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2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）根据下面表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
4．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．（3分）如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
7．（3分）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（3分）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．﹣ B．﹣x2 C．﹣ D．
9．（3分）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
A．2+1 B．1 C．8﹣6 D．6﹣8
10．（3分）在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ．
13．（3分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C对应点的坐标是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，点P是AC的中点，若过点P的任意直线m截得的三角形与原△ABC相似，那么这样的直线m的条数是 ．
15．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为 ．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）按要求解一元二次方程
（1）4x2﹣8x+1＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0（公式法）
17．（9分）计算：．
18．（9分）已知平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．
19．（9分）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，
类似地：＝，
式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．
利用以上信息解答以下问题：
（1）直接写出化简结果：＝ ；＝ ；
（2）用两种不同的方法化简：；
（3）化简：．
20．（9分）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
（1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
21．（9分）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，求AE的值．
22．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足+|OA﹣1|＝0．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝＝2，不是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：A．
2．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把化成﹣1，再代值计算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：A．
3．（3分）根据下面表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
4．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），
∴＝，
∴AB＝3cm，
故选：C．
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系x1•x2＝、以及已知条件求出方程的另一根是﹣1，然后将﹣1代入原方程，求a﹣b的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+a＝0的一个根是﹣a（a≠0），
∴x1•（﹣a）＝a，即x1＝﹣1，
∴1﹣b+a＝0，
∴a﹣b＝﹣1．
故选：A．
6．（3分）如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
【分析】因为G不动，所以AG不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AG，因此线段EF的长不变．
【解答】解：如图，连接AG．
∵E、F分别是AP、GP的中点，
∴EF为△APG的中位线，
∴EF＝AG，AG为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
7．（3分）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a﹣6＝0，即a＝6；
当是一元二次方程时，有实数根，则△≥0，求出a的取值范围，取最大整数即可．
【解答】解：当a﹣6＝0，即a＝6时，方程是﹣8x+6＝0，解得x＝＝；
当a﹣6≠0，即a≠6时，Δ＝（﹣8）2﹣4（a﹣6）×6＝208﹣24a≥0，解上式，得a≤≈8.6，
取最大整数，即a＝8．故选：C．
8．（3分）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．﹣ B．﹣x2 C．﹣ D．
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵有意义，
∴x＜0，
∴﹣x＞0，
∴﹣x＝﹣x•＝，
故选：D．
9．（3分）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
A．2+1 B．1 C．8﹣6 D．6﹣8
【分析】欲求S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得（cm2），，故HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝，进而解决此题．
【解答】解：如图．
由题意知：（cm2），．
∴HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（3﹣）×
＝（cm2）．
故选：D．
10．（3分）在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
【解答】解：三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6．
A、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、＝＝，对应边＝＝＝，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）计算的结果是 ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
12．（3分）一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ．
【分析】利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵（）2+（）2＝2+3＝5，
（）2＝5，
∴（）2+（）2＝（）2，
∴三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积＝××＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C对应点的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′可得结论．
【解答】解：观察图像，可知C′（﹣2，3），
故答案是：（﹣2，3）．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，点P是AC的中点，若过点P的任意直线m截得的三角形与原△ABC相似，那么这样的直线m的条数是 4 ．
【分析】由于△ABC是直角三角形，所以必须保证直线L与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件
①当m∥AB时，可得三角形相似；
②当m∥BC时，亦可得三角形相似；
③当m⊥AB时，三角形也相似，
④当∠1＝∠A时，三角形也相似；
故满足题中的直线L共有4条．
故答案为：4．
