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2021-2022学年陕西省西安市雁塔区八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年陕西省西安市雁塔区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市雁塔区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）在实数，，﹣，，，3.14，1.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列是二元一次方程的是（ ）
A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C．x﹣＝0 D．2x﹣3y＝xy
3．（3分）下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．5，12，13 C．，， D．5，6，7
4．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．正数a的算术平方根是 B．﹣9的算术平方根是3
C．27的立方根是土3 D．＝±4
5．（3分）已知点平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
7．（3分）为迎接2022年北京冬奥会，某班开展了以迎冬奥为主题的体育活动，计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件25元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣b，y随着x的增大而增大，且kb＜0，则它的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣．（填＞、＝或＜）
12．（3分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ．
13．（3分）对于非0实数a，b，则点（﹣a2﹣1，）关于x轴的对称点一定在第 象限．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
15．（3分）已知直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点，M是第一象限内的点，若△MAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则M点的坐标是 ．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE+CF的最小值是 ．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等）
三、解答题（共7小题，共52分.解答题应写出必要的过程）
17．（8分）计算：
（1）|1﹣|+（﹣）﹣1﹣+（﹣π）0；
（2）+9﹣+（）2．
18．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（6分）已知a＝2+，b＝2﹣，求下列式子的值：
（1）a2﹣3ab+b2；
（2）（a+1）（b+1）．
20．（6分）学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝15米，AC＝4米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个花园需要投资多少元？
21．（6分）某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；
（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格正方形的边长是1，已知A（﹣2，5），B（0，1），C（2，2）．
（1）画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）P为x轴上一点，且△PAB的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）点C的坐标是 ．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，连接线段MN，若MN∥x轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年陕西省西安市雁塔区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）在实数，，﹣，，，3.14，1.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）．
【解答】解：＝2，
在所列实数中，无理数有，﹣，，1.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共有4个，
故选：D．
2．（3分）下列是二元一次方程的是（ ）
A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C．x﹣＝0 D．2x﹣3y＝xy
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：A、3x﹣6＝x是一元一次方程；
B、3x＝2y是二元一次方程；
C、x﹣＝0是分式方程；
D、2x﹣3y＝xy是二元二次方程
故选：B．
3．（3分）下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．5，12，13 C．，， D．5，6，7
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、因为（）2+（）2≠（）2，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
B、因为52+122＝132，所以三条线段能组成直角三角形，符合题意；
C、因为（）2+（）2≠（）2，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
D、因为52+62≠72，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．正数a的算术平方根是 B．﹣9的算术平方根是3
C．27的立方根是土3 D．＝±4
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．正数a的算术平方根是，是正确的，因此选项A符合题意；
B．负数没有平方根，因此选项B不符合题意；
C.27的立方根是3，因此选项C不符合题意；
D.＝4，即16的算术平方根是4，因此选项D不符合题意；
故选：A．
5．（3分）已知点平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5
【分析】根据点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a+2|，即可解答．
【解答】解：∵点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，
∴4＝|2a+2|，a+2≠3
解得：a＝﹣3，
