广东省河源市紫金县2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷(word版含答案)

这是一份广东省河源市紫金县2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷(word版含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广东省河源市紫金县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2+x3＝0 B．（3x﹣1）（3x+1）＝3
C．x2﹣2x＝x2 D．2x﹣3y+1＝0
2．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
3．下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
4．同时掷两枚质地均匀的硬币一次，两枚硬币都是正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝11 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣4）2＝23 D．（x+4）2＝23
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4
7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
8．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．2500x2＝3600
B．2500（1+x）2＝3600
C．2500（1+x%）2＝3600
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
9．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB上的点C′上，且GE＝GC′，若DE＝3，AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）

A．4 B．3 C．4.5 D．5
10．正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．已知菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，则它的面积是 　 　cm2．
12．经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是 　 　．
13．已知m是关于x的方程3x2+6x﹣9＝0的一个根，则m2+2m＝　 　．
14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 　 　度．

15．已知x＝1是方程2x2﹣5x+k＝0的一个根，则方程的另一根是 　 　．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　．

17．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，其中x1＞x2，则x1*x2＝　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分
18．解方程：x2﹣7x+10＝0．
19．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长．

20．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“历”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为　 　．
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率．
22．关于x的方程x2+（2a﹣3）x+a2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝x1•x2，求a的值．
23．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC＝∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分.
24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 　 　件，每件盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
25．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．



参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2+x3＝0 B．（3x﹣1）（3x+1）＝3
C．x2﹣2x＝x2 D．2x﹣3y+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．整理，得﹣2x＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（1）×（﹣3）＝13＞0，
∴方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．同时掷两枚质地均匀的硬币一次，两枚硬币都是正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．
解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，
两枚硬币都是正面朝上的占一种，
所以两枚硬币都是正面朝上的概率＝．
故选：D．
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝11 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣4）2＝23 D．（x+4）2＝23
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．
解：方程x2﹣4x﹣7＝0，变形得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝11，即（x﹣2）2＝11，
故选：A．
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．

7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
解：设红球有x个，根据题意得，
4：（4+x）＝1：5，
解得x＝16．
故选：A．
8．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．2500x2＝3600
B．2500（1+x）2＝3600
C．2500（1+x%）2＝3600
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，然后用x表示2008年的投入，再根据“2008年投入3600万元”可得出方程．
解：依题意得2008年的投入为2500（1+x）2，
∴2500（1+x）2＝3600．
故选：B．
9．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB上的点C′上，且GE＝GC′，若DE＝3，AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）

A．4 B．3 C．4.5 D．5
【分析】由矩形的性质可得∠A＝∠D，由折叠的性质可得D'E＝DE＝3，∠D＝∠D'，C'F＝CF＝9﹣BF，易证得△AC'G≌△D'EG，从而得AC'＝D'E＝3，从而可求得BC'＝3，利用勾股定理即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠B＝90°，
由折叠性质可得：D'E＝DE＝3，∠D＝∠D'，C'F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在△AC'G与△D'EG中，
，
∴△AC'G≌△D'EG（AAS），
∴AC'＝D'E＝3，
∴BC'＝AB﹣AC'＝3，
在Rt△BC'F中，C'F2＝BF2+BC'2，
则（9﹣BF）2＝BF2+32，
解得：BF＝4．
故选：A．
10．正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【分析】①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF＝BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP＝AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP＝∠EPF，再由∠EPF＝∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．
解：①∵∠EPF+∠APB＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠EPF＝∠BAP．
在△EPF和△BAP中，有，
∴△EPF≌△BAP（AAS），
∴EF＝BP，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EC＝EF＝BP，即①成立；
②无法证出AP＝AM；
③∵FG∥EC，
∴∠GFP＝∠EPF，
又∵∠EPF＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠GFP，即③成立；
④由①可知EC＝BP，
在Rt△ABP中，AB2+BP2＝AP2，
∵PA＝PF，且∠APF＝90°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF2＝AP2+FP2＝2AP2，
∴AB2+BP2＝AB2+CE2＝AP2＝AF2，即④成立；
⑤由④可知：AB2+CE2＝AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，即⑤成立．
故成立的结论有①③④⑤．
故选：D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．已知菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，则它的面积是 　6　cm2．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
解：由已知得，菱形的面积为3×4÷2＝6cm2．
故答案为6cm2．
12．经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是 　　．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两辆汽车经过该十字路口都直行的结果数．然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两辆汽车都直行的结果数为1，
所以则两辆汽车都直行的概率为，
故答案为：．

