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2021-2022学年江苏省南京市六合区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省南京市六合区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市六合区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）下列为一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝2 B．2x2﹣x C．2x﹣x2＝7 D．x+＝7
2．（2分）方程x2﹣x＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
3．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
4．（2分）标标抛掷一枚点数从1﹣6的正方体骰子12次，有7次6点朝上．当他抛第13次时，6点朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）甲、乙两位同学连续五次的数学成绩如下图所示：
下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均数是70 B．乙的平均数是80
C．S2甲＞S2乙 D．S2甲＝S2乙
6．（2分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠OAC＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80° B．100° C．130° D．140°
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.
7．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为 ．
8．（2分）已知⊙O的半径为3，点P是直线l上的一点，OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
9．（2分）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ．
10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
70
90
80
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
11．（2分）如图，转盘中有6个面积都相等的扇形，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，“指针所落扇形中的数为偶数”发生的概率为 ．
12．（2分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 cm．
13．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
14．（2分）如图，四边形ABCD中，AB、CD分别与以AD为直径的半圆O切于点A、D，BC切
半圆O于点E，若BC＝15cm，CD＝9cm，则AB＝ cm．
15．（2分）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝70°，则∠BAC＝ °．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
18．（7分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值和另一个实数根．
19．（7分）（1）比较2x与x2+2x+3的大小；
（2）比较2x2与x2+2x﹣3的大小．
20．（8分）某校组织初三学生电脑技能竞赛，每班选派相同人数去参加竞赛，竞赛成绩分A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将初三（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图．
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
1班
87.5
90
2班
100
（1）此次竞赛中（2）班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 ；
（2）请你将表格补充完整；
（3）试运用所学的统计知识，从两个不同角度评价初三（1）班和初三（2）班的成绩．
21．（8分）（1）某校有A、B两个食堂，甲、乙、丙三位同学各自随机选择其中的一个食堂就餐，求三位同学在相同食堂就餐的概率．
（2）甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A、B、C、D处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是 ．
22．（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1：2．如果要使得彩条之外的面积为512cm2，求设计横彩条的宽度．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．
求证：（1）DE∥AB；
（2）DC＝EC．
24．（8分）商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？
25．（8分）如图，点A在⊙O上，用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，满足下列要求：
（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；
（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E．
（1）求证：⊙P与直线AC相切．
（2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点M、N的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，MN＝cm？
（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？
（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．
2021-2022学年江苏省南京市六合区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）下列为一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝2 B．2x2﹣x C．2x﹣x2＝7 D．x+＝7
【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）判断即可．
【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．不是方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2分）方程x2﹣x＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：C．
3．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可．
【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．
B、正确，本选项符合题意．
C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．
故选：B．
4．（2分）标标抛掷一枚点数从1﹣6的正方体骰子12次，有7次6点朝上．当他抛第13次时，6点朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：掷一颗均匀的骰子（正方体，各面标1﹣6这6个数字），一共有6种等可能的情况，其中6点朝上只有一种情况，
所以6点朝上的概率为．
故选：D．
5．（2分）甲、乙两位同学连续五次的数学成绩如下图所示：
下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均数是70 B．乙的平均数是80
C．S2甲＞S2乙 D．S2甲＝S2乙
【分析】利用公式求出两个样本的平均数和方差即可得出答案．
【解答】解：甲同学的平均数是：×（60+70+70+60+80）＝68，
方差是S2甲＝[（60﹣68）2+（70﹣68）2+（70﹣68）2+（60﹣68）2+（80﹣68）2]＝56；
乙同学的平均数是：×（70+80+80+70+90）＝78，
方差S2乙＝[（70﹣78）2+（80﹣78）2+（80﹣78）2+（70﹣78）2+（90﹣78）2]＝56；
所以S2甲＝S2乙，
故选：D．
6．（2分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠OAC＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80° B．100° C．130° D．140°
【分析】由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠BAC＝2∠OAC＝2×40°＝80°，∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，可求得∠ABC+∠ACB的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，
∴∠BAC＝2∠OAC＝2×40°＝80°，∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.