故选：A．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】先根据平移规律求出直线y＝﹣2x向上平移3个单位的直线解析式，再把点（﹣1，m）代入，即可求出m的值．
【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，得到直线y＝﹣2x+3，
把点（﹣1，m）代入，得m＝﹣2×（﹣1）+3＝5．
故选：D．
7．（3分）为迎接2022年北京冬奥会，某班开展了以迎冬奥为主题的体育活动，计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件25元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，进而可得出共有3种购买方案．
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：25x+10y＝200，
∴x＝8﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种情况．
故选：B．
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣b，y随着x的增大而增大，且kb＜0，则它的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一次函数y＝kx﹣b，y随着x的增大而增大，且kb＜0，可以得到k、b的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣b，y随着x的增大而增大，且kb＜0，
∴k＞0，b＜0，
∴﹣b＞0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，
故选：D．
9．（3分）已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
【分析】根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．
【解答】解：∵AE＝4，EB＝5，
∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，
∵∠DAE＝∠B＝90°，
∴∠DAE+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，
∵∠B＝90°，BC＝12，
∴MN＝；
当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，
MN＝AB＝9，
∴9≤MN≤15，
∴MN的长度不可能是16，
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过F作FH⊥AB于H，根据矩形的性质得到FH＝AD，设F（m，2m），求得AD＝FH＝2m，OH＝m，根据勾股定理得到OF＝＝m，根据正方形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴FH＝AD，
∵直线OF的表达式是y＝2x，
∴设F（m，2m），
∴AD＝FH＝2m，OH＝m，
∴OF＝＝m，
∵四边形OGFE是正方形，
∴OG＝OF＝m，
∴＝＝＝，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小：﹣ ＞ ﹣．（填＞、＝或＜）
【分析】根据分数的意义、平方根的定义先进行估算，再进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵（）2＝，（）2＝10，
∵＜10，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＞．
12．（3分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ﹣2 ．
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（3分）对于非0实数a，b，则点（﹣a2﹣1，）关于x轴的对称点一定在第 第三 象限．
【分析】根据a，b是非0实数，得﹣a2﹣1＜0，＞0，横坐标为负，纵坐标为正，此点在第二象限，关于x轴的对称点，横坐标为负，纵坐标为负，因此在第三象限．
【解答】解：∵a，b是非0实数，
∴﹣a2﹣1＜0，＞0，
∴此点在第二象限，
∴此点关于x轴的对称点一定在第三象限，
故答案为：第三．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
【分析】由AC＝2，B'是AC中点，得AB'＝AC＝，设BD＝x，则AD＝AB﹣BD＝2﹣x，在Rt△AB'D中，用勾股定理可得（2﹣x）2+（）2＝x2，即可解得BD＝．
【解答】解：∵AC＝2，B'是AC中点，
∴AB'＝AC＝，
设BD＝x，则AD＝AB﹣BD＝2﹣x，
∵把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，
∴B'D＝BD＝x，
在Rt△AB'D中，AD2+AB'2＝B'D2，
∴（2﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝，
∴BD＝，
故答案为：．
15．（3分）已知直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点，M是第一象限内的点，若△MAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则M点的坐标是 （3，3） ．
【分析】设M点的坐标是（x，y），由直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点得出A、B两点的坐标，根据MA＝MB，MA2+MB2＝AB2得列方程组求解即可．
【解答】解：设M点的坐标是（x，y），
∵直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴MA＝，MB＝，
∵△MAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴MA＝MB，MA2+MB2＝AB2，
∴＝且（x﹣2）2+y2+x2+（4﹣y）2＝22+42，
解得：或（不合题意，舍去），
∴M（3，3），
故答案为：（3，3）．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE+CF的最小值是 3 ．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等）
【分析】取CD的中点G，连接CE，EG，AG，通过证明△EGD≌△CFD得到CF＝EG；根据两点之间线段最短可知：AE+CF＝AE+EG≥AG，于是得到当A，E，G三点共线时，AE+CF有最小值AG，利用勾股定理即可求得AG的长．
【解答】解：取CD的中点G，连接CE，EG，AG，如图，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵DE＝DB，
∴DE＝DC．
∵点F是DE的中点，点G是DC的中点，
∴DF＝DE，DG＝DC．
∴DF＝DG，
在△EGD和△CFD中，
，
∴△EGD≌△CFD（SAS）．
∴EG＝CF．
∴AE+CF＝AE+EG．
∵两点之间线段最短，
∴AE+EG≥AG，
∴当A，E，G三点共线时，AE+EG有最小值AG，
∴AE+CF有最小值AG，
∵BC＝4，
∴BD＝DC＝2，
∴DG＝GC＝1．
∴BG＝BD+DG＝3．
