六年级 奥数课件PPT

这是一份六年级 奥数课件PPT，共530页。


















定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义， 然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙ 等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。



【例题1】 假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】
这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之 差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规 定了要先算小括号里的。因此，在13*（5*4）中，就要先算 小括号里的（5*4）。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26



【练习1】1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求
27*9。



2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。



3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
同步教材视频



【例题2】 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算 符号。3△(4△6)
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65



【练习2】1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）
÷2，求5△（6△4）。



（2） 设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求
30△（5△3）。



（3） 设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。


【 例题 3 】 如果 1 * 5 = 1 + 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 ，
2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么

7*4=
【思路导航】
；210*2= 。


经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此




7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420

【练习3 】1 ． 如果1 * 5 = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 ，
2 * 4 = 2 + 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 2 ， 3 * 3 = 3 + 3 3 + 3 3 3 ， … … 那么
4*4= 。









（1） 规定， 那么8*5= 。







3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷

（2*6）=
。多少分？

【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，
⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，那么，A是几？
【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a－1）×a×
（a＋1），据此，可以求出1/⑥－1/⑦ =1/（5×6×7）－1/
（6×7×8），这里的分母都比较大，不易直接求出结果。 根据1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，可得出A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ =
（1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1。即




【练习4 】1 ． 规定： ②= 1 × 2 × 3 ， ③＝ 2 × 3 × 4 ， ④＝
3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，
那么A= 。







2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥
＝ 5 × 6 × 7 ，…… 如果1 / ⑩+ 1 / ⑾＝ 1 / ⑾× □， 那么□＝
。


3 ． 如果 1 ※ 2 ＝ 1 + 2 ， 2 ※ 3 ＝ 2 + 3 + 4 ， … … 5 ※ 6 ＝
5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝ 。

【例题5】设a⊙ b=4a－2b+1/2ab,求z⊙ （4⊙ 1）＝34中的未知数x。
【思路导航】先求出小括号中的4⊙ 1=4×4-2×1+1/2×4×1
＝16，再根据x⊙ 16＝4x－2×16+1/2×x×16 = 12x－32， 然后解方程4⊙ 1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16
x⊙ 16＝4x－2×16+1/2×x×16
＝12x－32 12x－32 = 34
12x= 66
x＝5.512x－32 = 34，求出x的值。列算式为

【练习5】
1．设a⊙ b=3a－2b，已知x⊙ （4⊙ 1）＝7求x。



2 ． 对两个整数a 和b 定义新运算“ △ ” ： a △ b = ， 求
6△4+9△8。



（2） 对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝ （其中m
是一个确定的整数）。如果1*2＝1，那么3*12＝ 。







根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性 质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简， 化难为易。


















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【例题1】
计算4.75-9.63+（8.25-1.37）
【思路导航】
先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：
a－b－c = a－（b＋c），使运算过程简便。所以原式＝4.75+8.25－9.63－1.37
＝13－（9.63+1.37）
＝13－11
＝2





【练习1】计算下面各题。



【例题2】






【练习2】



【例题3】
计算：36×1.09+1.2×67.3 原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3
＝1.2×（32.7+67.3）
＝1.2×100
＝120




【练习3】






【例题4】




【练习4】



【例题5】
计算81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5 原式＝81.5×（15.8+51.8）+67.6×18.5
＝81.5×67.6+67.6×18.5
＝（81.5+18.5）×67.6
＝100×67.6
＝6760



【练习5】








计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行 一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方 法在四则运算中用处很大。


【例题1】 计算：1234+2341+3412+4123
【思路导航】
注意到题中共有４个四位数，每个四位数中都包含有１、２、３、４这几个数字，而且它们都分别在千位、百位、十位、个位上出现了一次，根据位值计数的原则，可作如下解答：
原式＝1×1111+2×1111+3×1111+4×1111
＝（1+2+3+4）×1111
＝10×1111
＝11110

【练习1】
1.23456+34562+45623+56234+62345




2.45678+56784+67845+78456+84567




3.124.68+324.68+524.68+724.68+924.68












【思路导航】
【例题2】
原式＝2.8×23.4+2.8×65.4+11.1×8×7.2
＝2.8×（23.4+65.4）+88.8× 7.2
＝2.8×88.8+88.8×7.2
＝88.8×（2.8+7.2）
＝88.8×10
＝888

【练习2】
1.99999×77778+33333×66666




2.34.5×76.5－345×6.42－123×1.45




3.77×13+255×999+510



【例题3】


【思路导航】




【练习3】






【例题4】有一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？
【思路导航】
20012－20002＝2001×2000－20002+2001
＝2000×（2001－2000）+2001
＝2000+2001
＝4001

【练习4】计算：
1. 19912－19902




2. 99992+19999




3. 999×274+6274



【例题5】


【思路导航】




【练习5】











在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要 仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运 算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律 的模式，以便于口算，从而简化运算。




【例题1】



【练习1】




【例题2】






【练习2】






【例题3】






【练习3】






【例题4】








【练习4】





【例题5】



【练习5】













【例题1】




【练习1】




【例题2】




【练习2】





【例题3】






【练习3】

【例题4】




【练习4】




【例题5】






【练习5】































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把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的 条件下转化。
如果甲是乙的a/b，乙是丙的c/d，则甲是丙的ac/bd；如果甲是乙的a/b，则乙是甲的b/a；如果甲的a/b等于乙的c/d，则 甲是乙的c/d÷a/b＝bc/ad


【例题1】 乙数是甲数的2/3，丙数是乙数的4/5，丙数是甲数的几分之几？


【思路导航】
2/3×4/5＝8/15

【练习1】1．乙数是甲数的3/4，丙数是乙数的3/5，丙数是 甲数的几分之几？


（1） 一根管子，第一次截去全长的1/4，第二次截去余下的1/2， 两次共截去全长的几分之几？


（2） 一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时 旅客睡着了。他醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路 程的1/4。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时 火车行了全程的几分之几？

转化单位一 疯狂操练 （二）
【例题2】
修一条8000米的水渠，第一周修了全长的1/4，第二周修的 相当于第一周的4/5，第二周修了多少米？
【思路导航】
解一：8000×1/4×4/5＝1600（米）
解二：8000×（1/4×4/5）＝1600（米） 答：第二周修了1600米。

【练习2】用两种方法解答下面各题：
（1） 一堆黄沙30吨，第一次用去总数的1/5，第二次用去的是 第一次的1又1/4倍，第二次用去黄沙多少吨？


（2） 大象可活80年，马的寿命是大象的1/2，长颈鹿的寿命是 马的7/8，长颈鹿可活多少年？


（3） 仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的1/5，第二次取出 余下的1/3，第二次取出多少吨？

转化单位一 疯狂操练 （三）
【例题3】
晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了余 下的2/5，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？
【思路导航】
解： 15÷【（1－1/4）×2/5－ 1/4】＝300（页） 答：这本书有300页。

【练习3】
• 有一批货物，第一天运了这批货物的1/4，第二天运的是 第一天的3/5，还剩90吨没有运。这批货物有多少吨？


• 修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的1/4， 第二天修了余下的2/3，已知这两天共修路1200米，这条公 路全长多少米？


• 加工一批零件，甲先加工了这批零件的2/5，接着乙加工 了余下的4/9。已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共 有多少个？

转化单位一 疯狂操练 （四）
【例题4】
男生人数是女生人数的4/5，女生人数是男生人数的几分之几？


【思路导航】
解：把女生人数看作单位“1”。 1÷4/5＝5/4
把男生人数看作单位“1”。 5÷4＝5/4

【练习4】
（1） 停车场里有小汽车的辆数是大汽车的3/4，大汽车的辆数 是小汽车的几分之几？


（2） 如果山羊的只数是绵羊的6/7，那么绵羊的只数是山羊的 几分之几？


（3） 如果花布的单价是白布的1又3/5倍，则白布的单价是花布的几分之几？

转化单位一 疯狂操练 （五）
【例题5】甲数的1/3等于乙数的1/4，甲数是乙数的几分之几， 乙数是甲数的几倍？


【思路导航】
解： 1/4÷1/3＝3/4 1/3÷1/4＝1又1/3
答：甲数是乙数的3/4，乙数是甲数的1又1/3。

【练习5】
（1） 甲数的3/4于乙数的2/5，甲数是乙数的几分之几？乙数是 甲数的几分之几？


（2） 甲数的1又2/3倍等于乙数的5/6，甲数是乙数的几分之几？ 乙数是甲乙两数和的几分之几？


（3） 甲数是丙数的3/4，乙数是丙数的2/5，甲数是乙数的几分 之几？乙数是甲数的几分之几？（想一想：这题与第一题有 什么不同？）































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我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量 关系的实质，又可拓展我们的解题思路，提高我们的思维能 力。







【例题1】 甲数是乙数的2/3，乙数是丙数的3/4，甲、乙、
丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？
【思路导航】解法一： 把丙数看所单位“ 1” 那么甲数就是丙数的3/4×2/3＝1/2，丙：216÷（1+3/4+3/4×2/3）＝96 乙：96×3/4＝72 甲：72×2/3＝48
解法二：可将“乙数是丙数的3/4”转化成“丙数是乙数的4/3”，把乙数看作单位“1”。 乙：216÷（2/3+1+4/3）＝72 甲：72×2/3＝48 丙：72÷3/4＝96
解法三：将条件“甲数是乙数的2/3”转化为“乙数是甲数的3/2”，再将条件“乙数是丙数的3/4”转化为“丙数是乙数的4/3”，以甲数为单位“1”。
甲：216÷（1+3/2+3/2×4/3）＝48 乙：48×3/2＝72 丙：72×4/3＝
96

【练习1】下面各题怎样计算简便就怎样计算：
• 甲数是乙数的5/6，乙数是丙数的3/4，甲、乙、丙三个数 的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？


• 橘子的千克数是苹果的2/3，香蕉的千克数是橘子的1/2， 香蕉和苹果共有220千克，橘子有多少千克？


• 某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生 数的9/10，初二的学生数是初三学生数的1又1/4倍，这个学 校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？

第七周 转化单位一 疯狂操练 （二）
【例题2】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的3/5等于 黄气球的2/3，蓝气球有24只，红气球和黄气球各有多少只？
【思路导航】解法一：将条件“红气球的3/5等于黄气球的2/3”转化为“黄气球的只数是红气球的（3/5÷2/3）＝
9/10”。先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。
红气球：（62－24）÷（1+3/5÷2/3）＝20（只） 黄气球： 62－24－20＝18（只）
解法二：将条件“红气球的3/5等于黄气球的2/3”转化为“红气球的只数是黄气球的（2/3÷3/5）＝10/9”。先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。
黄气球：（62－24）÷（1+2/3÷3/5）＝18（只） 红气球： 62－24－18＝20（只）

