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2021-2022学年上海市徐汇区联考九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年上海市徐汇区联考九年级（上）期中数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选题，（本大共4分40分，解答题，综合题小题6分等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市徐汇区联考九年级（上）期中数学试卷
一、选题
1．（3分）下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
2．（3分）在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，下列命题中不正确的是（ ）
A．若EF∥BC，则 B．若，则EF∥BC
C．若EF∥BC，则 D．若，则EF∥BC
3．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．如果||＝||，那么＝
B．如果＝k•（k≠0），那么与方向相同
C．+＝+
D．﹣＝0
5．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分
7．（4分）如果＝，那么的值为 ．
8．（4分）化简：﹣2（﹣）＝ ．
9．（4分）如图，如果l1∥l2∥l3，AC＝12，DE＝3，EF＝5，那么BC＝ ．
10．（4分）如图，四边形BDEF是△ABC的内接菱形，若AB＝5，BC＝7，则菱形的边长为 ．
11．（4分）点P是线段MN的黄金分割点（MP＞PN），若MN＝2，则MP＝ ．
12．（4分）在△ABC中，如果∠C＝90°，AC＝4，，那么AB＝ ．
13．（4分）如图，G为△ABC的重心，若EF过点G且EF∥BC，交AB、AC于E、F，则的值为 ．
14．（4分）已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边分别长为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为6，那么△DEF的周长是 ．
15．（4分）等腰三角形中，如果腰与底边之比为5：8，那么底角的余弦值为 ．
16．（4分）如图，AD∥BC，AC、BD交于点O，若S△BCO：S△ACB＝2：3，则S△AOD：S△BOC＝ ．
17．（4分）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于 ．
18．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）．
三、（本大共4分40分
19．（10分）计算：﹣sin60°•cot30°
．
20．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、DC的中点，设，．
（1）求向量（用向量表示）；
（2）求作向量在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（10分）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：四边形BDEF的周长．
22．（10分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，CD＝2，．
求梯形ABCD的面积．
四、解答题（本大题共2题，满分20分）
23．（10分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为F、，E，CF和EB相交于点P，连接AP．
（1）求证：△ABF∽△ACE；
（2）求证：EC∥AP．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E为AD中点，连结BE，DF⊥BE于点F，连结AF、CF．
（1）求证：＝．
（2）若点G为AC中点，连结FG、DG，求证：FG＝DG．
五、综合题（本满分14分，第（1）小题分第（2）小题6分第（3）小题6分
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段AD的长．
2021-2022学年上海市徐汇区联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选题
1．（3分）下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
【分析】根据相似三角形的判定方法 一一判断即可；
【解答】解：∵两个等边三角形的内角都是60°，
∴两个等边三角形一定相似，
故选：C．
2．（3分）在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，下列命题中不正确的是（ ）
A．若EF∥BC，则 B．若，则EF∥BC
C．若EF∥BC，则 D．若，则EF∥BC
【分析】由平行线分线段成比例定理与平行线的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：A、若EF∥BC，则，故本选项正确；
B、若，则EF∥BC，故本选项正确；
C、若EF∥BC，则，故本选项正确；
D、若，则EF∥BC，故本选项错误．
故选：D．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用正切的定义求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴tanB＝＝．
故选：A．
4．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．如果||＝||，那么＝
B．如果＝k•（k≠0），那么与方向相同
C．+＝+
D．﹣＝0
【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可．
【解答】解：A、||＝||表示两个向量的模相等，当不一定是共线向量，故＝不一定成立，不符合题意；
