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2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）以下点在第二象限的是（ ）
A．（0，0） B．（3，﹣5） C．（﹣1，9） D．（﹣2，﹣1）
2．（3分）要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
3．（3分）在实数，π，，，﹣1.626626662…中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）下列根式中最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．32，42，52 C．1，， D．7，24，26
6．（3分）一等腰三角形，腰长10cm，底长16cm，则底边上的高是（ ）
A．8cm B．6cm C．10cm D．12cm
7．（3分）已知实数x，y满足+（y﹣3）2＝0，则经过点（x，y）的直线表达式可能是（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x﹣4 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣2
8．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小： ﹣2．（填＞、＝或＜）
10．（3分）点A（x1，y1）（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的两个点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是 ．
11．（3分）一次函数y＝﹣2x+b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝ ．
12．（3分）如图，点A表示的数为3，过点A作AB⊥OA于点A，且AB＝2，以O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数是 ．
13．（3分）已知点M（2，5），N（0，1），点P在x轴上，且PM+PN最短，则P的坐标是 ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：2+9+|2|﹣．
15．（5分）计算：（）×﹣6．
16．（5分）已知点A（m﹣2，5）和B（3，n+4），A，B两点关于y轴对称，求m﹣n的值．
17．（5分）已知一个正数x的两个平方根分别为a+1和a﹣5，求x﹣1的立方根．
18．（5分）已知点（m+1，2m﹣3）到两坐标距离相等，求m的值．
19．（5分）如图，在树干的顶部A和地面B、C两点处引两条绳子AB，AC，已知树干AD的长为12m，BD的长为5m，DC的长为16m，AD⊥BC，求绳子总长．
20．（5分）某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，如界油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间是一次函数关系，请求出这个一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．
21．（6分）做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．
22．（7分）如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？
23．（7分）已知一次函数y＝﹣3x+6，完成下列问题．
（1）在如下的平面直角坐标系中画出函数图象并求出与x轴的交点坐标．
（2）根据图象回答：当x 时，y＞3．
24．（8分）如图△ABC在正方形网格中，网格每一小格长度为1，若A（﹣1，4）．按要求回答下列问题．
（1）在图中建立平面直角坐标系，并写出B和C的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．
26．（10分）阅读材料
研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．
问题提出
（1）如图1，直线AB与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B（6，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式．
问题解决
（2）同学通过观察发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”，如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABD＝S△BCD，则可得AO＝CO．根据上述结论，在如图3的平面直角坐标系中，M（1，6），N（4，﹣3），C（5m，m+2），若OC恰好平分四边形OMCN的面积，求点C的坐标．
2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）以下点在第二象限的是（ ）
A．（0，0） B．（3，﹣5） C．（﹣1，9） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据点在第二象限内的坐标特点解答即可．
【解答】解：A．（0，0）在原点，故本选项不合题意；
B．（3，﹣5）在第四象限，故本选项不合题意；
C．（﹣1，9）在第二象限，故本选项符合题意；
D．（﹣2，﹣1）在第三象限，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：∵3﹣x≥0，3﹣x≠0，
∴x＜3，
故选：D．
3．（3分）在实数，π，，，﹣1.626626662…中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：＝2（是有理数，不是无理数），
无理数有，π，﹣1.626626662…，共3个，
故选：C．