【练习2】
（1） 甲数的2/3等于乙数的5/6，甲、乙两数的和是162，甲、 乙两数各是多少？


（2） 今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的
2/3正好是乙得奖金的4/7，甲、乙两人各得奖金多少元？


（3） 商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的1/4 等于苹果重量的1/3，梨子的重量是200千克。香蕉和苹果各 多少千克？

第七周 转化单位一 疯狂操练 （三）
【例题3】 已知甲校学生数是乙校学生数的2/5，甲校的女生数是甲校学生数的3/10，乙校的男生数是乙校学生数的21/50， 那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？
【思路导航】
解法一：把乙校学生数看作单位“1”。【2/5×3/10+（1－
21/50）】÷（1+2/5）＝1/2
解 法 二 ： 把 甲 校 学 生 数 看 作 单 位 “ 1 ” 。 （ 5 / 2 －
5/2×2150+3/10）÷（1+5/2）＝1/2
答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的1/2。

【练习3】
• 在一座城市中，中学生数是居民的1/5，大学生是中学生 数的1/4，那么占大学生总数的2/5的理工科大学生是居民数 的几分之几？


• 某人在一次选举中，需3/4的选票才能当选，计算2/3的选 票后，他得到的选票已达到当选票数的5/6，他还要得到剩下 选票的几分之几才能当选？


• 某校有3/5的学生是男生，男生的1/20想当医生，全校想 当医生的学生的3/4是男生，那么全校女生的几分之几想当医 生？

第七周 转化单位一 疯狂操练 （四）
【例题4】仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走2/5，
面粉运作1/10后，仓库里剩下大米和面粉正好相等。原来大 米和面粉各有多少袋？
【思路导航】
解法一：将大米的袋数看作单位“1”
（1－2/5）÷（1－1/10）＝2/3 2000÷（1+2/3）＝1200
（袋） 2000－1200＝800（袋）
解法二：将面粉的袋数看作单位“1”
（1－1/10）÷（1－2/5）＝3/2 2000÷（1+3/2）＝800
（袋） 2000－800＝1200（袋）

【练习4】
（1） 甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的2/3、乙完成自己的1/4时，两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？


（2） 一批水果四天卖完。第一天卖出180千克，第二天卖出余 下的2/7，第三、四天共卖出这批水果的一半，这批水果有多 少千克？


（3） 甲、乙两人合打一篇书稿，共有10500字。如果甲增加他 的任务的20％，乙减少他的任务的20％，那么甲打的字数就 是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？

第七周 转化单位一 疯狂操练 （五）
【例题5】 400名学生参加植树活动，计划每个男生植树20 棵，每个女生植树15棵。除抽出25％的男生搞卫生外，其他 的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？
【思路导航】
解： 20×（1－25％）×400
＝20×0.75×400
＝6000（棵）
答：共植树6000棵。

【练习5】
1. 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的1/3放在一 起是13公顷，麦地的一半和菜地的1/3放在一起是12公顷， 那么，菜地有多少公顷？


2. 师徒两人加工同样多的零件，师傅要10分钟，徒弟要18 分钟。两人共同加工零件168个，如果要在相同的时间内完 成，两人各应加工零件多少个？


3. 有5元和2元的人民币若干张，其金额之比为15：4。如果
5元人民币减少6张，则两种人民币的张数相等。求原来两种 人民币的张数各是多少？































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解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将已知条件进行转化， 找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。


【例题1】 有两筐梨。乙筐是甲筐的3/5，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的7/9。甲、乙两筐梨共重多 少千克？
【思路导航】
解：5÷（5/（5+3）－9/（7+9））＝80（千克） 答：甲、乙两筐梨共重80千克。

【练习1】
• 某小学低年级原有少先队员是非少先队员的1/3，后来又 有39名同学加入少先队组织。这样，少先队员的人数是非少 先队员的7/8。低年级有学生多少人？


• 王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的1/19，后来从合格产品中又发现了2个不合格产品，这时算出产品的 合格率是94％。合格产品共有多少个？


• 某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名 女生，转走3名男生，这时女生占总人数的48％。现在有男 生多少人？

第八周 转化单位一 疯狂操练 （二）

【例题2】
某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的3/8。后来又买进20根长跳绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的7/12。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？

第八周 转化单位一 疯狂操练 （二）
【思路导航】
解法一：根据短跳绳的根数没有变，我们把短跳绳看作单位“1”。可以得出原来的长跳绳根数占短跳绳根数的3/（8-3）， 后来长跳绳是短跳绳的7/（12-7）。这样就找到了20根长跳绳相当于短跳绳的（7/（12-7）－3/（8-3）），从而求出短跳绳的根数。再用短跳绳的根数除以（1－7/12）就可以求出这个学校现有跳绳的总数。

即20÷【7/（12-7）－3/（8-3）】÷（1－7/12）＝60（根） 解法二：把短跳绳看作单位“1”，原来的总数是短跳绳的8/
（8-3），后来的总数是短跳绳的12/（12-7）。所以 20÷
（12/（12-7）－8/（8-3））÷（1－7/12）＝60（根）

【练习2】
1. 阅览室看书的同学中，女同学占3/5，从阅览室走出5位女同学后，看数的同学中，女同学占4/7，原来阅览室一共有多 少名同学在看书？


2. 一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后， 奶糖只占25％，这堆糖中有奶糖多少千克？


3. 数学课外兴趣小组，上学期男生占5/9，这学期增加21名 女生后，男生就只占2/5了，这个小组现有女生多少人？

第八周 转化单位一 疯狂操练 （三）
【例题3】有两段布，一段布长40米，另一段长30米，把两 段布都用去同样长的一部分后，发现短的一段布剩下的长度 是长的一段布所剩长度的3/5，每段布用去多少米？
【思路导航】
解： 40－（40－30）÷（1－3/5）＝15（米） 答：每段布用去15米。

【练习3】
1. 有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根上各剪去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的2/7，两根绳各剪去多少米？
2. 今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的5/12时，儿子多少岁？


3. 仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后， 仓库里所剩的大米袋数时面粉的3/4，仓库里原有大米和面粉各多少袋？


4. 甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路时其他三个队的1/2，乙队筑的路时其他三个队的1/3，丙队筑的路时其他三个队的1/4，丁队筑了多少米？

第八周 转化单位一 疯狂操练 （四）
【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占1/5，后来又运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视机多少台？


【思路导航】
解： 630×（1－1/5）÷（1－30％）－630＝90（台） 答：又运进黑白电视机90台。

【练习4】
1. 书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占1/6。后来又运来一批科技书，这时科技书占两种书总和的3/11，现在两种书各有多少包？


2. 某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手占1/4，正式比赛时， 有几名女选手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的2/11。问： 正式参赛的女选手有多少人？


3. 把12千克的盐溶解于120千克水中，得到132千克盐水，如果要使盐 水中含盐8％，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？


4. 东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨占水果总数的1/5； 下午又运进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的2/5，下午运进梨多少千克？

第八周 转化单位一 疯狂操练 （五）
【例题5】一堆煤，运走的比总数的2/5多120吨，剩下的比 运走的5/6多60吨，这堆煤原有多少吨？
【思路导航】
解： （120+120×5/6+60）÷（1―2/5―2/5×5/6）＝1050
（吨）
答：这堆煤原有1050吨。

【练习5】
1. 修一条路，第一天修了全长的2/5多60米，第二天修的长度比第一天的3/4多35米，还剩100米没有修，这条路全长多少米？





2. 修一条路，第一天修了全长的2/5多60米，第二天修的长度比第一天的3/4少35米，这两天共修路420米，这条路全长多少米？


3. 某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的2/5，第二天修了剩下部 分的5/9又20米，第三天修的是第一天的1/4又30米，这样，正好修完， 这段公路全长多少米？































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在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题 目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺 少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入 法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入
（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。


【例题1】 如果△△＝□□□，△☆＝□□□□， 那么
☆☆□＝（ ）个△。
【思路导航】
由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5， 再代入第三式左边是12，所以右边括号内应填4。
说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显 然要多费周折。

【练习1】
1．已知△＝○○，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝
（ ）个○


1. 五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙 比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米？



2. 甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨 到乙仓库，从乙仓库运45吨到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲 仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多的比最 少的多多少吨？

第九周 设数法解题 疯狂操练 （二）
【例题2】 足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加1/5，问一张门票降价多少元？
【思路导航】
初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无 关，我们可以随便假设一个观众数。为了方便，假设原来只 有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+1/5）＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元， 每张票降价15－9＝6元。即：
15－15×（1+1/5）÷2＝6（元）

【练习2】
1. 某班一次考试，平均分为70分，其中3/4及格，及格的同 学平均分为80分，那么不及格的同学平均分是多少分？


2. 游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加了20％，小学生占学生总数的40％， 小学生增加百分之几？


3. 五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女 生人数相等，三班的男生是全部男生的2/5，全部女生人数占 全年级人数的几分之几？

第九周 设数法解题 疯狂操练 （三）
【例题3】小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山， 每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟跑240米，又从原路 上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求 小王的平均速度。
【思路导航】
题中四个速度的最小公倍数是1200，设一个单程是1200米。 则（1）四个单程的和：1200×4＝4800（米）
（ 2 ） 四个单程的时间分别是； 1 2 0 0 ÷ 2 0 0 ＝ 6 （ 分）
1200÷240＝5（分）1200÷150＝8（分）1200÷200＝6
（分）
1. 小王的平均速度为：
4800÷（6+5+8+6）＝192（米）

【练习3】
1. 小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6
千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。


2. 张师傅骑自行车往返A、B两地。去时每小时行15千米， 返回时因逆风，每小时只行10千米，张师傅往返途中的平均 速度是每小时多少千米？


3. 小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米， 如果他去时每小时行42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？

第九周 设数法解题 疯狂操练 （四）
【例题4】 某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5，女孩平均身高比男孩高10％，这个班男孩 平均身高是多少？
【思路导航】
题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男 孩有6人。
（1） 总身高：115×【5+5×（1+1/5）】＝1265（厘 米）
（2） 由于女孩平均身高是男孩的（1+10％），所以5个女孩的身高相当于5×（1+10％）＝5.5个男孩的身高，因此 男孩的平均身高为：
1265÷【（1+10％）×5+6】＝110（厘米）

【练习4】
1. 某班男生人数是女生的2/3，男生平均身高为138厘米， 全班平均身高为132厘米。问：女生平均身高是多少厘米？


2. 某班男生人数是女生的4/5，女生的平均身高比男生高15
％，全班的平均身高是130厘米，求男、女生的平均身高各 是多少？


3. 一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？ 它的面积增加百分之几？

第九周 设数法解题 疯狂操练 （五）
【例题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步， 现在狗已跑出30米，马开始追它。问狗再跑多远，马可以追到它？
【思路导航】
马跑一步的距离不知道，跑3步的时间也不知道，可取具体 数值，并不影响解题结果。
设马跑一步为7，则狗跑一步为4，再设马跑3步的时间为1， 则狗跑5步的时间为1，推知狗的速度为20，马的速度为21。 那么，
20×【30÷（21－20）】＝600（米）

【练习5】
1. 猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5
步，但兔跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？


2. 猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追到它？




3. 狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才能到达B地？































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假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然 后再和已知条件配合推算。有些题目用假设法思考，能找到 巧妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样， 再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据它与实际条件的矛盾求解。


【例题1】 甲、乙两数之和是185，已知甲数的1/4与乙数的
1/5的和是42，求两数各是多少？
【思路导航】
假设将题中“甲数的1/4”、“乙数的1/5”与“和为42”同时扩 大4倍，则变成了“甲数与乙数的4/5的和为168”，再用185 减去168就是乙数的1/5。
解： 乙：（185－42×4）÷（1－1/5×4）＝85

【练习1】
• 甲、乙两人共有钱150元，甲的1/2与乙的1/10的钱数和 是35元，求甲、乙两人各有多少元钱？


• 甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的1/7，乙 队人数的1/3，共抽调78人，甲、乙两个消防队原来各有多 少人？


• 海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥，已知四月份完 成总数的1/3多50吨，五月份完成总数的2/5少70吨，还有420吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？

第10周 假设法解题 疯狂操练二
【例题2】彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视 机卖出1/9，则比黑白电视机多5台。问：两种电视机原来各 有多少台？
【思路导航】
从图中可以看出：假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视 机卖出1/9后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1－1/9）＝
8/9。
（250+5）÷（1+1－1/9）＝135（台）
250－125＝115（台）

【练习2】
1. 姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉1/7，还比妹妹多10只， 姐姐和妹妹各养了多少只兔？


2. 学校有篮球和足球共21个，篮球借出1/3后，比足球少1
个，原来篮球和足球各有多少个？


3. 小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉1/20，还比 鸭多17只，小明家原来养的鸡和鸭各有多少只？

第10周 假设法解题 疯狂操练三
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工 零件个数的3/8与徒弟加工零件个数的4/7的和为49个，师、 徒各加工零件多少个？
【思路导航】
假设师、徒两人都完成了4/7，一个能完成（105×4/7）＝ 60个，和实际相差（60－49）＝11个，这11个就是师傅完成 将零件的3/8与完成加工零件的4/7相差的个数。这样就可以 求出师傅加工了【11÷（4/7－3/8）】＝56个。即：
师傅：（105×4/7－49）÷（4/7－3/8）＝56（个） 徒弟：105－56＝49（个）

【练习3】
1. 某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电 视机的2/5和黑白电视机的3/7，共卖出57台。问：原来彩色 电视机和黑白电视机各有多少台？


2. 甲、乙两个消防队共有336人，抽调甲队人数的5/7、乙 队人数的3/7，共抽调188人参加灭火。问：甲、乙两个消防 队原来各有多少人？


3. 学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的1/4和 足球个数的1/3后，还剩下46个，买来排球和足球各是多少 个？

第10周 假设法解题 疯狂操练四
【例题4】 甲、乙两数的和是300，甲数的2/5比乙数的1/4多
55，甲、乙两数各是多少？
【思路导航】
甲数的2 / 5 与乙数的2 / 5 的和就是甲、乙两数的2 / 5 ， 是
300×2/5＝120，因为甲数的2/5比乙数的1/4多55，所以从
120中减去55所得的差就可以看成是乙数的1/4与乙数的2/5
的和。
乙 ：（300×2/5－55）÷（2/5+1/4）＝100 甲：300－100＝200

【练习4】
1. 畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的2/5比绵羊的1/2多
50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？


2. 师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的
5/8比徒弟加工零件个数的2/3多60个，师傅和徒弟各加工零 件多少个？


3. 某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的1/10比 甲班种的1/3少16棵，两个班各种多少棵？

第10周 假设法解题 疯狂操练五
【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增 加1/6，女学生减少1/5，共有710人，本学期男、女学生各有 多少人？
【思路导航】
假设本学期女学生不是减少1/5，而是增加1/6，半学期应该有750×
（1+1/6）＝875人，比实际多875－710＝165人，这165人是假设女学生也增加1/6多出的人数，而实际女学生减少1/5，所以，这165人对应着女学生的（1/5+1/6）＝11/30。
上学期女生：【750×（1+1/6）－710】÷（1/5+1/6）＝450（人） 本学期女生：450×（1－1/5）＝360（人）
本学期男生：710－360＝350（人）

【练习5】
1. 金放在水里称，重量减轻1/19，银放在水里称，重量减少1/10，一块重770克的金银合金，放在水里称是720克，这块合金含金、银各多少克？


2. 某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？


3. 袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加3/8，黄球减少2/5后， 红球与黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？



六年级数学举一反三









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已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后 两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的 应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等 各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键 仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后 的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的 量，其他要求的量就迎刃而解了。


【例题1】 两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的长度是第二根剩下的长度的5倍，第二 根原来有多少米？
【思路导航】
假设第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的长度仍是第 二根剩下长度的3 倍， 而事实上第一根比假设的少用去
（6×3－6）＝12米，也就多剩下第二根剩下的长度的（5－
3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）

【练习1】
1. 丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学， 则丁晓书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？


2. 在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增 加450棵，小学增加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？




3. 两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨， 第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？

第11周 假设法解题 疯狂操练二
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元， 若两个人各买了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？
【思路导航】
假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应地花去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那么王明买书后的钱比陈 刚买书后的钱的3倍多6.40+8.80＝15.20元，而题中已告诉： 买书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15.20元就对应着陈刚 花钱后剩下钱的8－3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）

【练习2】
1. 甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加
150本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？


2. 上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马 村中学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？


3. 箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球， 那么，箱子里白球原有多少粒？

第11周 设数法解题 疯狂操练三
【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的1/2，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的2/3，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】
假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的1/2，则小红只 需买（5×1/2）＝2又1/2枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－2又1/2＝2又1/2 枝。将小刚买了5枝后的枝数看作“1”， 小红多买了2又1/2 ，相当于（2/3－1/2）＝1/6。
小刚原来：（5－5×1/2）÷（2/3－1/2）－5＝10（枝） 小红原来：10×1/2＝5（枝）

【练习3】
• 小华今年的年龄是爸爸年龄的1/6，四年后小华的年龄是 爸爸的1/4，求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁？


• 小红今年的年龄是妈妈的3/8，10年后小红的年龄是妈妈 的1/2，小红今年多少岁？


• 甲书架上的书是乙书架上的5/7，甲、乙两个书架上各增 加90本后，甲书架上的书是乙书架上的4/5，甲、乙两各书 架原来各有多少本书？

第11周 设数法解题 疯狂操练四
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的4/5，两人各捐给 “希望工程”10本后，则王芳的图书的本数是李卫的7/10， 两人原来各有图书多少本？
【思路导航】
假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的4/5，则王芳 只需捐10×4/5＝8本，实际王芳捐了10本，多捐了10－8＝2 本，将李卫捐书后剩下的图书看作“1”，着2本书相当于4/5－7/10＝1/10。
李卫 （10－10×4/5）÷(4/5－710)+10=30(本)
30×4/5＝24（本）

【练习4】
1. 甲书架上的书是乙书架上的4/5，从这两个书架上各借出112本后， 甲书架上的书是乙书架上的4/7，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？


2. 小明今年的年龄是爸爸的6/11，10年前小明的年龄是爸爸的4/9，小 明和爸爸今年各多少岁？


3. 甲车间的工人是乙车间的1/4，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人只占乙车间的1/6，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？

第11周 假设法解题 疯狂操练五
【例题5】某校六年级男生人数是女生的2/3，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的3/4，现在男、女 生各有多少人？
【思路导航】
假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的2/3，则男生应转 走3×2/3＝2人，实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。将转走3名女生后的女生人数看作“1”，则相差 的4人相当于现在女生的3/4－2/3。
（2+3×2/3）÷（3/4－2/3）＝48（人）
48×3/4＝36（人）

【练习5】
1. 甲车间的工人是乙车间的2/5，后来甲车间增加20人，乙车间减少35
人，这样甲车间的人数是乙车间的7/9，现在甲、乙两个车间各有多少人？


2. 有一堆棋子，黑子是白子的2/3，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是白子的5/12，现在白子、黑子各有多少粒？


3. 爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华 小学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一 等奖的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的 人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？



六年级数学举一反三





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有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地 列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从 最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从 后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。


【例题1】 一本文艺书，小明第一天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/5，还剩下48页，这本书共有多少页？
【思路导航】
从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－3/5＝2/5。第一天看后还剩下48÷2/5＝120页，这120页占全书的1－ 1/3＝2/3，这本书共有120÷2/3＝180页。即
48÷（1－3/5）÷（1－1/3）＝180（页）

【练习1】
１．某班少先队员参加劳动，其中3/7的人打扫礼堂，剩下队员中的5/8打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？


２．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的3/8，第二天走了余下的2/3， 第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？



３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余下的2/5， 丙拿走这时所剩的3/4，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？

第12周 推倒法解题 疯狂操练二
【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的1/5又100米， 第二天修了余下的2/7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？
【思路导航】
从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－2/7＝5/7， 第一天修后还剩500÷5/7＝700米，如果第一天正好修全长的1/5，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－1/5
＝4/5，这段路全长800÷4/5＝1000米。列式为：
【500÷（1－2/7）+100】÷（1－1/5）＝1000米

【练习2】
１．一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的1/3还多6吨， 最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？


２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的1/3又2公顷， 第二天耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共 有多少公顷？


３．一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了余下
1/3少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？

第12周 推倒法解题 疯狂操练三
【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后，又
从乙桶中倒出1/5给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导航】
从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出1/5给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－1/5）
＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出1/3给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－1/3）＝27千 克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。
甲：【24×2－24÷（1－1/5）】÷（1－1/3）＝27（千克） 乙：24×2－27＝21（千克）

【练习3】
１．小华拿出自己的画片的1/5给小强，小强再从自己现有的 画片中拿出1/4给小华，这时两人各有画片12张，原来两人 各有画片多少张？


２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出1/5给乙后，乙又 拿出1/4给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？


３．一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克， 原来瓶中有多少克酒精？

第12周 推倒法解题 疯狂操练四
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出 与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙； 第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙 三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【思路导航】
根据题意，由最后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲 拿出与乙同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝28元， 这28元就是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元

【练习4】
１．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时 甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班 比乙班多多少人？


２．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再 从乙盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙 盒多几个球？


３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？

第12周 推倒法解题 疯狂操练五
【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/4到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时甲、乙 两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分 之几？

（1） 【思路导航】
（2） 解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运出1/4到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的1/2。
（3） ①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？

（4） 1/2÷（1－1/4）＝2/3
（5） ②甲仓库占两仓库和的几分之几？

（6） 1－2/3＝1/3
（7） ③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？

（8） 1/3÷（1－1/4）＝4/9
（9） ④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？

（10） 4÷（9－4）＝4/5

【练习5】
1. 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后，又 从乙仓库运出1/3到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲 仓库的粮食是乙仓库的几分之几？


２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/5到乙仓库后，又 从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲 仓库的粮食是乙仓库的几分之几？


３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后，又 从乙仓库运出2/5到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的9/10。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？


六年级数学举一反三





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有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答 比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等 量关系列方程解答。


【例题1】 某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有4/5合 格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？

（11） 【思路导航】
（12） 本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的 一共有42个，列方程求解。
（13） 解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
（14） （x+12）×4/5+x＝42
（15） 4/5x+9+x＝42
（16） 9/5x＝42－9又3/5
（17） x＝18
（18） 18+12＝30（个）

【练习1】
• 某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的3/4
得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？


• 有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的2/5 是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？


• 六年级甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？

第13周 代数法解题 疯狂操练二
【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来 男生减少1/4，女生减少1/6，剩下的男、女生人数相等，原 来一共有多少名学生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求 解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）人
（1－1/6）x＝（x+10）×（1－1/4）
x＝90 90+90+10＝190人

【练习2】
• 某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线电小组的同学减少1/5，参加航模小组的人数减少1/10，这样， 两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？


• 原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加5/8，乙书架上的书增加3/10，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少本？


• 某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零 件比昨天少1/10，生产的乙种零件比昨天增加3/20，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生产了多少个？

第13周 代数法解题 疯狂操练三
【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的
1/5比乙校参加人数的1/4少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】
这题中的等量关系是：甲×1/5＝乙×1/4－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
1/5x＝（22－x）×1/4－1 x＝10
22－10＝12（人）

【练习3】
• 学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连 环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？


• 某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女 生各有多少人？



• 王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数 的比李师傅的少2个，两人各加工了多少个？

第13周 代数法解题 疯狂操练四
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的5/6，两个书架上各借 出154本后，甲书架上的书是乙书架上的4/7，甲、乙两书架 上原有书各多少本？
【思路导航】
这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下 的4/7。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有5/6x本。
（x－154）×4/7＝5/6x－154 x ＝252
252×5/6 ＝210（本）

【练习4】
1. 儿子今年的年龄是父亲的1/6，4年后儿子的年龄是父亲的
1/4，父亲今年多少岁？


2. 某校六年级男生是女生人数的2/3，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的3/4。原来男、女生各有 多少人？


3. 第一车间人数的3/5等于第二车间人数的9/10，第一车间 比第二车间多50人。两个车间各有多少人？

第13周 代数法解题 疯狂操练五
【例题5】一个班女同学比男同学的2/3多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等。这个班男、女 生各有多少人？
【思路导航】
抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好 相等”这个等量关系列方程。
解：设男生有x人，则女生有（2/3x+4）人。
x－3＝2/3x+4+4 x＝33 2/3×33+4＝26（人）

【练习5】
1. 某学校的男教师比女教师的3/8多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？


2. 某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。 如果从第一仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的 4/9。两个仓库原来各有电视机多少台？


3. 某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的4/5少30人。如果从第二车间调10人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的3/4。求原来每个车间的人数。



六年级数学举一反三





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我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一 回事，所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实 际问题可以化难为易，化繁为简。


【例题1】 甲数是乙数的2/3，乙数是丙数的4/5，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。


【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15

【练习1】
• 甲数是乙数的4/5，乙数是丙数的5/8，甲、乙、丙三数的 比是（ ）：（ ）：（ ）。


• 甲数是乙数的4/5，甲数是丙数的4/9，甲、乙、丙三数的 比是（ ）：（ ）：（ ）。


• 甲数是丙数的3/7，乙数是丙数的2又1/2，甲、乙、丙三 数的比是（ ）：（ ）：（ ）。

第14周 比的应用 疯狂操练二
【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？

第14周 比的应用 疯狂操练二
【思路导航】
先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3 二、三两组人数的比
4：5
一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×8/35＝32（人）
④第二组：140×12/35＝48（人）
⑤第三组：140×15/35＝60（人）

【练习2】
（1） 某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2， 棉田与其他作物面积的比6：1。每种作物各是多少公亩？



（2） 黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比 是5：4，第二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？



（3） 科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？

第14周 比的应用 疯狂操练三
【例题3】甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校 给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。原来甲 校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知， 原来甲校图书的本数是两校图书总数的7/（7+5），由于甲 校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图书总数的3/
（3+4），甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的
7/（7+5）－3/（3+4）＝13/84。
650÷（7/（7+5）－3/（3+4））×7/（7+5）＝2450（本）

【练习3】
• 小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？


• 甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比为7：5。原来甲包有多少克糖？




• 五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的
1/3，二班与三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班 有多少人参加了数学竞赛？

第14周 比的应用 疯狂操练四
【例题4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分 给三个儿子，其中大儿子分得1/2，二儿子分得1/3，小儿子 分得1/9，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求 怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知 道这到底是怎么回事吗？


【思路导航】

第14周 比的应用 疯狂操练四
【思路导航】
因为1/2+1/3+1/9＝17/18，17/18﹤1，就是说三兄弟并未将 全部牛分完，所以我们求出三个儿子分牛头数的连比，最后 再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比：1/2：1/3：1/9＝9：6：2
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：17×9/17＝9（头）17×6/17
＝6（头）17×2/17＝2（头）

【练习4】
1. 图书室取出一批书，按照一年级得1/2，二年级得1/3，三年级得1/7，正好是
41本，各年级各得多少本？


2. 古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三分之一给女儿，三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没有预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。


1. 从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：（ ）。
2. 从母亲至少得遗产的1/3来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：
（ ）：（ ）。

3. 甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做1/3。三人各 做多少个？

第14周 比的应用 疯狂操练五
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4： 1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？

第14周 比的应用 疯狂操练五
【思路导航】
抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子 容积的几分之几再解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3/（1+3）＝ 3/4
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4/（1+4）＝ 4/5
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 3/4+4/5 ＝ 31/20
④ 水占一个瓶子容积的比 2－31/20 ＝ 9/20
⑤ 混合液中酒精与水的比 31/20：9/20＝31：9

【练习5】
1. 两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。



2. 将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的 比是2：1，乙队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？




3. 光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的5/8，照这样的速度 计算，全年可超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？



六年级数学举一反三





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比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。


【例题1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走1/5的路， 而乙走的时间比甲少1/11，求甲、乙两人速度的比。

【思路导航】
因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝甲路程/ 甲时间：乙路程/乙时间
（1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：1＝6：5
（2）甲、乙时间的比：1：（1－1/11）＝11：10
（3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11

【练习1】
1. 小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5，小 芳用的时间比小明多1/8。求小明和小芳速度的比。



2. 甲走的路程比乙多1/3，乙用的时间比甲多1/4。求甲、乙 的速度比。



3. 一个人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步 行少用8分钟。这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多 少？

第15周 比的应用 疯狂操练二
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5 分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要 求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？

第15周 比的应用 疯狂操练二
【思路导航】
先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比 等于工作效率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比： 1/6：1/5：1/1.5＝15：18：20
总份数：15+18+20＝53
甲 ：1590×15/53＝450（个） 乙 ：1590×18/53＝540（个） 丙 ：1590×20/53＝600（个）

【练习2】
1. 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825 个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那 么各应加工多少个？


2. 甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5 分钟，比乙制造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少2/5。甲、乙、丙各制造了多少个零件？



3. 加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分 别能完成零件48个，32个，28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少工人？

第15周 比的应用 疯狂操练三
【例题3】两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两 厂西服价格的比是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960 万元。两厂的产值各是多少万元？
【思路导航】
因为产值＝价格×产量，所以
甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量） 两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50
甲厂产值为：6960×66/（66+50）＝3960（元） 乙厂产值为：6960×50（66+50）＝3000（元）

【练习3】
1. 甲、乙两个长方形长的比是4：5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？




2. 苹果和梨的单价的比是6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3， 共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？



3. 大、小两种苹果，其单价比是5：4，重量比是2：3。把两种苹果混合， 成为100千克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？

第15周 比的应用 疯狂操练四
【例题4】A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格 分别上涨70元，它们的价格比就是7：4，这两种商品原来的 价格各是多少元？

第15周 比的应用 疯狂操练四
【思路导航】

解法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7：3＝21：9 现价格比＝7：4＝28：16
【这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21）＝7份，是70元】
70÷（28－21）＝10元 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
¢ 原来A商品的几个是价格差的几倍 7÷（7－3）＝7/4
¢ 后来A商品的价格是价格差的几倍 7÷（7－4）＝7/3
（3）A、B两种商品的价格差是 70÷（7/3－7/4）＝120（元）
（4）原来A商品的价格是 120÷（7－3）×7＝210（元）
（5） 原来B商品的价格是 120÷（7－3）×3＝90（元）

【练习4】用两种思路解答下列应用题：
• 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队54吨水泥后， 甲、乙两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？



• 甲书架上的书是乙书架上的4/7，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？




• 兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。从年初到年底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？

第15周 比的应用 疯狂操练五
【例题5】如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙 地的路程与乙地到丙地的路程比是1：2。王刚以每小时4千 米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速 度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？







第15周 比的应用 疯狂操练五
【思路导航】
解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出 王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比 1/4：2/10＝5：4 王刚所用的时间 1÷（5－4）×5＝5（小时） 甲地到丙地的路程 4×5＝20（千米）
甲、乙两地的路程 20×（1+2）＝60（千米）

第15周 比的应用 疯狂操练五
【思路导航】
解法二：如果李华每小时行4×2＝8千米，他将与王刚同时 到达丙地。现在他每小时多行10－8＝2千米。在王刚从甲地 到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了10×1＝10 千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时） 甲、乙两地的路程4×5×（1+2）＝60（千米）

第15周 比的应用 疯狂操练五
【思路导航】
解法三：如果王刚每小时行10÷3＝5千米，就能和李华同时 到达。由此可见，王刚走完甲地到丙地的路程，用每小时4 千米的速度和每小时5千米的速度相比，所用的时间相差1小 时。再根据1千米的路程，两种速度所用的时间相差 1/4－ 1/5＝ 1/20小时。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程1÷（1/4－1/（10÷÷2）＝20（千米） 甲、乙两地的路程20×（1+2）＝60（千米）

【练习5】
1. 一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？



2. 甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小时各做多少个？






3. 下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路 程的比是2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时 以每小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、 乙两地的路程？



六年级数学举一反三





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在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、 静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把 具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的 基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找 到解题途径。


【例题1】 一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5 天，乙队做3天，只能完成工程的7/30，乙队单独完成全部 工程需要几天？
【思路导航】
此题已知甲、乙两队的工作效率和是1/15，只要求出甲队货 乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用 “组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两 队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天 的工作量7/30－1/15×3＝1/30，从而求出甲队的工作效率。 所以
1÷【1/15－（7/30－1/15×3）÷（5－3）】＝20（天）

【练习1】
• 师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的3/20。如果这批零件由师傅单独做， 多少天可以完成？


• 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的5/24。如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的13/124。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？




• 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙 队独做12天，还剩这项工程的8/15。甲、乙两队独做各需几天完成？

第16周 用组合法解工程问题 疯狂操练二
【例题2】 一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3 天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的1/2。现在甲、乙 两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用 时间相等。求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（1/2－ 1/12×3）÷2＝1/8；再由条件“做完后发现两段所用时间相 等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天 完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的（1/2－1/12×3）÷2＝1/8
（2）两段时间一共是1÷（1/8×2+1/12）×2＝6（天）

【练习2】
1. 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的8/15。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？




2. 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做， 完成任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？



3. 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙 接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少 天？

第16周 用组合法解工程问题 疯狂操练三
【例题3】 移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的11/16没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？


【思路导航】

把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几（1－11/16－1/8×1）÷（3－1）＝3/32 一共要移栽的西红柿苗多少棵7÷【3/32－（1/8－3/32）】＝112（棵）

【练习3】
• 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小 时，接着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的3/5。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批零件共有多少个？


• 修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的3/10没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？


• 修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？

第16周 用组合法解工程问题 疯狂操练四
【例题4】一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6 小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的2/3；如果甲、乙合做3 小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的2/3。如果由甲、丙合做， 需几小时完成？
【思路导航】
将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的2/3” 组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的2/3”， 则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几（2/3－1/6×2）÷（6－2）＝1/12 丙每小时完成这项工程的几分之几（2/3－1/6×3）÷（6－3）＝1/18 甲、丙合做需完成的时间为：1÷（1/12+1/18）＝7由1/5（小时）

【练习4】

1. 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后， 乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的13/18；如果甲、乙合做2小时后， 丙再做4小时，可以完成这项工作的11/18。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？


2. 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现 在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这 项工程要几天就可以完成？




3. 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现 在甲、乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5又1/2天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？

第16周 用组合法解工程问题 疯狂操练五
【例题5】一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由 甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航】

将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成” 组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。

丙队每天修这条公路的【1－（1/24+1/30）】×（4+7）＝1/40 三队合修完成时间为1÷（1/24+1/30+1/40）＝10（天）吨。

【练习5】
1. 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？


2. 一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单 独挖，多少天可以完成？


3. 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？



六年级数学举一反三





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在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道， 将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如 果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度 是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。这个比 值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精 溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的 比值，通常用百分数表示，即，
浓度＝溶质质量/溶液质量×100％＝溶质质量/（溶质质量＋溶剂质量）
×100%
解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意 列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等 关系。

浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条 件和问题逐一分析，也可以分步解答。


【例题1】 有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？
【思路导航】
根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增 加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根 据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在 糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质 量。
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克） 现在糖水的质量 ：558÷（1－10％）＝620（克） 加入糖的质量 ：620－600＝20（克）

【练习1】
1. 现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水， 需要加糖多少克？


2. 有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？




3. 有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升 纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20 毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？

第17周 浓度问题 疯狂操练二
【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最 有效。用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水，才能配 成1.75％的农药800千克？
【思路导航】
把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀 释。在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类 问题的关键。
800千克1.75％的农药含纯农药的质量为800×1.75％＝14
（千克）
含14千克纯农药的35％的农药质量为14÷35％＝40（千克） 由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800－40
＝760（千克）

【练习2】
1. 用含氨0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨16％的氨 水30千克，配置时需加水多少千克？


2. 仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再 测，发现含水量降低到80％。现在这批水果的质量是多少千 克？


3. 一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满；再 倒出5升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？

第17周 浓度问题 疯狂操练三
【例题3】现有浓度为10％的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30％ 的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？
【思路导航】
这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质 及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合 后溶液中的溶质的量。
20千克10％的盐水中含盐的质量20×10％＝2（千克）
混合成22％时，20千克溶液中含盐的质量20×22％＝404（千克） 需加30％盐水溶液的质量（4.4－2）÷（30％－22％）＝30（千克）

【练习3】
• 在100千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓 度为5％的硫酸溶液就可以配制成25％的硫酸溶液？


• 浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液
300克混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？


• 在20％的盐水中加入10千克水，浓度为15％。再加入多 少千克盐，浓度为25％？

第17周 浓度问题 疯狂操练四
【例题4】 将20％的盐水与5％的盐水混合，配成15％的盐水600克，需要20％的盐水和5％的盐水各多少克？
【思路导航】
根据题意，将20％的盐水与5％的盐水混合配成15％的盐水， 说明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的相等关系列方程解答。
解：设20％的盐水需x克，则5％的盐水为600－x克，那么
20％x+（600－x）×5％＝600×15％ X ＝400
600－400＝200（克）

【练习4】
1. 两种钢分别含镍5％和40％，要得到140吨含镍30％的钢， 需要含镍5％的钢和含镍40％的钢各多少吨？


2. 甲、乙两种酒各含酒精75％和55％，要配制含酒精65％ 的酒3000克，应当从这两种酒中各取多少克？


3. 甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为
40％；乙桶有糖水40千克，含糖率为20％。要使两桶糖水的 含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？

第17周 浓度问题 疯狂操练五
【例题5】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为0.5％。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少？

第17周 浓度问题 疯狂操练五
【思路导航】
混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。根据题意，可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有30克的水，它的盐是从10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质量。而乙管里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克盐水中盐的质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐， 这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。
丙管中盐的质量：（30+10）×0.5％＝02（克） 倒入乙管后，乙管中盐的质量：
0.2×【（20+10）÷10】＝0.6（克）
倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6×【（10+10）÷10】＝
1.2（克） 1.2÷10＝12％

【练习5】
• 从装满100克80％的盐水中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中 盐水的浓度是多少？


• 甲容器中又8％的盐水300克，乙容器中有12.5％的盐水120克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水？


• 甲种酒含纯酒精40％，乙种酒含纯酒精36％，丙种酒含纯酒精35％。将三种酒混在一起得到含酒精38.5％的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多少千克？



六年级数学举一反三





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计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时， 如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。




【例题1】 已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC， 求阴影部分的面积。


【思路导航】


阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转 化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝
S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5
＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

【练习1】


1. 如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。 求阴影部分的面积。




2. 如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。




3. 如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方 厘米。求三角形ABC的面积。

第18周 面积计算 疯狂操练二
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少。



【思路导航】
已知S△BOC是S△DOC的2 倍， 且高相等， 可知： BO＝ 2 DO； 从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO 与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3

【练习2】


1. 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？




2. 已知AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。
3. 已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。（如图所示）。




第18周 面积计算 疯狂操练 三
【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且 四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积


（如图所示）。



【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）

【练习3】


1. 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。




2. 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为


15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。






3. 如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。

第18周 面积计算 疯狂操练四
【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方 厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？




【思路导航】
因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等 高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝ S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）

【练习4】


• 如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求 梯形面积。


• 已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积


（如图所示）。


• 已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积


（如图所示）。

第18周 面积计算 疯狂操练五
【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3， 三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积




【思路导航】

连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC 的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝ 6.5。

【练习5】
（3） 如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。




（4） 如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面积。


（5） 如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD


的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。



六年级数学举一反三





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在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考， 看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐 蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。






【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。


【思路导航】


如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。
62×3.14×＝28.26（平方厘米）

【练习1】
1. 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2. 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

3. 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




第19周 面积计算 疯狂操练二
【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）





【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新 的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三 角形面积的一半。
3.14×－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）

【练习2】


1. 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2. 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方 形边长4）。




3. 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方 形边长4）。

第19周 面积计算 疯狂操练三
【例题3】 如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。
【思路导航】
因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又 因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长 方形面积的一半（ 如图 1 9 － 1 0 右图所示） 。 所以3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米）

【练习3】


2. 如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧， 阴影部分（ 1） 的面积与阴影部分（ 2 ） 的面积相等， 求平行四边形ABCD的面积。
3. 如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的中点，求阴影部分的面积。






4. 如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。

第19周 面积计算 疯狂操练四


【例题4】如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘 米）。


【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分， 把它还原成长方形后（如图所示）。I和II的面积相等。
因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空 白部分的两组三角形面积分别相等，所以


6×4＝24（平方厘米）

【练习4】


1. 如图所示，求四边形ABCD的面积。



2. 如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。



3. 图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件 求阴影部分的面积（单位：厘米）。

第19周 面积计算 疯狂操练五




【例题5】如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。


【思路导航】
阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度） 扇形的面积：2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米） 三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米） 7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）

【练习5】
• 如图所示，∠1＝15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为


100平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
• 如图所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米， BD：DC＝3：1。求阴影部分的面积。




• 如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。



六年级数学举一反三





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对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困 难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋 转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解 答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体 地代入面积公式求面积。


【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积
【思路导航】
解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等 腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半 径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘 米
[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）



解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分 向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的 半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面 积所得的差。
（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）





【练习1】
1. 如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）




2. 如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边 为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直 角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？




第20周 面积计算 疯狂操练二


【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘 米）。




【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积， 得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分
（ a） 的面积。如图所示。3 . 14 × 62 × 1 / 4 － （ 6 × 4 －


3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）

第20周 面积计算 疯狂操练二
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所 示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和 阴影（1）的面积，即长方形的面积。
3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）







【练习2】


1. 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位： 厘米）。






2. 如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。


3. 如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6


厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。

第20周 面积计算 疯狂操练三
【例题3】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。







【思路导航】
解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如 图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图 所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）

【练习3】
1. 求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。






2. 求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

3. 求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




第20周 面积计算 疯狂操练四
【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。






【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示）， 我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方， 也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。

既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）

阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）

【练习4】


• 如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形 中阴影部分的面积。






• 如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形 中阴影部分的面积。
• 如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以 其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出 几种办法）。

第20周 面积计算 疯狂操练五


【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求 阴影部分的面积。




【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米， 即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方， 再把半径的平等直接代入公式计算。3.14×（30×2）×1/4－30＝17.1
（平方厘米）