B、如果＝k•（k＞0），那么与方向相同，不符合题意；
C、+＝+，符合题意；
D、﹣＝，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC＝5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意分情况讨论．
【解答】解：当∠A是锐角时，
如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，
∴BD＝5×2÷5＝2，
在Rt△ABD中，sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°．
当∠A是钝角时，
如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，
∴BD＝5×2÷5＝2，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝，
∴∠BAD＝60°．
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD＝∠CDE，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠B，
∴∠ADE＝∠DCE，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD＝∠CDE，∠DCE＝∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B＝∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分
7．（4分）如果＝，那么的值为 ．
【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2x，则b＝3x，
那么＝＝．
故答案为：．
8．（4分）化简：﹣2（﹣）＝ ﹣2 ．
【分析】先去括号，然后合并同类项．
【解答】解：原式＝﹣2+＝﹣2．
故答案是：﹣2．
9．（4分）如图，如果l1∥l2∥l3，AC＝12，DE＝3，EF＝5，那么BC＝ ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AC＝12，DE＝3，EF＝5，
∴，
即，
∴BC＝．
故答案为：．
10．（4分）如图，四边形BDEF是△ABC的内接菱形，若AB＝5，BC＝7，则菱形的边长为 ．
【分析】利用四边形BDEF是菱形的性质，可得DE＝BD，DE∥BC，设BD＝x＝DE，则AD＝AB﹣BD＝5﹣x，易知△ADE∽△ABC，可得AD：AB＝DE：BC，即可求解．
【解答】解：∵四边形BDEF是△ABC的内接菱形，
∴DE＝BD，DE∥BC，
设BD＝x＝DE，则AD＝AB﹣BD＝5﹣x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，即（5﹣x）：5＝x：7，
解得：x＝，
即BD＝，
故答案为：．
11．（4分）点P是线段MN的黄金分割点（MP＞PN），若MN＝2，则MP＝ ﹣1 ．
【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝2代入计算即可．
【解答】解：MP＝MN
＝×2
＝﹣1．
故答案是：﹣1．
12．（4分）在△ABC中，如果∠C＝90°，AC＝4，，那么AB＝ ．
【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系，可以确定BC与AB的关系；再根据勾股定理即可求得AB边的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB为斜边，AC＝4，，
∴AB＝BC÷sinA＝3BC．
∵AC2+BC2＝AB2，
即42+BC2＝（3BC）2，
∴AB＝3．
13．（4分）如图，G为△ABC的重心，若EF过点G且EF∥BC，交AB、AC于E、F，则的值为 ．
【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3．
【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GP，
∴AG：AP＝2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝．
故答案为：．
14．（4分）已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边分别长为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为6，那么△DEF的周长是 40 ．
【分析】根据相似三角形的对应线段成比例可得出△DEF的最长边与最短边的比例关系，进而可求出这两边的长，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出△DEF的周长．
【解答】解：设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：
，解得：x＝16，y＝10；
∴△ABC和△DEF的相似比为1：2，周长比也是1：2；
∵△ABC的周长＝5+7+8＝20，
∴△DEF的周长为40．
15．（4分）等腰三角形中，如果腰与底边之比为5：8，那么底角的余弦值为 ．
【分析】过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质求得BD＝4a，再求出底角的余弦值即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D，如图，
∵腰与底边之比为5：8，
∴设AB＝AC＝5a，BC＝8a，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD＝BC＝4a，
∴cosB＝＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，AD∥BC，AC、BD交于点O，若S△BCO：S△ACB＝2：3，则S△AOD：S△BOC＝ 1：4 ．