13．已知m是关于x的方程3x2+6x﹣9＝0的一个根，则m2+2m＝　3　．
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到3（m2+2m）＝9，然后利用整体代入的方法计算m2+2m的值．
解：把x＝m代入方程3x2+6x﹣9＝0，得3m2+6m﹣9＝0，
所以3m2+6m＝9，
所以m2+2m＝3．
故答案为：3．
14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 　64　度．

【分析】根据菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，得到∠CBD＝∠BDC＝∠ADB，利用外角性质可得．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，
∴∠CBD＝∠BDC＝32°，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°，
故答案为：64．
15．已知x＝1是方程2x2﹣5x+k＝0的一个根，则方程的另一根是 　　．
【分析】设方程另一个根为x2，根据根与系数的关系得1+x2＝，然后解方程即可．
解：设方程另一个根为x2，根据题意得1+x2＝，
解得x2＝．
故答案为：．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 　　．

【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
17．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，其中x1＞x2，则x1*x2＝　3或2　．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x＝4或x＝2，则x1＝3，x2＝2或x1＝2，x2＝3，然后利用新定义计算x1*x2．
解：解方程x2﹣5x+6＝0得x＝3或x＝2，
当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；
当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝2×3﹣22＝2．
故答案为：3或2．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分
18．解方程：x2﹣7x+10＝0．
【分析】把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5．
19．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长．

【分析】利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
解：∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴AB＝BC，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝3，
∴BC＝AB＝＝5，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+5+8＝18．
20．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“历”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为　　．
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“历城”的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为，
故答案为：；

（2）列表如下：

书
香
历
城
书

（书，香）
（书，历）
（书，城）
香
（香，书）

（香，历）
（香，城）
历
（历，书）
（历，香）

（历，城）
城
（城，书）
（城，香）
（城，历）

共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“历城”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率＝＝．
22．关于x的方程x2+（2a﹣3）x+a2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝x1•x2，求a的值．
【分析】（1）根据“有两个不等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系解答．
解：（1）∵有两个不等的实数根，
∴Δ＝（2a﹣3）2﹣4a2＞0，
整理得：9﹣12a＞0，
解得：a，
即a的取值范围为：a；
（2）根据题意得：
x1+x2＝3﹣2a，x1x2＝a2，
由x1+x2＝x1•x2得到：3﹣2a＝a2，
整理，得（a+3）（a﹣1）＝0．
解得a1＝﹣3，a2＝1（舍去）．
故a的值是﹣3．
23．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC＝∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．

【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC，再由EA＝EC可得△EAC是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一的性质可得DO⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证出结论；
（2）首先根据角的关系证明AO＝DO，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论．
【解答】证明；（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，
∵EA＝EC，
∴EO⊥AC，
即BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵∠1＝∠EAD+∠AED，∠DAC＝∠EAD+∠AED，
∴∠1＝∠DAC，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，DB＝2DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分.
24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 　（20+2x）　件，每件盈利 　（40﹣x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出相应的代数式即可；
（2）根据题意列出方程，即每件童装的利润×销售量＝总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；
（3）根据题意列出方程进行求解即可．
解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，
每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）由题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；
（3）不可能，理由如下：
依题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，
整理得：x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
25．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）欲证明PC＝PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；
（2）利用“8字型”证明角相等即可解决问题；
（3）首先证明△ABP≌△CBP（SAS）推出PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC＝CE，即可解决问题；
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°；

（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，∴PC＝PE，
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DEP，∴∠DCP＝∠DEP，
∵∠CFP＝∠EFD，∴∠CPF＝∠EDF
∵∠ABC＝∠ADC＝120°，
∴∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE；