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2021-2022学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B.C.D的四个答案，其中只有-个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑，
1．（4分）方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）抛物线y＝（x+3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
4．（4分）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有一个根为﹣3，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0
5．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4且m≠0 B．m＜4且m≠0 C．m＜﹣4 D．m＞4
6．（4分）抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
7．（4分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
8．（4分）元旦节到了，表示庆贺某班同学都向全班其他同学各送一张贺卡，全班共送1980张贺卡，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
9．（4分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③abc＞0；④4a+2b+c＞0；⑤ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．10 B．20 C．10 D．10
12．（4分）如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上.
13．（4分）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是 ．
14．（4分）如果（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ．
15．（4分）抛物线y＝﹣x2+4x的对称轴是直线 ．
16．（4分）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC＝4，OA＝8，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，则点E的坐标为 ．
17．（4分）如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则此运动员将铅球推出的距离是 m．
18．（4分）某个“卡通玩具”自动售货机出售A、B、C三种玩具，A、B、C三种玩具的单价分别是3元/个、5元/个，6元/个，工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A玩具的数量（单位：个）是B玩具数量的2倍，B玩具的数量（单位：个）是C玩具数量的2倍．某个周六，A、B、C三种玩具的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，70%、50%，且全部售出．但是由于软件出错，发生了一起错单（即消费者按某种玩具一个的价格投币，但是取得了另一种玩具1个），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了958元，则这个“卡通玩具”自动售货机一个工作日的销售收入是 元．
三、解答题：本大四7个小题.每小题10分，共70分解答时每小题必多须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣2，3），试在图中画出平面直角坐标系，并标出A，B1，C1三点的坐标．
20．（10分）解方程：
（1）2x2+1＝3x（配方法）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝3（公式法）．
21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌60m长的墙的材料：
（1）如何设计，可使矩形花园的面积为400m2；
（2）矩形花园的面积可以为500m2吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由．
22．（10分）类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数y1＝|x2﹣4|的图象和性质进行了探究．其探究过程中的列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
0
3
n
3
0
5
…
（1）求表中m，n的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质；
（4）再画出y2＝﹣x+2的函数图象．结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x2﹣4|＞﹣x+2的解．
23．（10分）某商店购进一批单价为10元的商品，如果每件12元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．
（1）求销售量y件与销售单价x元之间的解析式；
（2）当销售单价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是多少元？
24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“平衡数”．例如：m＝2316，因为2+6＝2（3+1），所以2316是“平衡数”．m＝4123，因为4+3≠2（1+2），所以4123不是“平衡数”．
（1）判断5223，3126是否为“平衡数”，并说明理由；
（2）对于“平衡数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，记F（n）＝，求满足F（n）各数位上的数字之和是奇数的所有n．
25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC．已知A点坐标是（1，0），B点坐标是（4，3）．
（1）求二次函数的解析式，函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（2）抛物线上有一个动点P，与A、D两点构成△ADP，是否存在S△ADP＝S△BCD？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，诮将解答书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．
（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；
（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．
2021-2022学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B.C.D的四个答案，其中只有-个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑，
1．（4分）方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．
【解答】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（4分）抛物线y＝（x+3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+3）2﹣1，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