【分析】根据题意和图形可以判断△BCD与△ACB这两个三角形为等高不等底的三角形，可知S△BCO：S△ACB＝2：3，即可求出OC：AC＝2：3，从而知道OA：OC＝1：2，因为AD∥BC，，易得△AOD∽△BOC，根据相似三角形面积比是边长比的平方即可求解．
【解答】解：∵△BCD与△ACB这两个三角形为等高不等底的三角形，
∴面积之比就是底的比，
∵S△BCO：S△ACB＝2：3，
∴OC：AC＝2：3，即OA：OC＝1：2，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴S△AOD：S△BOC＝OA2：OC2＝1：4．
故答案为：1：4．
17．（4分）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于 4 ．
【分析】如图，甲、乙、丙均为正方形，正方形甲、乙的边长分别为9和6，设正方形丙的边长为x，根据正方形性质可推出△ABC∽△BDE，通过相似三角形性质建立方程求解即可．
【解答】解：如图，∵甲、乙、丙均为正方形，正方形甲、乙的边长分别为9和6，设正方形丙的边长为x，
∴∠BCF＝∠CBG＝∠DEG＝90°，AF＝9，BC＝CF＝BG＝6，DE＝EG＝x，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCF＝90°，∠BED＝180°﹣∠DEG＝90°，
∴∠ACB＝∠BED，
∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DBE，
∴△ABC∽△BDE，
∴＝，
∵AC＝AF﹣CF＝9﹣6＝3，BE＝BG﹣EG＝6﹣x，
∴＝，
解得：x＝4，
∴正方形丙的边长为4，
故答案为：4．
18．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）．
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB＝2AD，
∴＝，
∵AB＝2AD，S△ABC＝，
∴S△ADE＝，
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF＝∠BAD＝45°，∠AEF＝60°，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，
∴×AB×CM＝，
∠BCM＝30°，
设AB＝2k，BM＝k，CM＝k，
∴k＝1，AB＝2，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
三、（本大共4分40分
19．（10分）计算：﹣sin60°•cot30°
．
【分析】把特殊角的锐角三角函数值代入计算．
【解答】解：﹣sin60°•cot30°
＝﹣×
＝1﹣
＝﹣．
20．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、DC的中点，设，．
（1）求向量（用向量表示）；
（2）求作向量在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【分析】（1）根据线段的中点定义可得MD＝AD，DN＝AB，然后表示出，，再根据三角形法则求出即可；
（2）以点M为圆心，以DN长为半径画弧，以点N为圆心，以MD长为半径画弧，交点为E，再根据平行四边形法则解答即可．
【解答】解：（1）∵M、N分别是边AD、DC的中点，
∴MD＝AD，DN＝AB，
∵＝，＝，
∴＝，＝，
＝+＝+；
（2）如图所示，为在方向上的向量，为在方向上的向量．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：四边形BDEF的周长．
【分析】由题中条件可得四边形DBFE是平行四边形，再由平行线分线段成比例的性质球的线段BD、DE的长，进而即可求解其周长．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF＝BD，DE＝BF，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵AE＝2CE，
∴＝＝＝，
∴DE＝6，AD＝4，即BD＝2，
∴四边形BDEF的周长＝2（BD+DE）＝2×（6+2）＝16．
22．（10分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，CD＝2，．
求梯形ABCD的面积．
【分析】由AD＝AB，∠A＝90°可得BD的长，又AD∥BC，可得△BCD为等腰直角三角形，进而可求解面积．
【解答】解：∵AB∥CD，BC⊥AB，
∴BC⊥CD．（1分）
∵AD⊥BD，
∴∠ABD+∠A＝90°．
又∵∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠A．（1分）
∵，
∴．（2分）
∵CD＝2，
∴BD＝3，．（2分）
又∵，
∴．（2分）
∴．（2分）
四、解答题（本大题共2题，满分20分）
23．（10分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为F、，E，CF和EB相交于点P，连接AP．
（1）求证：△ABF∽△ACE；
（2）求证：EC∥AP．
【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，可得∠BAF＝∠CAE，∠BFA＝∠AEC＝90°，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．
（2）由相似三角形的对应边成比例，可得，即可得BF∥EC，由平行分线段成比例及其变形，即可得AP∥EC．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
又∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA＝∠AEC＝90°，
∴△ABF∽△ACE．
（2）由（1）有，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴BF∥EC，
∴，
∴，
∴AP∥EC．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E为AD中点，连结BE，DF⊥BE于点F，连结AF、CF．
（1）求证：＝．
（2）若点G为AC中点，连结FG、DG，求证：FG＝DG．
【分析】（1）由AD⊥BC，DF⊥BE，可得∠BED＝∠DEF，即有△EFD∽△EDB，从而＝，又ED＝AE，BD＝DC，故＝；
（2）由∠DBF＝∠EDF，可得∠AEF＝∠CDF，结合（1）的结论即知△AEF∽△CDF，故∠AFE＝∠CFD，可得∠AFC＝90°，从而FG＝AC，而∠ADC＝90°，G为AC中点，有DG＝AC，即可证FG＝DG．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，DF⊥BE，
∴∠DBF＝90°﹣∠FDB＝∠EDF，
而∠BED＝∠DEF，
∴△EFD∽△EDB，
∴＝，
∵点E为AD中点，
∴ED＝AE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴＝；
（2）∵∠AEF＝∠ADB+∠DBF＝90°+∠DBF，
∠CDF＝∠CDA+∠EDF＝90°+∠EDF，
而∠DBF＝∠EDF，
∴∠AEF＝∠CDF，
由（1）知＝，
∴△AEF∽△CDF，
∴∠AFE＝∠CFD，
又∠CFD+∠CFE＝90°，
∴∠AFE+∠CFE＝90°，即∠AFC＝90°，
∵G为AC中点，
∴FG＝AC，
∵∠ADC＝90°，G为AC中点，
∴DG＝AC，
∴FG＝DG．
五、综合题（本满分14分，第（1）小题分第（2）小题6分第（3）小题6分
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段AD的长．
【分析】（1）由题意先求出AC，BC的长，由AE⊥CD和∠ACB＝90°，证明出∠CAF＝∠BCD，再由，可知，求得CF，从而求得线段BF的长；
（2）通过分析，作辅助线，过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，根据平行线的性质得：，再由（1）得，根据以上两个式子求出y关于x的函数解析式，
（3）分两种情况：①当点F在线段BC上时，②当点F在CB延长线上时，求得线段AD的长为或．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，
∴BC＝4，AC＝3，
∵AE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠AFC＝90°，∠AFC+∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠BCD．
∴，
又∵∠ACB＝90°，AC＝3，
∴CF＝，BF＝．
（2）过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，
∴，即①
在Rt△ACF与Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF＝tan∠BCD，
∴，即，②
由①②得，
（3）1°当点F在线段BC上时，
把代入解得，
2°当点F在CB延长线上时，
设AD＝x，由（2）同理可得，解得
综上所述当时，线段AD的长为或．
2021-2022学年上海市徐汇区联考九年级（上）期中数学试卷
一、选题
1．（3分）下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
2．（3分）在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，下列命题中不正确的是（ ）
A．若EF∥BC，则 B．若，则EF∥BC
C．若EF∥BC，则 D．若，则EF∥BC
3．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．如果||＝||，那么＝
B．如果＝k•（k≠0），那么与方向相同
C．+＝+
D．﹣＝0
5．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分
7．（4分）如果＝，那么的值为 ．
8．（4分）化简：﹣2（﹣）＝ ．
9．（4分）如图，如果l1∥l2∥l3，AC＝12，DE＝3，EF＝5，那么BC＝ ．
10．（4分）如图，四边形BDEF是△ABC的内接菱形，若AB＝5，BC＝7，则菱形的边长为 ．
11．（4分）点P是线段MN的黄金分割点（MP＞PN），若MN＝2，则MP＝ ．
12．（4分）在△ABC中，如果∠C＝90°，AC＝4，，那么AB＝ ．
13．（4分）如图，G为△ABC的重心，若EF过点G且EF∥BC，交AB、AC于E、F，则的值为 ．
14．（4分）已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边分别长为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为6，那么△DEF的周长是 ．
15．（4分）等腰三角形中，如果腰与底边之比为5：8，那么底角的余弦值为 ．
16．（4分）如图，AD∥BC，AC、BD交于点O，若S△BCO：S△ACB＝2：3，则S△AOD：S△BOC＝ ．
17．（4分）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于 ．
18．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）．
三、（本大共4分40分
19．（10分）计算：﹣sin60°•cot30°
．
20．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、DC的中点，设，．
（1）求向量（用向量表示）；
（2）求作向量在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（10分）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：四边形BDEF的周长．