∴AG＝＝＝3．
答：AE+CF的最小值是3．
故答案为：3．
三、解答题（共7小题，共52分.解答题应写出必要的过程）
17．（8分）计算：
（1）|1﹣|+（﹣）﹣1﹣+（﹣π）0；
（2）+9﹣+（）2．
【分析】（1）利用绝对值、负整数指数幂和零指数幂的意义计算；
（2）先把各二次根式化简，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣2+1
＝﹣3﹣；
（2）原式＝5+9×﹣×2+5
＝5+﹣+5
＝5+5．
18．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
①+②×2，得11x＝﹣11，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②，得y＝2，
故方程组的解为；
（2）方程组整理，得，
②×2﹣①，得5x＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得6﹣2y＝6，
解得y＝0，
故方程组的解为．
19．（6分）已知a＝2+，b＝2﹣，求下列式子的值：
（1）a2﹣3ab+b2；
（2）（a+1）（b+1）．
【分析】（1）利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值；
（2）将a和b的值代入原式，然后利用平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）2﹣ab，
当a＝2+，b＝2﹣时，
原式＝[2+﹣（2﹣）]2﹣（2+）（2﹣）
＝（2+﹣2+）2﹣（4﹣6）
＝（2）2﹣（﹣2）
＝24+2
＝26；
（2）当a＝2+，b＝2﹣时，
原式＝（2++1）（2﹣+1）
＝（3+）（3﹣）
＝9﹣6
＝3．
20．（6分）学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝15米，AC＝4米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个花园需要投资多少元？
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x米，则CD＝（15﹣x）米，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AD的长，然后由三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
设BD＝x米，则CD＝（15﹣x）米，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝42﹣（15﹣x）2，
解得：x＝12.6（米），
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣12.62＝10.24（平方米），
∴AD＝3.2（米），
∴学校修建这个花园的费用为：×15×3.2×60＝1440（元），
答：学校修建这个花园需要投资1440元．
21．（6分）某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；
（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．
【分析】（1）设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝kx+b，把（1，0），（5，240）代入求解即可；
（2）把x＝3代入（1）的结论求出货车B行驶2小时时的路程，进而求出货车A的速度，然后根据“时间＝路程÷速度”列式计算即可．
【解答】解：（1）设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝kx+b，
根据题意得：
，
解得，
∴货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝60x﹣60（1≤x≤5）；
（2）当x＝3时，y＝60×3﹣60＝120，
故货车A的速度为：（240﹣120）÷3＝40（km/h），
货车A到达甲地所需时间为：240÷40＝6（小时），
6﹣5＝1（小时），
答：货车B到乙地后，货车A还需1小时到达甲地．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格正方形的边长是1，已知A（﹣2，5），B（0，1），C（2，2）．
（1）画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）P为x轴上一点，且△PAB的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C三点即可；
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
（3）结合（2）根据网格即可在x轴上找到一点P，且△PAB的面积等于△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）△ABC的面积＝4×4﹣2×4﹣1×2﹣3×4＝16﹣4﹣1﹣6＝5；
（3）如图，点P即为所求．
设点P（x，0），
∵△PAB的面积等于△ABC的面积，
∴5×|x+2|﹣1×|x|﹣2×（1+5）＝5，
解得x＝3或x＝﹣2，
∴P（3，0）或（﹣2，0）．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）点C的坐标是 （1，7） ．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，连接线段MN，若MN∥x轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）通过解方程组即可确定点C的坐标；
（2）设点M的坐标为（a，a+6），由MN∥x轴可得点N的坐标是（，a+6），根据MN＝6列方程即可求得答案；
（3）根据点M的坐标可得MC、NC、MN的值，由直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B求出OB，可得OB＝MN，分两种情况：当BP＝NC，OP＝MC时；当BP＝MC，OP＝NC时，根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点C的坐标为（1，7），
故答案为：（1，7）；
（2）∵M是直线AB上一点，
设点M的坐标为（a，a+6），
∵MN∥x轴，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，
∴a+6＝﹣2x+9，解得x＝，
∴点N的坐标是（，a+6），
∵MN＝6，
∴|﹣a|＝6，解得：a＝5或﹣3，
∴点M的坐标为（5，11）或（﹣3，3）；
（3）存在，
①点M的坐标为（﹣3，3）时，点N的坐标为（3，3），
∴MN＝6，MC＝＝，NC＝＝，
设点P的坐标为（x，y），
∵直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴B（0，6），OB＝6＝MN，
当BP＝NC，OP＝MC时；
，解得：或，
∴点P的坐标为（4，4）或（﹣4，4），
当BP＝MC，OP＝NC时，
，解得：或，
∴点P的坐标为（4，2）或（﹣4，2），
②点M的坐标为（5，11）时，点N的坐标为（﹣1，11），
∴MN＝6，MC＝＝，NC＝＝，