4．（4分）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有一个根为﹣3，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0
【分析】将x＝﹣3代入方程x2+4x﹣a＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x﹣a＝0有一个根为﹣3，
∴x＝﹣3满足方程x2+4x﹣a＝0，
∴9﹣12﹣a＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
5．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4且m≠0 B．m＜4且m≠0 C．m＜﹣4 D．m＞4
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣4且m≠0．
故选：A．
6．（4分）抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故选：C．
7．（4分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为x＝2．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝﹣＝2．
∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3），
而三点离对称轴x＝2的距离按由远到近为：C、A、B，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
8．（4分）元旦节到了，表示庆贺某班同学都向全班其他同学各送一张贺卡，全班共送1980张贺卡，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
【分析】设全班有x名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了1980张可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；
又∵是互送贺卡，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1980．
故选：B．
9．（4分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【分析】由于每经过4次旋转后两矩形重合，而2021＝4×505+1，所以第2021次旋转后得到的图形与图①相同．
【解答】解：∵2021＝4×505+1，
∴第2021次旋转后得到的图形与图①相同．
故选：A．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③abc＞0；④4a+2b+c＞0；⑤ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②错误；
③∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故③错误；
④观察图象得当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，故④正确；
⑤二次函数y＝ax2+bx+c图象与直线y＝3有一个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，故⑤正确．
故选：C．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．10 B．20 C．10 D．10
【分析】由旋转的性质，可证△ACA'、△BCB'都是等边三角形，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：如图，连接BB'，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，
∵∠A＝60°，
∴△ACA'是等边三角形，
∴∠ACA'＝60°，
∴∠BCB'＝60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴BB'＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝20，
∴BC＝，
∴BB'＝10，
故选：D．
12．（4分）如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】由题意关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数的条件为Δ＝4+4（m﹣4）＜0，当m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，当m≠2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是Δ＝16+4（m﹣2）≥0，求得m的取值范围，易得m的整数值，然后求和即可．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数的条件为Δ＝4+4（m﹣4）＜0，
解得m＜3，
当m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0可化为4x﹣1＝0，该方程有实数根，
当m≠2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是Δ＝16+4（m﹣2）≥0，
解得m≥﹣2且m≠2，
综上所述，﹣2≤m＜3，
∴整数m的取值为：﹣2、﹣1、0、1、2，则其和为：﹣2﹣1+0+1+2＝0．
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上.
13．（4分）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是 （1，﹣2） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
14．（4分）如果（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出|m|＝2，且m﹣2≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（4分）抛物线y＝﹣x2+4x的对称轴是直线 x＝2 ．
【分析】把抛物线解析式化成顶点式即可求得答案．
【解答】解：
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
故答案为：x＝2．
16．（4分）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC＝4，OA＝8，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，则点E的坐标为 （4，2） ．
【分析】据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得OD＝OA，OF＝OC，再根据点E在第一象限写出点E的坐标即可．
【解答】解：∵矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，
∴OD＝OA＝4，OF＝OC＝2，
∵点E在第一象限，
∴点E的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．
17．（4分）如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则此运动员将铅球推出的距离是 12 m．
【分析】根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令y＝0求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝12，x2＝﹣2，