22．（10分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，CD＝2，．
求梯形ABCD的面积．
四、解答题（本大题共2题，满分20分）
23．（10分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为F、，E，CF和EB相交于点P，连接AP．
（1）求证：△ABF∽△ACE；
（2）求证：EC∥AP．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E为AD中点，连结BE，DF⊥BE于点F，连结AF、CF．
（1）求证：＝．
（2）若点G为AC中点，连结FG、DG，求证：FG＝DG．
五、综合题（本满分14分，第（1）小题分第（2）小题6分第（3）小题6分
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段AD的长．
2021-2022学年上海市徐汇区联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选题
1．（3分）下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
【分析】根据相似三角形的判定方法 一一判断即可；
【解答】解：∵两个等边三角形的内角都是60°，
∴两个等边三角形一定相似，
故选：C．
2．（3分）在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，下列命题中不正确的是（ ）
A．若EF∥BC，则 B．若，则EF∥BC
C．若EF∥BC，则 D．若，则EF∥BC
【分析】由平行线分线段成比例定理与平行线的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：A、若EF∥BC，则，故本选项正确；
B、若，则EF∥BC，故本选项正确；
C、若EF∥BC，则，故本选项正确；
D、若，则EF∥BC，故本选项错误．
故选：D．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用正切的定义求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴tanB＝＝．
故选：A．
4．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．如果||＝||，那么＝
B．如果＝k•（k≠0），那么与方向相同
C．+＝+
D．﹣＝0
【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可．
【解答】解：A、||＝||表示两个向量的模相等，当不一定是共线向量，故＝不一定成立，不符合题意；
B、如果＝k•（k＞0），那么与方向相同，不符合题意；
C、+＝+，符合题意；
D、﹣＝，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC＝5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意分情况讨论．
【解答】解：当∠A是锐角时，
如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，
∴BD＝5×2÷5＝2，
在Rt△ABD中，sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°．
当∠A是钝角时，
如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，
∴BD＝5×2÷5＝2，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝，
∴∠BAD＝60°．
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD＝∠CDE，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠B，
∴∠ADE＝∠DCE，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD＝∠CDE，∠DCE＝∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B＝∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分
7．（4分）如果＝，那么的值为 ．
【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2x，则b＝3x，
那么＝＝．
故答案为：．
8．（4分）化简：﹣2（﹣）＝ ﹣2 ．
【分析】先去括号，然后合并同类项．
【解答】解：原式＝﹣2+＝﹣2．
故答案是：﹣2．
9．（4分）如图，如果l1∥l2∥l3，AC＝12，DE＝3，EF＝5，那么BC＝ ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AC＝12，DE＝3，EF＝5，
∴，
即，
∴BC＝．
故答案为：．
10．（4分）如图，四边形BDEF是△ABC的内接菱形，若AB＝5，BC＝7，则菱形的边长为 ．
【分析】利用四边形BDEF是菱形的性质，可得DE＝BD，DE∥BC，设BD＝x＝DE，则AD＝AB﹣BD＝5﹣x，易知△ADE∽△ABC，可得AD：AB＝DE：BC，即可求解．
【解答】解：∵四边形BDEF是△ABC的内接菱形，
∴DE＝BD，DE∥BC，
设BD＝x＝DE，则AD＝AB﹣BD＝5﹣x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，即（5﹣x）：5＝x：7，
解得：x＝，
即BD＝，
故答案为：．
11．（4分）点P是线段MN的黄金分割点（MP＞PN），若MN＝2，则MP＝ ﹣1 ．
【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝2代入计算即可．
【解答】解：MP＝MN
＝×2
＝﹣1．
故答案是：﹣1．
12．（4分）在△ABC中，如果∠C＝90°，AC＝4，，那么AB＝ ．