4．（3分）下列根式中最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．的被开方数的因数是分数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数的因数是分数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．32，42，52 C．1，， D．7，24，26
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可．
【解答】解：A、52+122＝132，是勾股数，符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、72+242≠262，不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
6．（3分）一等腰三角形，腰长10cm，底长16cm，则底边上的高是（ ）
A．8cm B．6cm C．10cm D．12cm
【分析】由等腰三角形的性质可知BD＝8cm，再利用勾股定理即可．
【解答】解：如图，∵AB＝AC＝10cm，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD＝（cm），
故选：B．
7．（3分）已知实数x，y满足+（y﹣3）2＝0，则经过点（x，y）的直线表达式可能是（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x﹣4 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣2
【分析】根据实数x，y满足+（y﹣3）2＝0可得x和y的值，再将该点代入函数解析式中即可．
【解答】解：∵实数x，y满足+（y﹣3）2＝0，
∴x＝﹣1，y＝3，
∴该点坐标为（﹣1，3），
当x＝﹣1时，y＝x+4＝3，故A项符合题意，
当x＝﹣1时，y＝x﹣4＝﹣5，故B项不符合题意，
当x＝﹣1时，y＝2x+1＝﹣1，故C项不符合题意，
当x＝﹣1时，y＝2x﹣2＝﹣4，故D项不符合题意，
故选：A．
8．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由正比例函数图象在第一、三象限可得出k＞0，由1＞0，﹣k＜0，利用一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y＝x﹣k的图象经过的象限，此题得解．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第一、三象限，
∴k＞0．
∵1＞0，﹣k＜0，
∴一次函数y＝x﹣k的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小： ＜ ﹣2．（填＞、＝或＜）
【分析】求出2＝＜，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：∵2＝＜，
∴﹣＜﹣2，
故答案为：＜．
10．（3分）点A（x1，y1）（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的两个点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是 y1＜y2 ．
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1＞x2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵点A（x1，y1）（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的两个点，且x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
11．（3分）一次函数y＝﹣2x+b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝ 1 ．
【分析】根据“左加右减”的原则得到y＝﹣2x+b+3．然后代入点（2，0）即可求得b的值．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知：直线y＝﹣2x+b向上平移3个单位后，其直线解析式为y＝﹣2x+b+3，
∵平移后的直线经过点（2，0），
∴﹣2×2+3+b＝0，
解得b＝1，
故答案为：1．
12．（3分）如图，点A表示的数为3，过点A作AB⊥OA于点A，且AB＝2，以O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数是 ．
【分析】根据勾股定理可得OB的长度，再根据圆的半径特性可知OC＝OB，即可表求解点C所表示的数．
【解答】解：由题意得，OA＝3，AB＝2，
∴勾股定理可知OB＝，
∵以O为圆心，OB长为半径作弧，
∴OC＝OB＝，
∴点C表示的数是．
故答案为：．
13．（3分）已知点M（2，5），N（0，1），点P在x轴上，且PM+PN最短，则P的坐标是 （，0） ．
【分析】作N点关于x轴的对称点N'，连接N'M与x轴于点P，此时PM+PN最短，求出直线N'M的解析式为y＝3x﹣1，即可求P点坐标．
【解答】解：作N点关于x轴的对称点N'，连接N'M与x轴于点P，
∴NP+PM＝N'P+PM＝N'M，此时PM+PN最短，
∵N（0，1），
∴N'（0，﹣1），
∵M（2，5），
设直线N'M的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝3x﹣1，
当y＝0时，x＝，
∴P（，0），
故答案为：（，0）．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：2+9+|2|﹣．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝2×2+9×+4﹣2﹣4
＝4+3+4﹣2﹣4
＝4+．
15．（5分）计算：（）×﹣6．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝（4﹣2）×﹣3