∴此运动员将铅球推出的距离是12m，
故答案为：12．
18．（4分）某个“卡通玩具”自动售货机出售A、B、C三种玩具，A、B、C三种玩具的单价分别是3元/个、5元/个，6元/个，工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A玩具的数量（单位：个）是B玩具数量的2倍，B玩具的数量（单位：个）是C玩具数量的2倍．某个周六，A、B、C三种玩具的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，70%、50%，且全部售出．但是由于软件出错，发生了一起错单（即消费者按某种玩具一个的价格投币，但是取得了另一种玩具1个），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了958元，则这个“卡通玩具”自动售货机一个工作日的销售收入是 4480 元．
【分析】设工作日期间C玩具的数量为x个，则B玩具的数量为2x个，A玩具的数量为4x个，工作日期间一天的销售收入为：12x+10x+6x＝28x元，周六C玩具的数量为1.5x个，则B玩具的数量为3.4x个，A玩具的数量为6x个，周六销售销售收入为：18x+17x+9x＝34x元，周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：34x﹣28x＝6x元，由于发生一起错单，收入的差为958元，因此，958加减一个玩具的差价一定是6的整数倍，又958÷6＝159……4（元），所以付款是多4元或少2元，所以这起错单发生在A、B玩具上（A、B的差价为2元），且是消费者付A玩具的钱，取走的是B玩具；于是可以列方程求出C的数量，进而求出工作日期间一天的销售收入．
【解答】解：工作日期间C玩具的数量为x个，则B玩具的数量为2x个，A玩具的数量为4x个，
∴工作日期间一天的销售收入为：12x+10x+6x＝28x元，
周六C玩具的数量为1.5x个，则B玩具的数量为3.4x个，A玩具的数量为6x个，
∴周六销售销售收入为：18x+17x+9x＝34x元，
∴周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：34x﹣28x＝6x元，
由于发生一起错单，收入的差为958元，
∴958加减一个玩具的差价一定是6的整数倍，
又∵958÷6＝159……4（元），
∴付款是多4元或少2元，
∴这起错单发生在A、B玩具上（A、B的差价为2元），且是消费者付A玩具的钱，取走的是B玩具，
于是有：6x﹣（5﹣3）＝958，
解得：x＝160，
工作日期间一天的销售收入为：160×28＝4480元，
故答案为：4480．
三、解答题：本大四7个小题.每小题10分，共70分解答时每小题必多须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣2，3），试在图中画出平面直角坐标系，并标出A，B1，C1三点的坐标．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）平面直角坐标系如图所示，A（1，﹣1），B1（5，2），C1（1，2）．
20．（10分）解方程：
（1）2x2+1＝3x（配方法）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝3（公式法）．
【分析】（1）将方程变形为2x2﹣3x＝﹣1，再将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2+1＝3x，
∴2x2﹣3x＝﹣1，
∴x2﹣x＝﹣，
∴x2﹣x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x1＝1，x2＝；
（2）整理成一般式，得：x2+2x﹣6＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∴Δ＝22+4×1×6＝24＞0，
∴x＝＝＝﹣1，
∴x1＝﹣1+2，x2＝﹣1﹣2．
21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌60m长的墙的材料：
（1）如何设计，可使矩形花园的面积为400m2；
（2）矩形花园的面积可以为500m2吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，根据矩形花园的面积为400m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
（2）设AB＝ym，则BC＝（60﹣2y）m，根据矩形花园的面积为500m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣10＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为500m2的矩形花园．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，
依题意得：x（60﹣2x）＝400，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，60﹣2x＝40＞25，不合题意，舍去；
当x＝20时，60﹣2x＝20＜25，符合题意．
答：当AB长度是20m时，矩形花园的面积为400m2．
（2）不能，理由如下：
设AB＝ym，则BC＝（60﹣2y）m，
依题意得：y（60﹣2y）＝500，
整理得：y2﹣30y+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣10＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为500m2的矩形花园．
22．（10分）类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数y1＝|x2﹣4|的图象和性质进行了探究．其探究过程中的列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
0
3
n
3
0
5
…
（1）求表中m，n的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质；
（4）再画出y2＝﹣x+2的函数图象．结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x2﹣4|＞﹣x+2的解．
【分析】（1）把x＝﹣3和x＝0分别代入y＝|x2﹣4|中得，y＝5，y＝4，即可得到结论；
（2）根据题意画出该函数的图象即可；
（3）根据函数图象即可得到结论；
（4）根据函数图形即可得到结论．
【解答】解：（1）把x＝﹣3和x＝0分别代入y＝|x2﹣4|中得，y＝5，y＝4，
∴m＝5，n＝4；
（2）该函数的图象如图所示；
（3）当x取任意实数时，y≥0（答案不唯一）；
（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x+2的图象，
由图象知，|x2﹣4|＞﹣x+2的解集为x＜﹣3或x＞﹣1且x≠2．
23．（10分）某商店购进一批单价为10元的商品，如果每件12元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．
（1）求销售量y件与销售单价x元之间的解析式；
（2）当销售单价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）由题意可知，y＝200﹣10（x﹣12）；
（2）根据利润＝数量×每件的利润建立W与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）y＝200﹣10（x﹣12）
＝320﹣10x（12≤x＜32）；
∴销售量y件与销售单价x元之间的解析式为：y＝320﹣10x．
（2）设商店每天获得的利润为W元，则
W＝（x﹣10）（320﹣10x）＝﹣10x2+420x﹣3200＝﹣10（x﹣21）2+1210，
当x＝21时，w最大＝1210，