15．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为 9 ．
【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD＝3，S矩形OEBF＝k，根据平行线分线段成比例定理证得AB＝2OD，即OE＝3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF＝OD，BF＝OE，
∴AB＝DE，
∵点A在双曲线y＝上，
∴S矩形AFOD＝3，
同理S矩形OEBF＝k，
∵AB∥OD，
∴＝＝，
∴AB＝2OD，
∴DE＝2OD，
∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，
∴k＝9，
故答案是：9．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）按要求解一元二次方程
（1）4x2﹣8x+1＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0（公式法）
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）整理成一般式，套用求根公式求解可得．
【解答】解：（1）∵4x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣，
则x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝
∴x﹣1＝±，
∴x＝；
（2）整理，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝100﹣4×3×5＝40＞0，
则x＝＝．
17．（9分）计算：．
【分析】根据平方差根式将原式化为计算求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝．
18．（9分）已知平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．
【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；
（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案．
【解答】（1）证明：由题意得Δ＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∵（m﹣1）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，即（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴方程为，
∴，
即菱形的边长为．
19．（9分）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，
类似地：＝，
式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．
利用以上信息解答以下问题：
（1）直接写出化简结果：＝ ；＝ + ；
（2）用两种不同的方法化简：；
（3）化简：．
【分析】（1）根据材料所给化简二次根式的方法求解．
（2）方法一：分子分母同时乘以（﹣），方法二：将2分解为7﹣5，然后通过平方差公式求解．
（3）将原式化为…求解．
【解答】解（1）＝＝，
＝＝+．
故答案为：，+．
（2）解法1：＝，
解法2：．
（3）原式＝…
＝…
＝．
20．（9分）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
（1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
【分析】（1）直接利用7月销量×（1+x）2＝9月的销量进而求出答案．
（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设八、九这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），
答：八、九这两个月的月平均增长率为25%．
（2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店10月份获利4250元．
根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店10月份获利4250元．
21．（9分）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，求AE的值．
【分析】（1）先判断出△AGE∽△CDE，得出，即可得出结论；
（2）根据梅涅劳斯定理得：，进而判断出DE＝AE，利用勾股定理求出AD，即可求出答案．
【解答】解：（1）补全证明过程如下：
∵AG∥BD，
∴△AGE∽△CDE，
∴，，
∴；
（2）根据梅涅劳斯定理得：．
又∵，，
∴DE＝AE，
在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，
则由勾股定理知：AD＝，
∴AE＝6．
22．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
【分析】（1）由题意可得，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，根据△PAQ为等腰三角形，建立方程求解即可；
（2）根据S△APD＝AD•AP＝12﹣4t＝6，即可求得答案；
（3）根据S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ，可得t2﹣3t+4＝0，利用根的判别式即可得出答案；
（4）运用勾股定理可得PQ＝＝，由P、Q两点之间的距离为cm，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，
∵△PAQ为等腰三角形，∠A＝90°，
∴AQ＝AP，即t＝6﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，△PAQ为等腰三角形．
（2）∵S△APD＝AD•AP＝×4×（6﹣2t）＝（12﹣4t）（cm2），
∴12﹣4t＝6，
解得：t＝，
∴当t＝时，△APD的面积为6cm2．
（3）∵S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ＝6×4﹣t（6﹣2t）＝（24﹣3t+t2）（cm2），
∴24﹣3t+t2＝20，
整理得：t2﹣3t+4＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程没有实数根，
∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2．
（4）在Rt△APQ中，PQ＝＝，
根据题意得：＝2，
∴5t2﹣24t+16＝0，
解得：t1＝4，t2＝，
∵6÷2＝3，4÷1＝4，
∴0≤t≤3，
∴t＝．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足+|OA﹣1|＝0．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）（1）根据+|OA﹣1|＝0．可求得OB＝，OA＝1，根据图象可知A（1，0），B（0，）；
（2）分类讨论：△AOB∽△ABP，△AOB∽△PBA，根据相似三角形的性质，可得BP的长，根据线段的和差，可得BP的长．
【解答】解：（1）∵+|OA﹣1|＝0，
∴OB2﹣3＝0，OA﹣1＝0．
∴OB＝，OA＝1，
点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，
∴A（1，0），B（0，）；
（2）存在，由勾股定理得，AB＝＝＝2，
BC＝＝＝2．
由勾股定理的逆定理，得
AB2+CB2＝22+（2）2＝16，AC2＝[1﹣（﹣3）]2＝16，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC是直角．
存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，
当△AOB∽△ABP时，，
即＝，
解得BP＝2，
则P1（﹣3，0）；
当△AOB∽△PBA时，，
即＝，
解得BP＝，
过P2⊥OC于D，
则△CP2D∽△CBO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CD＝2，P2D＝，
∴P2（﹣1，）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣1，）．