＝4﹣2﹣3
＝4﹣6﹣3
＝4﹣9．
16．（5分）已知点A（m﹣2，5）和B（3，n+4），A，B两点关于y轴对称，求m﹣n的值．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m﹣2，5）和B（3，n+4）两点关于y轴对称，
∴m﹣2＝﹣3，n+4＝5，
解得m＝﹣1，n＝1，
∴m﹣n＝﹣1﹣1＝﹣2．
17．（5分）已知一个正数x的两个平方根分别为a+1和a﹣5，求x﹣1的立方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得：a+1+a﹣5＝0．
∴a＝2．
∴a+1＝2+1＝3．
∴x＝9．
∴x﹣1＝9﹣1＝8．
∴x﹣1的立方根为2．
18．（5分）已知点（m+1，2m﹣3）到两坐标距离相等，求m的值．
【分析】点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求出m的值．
【解答】解：∵点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，
∴分以下两种情况考虑：
①横纵坐标相等时，
即m+1＝2m﹣3，
解得m＝4，
②横纵坐标互为相反数时，
即（m+1）+（2m﹣3）＝0，
解得m＝，
答：m的值是4或．
19．（5分）如图，在树干的顶部A和地面B、C两点处引两条绳子AB，AC，已知树干AD的长为12m，BD的长为5m，DC的长为16m，AD⊥BC，求绳子总长．
【分析】分别根据勾股定理求出AB及AC的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝12m，BD＝5m，DC＝16m，
∴在Rt△ABD中，AB＝＝＝13（m）；
在Rt△AD中，AC＝＝＝20（m），
∴钢丝线的总长＝AB+AC＝13+20＝33（m）．
答：钢丝的总长等于33m．
20．（5分）某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，如界油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间是一次函数关系，请求出这个一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【分析】先设出油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝kx+b，然后根据汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，可以得到关于k和b的二元一次方程组，然后求出k、b的值，即可写出y和x的函数关系式，再令y＝0求出x的值，即可写出x的取值范围．
【解答】解：设油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝kx+b，
由题意可得，
解得，
∴y＝﹣0.1x+55，
当y＝0时，0＝﹣0.1x+55，得x＝550，
即油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝﹣0.1x+55（0≤x≤550）．
21．（6分）做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】证明：根据题意得，（a+b）2＝4×ab+c2
整理，得a2+2ab+b2＝2ab+c2．
所以a2+b2＝c2．
22．（7分）如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？
【分析】如图，将容器侧面展开，连接AB，则AB即为最短距离．过B作BC⊥AD于C，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：如图，将容器侧面展开，连接AB，则AB即为最短距离．
∵圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，
∴AD＝0.8m，DE＝2.4m，
过B作BC⊥AD于C，
则∠BCD＝90°，
∵四边形ACEF是矩形，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠CAF＝∠BFA＝90°，
∴四边形BCDE和四边形ACBF是矩形，
∴CD＝BE＝0.1m，BC＝DE＝2.4m，
∴AC＝AD﹣CD＝0.7m，
在直角△ABC中，
AB＝＝＝2.5（m）．
答：壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m．
23．（7分）已知一次函数y＝﹣3x+6，完成下列问题．
（1）在如下的平面直角坐标系中画出函数图象并求出与x轴的交点坐标．
（2）根据图象回答：当x ＜1 时，y＞3．
【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图形即可，解方程即可得到结论；
（2）根据图象即可得到答案．
【解答】解：（1）如图，当y＝0，即﹣3x+6＝0，
解得，x＝2，
∴函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）；
（2）由图象知：当x＜1时，y＞3．
故答案为：＜1．
24．（8分）如图△ABC在正方形网格中，网格每一小格长度为1，若A（﹣1，4）．按要求回答下列问题．
（1）在图中建立平面直角坐标系，并写出B和C的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
【分析】（1）利用A点坐标构建平面直角坐标系，然后利用坐标轴点的坐标特征写出B、C点的坐标；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，B点坐标为（﹣4，0），C点坐标为（0，2）；
（2）△ABC的面积＝4×4﹣×4×2﹣×1×2﹣×3×4＝5．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．
