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2021-2022学年湖南省张家界市永定区八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年湖南省张家界市永定区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省张家界市永定区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤﹣2 C．x≠2 D．x≠﹣2
2．（3分）下列各组线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，8cm
3．（3分）新冠病毒的大小为125纳米也就是0.000000125米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×107 B．1.25×107 C．1.25×10﹣7 D．0.125×10﹣7
4．（3分）把代数式中的x、y同时扩大2倍后，代数式的值（ ）
A．扩大为原来的1倍 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
5．（3分）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
6．（3分）如图、点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后．仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC
7．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．等边对等角
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．三个角都是60°的三角形是等边三角形
8．（3分）已知关于x的方程＝的增根是x＝1，则字母a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，点D在BA的延长线上，则∠CAD为 度．
11．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为 ．
12．（3分）分式的最简公分母是 ．
13．（3分）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ cm．
14．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 ．
三、解答题（本大题共8道小题，合计58分）
15．（5分）计算：a2b（a﹣1b）﹣2．
16．（6分）解分式方程：
17．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
18．（7分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝6cm，AC＝4cm，求△AED的周长．
19．（7分）如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
20．（8分）某中学为了创设“体育校园”，准备购买A，B两种足球，在购买时发现，A种足球的单价比B种足球的单价多30元，用750元购买A种足球的个数与用600元购买B种足球的个数相同．求A，B两种足球的单价各是多少元？
21．（9分）如图，AD是△ABC的中线，分别过点C、B作AD及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．
（1）求证：△CFD≌△BED；
（2）若△ACF的面积为8，△CFD的面积为6，求△ABE的面积．
22．（10分）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC的角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝30°，∠C＝70°，则∠CAD＝ °，∠DAE＝ °；
②若∠B＝45°，∠C＝65°，则∠DAE＝ °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
2021-2022学年湖南省张家界市永定区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤﹣2 C．x≠2 D．x≠﹣2
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，根据题意解得答案．
【解答】解：∵x﹣2≠0，
∴x≠2．
故选：C．
2．（3分）下列各组线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、2+3＝5，不能够组成三角形；
B、6+5＞10，能构成三角形；
C、1+1＜3，不能构成三角形；
D、3+4＜8，不能构成三角形．
故选：B．
3．（3分）新冠病毒的大小为125纳米也就是0.000000125米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×107 B．1.25×107 C．1.25×10﹣7 D．0.125×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故选：C．
4．（3分）把代数式中的x、y同时扩大2倍后，代数式的值（ ）
A．扩大为原来的1倍 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：＝，
故选：B．
5．（3分）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB＝AC，又AD＝AD，AD⊥BC，所以△ABD≌△ACD，所以BD＝CD．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD＝CD．
故选：C．
6．（3分）如图、点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后．仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC
【分析】由平行可求得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，则需要再加一组边，再结合选项，逐个判断即可．
【解答】解：
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
∴当AB＝DE时，可利用AAS判定△ABC≌△DEF，故A能判断，故A不符合题意；
当AC＝DF时，可利用AAS判定△ABC≌△DEF，故B能判断，故B不符合题意；
当∠A＝∠D时，两三角形没有对应边相等，故C不能判断，故C符合题意；
当BF＝EC时，可得BC＝EF，利用ASA可判定△ABC≌△DEF，故D能判断，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．等边对等角
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．三个角都是60°的三角形是等边三角形
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理、线段垂直平分线的判定定理、全等三角形的判定定理、等边三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、等边对等角的逆命题是等角对等边，逆命题成立，不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，逆命题成立，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，逆命题不成立，符合题意；
D、三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是60°，逆命题成立，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）已知关于x的方程＝的增根是x＝1，则字母a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】把分式方程化为整式方程后，把x＝1代入，即可求得结果．
【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得：3x＝x+a，
把x＝1代入得：3×1＝1+a，
解得：a＝2，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
9．（3分）计算：＝ 2 ．