【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系，可以确定BC与AB的关系；再根据勾股定理即可求得AB边的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB为斜边，AC＝4，，
∴AB＝BC÷sinA＝3BC．
∵AC2+BC2＝AB2，
即42+BC2＝（3BC）2，
∴AB＝3．
13．（4分）如图，G为△ABC的重心，若EF过点G且EF∥BC，交AB、AC于E、F，则的值为 ．
【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3．
【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GP，
∴AG：AP＝2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝．
故答案为：．
14．（4分）已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边分别长为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为6，那么△DEF的周长是 40 ．
【分析】根据相似三角形的对应线段成比例可得出△DEF的最长边与最短边的比例关系，进而可求出这两边的长，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出△DEF的周长．
【解答】解：设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：
，解得：x＝16，y＝10；
∴△ABC和△DEF的相似比为1：2，周长比也是1：2；
∵△ABC的周长＝5+7+8＝20，
∴△DEF的周长为40．
15．（4分）等腰三角形中，如果腰与底边之比为5：8，那么底角的余弦值为 ．
【分析】过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质求得BD＝4a，再求出底角的余弦值即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D，如图，
∵腰与底边之比为5：8，
∴设AB＝AC＝5a，BC＝8a，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD＝BC＝4a，
∴cosB＝＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，AD∥BC，AC、BD交于点O，若S△BCO：S△ACB＝2：3，则S△AOD：S△BOC＝ 1：4 ．
【分析】根据题意和图形可以判断△BCD与△ACB这两个三角形为等高不等底的三角形，可知S△BCO：S△ACB＝2：3，即可求出OC：AC＝2：3，从而知道OA：OC＝1：2，因为AD∥BC，，易得△AOD∽△BOC，根据相似三角形面积比是边长比的平方即可求解．
【解答】解：∵△BCD与△ACB这两个三角形为等高不等底的三角形，
∴面积之比就是底的比，
∵S△BCO：S△ACB＝2：3，
∴OC：AC＝2：3，即OA：OC＝1：2，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴S△AOD：S△BOC＝OA2：OC2＝1：4．
故答案为：1：4．
17．（4分）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于 4 ．
【分析】如图，甲、乙、丙均为正方形，正方形甲、乙的边长分别为9和6，设正方形丙的边长为x，根据正方形性质可推出△ABC∽△BDE，通过相似三角形性质建立方程求解即可．
【解答】解：如图，∵甲、乙、丙均为正方形，正方形甲、乙的边长分别为9和6，设正方形丙的边长为x，
∴∠BCF＝∠CBG＝∠DEG＝90°，AF＝9，BC＝CF＝BG＝6，DE＝EG＝x，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCF＝90°，∠BED＝180°﹣∠DEG＝90°，
∴∠ACB＝∠BED，
∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DBE，
∴△ABC∽△BDE，
∴＝，
∵AC＝AF﹣CF＝9﹣6＝3，BE＝BG﹣EG＝6﹣x，
∴＝，
解得：x＝4，
∴正方形丙的边长为4，
故答案为：4．
18．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）．
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB＝2AD，
∴＝，
∵AB＝2AD，S△ABC＝，
∴S△ADE＝，
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF＝∠BAD＝45°，∠AEF＝60°，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，
∴×AB×CM＝，
∠BCM＝30°，
设AB＝2k，BM＝k，CM＝k，
∴k＝1，AB＝2，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
三、（本大共4分40分
19．（10分）计算：﹣sin60°•cot30°
．
【分析】把特殊角的锐角三角函数值代入计算．
【解答】解：﹣sin60°•cot30°
＝﹣×
＝1﹣
＝﹣．
20．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、DC的中点，设，．
（1）求向量（用向量表示）；
（2）求作向量在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【分析】（1）根据线段的中点定义可得MD＝AD，DN＝AB，然后表示出，，再根据三角形法则求出即可；
（2）以点M为圆心，以DN长为半径画弧，以点N为圆心，以MD长为半径画弧，交点为E，再根据平行四边形法则解答即可．