此时△MNC与①中的△MNC三边都对应相等，所以此时情况与①相同．
综上，点P的坐标为（4，4）或（﹣4，4）或（4，2）或（﹣4，2）．
2021-2022学年陕西省西安市雁塔区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）在实数，，﹣，，，3.14，1.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列是二元一次方程的是（ ）
A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C．x﹣＝0 D．2x﹣3y＝xy
3．（3分）下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．5，12，13 C．，， D．5，6，7
4．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．正数a的算术平方根是 B．﹣9的算术平方根是3
C．27的立方根是土3 D．＝±4
5．（3分）已知点平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
7．（3分）为迎接2022年北京冬奥会，某班开展了以迎冬奥为主题的体育活动，计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件25元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣b，y随着x的增大而增大，且kb＜0，则它的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣．（填＞、＝或＜）
12．（3分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ．
13．（3分）对于非0实数a，b，则点（﹣a2﹣1，）关于x轴的对称点一定在第 象限．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
15．（3分）已知直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点，M是第一象限内的点，若△MAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则M点的坐标是 ．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE+CF的最小值是 ．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等）
三、解答题（共7小题，共52分.解答题应写出必要的过程）
17．（8分）计算：
（1）|1﹣|+（﹣）﹣1﹣+（﹣π）0；
（2）+9﹣+（）2．
18．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（6分）已知a＝2+，b＝2﹣，求下列式子的值：
（1）a2﹣3ab+b2；
（2）（a+1）（b+1）．
20．（6分）学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝15米，AC＝4米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个花园需要投资多少元？
21．（6分）某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；
（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格正方形的边长是1，已知A（﹣2，5），B（0，1），C（2，2）．
（1）画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）P为x轴上一点，且△PAB的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）点C的坐标是 ．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，连接线段MN，若MN∥x轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年陕西省西安市雁塔区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）在实数，，﹣，，，3.14，1.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）．
【解答】解：＝2，
在所列实数中，无理数有，﹣，，1.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共有4个，
故选：D．
2．（3分）下列是二元一次方程的是（ ）
A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C．x﹣＝0 D．2x﹣3y＝xy
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：A、3x﹣6＝x是一元一次方程；
B、3x＝2y是二元一次方程；
C、x﹣＝0是分式方程；
D、2x﹣3y＝xy是二元二次方程
故选：B．
3．（3分）下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．5，12，13 C．，， D．5，6，7
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、因为（）2+（）2≠（）2，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
B、因为52+122＝132，所以三条线段能组成直角三角形，符合题意；
C、因为（）2+（）2≠（）2，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
D、因为52+62≠72，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．正数a的算术平方根是 B．﹣9的算术平方根是3
C．27的立方根是土3 D．＝±4
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．正数a的算术平方根是，是正确的，因此选项A符合题意；
B．负数没有平方根，因此选项B不符合题意；
C.27的立方根是3，因此选项C不符合题意；
D.＝4，即16的算术平方根是4，因此选项D不符合题意；
故选：A．
5．（3分）已知点平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5
【分析】根据点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a+2|，即可解答．
【解答】解：∵点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，
∴4＝|2a+2|，a+2≠3
解得：a＝﹣3，
故选：A．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】先根据平移规律求出直线y＝﹣2x向上平移3个单位的直线解析式，再把点（﹣1，m）代入，即可求出m的值．
【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，得到直线y＝﹣2x+3，