2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）根据下面表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
4．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．（3分）如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
7．（3分）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（3分）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．﹣ B．﹣x2 C．﹣ D．
9．（3分）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
A．2+1 B．1 C．8﹣6 D．6﹣8
10．（3分）在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ．
13．（3分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C对应点的坐标是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，点P是AC的中点，若过点P的任意直线m截得的三角形与原△ABC相似，那么这样的直线m的条数是 ．
15．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为 ．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）按要求解一元二次方程
（1）4x2﹣8x+1＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0（公式法）
17．（9分）计算：．
18．（9分）已知平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．
19．（9分）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，
类似地：＝，
式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．
利用以上信息解答以下问题：
（1）直接写出化简结果：＝ ；＝ ；
（2）用两种不同的方法化简：；
（3）化简：．
20．（9分）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
（1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
21．（9分）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，求AE的值．
22．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足+|OA﹣1|＝0．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年河南省南阳市南召县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝＝2，不是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：A．
2．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把化成﹣1，再代值计算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：A．
3．（3分）根据下面表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
4．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），
∴＝，
∴AB＝3cm，
故选：C．
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系x1•x2＝、以及已知条件求出方程的另一根是﹣1，然后将﹣1代入原方程，求a﹣b的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+a＝0的一个根是﹣a（a≠0），
∴x1•（﹣a）＝a，即x1＝﹣1，
∴1﹣b+a＝0，
∴a﹣b＝﹣1．
故选：A．
6．（3分）如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
【分析】因为G不动，所以AG不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AG，因此线段EF的长不变．
【解答】解：如图，连接AG．
∵E、F分别是AP、GP的中点，
∴EF为△APG的中位线，
∴EF＝AG，AG为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
7．（3分）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a﹣6＝0，即a＝6；
当是一元二次方程时，有实数根，则△≥0，求出a的取值范围，取最大整数即可．
【解答】解：当a﹣6＝0，即a＝6时，方程是﹣8x+6＝0，解得x＝＝；
当a﹣6≠0，即a≠6时，Δ＝（﹣8）2﹣4（a﹣6）×6＝208﹣24a≥0，解上式，得a≤≈8.6，
取最大整数，即a＝8．故选：C．
8．（3分）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．﹣ B．﹣x2 C．﹣ D．
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵有意义，
∴x＜0，
∴﹣x＞0，
∴﹣x＝﹣x•＝，
故选：D．
9．（3分）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
A．2+1 B．1 C．8﹣6 D．6﹣8
【分析】欲求S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得（cm2），，故HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝，进而解决此题．
【解答】解：如图．
由题意知：（cm2），．
∴HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（3﹣）×
＝（cm2）．
故选：D．
10．（3分）在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
【解答】解：三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6．
A、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、＝＝，对应边＝＝＝，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）计算的结果是 ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
12．（3分）一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ．
【分析】利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵（）2+（）2＝2+3＝5，
（）2＝5，
∴（）2+（）2＝（）2，
∴三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积＝××＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C对应点的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′可得结论．
【解答】解：观察图像，可知C′（﹣2，3），
故答案是：（﹣2，3）．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，点P是AC的中点，若过点P的任意直线m截得的三角形与原△ABC相似，那么这样的直线m的条数是 4 ．
【分析】由于△ABC是直角三角形，所以必须保证直线L与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件
①当m∥AB时，可得三角形相似；
②当m∥BC时，亦可得三角形相似；
③当m⊥AB时，三角形也相似，
④当∠1＝∠A时，三角形也相似；
故满足题中的直线L共有4条．
故答案为：4．