【分析】（1）点A的纵坐标为2，由直线l2：y＝x+1得点A的横坐标，将点A代入y＝kx﹣1，即可求解；
（2）由已知条件得出M、N两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解答】解：（1）∵直线l1和直线l2相交于点A，A点纵坐标为2，
∴x+1＝2，解得x＝1，
∴A（1，2），
代入y＝kx﹣1得，
∴2＝k﹣1，解得k＝3，
∴A（1，2），k＝3；
（2）∵k＝3，
∴直线l1：y＝3x﹣1，
直线l1：y＝3x﹣1和直线l2：y＝x+1中，令x＝0，则y＝﹣1与与y＝1，
∴B（0，﹣1），D（0，1），
∴BD＝2，
设M（a，a+1），由MN∥y轴，得N（a，0），
MN＝|a+1|＝2BD＝4，
解得a＝3或a＝﹣5，
∴M（3，4）或M（﹣5，﹣4）．
26．（10分）阅读材料
研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．
问题提出
（1）如图1，直线AB与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B（6，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式．
问题解决
（2）同学通过观察发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”，如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABD＝S△BCD，则可得AO＝CO．根据上述结论，在如图3的平面直角坐标系中，M（1，6），N（4，﹣3），C（5m，m+2），若OC恰好平分四边形OMCN的面积，求点C的坐标．
【分析】（1）先判断出直线L过线段AB的中点，再求出线段AB的中点，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）借助（1）的结论判断出直线OC过线段AB的中点，进而求出直线OC的解析式，最后将点C坐标代入即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线L将△ABO分成面积相等的两部分，
∴直线L必过线段AB的中点，
设线段AB的中点为E，
∵A（0，4），B（6，0），
∴E（，），
∴E（3，2），
∵直线L过原点，
∴设直线L的解析式为y＝kx，
∴3k＝2，
∴k＝，
∴直线L的解析式为y＝x；
（2）如图3，由（1）知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点，
∵OC恰好平分四边形OMCN的面积，
∴OC过四边形OMCN的对角线AB的中点，
连接MN，设线段MN的中点为H，
∵M（1，6），N（4，﹣3），
∴H（，），设直线OC的解析式为y＝k'x，
∴k'＝，
∴k'＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
∵点C（5m，m+2）在直线OC上，
∴m+2＝×5m，
∴m＝1，
∴C（5，3）．
2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）以下点在第二象限的是（ ）
A．（0，0） B．（3，﹣5） C．（﹣1，9） D．（﹣2，﹣1）
2．（3分）要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
3．（3分）在实数，π，，，﹣1.626626662…中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）下列根式中最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．32，42，52 C．1，， D．7，24，26
6．（3分）一等腰三角形，腰长10cm，底长16cm，则底边上的高是（ ）
A．8cm B．6cm C．10cm D．12cm
7．（3分）已知实数x，y满足+（y﹣3）2＝0，则经过点（x，y）的直线表达式可能是（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x﹣4 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣2
8．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小： ﹣2．（填＞、＝或＜）
10．（3分）点A（x1，y1）（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的两个点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是 ．
11．（3分）一次函数y＝﹣2x+b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝ ．
12．（3分）如图，点A表示的数为3，过点A作AB⊥OA于点A，且AB＝2，以O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数是 ．
13．（3分）已知点M（2，5），N（0，1），点P在x轴上，且PM+PN最短，则P的坐标是 ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：2+9+|2|﹣．
15．（5分）计算：（）×﹣6．
16．（5分）已知点A（m﹣2，5）和B（3，n+4），A，B两点关于y轴对称，求m﹣n的值．
17．（5分）已知一个正数x的两个平方根分别为a+1和a﹣5，求x﹣1的立方根．
18．（5分）已知点（m+1，2m﹣3）到两坐标距离相等，求m的值．
19．（5分）如图，在树干的顶部A和地面B、C两点处引两条绳子AB，AC，已知树干AD的长为12m，BD的长为5m，DC的长为16m，AD⊥BC，求绳子总长．
20．（5分）某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，如界油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间是一次函数关系，请求出这个一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．