7．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
【解答】解：把0代入方程有：
a2﹣4＝0，
a2＝4，
∴a＝±2；
∵a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
8．（2分）已知⊙O的半径为3，点P是直线l上的一点，OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是 相切或相交 ．
【分析】先根据题意画出图形，再根据直线与圆的位置关系得出即可．
【解答】解：分为两种情况：①如图1，当OP⊥直线l时，此时直线l与⊙O的位置关系是相切；
②如图2，当OP和直线l不垂直时，此时直线l与⊙O相交；
所以直线l与⊙O的位置关系是相切或相交，
故答案为：相切或相交．
9．（2分）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 2.06（1+x）2＝4.38 ．
【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2.06（1+x）2＝4.38．
故答案为：2.06（1+x）2＝4.38．
10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
70
90
80
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 78 分．
【分析】根据该应聘者的总成绩＝创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．
【解答】解：该应聘者的总成绩是：70×+90×+80×＝78（分）．
故答案为：78．
11．（2分）如图，转盘中有6个面积都相等的扇形，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，“指针所落扇形中的数为偶数”发生的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：指针指向的可能情况有6种，而其中是偶数的有4种，
所以，“指针所落扇形中的数为偶数”发生的概率为＝，
故答案为：．
12．（2分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 5 cm．
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵C是的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝5，
故答案为：5．
13．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 k＝±1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（2k）2﹣4×1×1＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（2k）2﹣4×1×1＝0，即k2﹣1＝0
解得k＝±1．
故答案为：±1．
14．（2分）如图，四边形ABCD中，AB、CD分别与以AD为直径的半圆O切于点A、D，BC切
半圆O于点E，若BC＝15cm，CD＝9cm，则AB＝ 6 cm．
【分析】由CB、BA和CD都是半圆O的切线，由切线长定理得：CE＝CD，BE＝BA，所以：AB+CD＝BC，由此即可解决问题．
【解答】解：∵CB、BA和CD都是半圆O的切线，
由切线长定理得：
CE＝CD，BE＝BA，
∴AB+CD＝BC，
∵CD＝9cm，BC＝15cm，
∴BA＝BE＝15﹣9＝6（cm），
故答案为6．
15．（2分）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝70°，则∠BAC＝ 35°或145 °．
【分析】分圆心O与点A在BC的同侧和圆心O与点A在BC的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长BO交⊙O于点D，连接CD，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得∠D，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论．
【解答】解：当圆心O与点A在BC的同侧时，如图，
∠BAC＝∠BOC＝35°；
当圆心O与点A在BC的两侧时，如图，
延长BO交⊙O于点D，连接CD，
∵∠D＝∠BOC，
∴∠D＝35°．
∵四边形ACDB为圆的内接四边形，
∴∠BAC+∠D＝180°．
∴∠BAC＝180°﹣∠D＝145°．
综上，∠BAC＝35°或145°．
故答案为：35°或145
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是 ﹣2 ．
【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，BC＝3，OC＝2，
∴OB＝＝＝，
∴PB＝OB﹣OP＝﹣2．
∴PC最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，z即（x﹣2）2＝6，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）（x+2）2＝3（x+2），
（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴（x+2）＝0或（x﹣1）＝0．
∴x1＝﹣2，x2＝1．
18．（7分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值和另一个实数根．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＞0，然后解不等式即可；
（2）设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得2+t＝3，2t＝﹣m+3，从而可求出t、m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＝4m﹣3＞0，
解得m＞；
（2）设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝3，2t＝﹣m+3，
解得t＝1，m＝1，
所以m的值为1，方程的另一个实数根为1．
19．（7分）（1）比较2x与x2+2x+3的大小；
（2）比较2x2与x2+2x﹣3的大小．
【分析】（1）利用“作差法”来比较它们的大小．即：直接用多项式x2+2x+3减去多项式2x，再根据结果与零的关系判断两多项式的大小；
（2）利用“作差法”来比较它们的大小．即：直接用多项式2x2减去多项式x2+2x﹣3，再根据结果与零的关系判断两多项式的大小．
【解答】解：（1）x2+2x+3﹣2x＝x2+3．
∵x2≥0，
∴x2+3＞0，即x2+2x+3﹣2x＞0．
∴x2+2x+3＞2x；
（2）2x2﹣（x2+2x﹣3）＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2．
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0，即2x2﹣（x2+2x﹣3）＞0．
∴2x2＞x2+2x﹣3．
20．（8分）某校组织初三学生电脑技能竞赛，每班选派相同人数去参加竞赛，竞赛成绩分A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将初三（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图．
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
1班
87.5
90
90
2班
88
85
100
（1）此次竞赛中（2）班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 17 ；
（2）请你将表格补充完整；
（3）试运用所学的统计知识，从两个不同角度评价初三（1）班和初三（2）班的成绩．
【分析】（1）求出（1）班的人数，即（2）班人数，再由（2）班C级及以上所占的百分比即可求出相应的人数；
（2）根据中位数、众数、平均数的意义和计算方法求出结果即可；
（3）从两个角度分析两个班的成绩进行评价即可．
【解答】解：（1）（5+9+2+4）×（1﹣15%）＝17（人），
故答案为：17；
（2）一班的竞赛成绩出现次数最多的是90分，即众数是90分，
将二班学生计算成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝85（分），因此中位数是85分，
二班的平均数为：100×45%+90×5%+80×35%+70×15%＝88（分）
故答案为：88；85；90，补全统计表详见解答；
（3）
角度1：因为（1）班成绩的中位数比（2）班高，所以（1）班的成绩比（2）班好；
角度2：因为（2）班A级人数比（1）班多，所以（2）班成绩的优秀水平比（1）班高．
21．（8分）（1）某校有A、B两个食堂，甲、乙、丙三位同学各自随机选择其中的一个食堂就餐，求三位同学在相同食堂就餐的概率．
（2）甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A、B、C、D处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是 ．
【分析】（1）此题需要三步完成；因为有三名学生选择餐厅，可以看做需三次完成的事件，所以需要采用树状图法，再根据概率公式计算可得；
（2）由乘法公式可得共有2×2×2×2＝16（种）等可能的结果，其中甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
由树状图可知共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐有2种结果，
∴甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为＝；
（2）∵甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A、B、C、D处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，共有2×2×2×2＝16（种）等可能的结果，其中甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的有2种情况，
∴甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是＝，
故答案为：．
22．（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1：2．如果要使得彩条之外的面积为512cm2，求设计横彩条的宽度．
【分析】设横彩条的宽度为x cm，则竖彩条的宽度为2x cm，彩条之外的部分可合成长为（40﹣2×2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，根据彩条之外的面积为512cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合彩条之外的部分合成的矩形的各边为正值，即可得出设计横彩条的宽度．
【解答】解：设横彩条的宽度为x cm，则竖彩条的宽度为2x cm，彩条之外的部分可合成长为（40﹣2×2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，
依题意得：（20﹣2x）（40﹣2×2x）＝512，
整理得：（10﹣x）2＝64，
解得：x1＝18，x2＝2．
又∵20﹣2x＞0，
∴x＜10，
∴x＝2．
答：设计横彩条的宽度为2cm．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．
求证：（1）DE∥AB；
（2）DC＝EC．
【分析】（1）连接BD，AE，证＝，再由圆周角定理得∠ABD＝∠EAB，∠ABD＝∠AED，则∠AED＝∠EAB，即可得出结论；
（2）证∠CDE＝∠ABE，再由平行线的性质得∠CED＝∠ABE，则∠CED＝∠CDE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接BD，AE，
∵AD＝BE，
∴＝，
∴∠ABD＝∠EAB，
∵∠ABD＝∠AED，
∴∠AED＝∠EAB，
∴DE∥AB．
（2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠EDA+∠ABE＝180°，
又∵∠EDA+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠ABE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴DC＝EC．
24．（8分）商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？
【分析】设这种衬衫每件的价格降价了x元，则每件盈利（45﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，根据每天销售这批衬衫获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种衬衫每件的价格降价了x元，则每件盈利（45﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，
依题意得：（45﹣x）（30+2x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+225＝0，
解得：x1＝x2＝15．
答：这种衬衫每件的价格应降价15元．
25．（8分）如图，点A在⊙O上，用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，满足下列要求：
（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；
（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．
【分析】（1）延长AO交⊙O于B，在圆上任取一点C（点A、B除外），则利用圆周角定理可判断△ABC为直角三角形；
（2）先作直径AD，再在⊙O外取一点G，连接AG、DG，分别交⊙O于F、E，连接AE、DF交于点P，利用圆周角定理可判断P点为△GAD的高的交点，则直线GP垂直AD，直线GP交⊙O于B、C，利用垂径定理可判断AD垂直平分BC，所以△ABC为等腰三角形．
【解答】解：（1）如图①，△ABC为所作；
（2）如图②，△ABC为所作．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E．
（1）求证：⊙P与直线AC相切．
（2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径．
【分析】（1）连接PE．过点P作PF⊥AC，垂足为F．根据切线的性质可得PE⊥AB．再根据角平分线的性质可得PE＝PF．进而可以证明⊙P与直线AC相切；
（2）连接BP，CP，设⊙P半径为r，则根据三角形面积列出等式，即可求出⊙P的半径．
【解答】（1）证明：连接PE．
过点P作PF⊥AC，垂足为F．
∵⊙P与直线AB相切，切点为E，
∴PE⊥AB．
在△ABC中，AB＝AC，
∵D为AC的中点，
∴AD平分∠BAC．
∵PF⊥BA，PE⊥BC，
∴PE＝PF．
∴⊙P与直线AC相切；
（2）解：连接BP，CP，
设⊙P半径为r，则根据++＝，
其中，根据勾股定理得AD＝4．
∴++＝．
∴r＝1.5．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点M、N的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，MN＝cm？
（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？
（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．
【分析】（1）根据直角三角形的判定和勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理和最短路径解答即可；
（3）分三种情况①当DM＝MN，②当DM＝DN，③当MN＝DN，利用等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵点M、N的运动时间为t．
点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动，AB＝6cm，BC＝12cm，
∴AM＝tcm，BM＝（6﹣t）cm，
BN＝2tcm，NC＝（12﹣2t）cm．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△MBN、△DAM，△DNC都是直角三角形；
（1）在Rt△MBN中，根据勾股定理得，
BM2+BN2＝MN2，即（6﹣t）2+（2t）2＝（）2．
解得 t1＝1，t2＝．
∴当t＝1 s或s时，MN＝cm，
（2）在Rt△MNB中，根据勾股定理，得
MN2＝BM2+BN2，
即MN2＝（6﹣t）2+（2t）2
＝5（t﹣）2+，
要使MN的长度最短，只需要MN2的值最小值即可，即求5（t﹣）2+的最小值．
当t＝s时，MN2的值最小，最小为．
∴当t＝s时，MN的长度最短，此时最短长度为 cm；
（3）在Rt△DAM，Rt△BMN和Rt△DNC中，根据勾股定理得，
DM2＝DA2+AM2，MN2＝BM2+BN2，DN2＝NC2+DC2．
即DM2＝122+t2，MN2＝（6﹣t）2+（2t）2，DN2＝（12﹣2t）2+62．
若△DMN为等腰三角形，有3种情况：
①当DM＝MN，即DM2＝MN2时，t2+122＝（6﹣t）2+（2t）2，
解得 t1＝，t2＝．
∵0≤t≤6，
∴t1＝，t2＝均不合题意，舍去．
②当DM＝DN，即DM2＝DN2时，t2+122＝（12﹣2t）2+62，
解得 t1＝8﹣，t2＝8+．
∵0≤t≤6，t2＝8+不合题意，舍去．
③当MN＝DN，即MN2＝DN2时，（6﹣t）2+（2t）2＝（12﹣2t）2+62，
解得 t1＝﹣18，t2＝﹣﹣18．
∵0≤t≤6，t2＝﹣﹣18不合题意，舍去，
综上所述，
当t＝（8﹣）s时，△DMN为等腰三角形，
当t＝（﹣18 ）s时，△DMN为等腰三角形．
2021-2022学年江苏省南京市六合区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）下列为一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝2 B．2x2﹣x C．2x﹣x2＝7 D．x+＝7
2．（2分）方程x2﹣x＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
3．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
4．（2分）标标抛掷一枚点数从1﹣6的正方体骰子12次，有7次6点朝上．当他抛第13次时，6点朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）甲、乙两位同学连续五次的数学成绩如下图所示：
下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均数是70 B．乙的平均数是80
C．S2甲＞S2乙 D．S2甲＝S2乙
6．（2分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠OAC＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80° B．100° C．130° D．140°
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.
7．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为 ．
8．（2分）已知⊙O的半径为3，点P是直线l上的一点，OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
9．（2分）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ．
10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
70
90
80
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
11．（2分）如图，转盘中有6个面积都相等的扇形，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，“指针所落扇形中的数为偶数”发生的概率为 ．
12．（2分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 cm．
13．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
14．（2分）如图，四边形ABCD中，AB、CD分别与以AD为直径的半圆O切于点A、D，BC切
半圆O于点E，若BC＝15cm，CD＝9cm，则AB＝ cm．
15．（2分）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝70°，则∠BAC＝ °．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
18．（7分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值和另一个实数根．
19．（7分）（1）比较2x与x2+2x+3的大小；
（2）比较2x2与x2+2x﹣3的大小．
20．（8分）某校组织初三学生电脑技能竞赛，每班选派相同人数去参加竞赛，竞赛成绩分A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将初三（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图．
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
1班
87.5
90
2班
100
（1）此次竞赛中（2）班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 ；
（2）请你将表格补充完整；
（3）试运用所学的统计知识，从两个不同角度评价初三（1）班和初三（2）班的成绩．
21．（8分）（1）某校有A、B两个食堂，甲、乙、丙三位同学各自随机选择其中的一个食堂就餐，求三位同学在相同食堂就餐的概率．
（2）甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A、B、C、D处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是 ．
22．（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1：2．如果要使得彩条之外的面积为512cm2，求设计横彩条的宽度．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．
求证：（1）DE∥AB；
（2）DC＝EC．
24．（8分）商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？
25．（8分）如图，点A在⊙O上，用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，满足下列要求：
（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；
（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E．
（1）求证：⊙P与直线AC相切．
（2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点M、N的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，MN＝cm？
（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？
（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．
2021-2022学年江苏省南京市六合区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）下列为一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝2 B．2x2﹣x C．2x﹣x2＝7 D．x+＝7
【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）判断即可．
【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．不是方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2分）方程x2﹣x＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：C．
3．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可．
【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．
B、正确，本选项符合题意．
C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．
故选：B．
4．（2分）标标抛掷一枚点数从1﹣6的正方体骰子12次，有7次6点朝上．当他抛第13次时，6点朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：掷一颗均匀的骰子（正方体，各面标1﹣6这6个数字），一共有6种等可能的情况，其中6点朝上只有一种情况，
所以6点朝上的概率为．
故选：D．
5．（2分）甲、乙两位同学连续五次的数学成绩如下图所示：
下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均数是70 B．乙的平均数是80
C．S2甲＞S2乙 D．S2甲＝S2乙
【分析】利用公式求出两个样本的平均数和方差即可得出答案．
【解答】解：甲同学的平均数是：×（60+70+70+60+80）＝68，
方差是S2甲＝[（60﹣68）2+（70﹣68）2+（70﹣68）2+（60﹣68）2+（80﹣68）2]＝56；
乙同学的平均数是：×（70+80+80+70+90）＝78，
方差S2乙＝[（70﹣78）2+（80﹣78）2+（80﹣78）2+（70﹣78）2+（90﹣78）2]＝56；
所以S2甲＝S2乙，
故选：D．
6．（2分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠OAC＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80° B．100° C．130° D．140°
【分析】由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠BAC＝2∠OAC＝2×40°＝80°，∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，可求得∠ABC+∠ACB的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，
∴∠BAC＝2∠OAC＝2×40°＝80°，∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.
7．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
【解答】解：把0代入方程有：
a2﹣4＝0，
a2＝4，
∴a＝±2；
∵a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
8．（2分）已知⊙O的半径为3，点P是直线l上的一点，OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是 相切或相交 ．
【分析】先根据题意画出图形，再根据直线与圆的位置关系得出即可．
【解答】解：分为两种情况：①如图1，当OP⊥直线l时，此时直线l与⊙O的位置关系是相切；
②如图2，当OP和直线l不垂直时，此时直线l与⊙O相交；
所以直线l与⊙O的位置关系是相切或相交，
故答案为：相切或相交．
9．（2分）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 2.06（1+x）2＝4.38 ．
【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2.06（1+x）2＝4.38．
故答案为：2.06（1+x）2＝4.38．
10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
70
90
80
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 78 分．
【分析】根据该应聘者的总成绩＝创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．
【解答】解：该应聘者的总成绩是：70×+90×+80×＝78（分）．
故答案为：78．
11．（2分）如图，转盘中有6个面积都相等的扇形，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，“指针所落扇形中的数为偶数”发生的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：指针指向的可能情况有6种，而其中是偶数的有4种，
所以，“指针所落扇形中的数为偶数”发生的概率为＝，
故答案为：．
12．（2分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 5 cm．
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵C是的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝5，
故答案为：5．
13．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 k＝±1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（2k）2﹣4×1×1＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（2k）2﹣4×1×1＝0，即k2﹣1＝0
解得k＝±1．
故答案为：±1．
14．（2分）如图，四边形ABCD中，AB、CD分别与以AD为直径的半圆O切于点A、D，BC切
半圆O于点E，若BC＝15cm，CD＝9cm，则AB＝ 6 cm．
【分析】由CB、BA和CD都是半圆O的切线，由切线长定理得：CE＝CD，BE＝BA，所以：AB+CD＝BC，由此即可解决问题．
【解答】解：∵CB、BA和CD都是半圆O的切线，
由切线长定理得：
CE＝CD，BE＝BA，
∴AB+CD＝BC，
∵CD＝9cm，BC＝15cm，
∴BA＝BE＝15﹣9＝6（cm），
故答案为6．
15．（2分）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝70°，则∠BAC＝ 35°或145 °．
【分析】分圆心O与点A在BC的同侧和圆心O与点A在BC的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长BO交⊙O于点D，连接CD，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得∠D，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论．
【解答】解：当圆心O与点A在BC的同侧时，如图，
∠BAC＝∠BOC＝35°；
当圆心O与点A在BC的两侧时，如图，
延长BO交⊙O于点D，连接CD，
∵∠D＝∠BOC，
∴∠D＝35°．
∵四边形ACDB为圆的内接四边形，
∴∠BAC+∠D＝180°．
∴∠BAC＝180°﹣∠D＝145°．
综上，∠BAC＝35°或145°．
故答案为：35°或145
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是 ﹣2 ．
【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，BC＝3，OC＝2，
∴OB＝＝＝，
∴PB＝OB﹣OP＝﹣2．
∴PC最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，z即（x﹣2）2＝6，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）（x+2）2＝3（x+2），
（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴（x+2）＝0或（x﹣1）＝0．
∴x1＝﹣2，x2＝1．
18．（7分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值和另一个实数根．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＞0，然后解不等式即可；
（2）设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得2+t＝3，2t＝﹣m+3，从而可求出t、m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＝4m﹣3＞0，
解得m＞；
（2）设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝3，2t＝﹣m+3，
解得t＝1，m＝1，
所以m的值为1，方程的另一个实数根为1．
19．（7分）（1）比较2x与x2+2x+3的大小；
（2）比较2x2与x2+2x﹣3的大小．
【分析】（1）利用“作差法”来比较它们的大小．即：直接用多项式x2+2x+3减去多项式2x，再根据结果与零的关系判断两多项式的大小；
（2）利用“作差法”来比较它们的大小．即：直接用多项式2x2减去多项式x2+2x﹣3，再根据结果与零的关系判断两多项式的大小．
【解答】解：（1）x2+2x+3﹣2x＝x2+3．
∵x2≥0，
∴x2+3＞0，即x2+2x+3﹣2x＞0．
∴x2+2x+3＞2x；
（2）2x2﹣（x2+2x﹣3）＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2．
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0，即2x2﹣（x2+2x﹣3）＞0．
∴2x2＞x2+2x﹣3．
20．（8分）某校组织初三学生电脑技能竞赛，每班选派相同人数去参加竞赛，竞赛成绩分A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将初三（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图．
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
1班
87.5
90
90
2班
88
85
100
（1）此次竞赛中（2）班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 17 ；
（2）请你将表格补充完整；
（3）试运用所学的统计知识，从两个不同角度评价初三（1）班和初三（2）班的成绩．
【分析】（1）求出（1）班的人数，即（2）班人数，再由（2）班C级及以上所占的百分比即可求出相应的人数；
（2）根据中位数、众数、平均数的意义和计算方法求出结果即可；
（3）从两个角度分析两个班的成绩进行评价即可．
【解答】解：（1）（5+9+2+4）×（1﹣15%）＝17（人），
故答案为：17；
（2）一班的竞赛成绩出现次数最多的是90分，即众数是90分，
将二班学生计算成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝85（分），因此中位数是85分，
二班的平均数为：100×45%+90×5%+80×35%+70×15%＝88（分）
故答案为：88；85；90，补全统计表详见解答；
（3）
角度1：因为（1）班成绩的中位数比（2）班高，所以（1）班的成绩比（2）班好；
角度2：因为（2）班A级人数比（1）班多，所以（2）班成绩的优秀水平比（1）班高．
21．（8分）（1）某校有A、B两个食堂，甲、乙、丙三位同学各自随机选择其中的一个食堂就餐，求三位同学在相同食堂就餐的概率．
（2）甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A、B、C、D处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是 ．
【分析】（1）此题需要三步完成；因为有三名学生选择餐厅，可以看做需三次完成的事件，所以需要采用树状图法，再根据概率公式计算可得；
（2）由乘法公式可得共有2×2×2×2＝16（种）等可能的结果，其中甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
由树状图可知共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐有2种结果，
∴甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为＝；
（2）∵甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A、B、C、D处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，共有2×2×2×2＝16（种）等可能的结果，其中甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的有2种情况，
∴甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是＝，
故答案为：．
22．（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1：2．如果要使得彩条之外的面积为512cm2，求设计横彩条的宽度．
【分析】设横彩条的宽度为x cm，则竖彩条的宽度为2x cm，彩条之外的部分可合成长为（40﹣2×2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，根据彩条之外的面积为512cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合彩条之外的部分合成的矩形的各边为正值，即可得出设计横彩条的宽度．
【解答】解：设横彩条的宽度为x cm，则竖彩条的宽度为2x cm，彩条之外的部分可合成长为（40﹣2×2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，
依题意得：（20﹣2x）（40﹣2×2x）＝512，
整理得：（10﹣x）2＝64，
解得：x1＝18，x2＝2．
又∵20﹣2x＞0，
∴x＜10，
∴x＝2．
答：设计横彩条的宽度为2cm．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．
求证：（1）DE∥AB；
（2）DC＝EC．
【分析】（1）连接BD，AE，证＝，再由圆周角定理得∠ABD＝∠EAB，∠ABD＝∠AED，则∠AED＝∠EAB，即可得出结论；
（2）证∠CDE＝∠ABE，再由平行线的性质得∠CED＝∠ABE，则∠CED＝∠CDE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接BD，AE，
∵AD＝BE，
∴＝，
∴∠ABD＝∠EAB，