∴当售价为21元时，每天获得的最大利润为1210元．
24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“平衡数”．例如：m＝2316，因为2+6＝2（3+1），所以2316是“平衡数”．m＝4123，因为4+3≠2（1+2），所以4123不是“平衡数”．
（1）判断5223，3126是否为“平衡数”，并说明理由；
（2）对于“平衡数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，记F（n）＝，求满足F（n）各数位上的数字之和是奇数的所有n．
【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437是否为“平衡数”；
（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求的结果即可．
【解答】解：（1）∵5+3＝2×（2+2），3+6≠2×（1+2），
∴5223是平衡数，3126不是平衡数；
（2）∵n是“平衡数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，
设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），
设n的百位上的数字为b，
∵个位和百位都是0﹣9的数字，
∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，
∴0≤b≤4，
∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b，
∴F（n）＝＝340a+33b+3，
由于n是“平衡数”，
∴a+9﹣b＝2×（2a+b），
即a+b＝3，
可能的情况有：
，，，
当a＝1，b＝2时，n的值为1227，则F（n）的值为409，各数位上数字之和是奇数，
当a＝2，b＝1时，n的值为2148，则F（n）的值为716，各数位上数字之和是偶数，不合题意，
当a＝3，b＝0时，n的值为3069，则F（n）的值为1023，各数位上数字之和是偶数，不合题意．
∴n的值是1227．
25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC．已知A点坐标是（1，0），B点坐标是（4，3）．
（1）求二次函数的解析式，函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（2）抛物线上有一个动点P，与A、D两点构成△ADP，是否存在S△ADP＝S△BCD？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；把的解析式配成顶点式可得到顶点坐标，然后利用抛物线的对称性确定D点坐标；
（2）设P（x，x2﹣4x+3），利用三角形面积公式得到得到方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）把A（1，0），B（4，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，A（1，0），
∴D（3，0）；
（2）存在．
设P（x，x2﹣4x+3），
∵S△ADP＝S△BCD，
∴•（3﹣1）•|x2﹣4x+3|＝××（3﹣2）×3，
∴x2﹣4x+3＝或x2﹣4x+3＝﹣，
解方程x2﹣4x+3＝得x1＝2+，x2＝2﹣，此时P点坐标为（2+，﹣）或（2﹣，+）；
解方程x2﹣4x+3＝﹣得x1＝2+，x2＝2﹣，此时P点坐标为（2+，﹣﹣）或（2﹣，﹣）；
综上所述，P点坐标为（2+，﹣）或（2﹣，+）或（2+，﹣﹣）或（2﹣，﹣）．
四、解答题：（本大题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，诮将解答书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．
（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；
（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．
【分析】（1）先判断出AM＝AN，即可得出结论；
（2）①当G在BC上运动至垂足点D，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小；
②当G在BC上运动至点C，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB延长线上时，PG1最大，即可求得线段PG1长度的最大值与最小值．
【解答】（1）证明：作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，如图1，
根据旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，
∵AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠DFC，
（2）解：线段PG1长度的最小值4﹣5，PG1长度的最大值为5+8；
解题过程如下：
①过点A作AF⊥BC于F，如图a，
∵△ABC为钝角三角形，
∴点F在线段BC上，
在Rt△ACF中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AF＝AC＝4，
∵AB＝10，点P为线段AB中点，
∴AP＝AB＝5，
当G在BC上运动，AG与BC垂直，即点F与点G重合时，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上，此时PG1最小，
最小值为：PG1＝AG1﹣AP＝AF﹣AP＝4﹣5；
②当G在BC上运动至点C，如图b，
△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大，
最大值为：PG1＝AP+AG1＝AP+AC＝5+8．
综上所述，线段PG1长度的最小值4﹣5，PG1长度的最大值为5+8；
2021-2022学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B.C.D的四个答案，其中只有-个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑，
1．（4分）方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）抛物线y＝（x+3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
4．（4分）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有一个根为﹣3，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0
5．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4且m≠0 B．m＜4且m≠0 C．m＜﹣4 D．m＞4
6．（4分）抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
7．（4分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
8．（4分）元旦节到了，表示庆贺某班同学都向全班其他同学各送一张贺卡，全班共送1980张贺卡，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
9．（4分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③abc＞0；④4a+2b+c＞0；⑤ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．10 B．20 C．10 D．10
12．（4分）如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上.