【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝2．故答案为2．
10．（3分）在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，点D在BA的延长线上，则∠CAD为 65 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得答案．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝25°，
∴∠CAD＝∠B+∠C＝40°+25＝65°，
故答案为：65．
11．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为 12 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝5+5+2＝12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是12．
故答案为12．
12．（3分）分式的最简公分母是 x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．
【解答】解：＝，
则最简公分母为x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
13．（3分）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ 13 cm．
【分析】由AE＝BE，DE是AB的垂线得出AD＝BD，根据SAS证明△ADF≌△BDF，即可得到AF＝BF，再根据线段的和差即可得解．
【解答】解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，
∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF＝BF，
∴AC＝AF+CF＝BF+CF，
∵BF＝10cm，CF＝3cm，
∴AC＝13cm，
故答案为：13．
14．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 3（x﹣1）＝ ．
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故答案是：3（x﹣1）＝．
三、解答题（本大题共8道小题，合计58分）
15．（5分）计算：a2b（a﹣1b）﹣2．
【分析】根据单项式乘单项式乘法法则、积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂解决此题．
【解答】解：a2b（a﹣1b）﹣2
＝a2b•a2b﹣2
＝a4b﹣1
＝．
16．（6分）解分式方程：
【分析】因为x﹣2＝﹣（2﹣x），所以有，然后按照解分式方程的步骤依次完成．
【解答】解：原方程可化为，
方程两边同乘以（2﹣x），得
x﹣1＝1﹣2（2﹣x），
解得：x＝2．
检验：当x＝2时，原分式方程的分母2﹣x＝0．
∴x＝2是增根，原分式方程无解．
17．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝a（a﹣2），
当a＝﹣1时，
原式＝﹣1×（﹣3）＝3．
18．（7分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝6cm，AC＝4cm，求△AED的周长．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质证明BA＝BC，再证明BE＝DE，AE＝DE，则AE＝AB，DE＝BC，可求出△AED的周长．
【解答】解：∵AD＝CD，BD⊥AC，
∴BA＝BC＝6，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠ADE+∠EDB＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AE＝BE＝BA＝3，
∴DE＝BC＝3，
∵AC＝4，
∴AD＝AC＝2，
∴AE+DE+AD＝3+3+2＝8（cm），
∴△AED的周长为8cm．
19．（7分）如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
【分析】由“SAS”可证△EFD≌△ABC，可得DF＝CB．
【解答】证明：∵EF∥AB，
∴∠E＝∠A，
在△EFD和△ABC中，
，
∴△EFD≌△ABC（SAS），
∴DF＝BC．
20．（8分）某中学为了创设“体育校园”，准备购买A，B两种足球，在购买时发现，A种足球的单价比B种足球的单价多30元，用750元购买A种足球的个数与用600元购买B种足球的个数相同．求A，B两种足球的单价各是多少元？
【分析】设B种足球的单价为x元，则A种足球的单价为（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用750元购买A种足球的个数与用600元购买B种足球的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种足球的单价，再将其代入（x+30）中即可求出A种足球的单价．
【解答】解：设B种足球的单价为x元，则A种足球的单价为（x+30）元，
依题意得：＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝120+30＝150．
答：A种足球的单价为150元，B种足球的单价为120元．
21．（9分）如图，AD是△ABC的中线，分别过点C、B作AD及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．
（1）求证：△CFD≌△BED；
（2）若△ACF的面积为8，△CFD的面积为6，求△ABE的面积．
【分析】（1）由AAS证明△CFD≌△BED即可；
（2）求出S△ACD＝S△ACF+S△CFD＝14，再由BD＝CD，得S△ABD＝S△ACD＝14，然后由全等三角形的性质得S△CFD＝S△BED＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AE，BE⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△CFD和△BED中，
，
∴△CFD≌△BED（AAS）；
（2）解：∵S△ACF＝8，S△CFD＝6，
∴S△ACD＝S△ACF+S△CFD＝14，
∵BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝14，
由（1）得：△CFD≌△BED，
∴S△CFD＝S△BED＝6，
∴S△ABE＝S△ABD+S△BED＝14+6＝20．
22．（10分）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC的角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝30°，∠C＝70°，则∠CAD＝ 40 °，∠DAE＝ 20 °；
②若∠B＝45°，∠C＝65°，则∠DAE＝ 10 °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理及垂直的定义即可求解；
②根据三角形的内角和定理及垂直的定义即可求解；
③根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAD＝90°﹣，根据外角的性质得出，在△EFD中，由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠CAB＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝＝40°；
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAE＝20°，
又∵∠CAD＝40°，
∴∠DAE＝20°，
故答案为：40；20；
②∵∠B＝45°，∠C＝65°，∠AEC＝90°，
∴∠BAC＝70°，∠CAE＝25°，
∴∠CAD＝＝35°，
∴∠DAE＝35°﹣25°＝10°，
故答案为：10；
③∠DAE＝，理由如下：
如图②，
在△AEC中，
∵∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠EAC＝﹣∠EAC
＝（90）﹣（90°﹣∠C）
＝；
（2），理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝﹣，
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+90°﹣