【练习5】


1. 如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影 部分的面积。


2. 如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC


的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。





3. 如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的 面积。



六年级数学举一反三



一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。






【例题1】
【思路导航】









【练习1






第21周 抓不变量解题 疯狂操练二
【例题2】
【思路导航】




第21周 抓不变量解题 疯狂操练二





【练习2】




第21周 抓不变量解题 疯狂操练三


【例题3】


。
【思路导航】



















【练习3】



第21周 抓不变量解题 疯狂操练四
【例题4】
【思路导航】




【练习4】




第21周 抓不变量解题 疯狂操练五
【例题5】
【思路导航】




【练习5】






六年级数学举一反三



有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间 的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的 思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。


【例题1】修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每 天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可 以完成？
【思路导航】




【练习1】
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5 天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？



2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2 人和乙组7人合作，多少天可以完成？



3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？

第22周 特殊工程问题 疯狂操练二
【例题2】有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物， 甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A 仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？


【思路导航】

【练习2】




第22周 特殊工程问题 疯狂操练三
【例题3】一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完 成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开 始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？


【思路导航】

【练习3】
1、 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务， 这样前后共用了6天，甲先做了几天？


2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成 了任务。甲、乙两队各做了多少天？


3、 一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40天完成。求乙休息的 天数。

第22周 特殊工程问题 疯狂操练四
【例题4】甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事 停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件， 需要多少天才能完成？
【思路导航】




【练习4】
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？


2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后， 还可以做多少条裤子？


3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了
2.5小时，因此，经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？


4、 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做， 需要多少天才能完成？

第22周 特殊工程问题 疯狂操练五
【例题5】放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门， 15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满； 如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
【思路导航】




【练习5】






六年级数学举一反三



周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。


【例题1】一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要
18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做
1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小 时？


【思路导航】

【练习1】
1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？


2、一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？


3、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？

第23周 周期工程问题 疯狂操练二


【例题2】




【思路导航】



【练习2】

第23周 周期工程问题 疯狂操练三
【例题3】 一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做， 恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做， 做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
【思路导航】
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则 不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据 “甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的
60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）

【练习3】




第23周 周期工程问题 疯狂操练四
【例题4】打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2 小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去， 打印这部书稿共要多少小时？
【思路导航】




【练习4】
1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满； 单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1 分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？


2、一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在， 甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工 作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作 共需多少小时？


3、一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？

第23周 周期工程问题 疯狂操练五


【例题5】


【思路导航】


【练习5】






六年级数学举一反三




【例题1】
【思路导航】




【练习1】




第24周 比较大小 疯狂操练二
【例题2】
。
【思路导航】



【练习2】

第24周 比较大小 疯狂操练三
【例题3】


【思路导航】

【练习3】




第24周 比较大小 疯狂操练四


【例题4】

【思路导航】






【练习4】

第24周 比较大小 疯狂操练五
【例题5】 图24－1中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出（单位：平方厘米）。问：红 色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？


【思路导航】



【练习5】



六年级数学举一反三





人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为 数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小 问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所 学的各种知识。




【例题1】




【思路导航】

【练习1】






第25周 最大最小问题 疯狂操练二
【例题2】
【思路导航】




【练习2】




第25周 最大最小问题 疯狂操练三
【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四 位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？
【思路导航】
在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－ 8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足 题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减 去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。


答：这样的数对共有79个。

【练习3】
1、两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是 多少？


2、如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个 数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个 数的差最小是多少？最大是多少？



3、如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数 对。那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个 数的和最大是多少？最小是多少？

第25周 最大最小问题 疯狂操练四
【例题4】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数 的积之差是114。这三个数中最小的是多少？
【思路导航】
因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最 大数－最小数）×中间数＝114
而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数 是114÷2＝57，最小数是57－1＝56
答：最小数是56。

【练习4】




第25周 最大最小问题 疯狂操练五
【例题5】三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数 的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。
【思路导航】
因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，
2886÷222能得到三个数字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为




【练习5】
1、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是
3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？


2、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是
2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？




3、用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中，最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？



五年级数学举一反三




几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一 个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小 公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]= a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系： 最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即（a、b）×[a、b]= a×b
要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件， 对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。


【例题1】 两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
【思路导航】


根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两 个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成 两个数。根据题意：


当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90； 当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。 所以，这两个数是15和90或者30和45。



【练习1】
1，两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数 分别是多少？


2，两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个 数的和是多少？


3，两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个 数是180，另一个数是多少？



【例题2】两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两 个数各是多少？


【思路导航】
我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的 积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。根 据这一规律， 我们可以求出这两个数的最大公约数是3 6 0 ÷ 1 2 0 = 3 。 又因为（ 甲÷ 3 = a ， 乙÷ 3 = b ） 中，
3×a×b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和
40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3 和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。



【练习2】
1，求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。


2，已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。


3，已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这 两个数的差。



【例题3】甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图 书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。 有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他 们三人又在图书馆相会？
【思路导航】
从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天 数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数 是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。



【练习3】
1，1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一 辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。 当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种 路线的车同时发车？


2，甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？


3，五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的 同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果 “六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再 过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？



【例题4】 一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？


【思路导航】
把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、 高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方 体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正 方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。



【练习4】
1，用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正 方体，至少需要用这样的长方体多少块？


2，有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要 把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积 是多少立方厘米？


3，一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切 成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱 长最多是多少分米？



【例题5】甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人 沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少 时间三人又同时从出发点出发？
【思路导航】
甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒， 丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出 发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又 同时从出发点出发。



【练习5】
1，有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发， 反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同 向而行，则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的 速度。


2，一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而 行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少经过 几分钟，三人再次从原出发点同时出发？


3，甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每
秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若三人同时从一端 出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？



五年级数学举一反三





最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所 求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增 加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数 的最小公倍数，从而求出结果。


【例题1】 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余
1这个自然数最小是多少？。
【思路导航】
根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数 就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍 数，然后再减去3就能得到所求的数了。
[10，7，4]=140 140－3=137
即：这个自然数最小是137。



【练习1】
1，学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，
7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少多少人？


2，一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是 多少？


3，一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都 余下5块。这袋糖至少有多少块？



【例题2】有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装 一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2 个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有 多少个？
【思路导航】
根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每 28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要 把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。我们 可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。
[24，28，32]=672 672－2=670（个）
即：这批水果共有670个。



【练习2】
1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正 好能成长方形，这所学校至少有多少人？


2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装 一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球 到底有多少个？


3，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种 桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种 桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？



【例题3】 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗， 15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有 多少颗？
【思路导航】
由已知条件可知：这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、 15的公倍数。换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数 少1。我们可以先求4、6、15的最小公倍数，然后再根据 “这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。 4、6、15的最小公倍数是60。
60×3－1=179颗，即这盒棋子共179颗。



【练习3】
1，有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆 多10棵。这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。


2，五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人， 平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？


3，有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10
个。这批水果至少有多少个？



【例题4】从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线 杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之 间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必 移动？
【思路导航】
从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6，就是6根不必移动。去掉最后一根，中途共有5根不必移动。



【练习4】
1，插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在 改为5米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？


2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来 每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一 棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？


3，学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗， 一共插了25面。后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了， 起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。问：
现在彩旗的间隔是多少米？



【例题5】 在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记， 分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这 三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【思路导航】
因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长
6 0 厘米。三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是
60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。因为5和6
的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60÷30
－1=1处，另两种情况分别有2处和4处。因此，木棍总共被 锯成（10＋12＋15－2）－1－2－4=28段。



【练习5】
1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成
12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份， 然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？


2，父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在 后，每步60厘米。在120米内一共留下多少个脚印？


3，在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气 球每隔6米挂一个，黄气球每隔4米挂一个，。如果绿气球和 黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中
间挂有多少个红气球？



五年级数学举一反三





行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关 系的应用题。行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时 间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。




【例题1】 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米 处相遇，东、西两地相距多少千米?


【思路导航】
从图中可以看出， 两车相遇时， 甲车比乙车多行了32×2=64（千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢？因为甲车每小时比乙车多行56-48=8（千米）。64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56+48）×8就能得出。
32×2÷（56－48）=8（小时）
（56＋48）×8=832（千米）



【练习1】
1，小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学 校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。学 校到少年宫有多少米？


2，一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽 车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到 两地中点处时，与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少 千米？


3，甲、乙二人同时从东村到西村，甲每分钟行120米，乙每 分钟行100米，结果甲比乙早5分钟到达西村。东村到西村的



【例题2】 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，乙车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时 快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米？
【思路导航】
快车3小时行驶40×3=120（千米），这时快车已驶过中点 25千米，说明甲、乙两地间路程的一半是120－25=95（千 米）。此时，慢车行了95－25－7=63（千米），因此慢车每小时行63÷3=21（千米）。
（40×3－25×2－7）÷3=21（千米） 答：慢车每小时行21千米。



【练习2】
1，兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分 钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还 相距30米。弟弟每分钟行多少米？


2，汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米。4小时后，剩下 的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度 行驶，再行几小时到达乙地？


3，学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树 活动，如果每人植3棵，全班同学都能植这批树苗的一半还 多20棵。如果这批树苗全部给五（1）班的同学去植，平均
每人植多少树？



【例题3】甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲 每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村， 在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？
【思路导航】
二人相遇时，甲比乙多行15×2=30（千米），说明二人已行30÷6=5（小时），上午8时至中午12时是4小时，所以甲的 速度是15÷（5－4）=15（千米）。
因此，东西两村的距离是15×（5－1）=60（千米） 上午8时至中午12时是5小时
15×2÷6=5（小时） 15÷（5－4）=15（千米）
15×（5－1）=60（千米）



【练习3】
1，甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每 分钟走90米。甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米 处与乙相遇。A、B两地间的距离是多少千米？


2，小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到家，到家后立即原路返回， 在离家350千米处遇到小红。小红每分钟走多少千米？


3，甲、乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8 千米。上午11时甲到达B地后立即返回，在距B地24千米处 与乙相遇。求A、B两地相距多少千米？



【例题4】甲乙两学生从相距18千米的两地同时相向而行。 一同学骑自行车以每小时14千米的速度在两队间不停往返联 络。甲学生每小时行5千米，乙学生速度是每小时4千米，问 甲乙相遇时，骑自行车同学共行多少千米？
【思路导航】
要求骑自行车的同学一共行多少千米，就要知道他的速度和 所行时间。骑自行车同学的速度是每小时14千米，而他所行 的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此， 用18÷（4＋5）=2小时，用这个时间和骑的同学的速度相乘 就得到了他一共行的千米数。



【练习4】
1，甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车 还相距120千米；又行3小时，两车又相距120千米。A、B两 地相距多少千米？


2，东、西两村相距36千米，甲、乙二人同时从东西两村相 向出发，3小时后，丙骑车从东村出发去追甲，结果三人同 时在某地相遇。已知甲每小时行4千米，乙每小时行5千米， 求丙的速度。


3，两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信。如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米，而甲队同学



【例题5】甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出 发，到10时两车相距112.5千米。两车继续行驶到下午1时， 两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米？
【思路导航】
从10时到下午1时共经过3小时，3小时里，甲、乙两车从相 距112.5千米到又相距112.5千米，共行112.5×2=225千米。 两车的速度和是225÷3=75千米。从早上8时到10时共经过2 小时，2小时共行75×2=150千米，因此，A、B两间的距离 是150＋112.5=262.5千米。



【练习5】
1，甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车 还相距120千米。又行3小时，两车又相距120千米。A、B两 地相距多少千米？


2，快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出，中午12 时两车还相距50千米。继续行驶到14时，两车又相距170千 米。甲、乙两地相距多少千米？
3，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，匀速前进。 如果各人按原定速度前进，4小时相遇；如果两人各自比原 计划少走1千米，则5小时相遇。A、B两地相距多少千米？



五年级数学举一反三




本周的主要问题是“追及问题” 。
追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不 同，后者追上前者的问题。追及问题的基本数量关系是：
速度差×追及时间=追及路程
解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意， 就可以正确解题。


【例题1】 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？
【思路导航】
原来小轿车落后于中巴车60千米，但由于小轿车的速度比 中巴车快，每小时比中巴车多行84－60=24千米，也就是每 小时小轿车能追中巴车24千米。60÷24=2.5小时，所以2.5 小时后小轿车能追上中巴车



【练习1】
1. 一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米 处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65千米。摩托车多长时 间能够追上？


2. 兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一 方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米；哥哥在后，每分钟 跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟？


3. 甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米。1小时后， 乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。A、B两地相距多少千米？



【例题2】一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的？
【思路导航】
途中修车用了2小时，汽车就少行45×2=90千米；修车后， 为了按时到达乙地，每小时必须多行30千米。90千米里面包 含有3个30千米，也就是说，再行3小时就能把修车少行的90 千米行完。因此，修车后再行（45＋30）×3=225千米就能 到达乙地，汽车是在离甲地360－225=135千米处修车的。



【练习2】
1. 小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分钟200米的速 度上班，正好准时到工厂。有一天，他出发几分钟后，因遇 熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米。小王是在离工厂多远处遇到熟人的？


2. 一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时 能到达。这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后， 因排队加油用去了15分钟。为了能在8小时内到达乙地，加 油后每小时必须多行7.2千米。加油站离乙地多少千米？


3. 汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后能到 达乙地。汽车出发1小时后原路返回甲地取东西，然后立即 从甲地出发。为了能在原来时间内到达乙地，汽车必须以每



【例题3】甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。甲骑车多少分钟才能追上乙？
【思路导航】
当甲取了东西改骑自行车出发时，乙已行15＋15＋5=35分 钟， 行了60 × 35 = 2100 米。甲骑车每分钟比乙步行多行
（360－60）米，用2100米除以（360－60）米就得到甲骑 车追上乙的时间。



【练习3】
1. 兄弟二人同时从家出发去学校，哥哥每分钟走80米， 弟弟每分钟走60米。出发10分钟钟后，哥哥返回家中取文具， 然后立即骑车以每分钟310米的速度去追弟弟。哥哥骑车几分钟追上弟弟？


2. 快车每小时行60千米，慢车每小时行40千米，两车同 时从甲地开往乙地。出发0.5小时后，快车因故停下修车1.5 小时。修好车后，快车仍用原速前进，经过几小时才能追上 慢车？


3. 甲、乙二人加工同样多的零件，甲每小时加工20个， 乙每小时加工15个。一天，乙比甲早工作2小时，到下午二



【例题4】甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着 长4千米的环形公路同方向进行晨练。出发后10分钟，甲便 从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米，求 甲、乙二人的速度各是多少？
【思路导航】
出发10分钟后，甲从乙身后追上了乙，也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。因此，甲每分钟比乙多行4000÷10=400米。知道了二人的速度差是每分钟400米，速度和是每分钟700米， 就能算出甲骑车的速度是（700＋400）÷2=550米，乙跑步的速度是700－550=150米。



【练习4】
1. 爸爸和小明同时从同一地点出发，沿相同方向在环形 跑道上跑步。爸爸每分钟跑150米，小明每分钟跑120米，如 果跑道全长900米，问：至少经营几分钟爸爸从小明身后追 上小明？


2. 在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑 步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米。两人起跑后的第一次相 遇点在起跑线前多少米？


3. 环湖一周共400米，甲、乙二人同时从同一地点同方向 出发，甲过10分钟第一次从乙身后追上乙。若二人同时从同 一地点反向而行，只要2分钟二人就相遇。求甲、乙的速度。



【例题5】甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、 90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙在公路上B处，三人 同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲 和丙又相遇了。求A、B之间的距离。
【思路导航】
甲和乙相遇后，再过3分钟甲又能和丙相遇，说明甲和乙相遇时，乙比丙多行（100＋75）×3=525米。而乙每分钟比丙多行90－75=15米，多行525米需要用525÷15=35分钟。35分钟甲和乙相遇，说明A、B两地之间的距离是（100＋90）
×35=6650米。



【练习5】
1. 甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。甲、乙二人在B地，丙在A地与甲、乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又过2分钟和甲相遇。求A、B两地的路程。
2. 甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。甲、乙二人从B地同时同向出发，丙从A地同时同向去追甲和乙。丙追上甲后又经过10分钟才追上乙。求A、B 两地的路程。
3. A、B两地相距1800米，甲、乙二人从A地出发，丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行。已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米和100米，当乙和丙相遇时，
甲落后于乙多少米？



五年级数学举一反三





很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。
列方程解答行程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟悉的数量关系。因此，对于一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题。


【例题1】 A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地， 每小时行38千米；半小时后，乙车从B地开往A地，每小时 行42千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？

【思路导航】
我们可以设乙车开出后X小时和甲车相遇。相遇时，甲车共行了38×（X＋0.5）千米，乙车共行了42X千米，用两车行 的路程和是259千米来列出方程，最后求出解。
解：设乙车开出X小时和甲车相遇。
38×（X＋0.5）＋42X=259
解得 X=3 即：乙车开出3小时后和甲车相遇。



【练习1】
1，甲、乙两地相距658千米，客车从甲地开出，每小时行58 千米。1小时后，货车从乙地开出，每小时行62千米。货车 开出几小时后与客车相遇？


2，小军和小明分别从相距1860米的两处相向出发，小军出 发5分钟后小明才出发。已知小军每分钟行120米，小明骑车 每分钟行300米。求小军出发几分钟后与小明相遇？


3，甲、乙两地相距446千米，快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行68千米，慢车每小时行35千米。中途慢车因修车停留半小时，求共经过几小时两车在途中相遇。



【例题2】 一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时。求甲、乙两地间的路程。
【思路导航】
如果设汽车从甲地开往乙地时用了X小时，则返回时用了
（7.5－X）小时，由于往、返的路程是一样的，我们可以通 过这个等量关系列出方程，求出X值，就可以计算出甲、乙 两地间的路程。
解：设去时用X小时，则返回时用（7.5－X）小时。
20X=30（7.5－X） 解得 X=4.5
20×4.5=90（千米）
即：甲、乙两地间的路程是90千米。



【练习2】
1，汽车从甲地开往乙地送货。去时每小时行30千米，返回 时每小时行40千米，往返一次共用8小时45分。求甲、乙两 地间的路程。


2，一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每 小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可飞1200千米。这 架飞机最多飞多少千米就要往回飞？


3，师徒二人加工一批零件。师傅每小时加工35个，徒弟每 小时加工28个。师傅先加工了这批零件的一半后，剩下的由 徒弟去加工。二人共用18小时完成了加工任务。这批零件共



【例题3】 东、西两地相距5400米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。甲每分钟行55米，乙每分钟行 60米，丙每分钟行70米。多少分钟后乙正好走到甲、丙两人 之间的中点处？
【思路导航】
设行了X分钟，这时甲行50X米，乙行60X米，丙行70X米。 甲和乙之间的距离可用60X－50X表示，乙和丙之间的距离 可用5400－70X－50X表示。由于这两个距离相等，所以有60X－50X=5400－70X－50X，求出此方程的解就得到所求 问题。
解：设X分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。
60X－50X=5400－70X－50X
解得 X=40






【练习3】
1，A、B、C三地在一条直线上，如图所示：
A、B两地相距2千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时向C 地行走，甲每分钟走35米，乙每分钟走45米。经过几分钟B 地在甲、乙两人之间的中点处？
2，东、西两镇相距60千米。甲骑车行完全程要4小时，乙骑 车行完全程要5小时。现在两人同时从东镇到西镇去，经过 多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？


3，老师今年32岁，学生今年8岁。再过几年老师的年龄是学 生的3倍？



【例题4】快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千 米，慢车每小时行48千米。途中快车因故停留3小时，结果 两车同时到达B地。求A、B两地间的距离。
【思路导航】
我们可以设快车行驶了X小时，那么，慢车就行驶了（X＋3） 小时，利用快、慢两车所行的路程相等这一关系，可以列出方程，通过解方程求出快车所行驶的时间，最后用“速度× 时间=路程”这一关系求出A、B两地间的距离。
解：设快车行驶了X小时。
54X=48×（X＋3）
解 得 X=24 54×24=1296（千米）
即：A、B两地相距1296千米。



【练习4】
1，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。二人同时从A地出 发去B地，当乙到达B地时，甲已在B地停留了2分钟。A地到 B地的路程是多少米？


2，甲、乙二人同时从学校骑车出发去江边，甲每小时行15 千米，乙每小时行20千米。途中乙因修车停留了24分钟，结 果二人同时到达江边。从学校到江边有多少千米？


3，兄弟二人同时从家往学校走，哥哥每分钟走90米，弟弟
每分钟走70米。出发1分钟后，哥哥发现少带铅笔盒，就原 路返回，取后立即出发，结果与弟弟同时到达学校。他们家



【例题5】一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知 他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。求他后一 半路程用了多少时间？
【思路导航】
因为这位同学在前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步 的速度，所以前一半时间所跑的路程一定大于半圈180米， 即在跑前半圈时的速度都是每秒 5 米， 跑前半圈要用180÷5=36秒。如果再求出跑一圈的时间，就能求出跑后半 圈的时间了。为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了2 圈。
设跑一圈用X秒，则跑二圈共跑720米。
5X＋4X=720
解得 X=80




【练习5】
1，小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时 间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米。求他后一半路程用了 多少时间？


2，小华在240米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时 间每秒跑6米，后一半时间每秒跑4米。求他返回时用了多少 秒。


3，甲、乙两地相距205千米，小王开汽车从甲地出发，计划
5小时到达乙地。他前一半时间每小时行36千米，为了按时 到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？



六年级数学举一反三


逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。

逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在， 找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。

推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。要善于借助 表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。填表时，对正确 的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×”），也可以分别用“1” 或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。
推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。