13．（4分）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是 ．
14．（4分）如果（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ．
15．（4分）抛物线y＝﹣x2+4x的对称轴是直线 ．
16．（4分）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC＝4，OA＝8，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，则点E的坐标为 ．
17．（4分）如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则此运动员将铅球推出的距离是 m．
18．（4分）某个“卡通玩具”自动售货机出售A、B、C三种玩具，A、B、C三种玩具的单价分别是3元/个、5元/个，6元/个，工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A玩具的数量（单位：个）是B玩具数量的2倍，B玩具的数量（单位：个）是C玩具数量的2倍．某个周六，A、B、C三种玩具的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，70%、50%，且全部售出．但是由于软件出错，发生了一起错单（即消费者按某种玩具一个的价格投币，但是取得了另一种玩具1个），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了958元，则这个“卡通玩具”自动售货机一个工作日的销售收入是 元．
三、解答题：本大四7个小题.每小题10分，共70分解答时每小题必多须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣2，3），试在图中画出平面直角坐标系，并标出A，B1，C1三点的坐标．
20．（10分）解方程：
（1）2x2+1＝3x（配方法）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝3（公式法）．
21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌60m长的墙的材料：
（1）如何设计，可使矩形花园的面积为400m2；
（2）矩形花园的面积可以为500m2吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由．
22．（10分）类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数y1＝|x2﹣4|的图象和性质进行了探究．其探究过程中的列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
0
3
n
3
0
5
…
（1）求表中m，n的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质；
（4）再画出y2＝﹣x+2的函数图象．结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x2﹣4|＞﹣x+2的解．
23．（10分）某商店购进一批单价为10元的商品，如果每件12元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．
（1）求销售量y件与销售单价x元之间的解析式；
（2）当销售单价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是多少元？
24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“平衡数”．例如：m＝2316，因为2+6＝2（3+1），所以2316是“平衡数”．m＝4123，因为4+3≠2（1+2），所以4123不是“平衡数”．
（1）判断5223，3126是否为“平衡数”，并说明理由；
（2）对于“平衡数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，记F（n）＝，求满足F（n）各数位上的数字之和是奇数的所有n．
25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC．已知A点坐标是（1，0），B点坐标是（4，3）．
（1）求二次函数的解析式，函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（2）抛物线上有一个动点P，与A、D两点构成△ADP，是否存在S△ADP＝S△BCD？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，诮将解答书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．
（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；
（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．
2021-2022学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B.C.D的四个答案，其中只有-个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑，
1．（4分）方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．
【解答】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（4分）抛物线y＝（x+3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+3）2﹣1，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
4．（4分）已知关于x的方程x2+4x﹣a＝0有一个根为﹣3，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0
【分析】将x＝﹣3代入方程x2+4x﹣a＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x﹣a＝0有一个根为﹣3，
∴x＝﹣3满足方程x2+4x﹣a＝0，
∴9﹣12﹣a＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
5．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4且m≠0 B．m＜4且m≠0 C．m＜﹣4 D．m＞4
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣4且m≠0．
故选：A．
6．（4分）抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故选：C．