把点（﹣1，m）代入，得m＝﹣2×（﹣1）+3＝5．
故选：D．
7．（3分）为迎接2022年北京冬奥会，某班开展了以迎冬奥为主题的体育活动，计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件25元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，进而可得出共有3种购买方案．
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：25x+10y＝200，
∴x＝8﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种情况．
故选：B．
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣b，y随着x的增大而增大，且kb＜0，则它的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一次函数y＝kx﹣b，y随着x的增大而增大，且kb＜0，可以得到k、b的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣b，y随着x的增大而增大，且kb＜0，
∴k＞0，b＜0，
∴﹣b＞0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，
故选：D．
9．（3分）已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
【分析】根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．
【解答】解：∵AE＝4，EB＝5，
∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，
∵∠DAE＝∠B＝90°，
∴∠DAE+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，
∵∠B＝90°，BC＝12，
∴MN＝；
当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，
MN＝AB＝9，
∴9≤MN≤15，
∴MN的长度不可能是16，
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过F作FH⊥AB于H，根据矩形的性质得到FH＝AD，设F（m，2m），求得AD＝FH＝2m，OH＝m，根据勾股定理得到OF＝＝m，根据正方形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴FH＝AD，
∵直线OF的表达式是y＝2x，
∴设F（m，2m），
∴AD＝FH＝2m，OH＝m，
∴OF＝＝m，
∵四边形OGFE是正方形，
∴OG＝OF＝m，
∴＝＝＝，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小：﹣ ＞ ﹣．（填＞、＝或＜）
【分析】根据分数的意义、平方根的定义先进行估算，再进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵（）2＝，（）2＝10，
∵＜10，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＞．
12．（3分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ﹣2 ．
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（3分）对于非0实数a，b，则点（﹣a2﹣1，）关于x轴的对称点一定在第 第三 象限．
【分析】根据a，b是非0实数，得﹣a2﹣1＜0，＞0，横坐标为负，纵坐标为正，此点在第二象限，关于x轴的对称点，横坐标为负，纵坐标为负，因此在第三象限．
【解答】解：∵a，b是非0实数，
∴﹣a2﹣1＜0，＞0，
∴此点在第二象限，
∴此点关于x轴的对称点一定在第三象限，
故答案为：第三．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
【分析】由AC＝2，B'是AC中点，得AB'＝AC＝，设BD＝x，则AD＝AB﹣BD＝2﹣x，在Rt△AB'D中，用勾股定理可得（2﹣x）2+（）2＝x2，即可解得BD＝．
【解答】解：∵AC＝2，B'是AC中点，
∴AB'＝AC＝，
设BD＝x，则AD＝AB﹣BD＝2﹣x，
∵把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，
∴B'D＝BD＝x，
在Rt△AB'D中，AD2+AB'2＝B'D2，
∴（2﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝，
∴BD＝，
故答案为：．
15．（3分）已知直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点，M是第一象限内的点，若△MAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则M点的坐标是 （3，3） ．
【分析】设M点的坐标是（x，y），由直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点得出A、B两点的坐标，根据MA＝MB，MA2+MB2＝AB2得列方程组求解即可．
【解答】解：设M点的坐标是（x，y），
∵直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴MA＝，MB＝，
∵△MAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴MA＝MB，MA2+MB2＝AB2，
∴＝且（x﹣2）2+y2+x2+（4﹣y）2＝22+42，
解得：或（不合题意，舍去），
∴M（3，3），
故答案为：（3，3）．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE+CF的最小值是 3 ．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等）
【分析】取CD的中点G，连接CE，EG，AG，通过证明△EGD≌△CFD得到CF＝EG；根据两点之间线段最短可知：AE+CF＝AE+EG≥AG，于是得到当A，E，G三点共线时，AE+CF有最小值AG，利用勾股定理即可求得AG的长．
【解答】解：取CD的中点G，连接CE，EG，AG，如图，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵DE＝DB，
∴DE＝DC．
∵点F是DE的中点，点G是DC的中点，
∴DF＝DE，DG＝DC．
∴DF＝DG，
在△EGD和△CFD中，
，
∴△EGD≌△CFD（SAS）．
∴EG＝CF．
∴AE+CF＝AE+EG．
∵两点之间线段最短，
∴AE+EG≥AG，
∴当A，E，G三点共线时，AE+EG有最小值AG，
∴AE+CF有最小值AG，
∵BC＝4，
∴BD＝DC＝2，
∴DG＝GC＝1．
∴BG＝BD+DG＝3．
∴AG＝＝＝3．
答：AE+CF的最小值是3．
故答案为：3．
三、解答题（共7小题，共52分.解答题应写出必要的过程）
17．（8分）计算：
（1）|1﹣|+（﹣）﹣1﹣+（﹣π）0；
（2）+9﹣+（）2．