21．（6分）做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．
22．（7分）如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？
23．（7分）已知一次函数y＝﹣3x+6，完成下列问题．
（1）在如下的平面直角坐标系中画出函数图象并求出与x轴的交点坐标．
（2）根据图象回答：当x 时，y＞3．
24．（8分）如图△ABC在正方形网格中，网格每一小格长度为1，若A（﹣1，4）．按要求回答下列问题．
（1）在图中建立平面直角坐标系，并写出B和C的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．
26．（10分）阅读材料
研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．
问题提出
（1）如图1，直线AB与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B（6，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式．
问题解决
（2）同学通过观察发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”，如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABD＝S△BCD，则可得AO＝CO．根据上述结论，在如图3的平面直角坐标系中，M（1，6），N（4，﹣3），C（5m，m+2），若OC恰好平分四边形OMCN的面积，求点C的坐标．
2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）以下点在第二象限的是（ ）
A．（0，0） B．（3，﹣5） C．（﹣1，9） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据点在第二象限内的坐标特点解答即可．
【解答】解：A．（0，0）在原点，故本选项不合题意；
B．（3，﹣5）在第四象限，故本选项不合题意；
C．（﹣1，9）在第二象限，故本选项符合题意；
D．（﹣2，﹣1）在第三象限，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：∵3﹣x≥0，3﹣x≠0，
∴x＜3，
故选：D．
3．（3分）在实数，π，，，﹣1.626626662…中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：＝2（是有理数，不是无理数），
无理数有，π，﹣1.626626662…，共3个，
故选：C．
4．（3分）下列根式中最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．的被开方数的因数是分数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数的因数是分数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．32，42，52 C．1，， D．7，24，26
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可．
【解答】解：A、52+122＝132，是勾股数，符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、72+242≠262，不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
6．（3分）一等腰三角形，腰长10cm，底长16cm，则底边上的高是（ ）
A．8cm B．6cm C．10cm D．12cm
【分析】由等腰三角形的性质可知BD＝8cm，再利用勾股定理即可．
【解答】解：如图，∵AB＝AC＝10cm，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD＝（cm），
故选：B．
7．（3分）已知实数x，y满足+（y﹣3）2＝0，则经过点（x，y）的直线表达式可能是（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x﹣4 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣2
【分析】根据实数x，y满足+（y﹣3）2＝0可得x和y的值，再将该点代入函数解析式中即可．
【解答】解：∵实数x，y满足+（y﹣3）2＝0，
∴x＝﹣1，y＝3，
∴该点坐标为（﹣1，3），
当x＝﹣1时，y＝x+4＝3，故A项符合题意，
当x＝﹣1时，y＝x﹣4＝﹣5，故B项不符合题意，
当x＝﹣1时，y＝2x+1＝﹣1，故C项不符合题意，
当x＝﹣1时，y＝2x﹣2＝﹣4，故D项不符合题意，
故选：A．
8．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由正比例函数图象在第一、三象限可得出k＞0，由1＞0，﹣k＜0，利用一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y＝x﹣k的图象经过的象限，此题得解．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第一、三象限，
∴k＞0．
∵1＞0，﹣k＜0，
∴一次函数y＝x﹣k的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小： ＜ ﹣2．（填＞、＝或＜）
【分析】求出2＝＜，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：∵2＝＜，
∴﹣＜﹣2，
故答案为：＜．