7．（4分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为x＝2．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝﹣＝2．
∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3），
而三点离对称轴x＝2的距离按由远到近为：C、A、B，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
8．（4分）元旦节到了，表示庆贺某班同学都向全班其他同学各送一张贺卡，全班共送1980张贺卡，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
【分析】设全班有x名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了1980张可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；
又∵是互送贺卡，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1980．
故选：B．
9．（4分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【分析】由于每经过4次旋转后两矩形重合，而2021＝4×505+1，所以第2021次旋转后得到的图形与图①相同．
【解答】解：∵2021＝4×505+1，
∴第2021次旋转后得到的图形与图①相同．
故选：A．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③abc＞0；④4a+2b+c＞0；⑤ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②错误；
③∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故③错误；
④观察图象得当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，故④正确；
⑤二次函数y＝ax2+bx+c图象与直线y＝3有一个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，故⑤正确．
故选：C．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．10 B．20 C．10 D．10
【分析】由旋转的性质，可证△ACA'、△BCB'都是等边三角形，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：如图，连接BB'，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，
∵∠A＝60°，
∴△ACA'是等边三角形，
∴∠ACA'＝60°，
∴∠BCB'＝60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴BB'＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝20，
∴BC＝，
∴BB'＝10，
故选：D．
12．（4分）如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】由题意关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数的条件为Δ＝4+4（m﹣4）＜0，当m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，当m≠2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是Δ＝16+4（m﹣2）≥0，求得m的取值范围，易得m的整数值，然后求和即可．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数的条件为Δ＝4+4（m﹣4）＜0，
解得m＜3，
当m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0可化为4x﹣1＝0，该方程有实数根，
当m≠2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是Δ＝16+4（m﹣2）≥0，
解得m≥﹣2且m≠2，
综上所述，﹣2≤m＜3，
∴整数m的取值为：﹣2、﹣1、0、1、2，则其和为：﹣2﹣1+0+1+2＝0．
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上.
13．（4分）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是 （1，﹣2） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
14．（4分）如果（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出|m|＝2，且m﹣2≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（4分）抛物线y＝﹣x2+4x的对称轴是直线 x＝2 ．
【分析】把抛物线解析式化成顶点式即可求得答案．
【解答】解：
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
故答案为：x＝2．
16．（4分）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC＝4，OA＝8，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，则点E的坐标为 （4，2） ．
【分析】据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得OD＝OA，OF＝OC，再根据点E在第一象限写出点E的坐标即可．
【解答】解：∵矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，
∴OD＝OA＝4，OF＝OC＝2，
∵点E在第一象限，
∴点E的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．
17．（4分）如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则此运动员将铅球推出的距离是 12 m．
【分析】根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令y＝0求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝12，x2＝﹣2，
∴此运动员将铅球推出的距离是12m，
故答案为：12．
