BED，∠BED＝2∠D，则cos∠ABE＝ ．
【分析】在BF上取一点G，连接AG，使∠GAB＝∠AEB，作AF⊥BE于点F，设BE＝m，BA＝x，∠ABE＝α，先证明△GBA∽△ABE，推得BA2﹣BE•BG＝0，再证明BA＝EA＝EG，得到方程x2+mx﹣m2＝0，求出该方程的一个正根就是BA的长，即可求出cos∠ABE的值．
解：如图，在BF上取一点G，连接AG，使∠GAB＝∠AEB，作AF⊥BE于点F，设BE＝m，BA＝x，∠ABE＝α，
∵∠GBA＝∠ABE，
∴△GBA∽△ABE，
∴，
∴BA2﹣BE•BG＝0，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠EBC＝∠GAB＝α，
∴BA＝EA＝x，BF＝EF＝m，∠AGE＝∠ABE+∠GAB＝2α，
∵∠BEC＝∠CED，
∴∠BED＝2∠BEC＝2∠CED，
∵∠BED＝2∠D，
∴2∠BEC＝2∠CED＝2∠D，
∵∠D＝∠ABC＝2α，
∴∠BEC＝∠CED＝∠D＝2α，
∴∠AGE＝∠BEC，
∴AG∥EC，
∴∠GAE＝∠CED，
∴∠AGE＝∠GAE，
∴EG＝EA＝x，
∴BG＝m﹣x，
∴x2﹣m（m﹣x）＝0，
整理得x2+mx﹣m2＝0，
解得x1＝m，x2＝m（不符合题意，舍去），
∴BA＝m，
∵∠AFB＝90°，
∴cos∠ABE＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，计72分，解答应写出规范过程）
17．解方程：（x﹣3）（x+7）＝﹣9．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：方程整理得：x2+4x﹣12＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣6．
18．先化简，再求值：（﹣x﹣1），其中x＝4．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后求出答案即可．
解：原式＝•
＝•
＝•
＝﹣，
当x＝4时，原式＝﹣＝﹣3．
19．在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】直接利用角平分线的作法得出∠ABC的平分线进而得出答案．
解：如图所示：△ABC∽△BDC．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形．
【解答】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0．
（1）若这个一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足x12+x22+x1x2＝7，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣3m）≥0，求出不等式的解集即可；
（2）将x12+x22+x1x2转化为3m2+7m+1＝7，再代入计算即可解答．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣3m）＝16m+1≥0，
解得：m≥﹣，
即m的取值范围是m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2﹣3m，
∴x12+x22+x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+x1x2＝（2m+1）2﹣（m2﹣3m）＝3m2+7m+1，
∵x12+x22+x1x2＝7，
∴3m2+7m+1＝7，即3m2+7m﹣6＝0，
解得m＝﹣3或m＝．
∵m≥﹣；
∴m＝．
故m的值为．
22．2021年第十四届全国运动会在陕西省西安市举行，吉祥物“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”深受大家的喜欢，组委会现将四张正面分别印有以上4个吉样物图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念，将这4张明信片背面朝上，洗匀．
（1）若小杰从中随机抽取1张，抽得得明信片上的图案恰好为“金金”的概率是 ．
（2）若小杰先从中随机抽取1张，小丽再从剩余的明信片中随机抽取1张，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“金金”的概率是，
故答案为：；
（2）把“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”4个吉样物图案的卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的有2种，
则两人抽取的明信片图案恰好一个是“金金”，一个是“羚羚”的概率为＝．
23．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）
【分析】延长MM′交DE于H，如图，易得HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，先证明Rt△ACD∽Rt△DHM，则根据相似三角形的性质得＝＝，再证明△ABD∽△MM′D，则利用相似比得到＝，然后利用比例性质求AB即可．
解：延长MM′交DE于H，如图，则HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，
∵CD∥HM，
∴∠ADC＝∠DMH，
∴Rt△ACD∽Rt△DHM，
∴＝＝，
∵AB∥MM′，
∴△ABD∽△MM′D，
∴＝＝，即＝，解得AB≈2.52（米）．
答：遮阳篷的宽AB是2.52米．