10．（3分）点A（x1，y1）（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的两个点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是 y1＜y2 ．
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1＞x2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵点A（x1，y1）（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的两个点，且x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
11．（3分）一次函数y＝﹣2x+b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝ 1 ．
【分析】根据“左加右减”的原则得到y＝﹣2x+b+3．然后代入点（2，0）即可求得b的值．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知：直线y＝﹣2x+b向上平移3个单位后，其直线解析式为y＝﹣2x+b+3，
∵平移后的直线经过点（2，0），
∴﹣2×2+3+b＝0，
解得b＝1，
故答案为：1．
12．（3分）如图，点A表示的数为3，过点A作AB⊥OA于点A，且AB＝2，以O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数是 ．
【分析】根据勾股定理可得OB的长度，再根据圆的半径特性可知OC＝OB，即可表求解点C所表示的数．
【解答】解：由题意得，OA＝3，AB＝2，
∴勾股定理可知OB＝，
∵以O为圆心，OB长为半径作弧，
∴OC＝OB＝，
∴点C表示的数是．
故答案为：．
13．（3分）已知点M（2，5），N（0，1），点P在x轴上，且PM+PN最短，则P的坐标是 （，0） ．
【分析】作N点关于x轴的对称点N'，连接N'M与x轴于点P，此时PM+PN最短，求出直线N'M的解析式为y＝3x﹣1，即可求P点坐标．
【解答】解：作N点关于x轴的对称点N'，连接N'M与x轴于点P，
∴NP+PM＝N'P+PM＝N'M，此时PM+PN最短，
∵N（0，1），
∴N'（0，﹣1），
∵M（2，5），
设直线N'M的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝3x﹣1，
当y＝0时，x＝，
∴P（，0），
故答案为：（，0）．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：2+9+|2|﹣．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝2×2+9×+4﹣2﹣4
＝4+3+4﹣2﹣4
＝4+．
15．（5分）计算：（）×﹣6．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝（4﹣2）×﹣3
＝4﹣2﹣3
＝4﹣6﹣3
＝4﹣9．
16．（5分）已知点A（m﹣2，5）和B（3，n+4），A，B两点关于y轴对称，求m﹣n的值．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m﹣2，5）和B（3，n+4）两点关于y轴对称，
∴m﹣2＝﹣3，n+4＝5，
解得m＝﹣1，n＝1，
∴m﹣n＝﹣1﹣1＝﹣2．
17．（5分）已知一个正数x的两个平方根分别为a+1和a﹣5，求x﹣1的立方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得：a+1+a﹣5＝0．
∴a＝2．
∴a+1＝2+1＝3．
∴x＝9．
∴x﹣1＝9﹣1＝8．
∴x﹣1的立方根为2．
18．（5分）已知点（m+1，2m﹣3）到两坐标距离相等，求m的值．
【分析】点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求出m的值．
【解答】解：∵点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，
∴分以下两种情况考虑：
①横纵坐标相等时，
即m+1＝2m﹣3，
解得m＝4，
②横纵坐标互为相反数时，
即（m+1）+（2m﹣3）＝0，
解得m＝，
答：m的值是4或．
19．（5分）如图，在树干的顶部A和地面B、C两点处引两条绳子AB，AC，已知树干AD的长为12m，BD的长为5m，DC的长为16m，AD⊥BC，求绳子总长．
【分析】分别根据勾股定理求出AB及AC的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝12m，BD＝5m，DC＝16m，
∴在Rt△ABD中，AB＝＝＝13（m）；
在Rt△AD中，AC＝＝＝20（m），
∴钢丝线的总长＝AB+AC＝13+20＝33（m）．
答：钢丝的总长等于33m．
20．（5分）某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，如界油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间是一次函数关系，请求出这个一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【分析】先设出油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝kx+b，然后根据汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，可以得到关于k和b的二元一次方程组，然后求出k、b的值，即可写出y和x的函数关系式，再令y＝0求出x的值，即可写出x的取值范围．
【解答】解：设油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝kx+b，
由题意可得，
解得，
∴y＝﹣0.1x+55，
当y＝0时，0＝﹣0.1x+55，得x＝550，
即油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝﹣0.1x+55（0≤x≤550）．