18．（4分）某个“卡通玩具”自动售货机出售A、B、C三种玩具，A、B、C三种玩具的单价分别是3元/个、5元/个，6元/个，工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A玩具的数量（单位：个）是B玩具数量的2倍，B玩具的数量（单位：个）是C玩具数量的2倍．某个周六，A、B、C三种玩具的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，70%、50%，且全部售出．但是由于软件出错，发生了一起错单（即消费者按某种玩具一个的价格投币，但是取得了另一种玩具1个），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了958元，则这个“卡通玩具”自动售货机一个工作日的销售收入是 4480 元．
【分析】设工作日期间C玩具的数量为x个，则B玩具的数量为2x个，A玩具的数量为4x个，工作日期间一天的销售收入为：12x+10x+6x＝28x元，周六C玩具的数量为1.5x个，则B玩具的数量为3.4x个，A玩具的数量为6x个，周六销售销售收入为：18x+17x+9x＝34x元，周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：34x﹣28x＝6x元，由于发生一起错单，收入的差为958元，因此，958加减一个玩具的差价一定是6的整数倍，又958÷6＝159……4（元），所以付款是多4元或少2元，所以这起错单发生在A、B玩具上（A、B的差价为2元），且是消费者付A玩具的钱，取走的是B玩具；于是可以列方程求出C的数量，进而求出工作日期间一天的销售收入．
【解答】解：工作日期间C玩具的数量为x个，则B玩具的数量为2x个，A玩具的数量为4x个，
∴工作日期间一天的销售收入为：12x+10x+6x＝28x元，
周六C玩具的数量为1.5x个，则B玩具的数量为3.4x个，A玩具的数量为6x个，
∴周六销售销售收入为：18x+17x+9x＝34x元，
∴周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：34x﹣28x＝6x元，
由于发生一起错单，收入的差为958元，
∴958加减一个玩具的差价一定是6的整数倍，
又∵958÷6＝159……4（元），
∴付款是多4元或少2元，
∴这起错单发生在A、B玩具上（A、B的差价为2元），且是消费者付A玩具的钱，取走的是B玩具，
于是有：6x﹣（5﹣3）＝958，
解得：x＝160，
工作日期间一天的销售收入为：160×28＝4480元，
故答案为：4480．
三、解答题：本大四7个小题.每小题10分，共70分解答时每小题必多须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣2，3），试在图中画出平面直角坐标系，并标出A，B1，C1三点的坐标．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）平面直角坐标系如图所示，A（1，﹣1），B1（5，2），C1（1，2）．
20．（10分）解方程：
（1）2x2+1＝3x（配方法）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝3（公式法）．
【分析】（1）将方程变形为2x2﹣3x＝﹣1，再将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2+1＝3x，
∴2x2﹣3x＝﹣1，
∴x2﹣x＝﹣，
∴x2﹣x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x1＝1，x2＝；
（2）整理成一般式，得：x2+2x﹣6＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∴Δ＝22+4×1×6＝24＞0，
∴x＝＝＝﹣1，
∴x1＝﹣1+2，x2＝﹣1﹣2．
21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌60m长的墙的材料：
（1）如何设计，可使矩形花园的面积为400m2；
（2）矩形花园的面积可以为500m2吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，根据矩形花园的面积为400m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
（2）设AB＝ym，则BC＝（60﹣2y）m，根据矩形花园的面积为500m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣10＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为500m2的矩形花园．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，
依题意得：x（60﹣2x）＝400，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，60﹣2x＝40＞25，不合题意，舍去；
当x＝20时，60﹣2x＝20＜25，符合题意．
答：当AB长度是20m时，矩形花园的面积为400m2．
（2）不能，理由如下：
设AB＝ym，则BC＝（60﹣2y）m，
依题意得：y（60﹣2y）＝500，
整理得：y2﹣30y+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣10＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为500m2的矩形花园．
22．（10分）类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数y1＝|x2﹣4|的图象和性质进行了探究．其探究过程中的列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
0
3
n
3
0
5
…
（1）求表中m，n的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质；
（4）再画出y2＝﹣x+2的函数图象．结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x2﹣4|＞﹣x+2的解．
【分析】（1）把x＝﹣3和x＝0分别代入y＝|x2﹣4|中得，y＝5，y＝4，即可得到结论；
（2）根据题意画出该函数的图象即可；
（3）根据函数图象即可得到结论；
（4）根据函数图形即可得到结论．
【解答】解：（1）把x＝﹣3和x＝0分别代入y＝|x2﹣4|中得，y＝5，y＝4，
∴m＝5，n＝4；
（2）该函数的图象如图所示；
（3）当x取任意实数时，y≥0（答案不唯一）；
（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x+2的图象，
由图象知，|x2﹣4|＞﹣x+2的解集为x＜﹣3或x＞﹣1且x≠2．