＝90°+，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣[90°+]
＝90°﹣90°﹣，
∴．
2021-2022学年湖南省张家界市永定区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤﹣2 C．x≠2 D．x≠﹣2
2．（3分）下列各组线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，8cm
3．（3分）新冠病毒的大小为125纳米也就是0.000000125米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×107 B．1.25×107 C．1.25×10﹣7 D．0.125×10﹣7
4．（3分）把代数式中的x、y同时扩大2倍后，代数式的值（ ）
A．扩大为原来的1倍 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
5．（3分）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
6．（3分）如图、点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后．仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC
7．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．等边对等角
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．三个角都是60°的三角形是等边三角形
8．（3分）已知关于x的方程＝的增根是x＝1，则字母a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，点D在BA的延长线上，则∠CAD为 度．
11．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为 ．
12．（3分）分式的最简公分母是 ．
13．（3分）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ cm．
14．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 ．
三、解答题（本大题共8道小题，合计58分）
15．（5分）计算：a2b（a﹣1b）﹣2．
16．（6分）解分式方程：
17．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
18．（7分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝6cm，AC＝4cm，求△AED的周长．
19．（7分）如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
20．（8分）某中学为了创设“体育校园”，准备购买A，B两种足球，在购买时发现，A种足球的单价比B种足球的单价多30元，用750元购买A种足球的个数与用600元购买B种足球的个数相同．求A，B两种足球的单价各是多少元？
21．（9分）如图，AD是△ABC的中线，分别过点C、B作AD及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．
（1）求证：△CFD≌△BED；
（2）若△ACF的面积为8，△CFD的面积为6，求△ABE的面积．
22．（10分）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC的角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝30°，∠C＝70°，则∠CAD＝ °，∠DAE＝ °；
②若∠B＝45°，∠C＝65°，则∠DAE＝ °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
2021-2022学年湖南省张家界市永定区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤﹣2 C．x≠2 D．x≠﹣2
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，根据题意解得答案．
【解答】解：∵x﹣2≠0，
∴x≠2．
故选：C．
2．（3分）下列各组线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、2+3＝5，不能够组成三角形；
B、6+5＞10，能构成三角形；
C、1+1＜3，不能构成三角形；
D、3+4＜8，不能构成三角形．
故选：B．
3．（3分）新冠病毒的大小为125纳米也就是0.000000125米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×107 B．1.25×107 C．1.25×10﹣7 D．0.125×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故选：C．
4．（3分）把代数式中的x、y同时扩大2倍后，代数式的值（ ）
A．扩大为原来的1倍 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：＝，
故选：B．
5．（3分）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB＝AC，又AD＝AD，AD⊥BC，所以△ABD≌△ACD，所以BD＝CD．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD＝CD．
故选：C．
6．（3分）如图、点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后．仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC
【分析】由平行可求得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，则需要再加一组边，再结合选项，逐个判断即可．
【解答】解：
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
∴当AB＝DE时，可利用AAS判定△ABC≌△DEF，故A能判断，故A不符合题意；
当AC＝DF时，可利用AAS判定△ABC≌△DEF，故B能判断，故B不符合题意；
当∠A＝∠D时，两三角形没有对应边相等，故C不能判断，故C符合题意；
当BF＝EC时，可得BC＝EF，利用ASA可判定△ABC≌△DEF，故D能判断，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．等边对等角
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．三个角都是60°的三角形是等边三角形
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理、线段垂直平分线的判定定理、全等三角形的判定定理、等边三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、等边对等角的逆命题是等角对等边，逆命题成立，不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，逆命题成立，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，逆命题不成立，符合题意；
D、三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是60°，逆命题成立，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）已知关于x的方程＝的增根是x＝1，则字母a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】把分式方程化为整式方程后，把x＝1代入，即可求得结果．
【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得：3x＝x+a，
把x＝1代入得：3×1＝1+a，
解得：a＝2，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
9．（3分）计算：＝ 2 ．
【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝2．故答案为2．