24．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（a，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；
（3）请直接写出不等式mx+n＜的解集．
【分析】（1）首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）设一次函数y＝﹣x+7的图象与x轴相交于C点，根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求解；
（3）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）把点A（2，6）代入y＝得k＝12．
∴反比例函数表达式为y＝．
把点B（a，1）的坐标代入y＝得a＝12．
∴B点坐标为（12，1）．
把A（2，6）、B（12，1）代入y＝mx+n得，
解得．
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+7．
（2）设一次函数y＝﹣x+7的图象与x轴相交于C点．
则C点坐标为（14，0）．
∴OC＝14．
∵A点坐标为（2，6），
∴A点到x轴的距离为6．即△AOC的高为6，
∴△AOC的面积为：×14×6＝42．
∵B点坐标为（12，1），
∴B点到x轴的距离为1．即△BOC的高为6．
∴△BOC的面积为：×14×1＝7．
∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC，
∴S△AOB＝42﹣7＝35；
（3）由图象得，不等式mx+n＜的解集为0＜x＜2或x＞12．
25．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，AC＝3，则线段CH的长度为 ．
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点F为CD边的中点，点E是BC边上的一点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，BC＝6，CD＝2，求线段EF的长．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，∠C＝90°，点M，N是BC边上的两点，连接AM，AN，BD，BD交AM于点E，交AN于点F．若∠MAN＝30°，BE＝4，DF＝6，求△AMN的面积．
【分析】（1）先根据勾股定理计算BC＝5，根据面积法可得高AH的长，最后由勾股定理可得CH的长；
（2）作辅助线构建全等三角形，证明△ABE≌△ADG（ASA），得DG＝BE，AG＝AE，再证明△EAF≌△GAF（SAS），得EF＝FG，设BE＝x，根据勾股定理列方程可得结论；
（3）如图③，过点A作AO⊥BD于O，设AO＝a，则OB＝OD＝a，证明△AFE∽△BFA，列比例式并综合勾股定理列方程可得a的值，分两种情况计算可得AM和MN的长，最后根据三角形面积公式可得答案．
解：（1）如图①，∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝5，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AH，
∴×3×4＝×5AH，
∴AH＝，
由勾股定理得：CH＝＝＝，
故答案为：；
（2）如图②，过点A作AE⊥AG，交CD的延长线于点G，
∴∠EAG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠C＝90°，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴DG＝BE，AG＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠GAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵F是CD的中点，且CD＝2，
∴DF＝CF＝1，
设BE＝x，则DG＝x，EF＝FG＝x+1，EC＝6﹣x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝EC2+CF2，
∴（x+1）2＝12+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴EF＝x+1＝+1＝；
（3）如图③，过点A作AO⊥BD于O，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵AB＝AD，
∴∠ABF＝∠ADF＝30°，
∴AB＝AD＝2AO，
设AO＝a，则OB＝OD＝a，
∵BE＝4，DF＝6，
∴BF＝2a﹣6，EF＝2a﹣4﹣6＝2a﹣10，
∵∠EAF＝∠ABF＝30°，∠AFE＝∠AFB，
∴△AFE∽△BFA，
∴＝，
∴AF2＝BF•EF＝（2a﹣6）（2a﹣10），
∵AF2＝AO2+OF2，
∴a2+（a﹣6）2＝（2a﹣6）（2a﹣10），
2a2﹣5a+6＝0，
解得：a1＝2，a2＝，
当a＝2时，OD＝a＝×＝6，此时O与F重合，如图1所示，
∴BF＝DF＝6，
∴EF＝2，
Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴AE＝2EF＝4＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵∠ABM＝60°，
∴∠AMB＝90°，∠MBE＝30°，
∴EM＝2，
∴AM＝4+2＝6，
∴MN＝＝2，
∴△AMN的面积＝AM•MN＝×6×2＝6；
当a＝时，OA＝，OB＝OD＝，
∴BD＝OB+OD＝3＜4+6＝10，
此种情况不成立，
∴△AMN的面积6．
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