23．（10分）某商店购进一批单价为10元的商品，如果每件12元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．
（1）求销售量y件与销售单价x元之间的解析式；
（2）当销售单价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）由题意可知，y＝200﹣10（x﹣12）；
（2）根据利润＝数量×每件的利润建立W与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）y＝200﹣10（x﹣12）
＝320﹣10x（12≤x＜32）；
∴销售量y件与销售单价x元之间的解析式为：y＝320﹣10x．
（2）设商店每天获得的利润为W元，则
W＝（x﹣10）（320﹣10x）＝﹣10x2+420x﹣3200＝﹣10（x﹣21）2+1210，
当x＝21时，w最大＝1210，
∴当售价为21元时，每天获得的最大利润为1210元．
24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“平衡数”．例如：m＝2316，因为2+6＝2（3+1），所以2316是“平衡数”．m＝4123，因为4+3≠2（1+2），所以4123不是“平衡数”．
（1）判断5223，3126是否为“平衡数”，并说明理由；
（2）对于“平衡数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，记F（n）＝，求满足F（n）各数位上的数字之和是奇数的所有n．
【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437是否为“平衡数”；
（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求的结果即可．
【解答】解：（1）∵5+3＝2×（2+2），3+6≠2×（1+2），
∴5223是平衡数，3126不是平衡数；
（2）∵n是“平衡数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，
设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），
设n的百位上的数字为b，
∵个位和百位都是0﹣9的数字，
∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，
∴0≤b≤4，
∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b，
∴F（n）＝＝340a+33b+3，
由于n是“平衡数”，
∴a+9﹣b＝2×（2a+b），
即a+b＝3，
可能的情况有：
，，，
当a＝1，b＝2时，n的值为1227，则F（n）的值为409，各数位上数字之和是奇数，
当a＝2，b＝1时，n的值为2148，则F（n）的值为716，各数位上数字之和是偶数，不合题意，
当a＝3，b＝0时，n的值为3069，则F（n）的值为1023，各数位上数字之和是偶数，不合题意．
∴n的值是1227．
25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC．已知A点坐标是（1，0），B点坐标是（4，3）．
（1）求二次函数的解析式，函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（2）抛物线上有一个动点P，与A、D两点构成△ADP，是否存在S△ADP＝S△BCD？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；把的解析式配成顶点式可得到顶点坐标，然后利用抛物线的对称性确定D点坐标；
（2）设P（x，x2﹣4x+3），利用三角形面积公式得到得到方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）把A（1，0），B（4，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，A（1，0），
∴D（3，0）；
（2）存在．
设P（x，x2﹣4x+3），
∵S△ADP＝S△BCD，
∴•（3﹣1）•|x2﹣4x+3|＝××（3﹣2）×3，
∴x2﹣4x+3＝或x2﹣4x+3＝﹣，
解方程x2﹣4x+3＝得x1＝2+，x2＝2﹣，此时P点坐标为（2+，﹣）或（2﹣，+）；
解方程x2﹣4x+3＝﹣得x1＝2+，x2＝2﹣，此时P点坐标为（2+，﹣﹣）或（2﹣，﹣）；
综上所述，P点坐标为（2+，﹣）或（2﹣，+）或（2+，﹣﹣）或（2﹣，﹣）．
四、解答题：（本大题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，诮将解答书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．
（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；
（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．
【分析】（1）先判断出AM＝AN，即可得出结论；
（2）①当G在BC上运动至垂足点D，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小；
②当G在BC上运动至点C，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB延长线上时，PG1最大，即可求得线段PG1长度的最大值与最小值．
【解答】（1）证明：作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，如图1，
根据旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，
∵AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠DFC，
（2）解：线段PG1长度的最小值4﹣5，PG1长度的最大值为5+8；
解题过程如下：
①过点A作AF⊥BC于F，如图a，
∵△ABC为钝角三角形，
∴点F在线段BC上，
在Rt△ACF中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AF＝AC＝4，
∵AB＝10，点P为线段AB中点，
∴AP＝AB＝5，
当G在BC上运动，AG与BC垂直，即点F与点G重合时，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上，此时PG1最小，
最小值为：PG1＝AG1﹣AP＝AF﹣AP＝4﹣5；
②当G在BC上运动至点C，如图b，
△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大，
最大值为：PG1＝AP+AG1＝AP+AC＝5+8．
综上所述，线段PG1长度的最小值4﹣5，PG1长度的最大值为5+8；
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