21．（6分）做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】证明：根据题意得，（a+b）2＝4×ab+c2
整理，得a2+2ab+b2＝2ab+c2．
所以a2+b2＝c2．
22．（7分）如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？
【分析】如图，将容器侧面展开，连接AB，则AB即为最短距离．过B作BC⊥AD于C，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：如图，将容器侧面展开，连接AB，则AB即为最短距离．
∵圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，
∴AD＝0.8m，DE＝2.4m，
过B作BC⊥AD于C，
则∠BCD＝90°，
∵四边形ACEF是矩形，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠CAF＝∠BFA＝90°，
∴四边形BCDE和四边形ACBF是矩形，
∴CD＝BE＝0.1m，BC＝DE＝2.4m，
∴AC＝AD﹣CD＝0.7m，
在直角△ABC中，
AB＝＝＝2.5（m）．
答：壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m．
23．（7分）已知一次函数y＝﹣3x+6，完成下列问题．
（1）在如下的平面直角坐标系中画出函数图象并求出与x轴的交点坐标．
（2）根据图象回答：当x ＜1 时，y＞3．
【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图形即可，解方程即可得到结论；
（2）根据图象即可得到答案．
【解答】解：（1）如图，当y＝0，即﹣3x+6＝0，
解得，x＝2，
∴函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）；
（2）由图象知：当x＜1时，y＞3．
故答案为：＜1．
24．（8分）如图△ABC在正方形网格中，网格每一小格长度为1，若A（﹣1，4）．按要求回答下列问题．
（1）在图中建立平面直角坐标系，并写出B和C的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
【分析】（1）利用A点坐标构建平面直角坐标系，然后利用坐标轴点的坐标特征写出B、C点的坐标；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，B点坐标为（﹣4，0），C点坐标为（0，2）；
（2）△ABC的面积＝4×4﹣×4×2﹣×1×2﹣×3×4＝5．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．
【分析】（1）点A的纵坐标为2，由直线l2：y＝x+1得点A的横坐标，将点A代入y＝kx﹣1，即可求解；
（2）由已知条件得出M、N两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解答】解：（1）∵直线l1和直线l2相交于点A，A点纵坐标为2，
∴x+1＝2，解得x＝1，
∴A（1，2），
代入y＝kx﹣1得，
∴2＝k﹣1，解得k＝3，
∴A（1，2），k＝3；
（2）∵k＝3，
∴直线l1：y＝3x﹣1，
直线l1：y＝3x﹣1和直线l2：y＝x+1中，令x＝0，则y＝﹣1与与y＝1，
∴B（0，﹣1），D（0，1），
∴BD＝2，
设M（a，a+1），由MN∥y轴，得N（a，0），
MN＝|a+1|＝2BD＝4，
解得a＝3或a＝﹣5，
∴M（3，4）或M（﹣5，﹣4）．
26．（10分）阅读材料
研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．
问题提出
（1）如图1，直线AB与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B（6，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式．
问题解决
（2）同学通过观察发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”，如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABD＝S△BCD，则可得AO＝CO．根据上述结论，在如图3的平面直角坐标系中，M（1，6），N（4，﹣3），C（5m，m+2），若OC恰好平分四边形OMCN的面积，求点C的坐标．
【分析】（1）先判断出直线L过线段AB的中点，再求出线段AB的中点，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）借助（1）的结论判断出直线OC过线段AB的中点，进而求出直线OC的解析式，最后将点C坐标代入即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线L将△ABO分成面积相等的两部分，
∴直线L必过线段AB的中点，
设线段AB的中点为E，
∵A（0，4），B（6，0），
∴E（，），
∴E（3，2），
∵直线L过原点，
∴设直线L的解析式为y＝kx，
∴3k＝2，
∴k＝，
∴直线L的解析式为y＝x；
（2）如图3，由（1）知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点，
∵OC恰好平分四边形OMCN的面积，
∴OC过四边形OMCN的对角线AB的中点，
连接MN，设线段MN的中点为H，
∵M（1，6），N（4，﹣3），
∴H（，），设直线OC的解析式为y＝k'x，
∴k'＝，
∴k'＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
∵点C（5m，m+2）在直线OC上，
∴m+2＝×5m，
∴m＝1，
∴C（5，3）．
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