【解答】解：（1）∵M、N分别是边AD、DC的中点，
∴MD＝AD，DN＝AB，
∵＝，＝，
∴＝，＝，
＝+＝+；
（2）如图所示，为在方向上的向量，为在方向上的向量．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：四边形BDEF的周长．
【分析】由题中条件可得四边形DBFE是平行四边形，再由平行线分线段成比例的性质球的线段BD、DE的长，进而即可求解其周长．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF＝BD，DE＝BF，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵AE＝2CE，
∴＝＝＝，
∴DE＝6，AD＝4，即BD＝2，
∴四边形BDEF的周长＝2（BD+DE）＝2×（6+2）＝16．
22．（10分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，CD＝2，．
求梯形ABCD的面积．
【分析】由AD＝AB，∠A＝90°可得BD的长，又AD∥BC，可得△BCD为等腰直角三角形，进而可求解面积．
【解答】解：∵AB∥CD，BC⊥AB，
∴BC⊥CD．（1分）
∵AD⊥BD，
∴∠ABD+∠A＝90°．
又∵∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠A．（1分）
∵，
∴．（2分）
∵CD＝2，
∴BD＝3，．（2分）
又∵，
∴．（2分）
∴．（2分）
四、解答题（本大题共2题，满分20分）
23．（10分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为F、，E，CF和EB相交于点P，连接AP．
（1）求证：△ABF∽△ACE；
（2）求证：EC∥AP．
【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，可得∠BAF＝∠CAE，∠BFA＝∠AEC＝90°，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．
（2）由相似三角形的对应边成比例，可得，即可得BF∥EC，由平行分线段成比例及其变形，即可得AP∥EC．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
又∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA＝∠AEC＝90°，
∴△ABF∽△ACE．
（2）由（1）有，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴BF∥EC，
∴，
∴，
∴AP∥EC．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E为AD中点，连结BE，DF⊥BE于点F，连结AF、CF．
（1）求证：＝．
（2）若点G为AC中点，连结FG、DG，求证：FG＝DG．
【分析】（1）由AD⊥BC，DF⊥BE，可得∠BED＝∠DEF，即有△EFD∽△EDB，从而＝，又ED＝AE，BD＝DC，故＝；
（2）由∠DBF＝∠EDF，可得∠AEF＝∠CDF，结合（1）的结论即知△AEF∽△CDF，故∠AFE＝∠CFD，可得∠AFC＝90°，从而FG＝AC，而∠ADC＝90°，G为AC中点，有DG＝AC，即可证FG＝DG．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，DF⊥BE，
∴∠DBF＝90°﹣∠FDB＝∠EDF，
而∠BED＝∠DEF，
∴△EFD∽△EDB，
∴＝，
∵点E为AD中点，
∴ED＝AE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴＝；
（2）∵∠AEF＝∠ADB+∠DBF＝90°+∠DBF，
∠CDF＝∠CDA+∠EDF＝90°+∠EDF，
而∠DBF＝∠EDF，
∴∠AEF＝∠CDF，
由（1）知＝，
∴△AEF∽△CDF，
∴∠AFE＝∠CFD，
又∠CFD+∠CFE＝90°，
∴∠AFE+∠CFE＝90°，即∠AFC＝90°，
∵G为AC中点，
∴FG＝AC，
∵∠ADC＝90°，G为AC中点，
∴DG＝AC，
∴FG＝DG．
五、综合题（本满分14分，第（1）小题分第（2）小题6分第（3）小题6分
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段AD的长．
【分析】（1）由题意先求出AC，BC的长，由AE⊥CD和∠ACB＝90°，证明出∠CAF＝∠BCD，再由，可知，求得CF，从而求得线段BF的长；
（2）通过分析，作辅助线，过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，根据平行线的性质得：，再由（1）得，根据以上两个式子求出y关于x的函数解析式，
（3）分两种情况：①当点F在线段BC上时，②当点F在CB延长线上时，求得线段AD的长为或．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，
∴BC＝4，AC＝3，
∵AE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠AFC＝90°，∠AFC+∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠BCD．
∴，
又∵∠ACB＝90°，AC＝3，
∴CF＝，BF＝．
（2）过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，
∴，即①
在Rt△ACF与Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF＝tan∠BCD，
∴，即，②
由①②得，
（3）1°当点F在线段BC上时，
把代入解得，
2°当点F在CB延长线上时，
设AD＝x，由（2）同理可得，解得
综上所述当时，线段AD的长为或．
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