∵∠ABD＝∠AED，
∴∠AED＝∠EAB，
∴DE∥AB．
（2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠EDA+∠ABE＝180°，
又∵∠EDA+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠ABE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴DC＝EC．
24．（8分）商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？
【分析】设这种衬衫每件的价格降价了x元，则每件盈利（45﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，根据每天销售这批衬衫获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种衬衫每件的价格降价了x元，则每件盈利（45﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，
依题意得：（45﹣x）（30+2x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+225＝0，
解得：x1＝x2＝15．
答：这种衬衫每件的价格应降价15元．
25．（8分）如图，点A在⊙O上，用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，满足下列要求：
（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；
（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．
【分析】（1）延长AO交⊙O于B，在圆上任取一点C（点A、B除外），则利用圆周角定理可判断△ABC为直角三角形；
（2）先作直径AD，再在⊙O外取一点G，连接AG、DG，分别交⊙O于F、E，连接AE、DF交于点P，利用圆周角定理可判断P点为△GAD的高的交点，则直线GP垂直AD，直线GP交⊙O于B、C，利用垂径定理可判断AD垂直平分BC，所以△ABC为等腰三角形．
【解答】解：（1）如图①，△ABC为所作；
（2）如图②，△ABC为所作．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E．
（1）求证：⊙P与直线AC相切．
（2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径．
【分析】（1）连接PE．过点P作PF⊥AC，垂足为F．根据切线的性质可得PE⊥AB．再根据角平分线的性质可得PE＝PF．进而可以证明⊙P与直线AC相切；
（2）连接BP，CP，设⊙P半径为r，则根据三角形面积列出等式，即可求出⊙P的半径．
【解答】（1）证明：连接PE．
过点P作PF⊥AC，垂足为F．
∵⊙P与直线AB相切，切点为E，
∴PE⊥AB．
在△ABC中，AB＝AC，
∵D为AC的中点，
∴AD平分∠BAC．
∵PF⊥BA，PE⊥BC，
∴PE＝PF．
∴⊙P与直线AC相切；
（2）解：连接BP，CP，
设⊙P半径为r，则根据++＝，
其中，根据勾股定理得AD＝4．
∴++＝．
∴r＝1.5．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点M、N的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，MN＝cm？
（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？
（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．
【分析】（1）根据直角三角形的判定和勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理和最短路径解答即可；
（3）分三种情况①当DM＝MN，②当DM＝DN，③当MN＝DN，利用等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵点M、N的运动时间为t．
点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动，AB＝6cm，BC＝12cm，
∴AM＝tcm，BM＝（6﹣t）cm，
BN＝2tcm，NC＝（12﹣2t）cm．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△MBN、△DAM，△DNC都是直角三角形；
（1）在Rt△MBN中，根据勾股定理得，
BM2+BN2＝MN2，即（6﹣t）2+（2t）2＝（）2．
解得 t1＝1，t2＝．
∴当t＝1 s或s时，MN＝cm，
（2）在Rt△MNB中，根据勾股定理，得
MN2＝BM2+BN2，
即MN2＝（6﹣t）2+（2t）2
＝5（t﹣）2+，
要使MN的长度最短，只需要MN2的值最小值即可，即求5（t﹣）2+的最小值．
当t＝s时，MN2的值最小，最小为．
∴当t＝s时，MN的长度最短，此时最短长度为 cm；
（3）在Rt△DAM，Rt△BMN和Rt△DNC中，根据勾股定理得，
DM2＝DA2+AM2，MN2＝BM2+BN2，DN2＝NC2+DC2．
即DM2＝122+t2，MN2＝（6﹣t）2+（2t）2，DN2＝（12﹣2t）2+62．
若△DMN为等腰三角形，有3种情况：
①当DM＝MN，即DM2＝MN2时，t2+122＝（6﹣t）2+（2t）2，
解得 t1＝，t2＝．
∵0≤t≤6，
∴t1＝，t2＝均不合题意，舍去．
②当DM＝DN，即DM2＝DN2时，t2+122＝（12﹣2t）2+62，
解得 t1＝8﹣，t2＝8+．
∵0≤t≤6，t2＝8+不合题意，舍去．
③当MN＝DN，即MN2＝DN2时，（6﹣t）2+（2t）2＝（12﹣2t）2+62，
解得 t1＝﹣18，t2＝﹣﹣18．
∵0≤t≤6，t2＝﹣﹣18不合题意，舍去，
综上所述，
当t＝（8﹣）s时，△DMN为等腰三角形，
当t＝（﹣18 ）s时，△DMN为等腰三角形．
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