【分析】（1）利用绝对值、负整数指数幂和零指数幂的意义计算；
（2）先把各二次根式化简，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣2+1
＝﹣3﹣；
（2）原式＝5+9×﹣×2+5
＝5+﹣+5
＝5+5．
18．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
①+②×2，得11x＝﹣11，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②，得y＝2，
故方程组的解为；
（2）方程组整理，得，
②×2﹣①，得5x＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得6﹣2y＝6，
解得y＝0，
故方程组的解为．
19．（6分）已知a＝2+，b＝2﹣，求下列式子的值：
（1）a2﹣3ab+b2；
（2）（a+1）（b+1）．
【分析】（1）利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值；
（2）将a和b的值代入原式，然后利用平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）2﹣ab，
当a＝2+，b＝2﹣时，
原式＝[2+﹣（2﹣）]2﹣（2+）（2﹣）
＝（2+﹣2+）2﹣（4﹣6）
＝（2）2﹣（﹣2）
＝24+2
＝26；
（2）当a＝2+，b＝2﹣时，
原式＝（2++1）（2﹣+1）
＝（3+）（3﹣）
＝9﹣6
＝3．
20．（6分）学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝15米，AC＝4米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个花园需要投资多少元？
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x米，则CD＝（15﹣x）米，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AD的长，然后由三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
设BD＝x米，则CD＝（15﹣x）米，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝42﹣（15﹣x）2，
解得：x＝12.6（米），
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣12.62＝10.24（平方米），
∴AD＝3.2（米），
∴学校修建这个花园的费用为：×15×3.2×60＝1440（元），
答：学校修建这个花园需要投资1440元．
21．（6分）某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；
（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．
【分析】（1）设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝kx+b，把（1，0），（5，240）代入求解即可；
（2）把x＝3代入（1）的结论求出货车B行驶2小时时的路程，进而求出货车A的速度，然后根据“时间＝路程÷速度”列式计算即可．
【解答】解：（1）设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝kx+b，
根据题意得：
，
解得，
∴货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝60x﹣60（1≤x≤5）；
（2）当x＝3时，y＝60×3﹣60＝120，
故货车A的速度为：（240﹣120）÷3＝40（km/h），
货车A到达甲地所需时间为：240÷40＝6（小时），
6﹣5＝1（小时），
答：货车B到乙地后，货车A还需1小时到达甲地．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格正方形的边长是1，已知A（﹣2，5），B（0，1），C（2，2）．
（1）画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）P为x轴上一点，且△PAB的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C三点即可；
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
（3）结合（2）根据网格即可在x轴上找到一点P，且△PAB的面积等于△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）△ABC的面积＝4×4﹣2×4﹣1×2﹣3×4＝16﹣4﹣1﹣6＝5；
（3）如图，点P即为所求．
设点P（x，0），
∵△PAB的面积等于△ABC的面积，
∴5×|x+2|﹣1×|x|﹣2×（1+5）＝5，
解得x＝3或x＝﹣2，
∴P（3，0）或（﹣2，0）．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）点C的坐标是 （1，7） ．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，连接线段MN，若MN∥x轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）通过解方程组即可确定点C的坐标；
（2）设点M的坐标为（a，a+6），由MN∥x轴可得点N的坐标是（，a+6），根据MN＝6列方程即可求得答案；
（3）根据点M的坐标可得MC、NC、MN的值，由直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B求出OB，可得OB＝MN，分两种情况：当BP＝NC，OP＝MC时；当BP＝MC，OP＝NC时，根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点C的坐标为（1，7），
故答案为：（1，7）；
（2）∵M是直线AB上一点，
设点M的坐标为（a，a+6），
∵MN∥x轴，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，
∴a+6＝﹣2x+9，解得x＝，
∴点N的坐标是（，a+6），
∵MN＝6，
∴|﹣a|＝6，解得：a＝5或﹣3，
∴点M的坐标为（5，11）或（﹣3，3）；
（3）存在，
①点M的坐标为（﹣3，3）时，点N的坐标为（3，3），
∴MN＝6，MC＝＝，NC＝＝，
设点P的坐标为（x，y），
∵直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴B（0，6），OB＝6＝MN，
当BP＝NC，OP＝MC时；
，解得：或，
∴点P的坐标为（4，4）或（﹣4，4），
当BP＝MC，OP＝NC时，
，解得：或，
∴点P的坐标为（4，2）或（﹣4，2），
②点M的坐标为（5，11）时，点N的坐标为（﹣1，11），
∴MN＝6，MC＝＝，NC＝＝，
此时△MNC与①中的△MNC三边都对应相等，所以此时情况与①相同．
综上，点P的坐标为（4，4）或（﹣4，4）或（4，2）或（﹣4，2）．
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