10．（3分）在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，点D在BA的延长线上，则∠CAD为 65 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得答案．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝25°，
∴∠CAD＝∠B+∠C＝40°+25＝65°，
故答案为：65．
11．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为 12 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝5+5+2＝12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是12．
故答案为12．
12．（3分）分式的最简公分母是 x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．
【解答】解：＝，
则最简公分母为x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
13．（3分）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ 13 cm．
【分析】由AE＝BE，DE是AB的垂线得出AD＝BD，根据SAS证明△ADF≌△BDF，即可得到AF＝BF，再根据线段的和差即可得解．
【解答】解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，
∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF＝BF，
∴AC＝AF+CF＝BF+CF，
∵BF＝10cm，CF＝3cm，
∴AC＝13cm，
故答案为：13．
14．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 3（x﹣1）＝ ．
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故答案是：3（x﹣1）＝．
三、解答题（本大题共8道小题，合计58分）
15．（5分）计算：a2b（a﹣1b）﹣2．
【分析】根据单项式乘单项式乘法法则、积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂解决此题．
【解答】解：a2b（a﹣1b）﹣2
＝a2b•a2b﹣2
＝a4b﹣1
＝．
16．（6分）解分式方程：
【分析】因为x﹣2＝﹣（2﹣x），所以有，然后按照解分式方程的步骤依次完成．
【解答】解：原方程可化为，
方程两边同乘以（2﹣x），得
x﹣1＝1﹣2（2﹣x），
解得：x＝2．
检验：当x＝2时，原分式方程的分母2﹣x＝0．
∴x＝2是增根，原分式方程无解．
17．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝a（a﹣2），
当a＝﹣1时，
原式＝﹣1×（﹣3）＝3．
18．（7分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝6cm，AC＝4cm，求△AED的周长．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质证明BA＝BC，再证明BE＝DE，AE＝DE，则AE＝AB，DE＝BC，可求出△AED的周长．
【解答】解：∵AD＝CD，BD⊥AC，
∴BA＝BC＝6，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠ADE+∠EDB＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AE＝BE＝BA＝3，
∴DE＝BC＝3，
∵AC＝4，
∴AD＝AC＝2，
∴AE+DE+AD＝3+3+2＝8（cm），
∴△AED的周长为8cm．
19．（7分）如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
【分析】由“SAS”可证△EFD≌△ABC，可得DF＝CB．
【解答】证明：∵EF∥AB，
∴∠E＝∠A，
在△EFD和△ABC中，
，
∴△EFD≌△ABC（SAS），
∴DF＝BC．
20．（8分）某中学为了创设“体育校园”，准备购买A，B两种足球，在购买时发现，A种足球的单价比B种足球的单价多30元，用750元购买A种足球的个数与用600元购买B种足球的个数相同．求A，B两种足球的单价各是多少元？
【分析】设B种足球的单价为x元，则A种足球的单价为（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用750元购买A种足球的个数与用600元购买B种足球的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种足球的单价，再将其代入（x+30）中即可求出A种足球的单价．
【解答】解：设B种足球的单价为x元，则A种足球的单价为（x+30）元，
依题意得：＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝120+30＝150．
答：A种足球的单价为150元，B种足球的单价为120元．
21．（9分）如图，AD是△ABC的中线，分别过点C、B作AD及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．
（1）求证：△CFD≌△BED；
（2）若△ACF的面积为8，△CFD的面积为6，求△ABE的面积．
【分析】（1）由AAS证明△CFD≌△BED即可；
（2）求出S△ACD＝S△ACF+S△CFD＝14，再由BD＝CD，得S△ABD＝S△ACD＝14，然后由全等三角形的性质得S△CFD＝S△BED＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AE，BE⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△CFD和△BED中，
，
∴△CFD≌△BED（AAS）；
（2）解：∵S△ACF＝8，S△CFD＝6，
∴S△ACD＝S△ACF+S△CFD＝14，
∵BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝14，
由（1）得：△CFD≌△BED，
∴S△CFD＝S△BED＝6，
∴S△ABE＝S△ABD+S△BED＝14+6＝20．
22．（10分）综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC的角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝30°，∠C＝70°，则∠CAD＝ 40 °，∠DAE＝ 20 °；
②若∠B＝45°，∠C＝65°，则∠DAE＝ 10 °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理及垂直的定义即可求解；
②根据三角形的内角和定理及垂直的定义即可求解；
③根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAD＝90°﹣，根据外角的性质得出，在△EFD中，由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠CAB＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝＝40°；
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAE＝20°，
又∵∠CAD＝40°，
∴∠DAE＝20°，
故答案为：40；20；
②∵∠B＝45°，∠C＝65°，∠AEC＝90°，
∴∠BAC＝70°，∠CAE＝25°，
∴∠CAD＝＝35°，
∴∠DAE＝35°﹣25°＝10°，
故答案为：10；
③∠DAE＝，理由如下：
如图②，
在△AEC中，
∵∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠EAC＝﹣∠EAC
＝（90）﹣（90°﹣∠C）
＝；
（2），理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝﹣，
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+90°﹣
＝90°+，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣[90°+]
＝90°﹣90°﹣，
∴．
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