15．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为 9 ．
【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD＝3，S矩形OEBF＝k，根据平行线分线段成比例定理证得AB＝2OD，即OE＝3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF＝OD，BF＝OE，
∴AB＝DE，
∵点A在双曲线y＝上，
∴S矩形AFOD＝3，
同理S矩形OEBF＝k，
∵AB∥OD，
∴＝＝，
∴AB＝2OD，
∴DE＝2OD，
∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，
∴k＝9，
故答案是：9．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）按要求解一元二次方程
（1）4x2﹣8x+1＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0（公式法）
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）整理成一般式，套用求根公式求解可得．
【解答】解：（1）∵4x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣，
则x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝
∴x﹣1＝±，
∴x＝；
（2）整理，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝100﹣4×3×5＝40＞0，
则x＝＝．
17．（9分）计算：．
【分析】根据平方差根式将原式化为计算求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝．
18．（9分）已知平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．
【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；
（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案．
【解答】（1）证明：由题意得Δ＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∵（m﹣1）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，即（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴方程为，
∴，
即菱形的边长为．
19．（9分）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，
类似地：＝，
式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．
利用以上信息解答以下问题：
（1）直接写出化简结果：＝ ；＝ + ；
（2）用两种不同的方法化简：；
（3）化简：．
【分析】（1）根据材料所给化简二次根式的方法求解．
（2）方法一：分子分母同时乘以（﹣），方法二：将2分解为7﹣5，然后通过平方差公式求解．
（3）将原式化为…求解．
【解答】解（1）＝＝，
＝＝+．
故答案为：，+．
（2）解法1：＝，
解法2：．
（3）原式＝…
＝…
＝．
20．（9分）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
（1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
【分析】（1）直接利用7月销量×（1+x）2＝9月的销量进而求出答案．
（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设八、九这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），
答：八、九这两个月的月平均增长率为25%．
（2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店10月份获利4250元．
根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店10月份获利4250元．
21．（9分）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，求AE的值．
【分析】（1）先判断出△AGE∽△CDE，得出，即可得出结论；
（2）根据梅涅劳斯定理得：，进而判断出DE＝AE，利用勾股定理求出AD，即可求出答案．
【解答】解：（1）补全证明过程如下：
∵AG∥BD，
∴△AGE∽△CDE，
∴，，
∴；
（2）根据梅涅劳斯定理得：．
又∵，，
∴DE＝AE，
在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，
则由勾股定理知：AD＝，
∴AE＝6．
22．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
【分析】（1）由题意可得，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，根据△PAQ为等腰三角形，建立方程求解即可；
（2）根据S△APD＝AD•AP＝12﹣4t＝6，即可求得答案；
（3）根据S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ，可得t2﹣3t+4＝0，利用根的判别式即可得出答案；
（4）运用勾股定理可得PQ＝＝，由P、Q两点之间的距离为cm，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，
∵△PAQ为等腰三角形，∠A＝90°，
∴AQ＝AP，即t＝6﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，△PAQ为等腰三角形．
（2）∵S△APD＝AD•AP＝×4×（6﹣2t）＝（12﹣4t）（cm2），
∴12﹣4t＝6，
解得：t＝，
∴当t＝时，△APD的面积为6cm2．
（3）∵S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ＝6×4﹣t（6﹣2t）＝（24﹣3t+t2）（cm2），
∴24﹣3t+t2＝20，
整理得：t2﹣3t+4＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程没有实数根，
∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2．
（4）在Rt△APQ中，PQ＝＝，
根据题意得：＝2，
∴5t2﹣24t+16＝0，
解得：t1＝4，t2＝，
∵6÷2＝3，4÷1＝4，
∴0≤t≤3，
∴t＝．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足+|OA﹣1|＝0．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）（1）根据+|OA﹣1|＝0．可求得OB＝，OA＝1，根据图象可知A（1，0），B（0，）；
（2）分类讨论：△AOB∽△ABP，△AOB∽△PBA，根据相似三角形的性质，可得BP的长，根据线段的和差，可得BP的长．
【解答】解：（1）∵+|OA﹣1|＝0，
∴OB2﹣3＝0，OA﹣1＝0．
∴OB＝，OA＝1，
点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，
∴A（1，0），B（0，）；
（2）存在，由勾股定理得，AB＝＝＝2，
BC＝＝＝2．
由勾股定理的逆定理，得
AB2+CB2＝22+（2）2＝16，AC2＝[1﹣（﹣3）]2＝16，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC是直角．
存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，
当△AOB∽△ABP时，，
即＝，
解得BP＝2，
则P1（﹣3，0）；
当△AOB∽△PBA时，，
即＝，
解得BP＝，
过P2⊥OC于D，
则△CP2D∽△CBO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CD＝2，P2D＝，
∴P2（﹣1，）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣1，）．
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