【例题1】 星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生 中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张 明这四个住校学生找来了解。
2. 许兵说：桌凳不是我修的。
3. 李平说：桌凳是张明修的。
4. 刘成说：桌凳是李平修的。
5. 张明说：我没有修过桌凳。
后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁 修的？



根据“两个互相否定的思想不能同真”可知：（2）、（4） 不能同真，必有一假。
假设（2）说真话，则（4）为假话，即张明修过桌凳。
又根据题目条件了：只有1人说的是真话：可退知：（1）和
（3）都是假话。由（1）说的可退出：桌凳是许兵修的。这 样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中“四个人中只有一个 人说的是真话”相矛盾。
因此，开头假设不成立，所以，（2）李平说的为假话。由 此可退知（4）张明说了真话，则许兵、刘成说了假话。所 以桌凳是许兵修的。

【练习1】
1、小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们 谁是获奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他 们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？


2、一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯A、B、C、D，他们的供词如下： A说：“不是我偷的”。 B说：“是A偷的”。
C说：“不是我”。 D说：“是B偷的”。
他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？


3、有500人聚会，其中至少有一人说假话，这500人里任意两个人总有一个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？

第31周 逻辑推理 疯狂操练二
【例题2】虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦 学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：
2. 丙得第一，乙得第二。
3. 丙得第二，丁得第三。
4. 甲得第二，丁得死四。
比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前4名。但以上三种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？

第31周 逻辑推理 疯狂操练二
同学们的预测里有真有假。但是最后公布的结果中，他们都 只预测对了一半。我们可以用假设法假设某人前半句对后半 句错，如果不成立，再从相反方向思考推理。
假设（1）中“丙得第一”说错了，则（1）中“乙得第二” 说对了；（1）中“乙得第二”说对了，则（2）中“丙得第二”说错了；（2）中“丙得第二”说错了，“丁得第三” 说对了；（2）中“丁得第三”说对了，（3）中“丁得第四” 说错了；（3）中“丁得第四”说错了，则（3）中“甲得第二”说对了，这与最初的假设相矛盾。
所以，正确答案是：丙得死一，丁得第三，甲得第二，乙得 第四。

【练习2】
1、甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛。赛后，他们四 人预测名词的谈话如下：
甲：“丙得第一，我第三”。乙：“我第一，丁第四”。 丙：“丁第二，我第三”。 丁：没有说话。
最后公布结果时，发现甲、乙丙三人的预测都只对了一半。 请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。

【练习2】
2、某小学最近举行一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼 的5名学生的短跑成绩作了如下的估计：
A说：“第二名是D，第三名是B”。B说：“第二名是C，第四名是E”。C说：“第一名是E，第五名是A”。D说：“第三名是C，第四名是A”。E说：“第二名是B，第五名是D”。
这5位同学每人说对了一半，请你猜一猜5位同学的名次。

【练习2】
3、某次考试考完后，A，B，C，D四个同学猜测他们的考试 成绩。
A说：“我肯定考得最好”。B说：“我不会是最差的”。
C说：“我没有A考得好，但也不是最差的”。D说：“可能我考得最差”。
成绩一公布，只有一个人说错了，请你按照考试分数由高到 低排出他们的顺序。

第31周 逻辑推理 疯狂操练三
【例题3】张、王、李三个工人，在甲、乙丙三个工厂里分别当车工、钳 工和电工。

①张不在甲厂，②王不在乙厂，③在甲厂的不是钳工，④在乙厂的是车 工，⑤王不是电工。
这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？
【思路导航】
这题可用直接法解答。即直接从特殊条件出发，再结合其他条件往下推， 直到推出结论为止。
通过⑤可知王不是电工，那么王必是车工或钳工；又通过②可知王不在 乙厂，那么，王必在甲厂或丙厂；又由④知道在乙厂的是车工，所以王 只能是钳工；又因为甲厂的不是钳工，则晚必是丙厂的钳工；张不在甲 厂，必在乙厂或丙厂；王在丙厂，则张必在乙厂，是乙厂的车工，所以 张是乙厂的车工。剩下的李是甲厂的电工。

【练习3】1、某大学宿舍里A，B，C，D，E，F，G七位同学，其中两位来自哈尔滨，两位来自天津，两位来自广州，还知道：（1）D，E来自同一地方；（2） B，G，F不是北方人；（3）C没去过哈尔滨。那么，A来自什么地方？




2、每个星期的七天中，甲在星期一、、二、三讲假话，其余四天都讲真话：乙 在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话。今天甲说：“昨天是我说谎的日 子。”乙说：“昨天也是我说谎的日子。”今天是星期几？




3、王涛、李明、江民三人在一起谈话。他们当中一位是校长，一位是老师，一位是学生家长。现在只知道：（1）江民比家长年龄大。（2）王涛和老师不同岁。
（3）老师比李明年龄小。你能确定谁是校长、谁是老师，谁是家长吗？

第31周 逻辑推理 疯狂操练四
【例题4】六年级有四个班，每个班都有正、副班长各一人。平时召开年级班长会议时，各班都只有一人参加。参加第一次回师的是小马、小张、小刘、小林；参加第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张，小徐因有病，三次都没有参加。你知道他们哪两个是同班的吗？

第31周 逻辑推理 疯狂操练四
将条件列在一张表格内，借助于表格进行分析、推理、根据 题意，可列表如下：


小张
小马
小刘
小林
小朱
小宋
小陈
小徐
一
√
√
√
√




二

√
√

√
√


三
√
√



√
√

由上表可知，小马三次参加会议，而小徐三次都没参加，他 们是同一班级的。小张和小朱是同班的，小刘和小陈是同班 的，小林和小宋是同班的。

【练习4】1、某市举行家庭普法学习竞赛，有5个家庭进入决赛（每家2名成员）。决赛时进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参赛，第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王。另外，刘某因故四次均未参赛。谁和谁是同一家庭呢？


2、刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄、妹不许搭伴。


第一局：刘刚和小丽对李强和小英；第二局：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。 那么，三个男孩的妹妹分别是谁？


3、有三只小袋，一只小袋有两粒红珠，另一只小袋有两粒蓝珠，第三只小袋装 有一粒蓝珠和一粒红珠。小兰不慎把小袋外面的三只标签都贴错了。请问从哪只 小袋中摸出一粒珠，就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠？

第31周 逻辑推理 疯狂操练五
【例题5】已知张新、李敏、王强三位同学分别在北京、苏州、南京的 大学学习化学、地理、物理。①张新不在北京学习；②李敏不在苏州学 习；③在北京学习的同学不学物理；④在苏州学习的同学是学化学的；
⑤李敏不学地理。三位同学各在什么城市学什么？



【思路导航】解答此题的关键是抓住三个人必在三地之一学习三种科 目的某一种这个条件。这种逻辑推理题，须在两方面加以判定。尽管相 对的问题要求增多了，但列表法仍然适用。综合两方面的交错因素，两 表对立，一举两得。由①、②、⑤可列下表

第31周 逻辑推理 疯狂操练五
由④可知：李敏不在苏州，不学化学、学物理；张新、王强 不学物理。



由③“在北京学习的不学物理”的条件可知：王强在北京，张新在苏州， 李敏在南京
由④“在苏州学习的学的是化学”的条件可知，王强学习地理。
从上表可以看出，张新在苏州学化学，李敏在南京学物理，王强在北京 学地理。

【练习5】1、甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民和教师。已知：①甲不在南京工作；②乙不在苏州工作；
③在苏州工作的是工人；④在南京工作的不是教师；⑤乙不是农民。三 人各在什么地方工作？各是什么职业？


2、小明、小青、小菊读书的学校分别是一小、二小、三小，他们各自爱 好游泳、篮球、排球中的一项体育运动。但究竟谁爱好哪一项运动，在 哪个学校读书还不清楚，只知道：（1）小明不在一小。（2）小青不在二小。（3）爱好排球的在二小。（4）爱好游泳的在一小。（5）爱好游泳的不是小青。请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。


3、甲、乙、丙分别是工程师、会计师和教师。他们的业余爱好分别是文 学、绘画和音乐。现在知道：（1）爱好音乐、文学者和甲一起看电影。
（2）爱好绘画者常请会计师讲经济学。（3）乙不爱好文学。（4）工程师常埋怨自己对绘画和音乐一窍不通。请问每个人的职业和爱好各是什 么？



六年级数学举一反三



解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算， 通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。
解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破 口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而 又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排 除法、反证法逐一试验。
当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量 关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。


【例题1】 小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。到现在为止，小华已经比赛了4盘。甲 赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘。丙赛了几盘？
【思路导航】
这道题可以利用画图的方法进行推理，如图32-1所示，用5 个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。如果两人之间已经进 行了比赛，就在表示两人的点之间连一条线。现在小华赛4 盘，所以小华应与其余4个点都连线……
甲赛了3盘。由于丁只赛了一盘，所以甲与丁之间没有比赛。那么，就连接甲、乙和甲、丙。这时，乙已有了两条线，与 题中乙赛2盘相结合，就不再连了。所以，从图32-1中可以 看出，丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。

【练习1】1、A，B，C，D，E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经比赛了4盘。B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1 盘。E赛了几盘？



2、A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多 握手一次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A先生问了每个人（包括他妻子）握手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A 太太握了几次手？




3、五位同学一起打乒乓球，两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说： “我打了四盘”。乙说：“我打了一盘”。丙说：“我打了三盘”。丁 说：“我打了四盘”。戊说：“我打了三盘”。你能肯定其中有人说错 了吗？为什么？

第32周 逻辑推理 疯狂操练二
【例题2】图32-2是同一个标有1，2，3，4，5，6的小正方 体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之 积是多少？
【思路导航】
用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所要 的结果。
由（1）、（2）两个图可以看出，1的对面不可能为4，6，2，
3，所以1的对面必为5；由（2）、（3）两个图形可以看出，
3的对面不可能为1，2，4，5，所以3的对面必为6。由此可 知，4的对面必定为2。上面正方体三个朝左一面的数字依次 为2，5，6。所以它们的积为2×5×6=60。

【练习2】1、图32-3是同一个标有1，2，3，4，5，6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？


2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上（每一面 只涂一种颜色）。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它 们拼成长方体（如图32-4所示），每个小正房体红色面的对面涂的是什么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？




3、如图32-5所示，每个正方体的6个面分别写着数字1～6，并且任意两个相对的面上所写的两个数之和都等于7。把这样的5个正方体一个挨一 个连接起来后，金挨着的两个面上的数字之和等于8。图中写？的这个面 上的数字是几？

第32周 逻辑推理 疯狂操练三
【例题3】 某班44人，从A，B，C，D，E五位候选人中选举班长。A得选票23张。B得选票占第二位，C，D得票相同， E的选票最少，只得了4票。那么B得选票多少张？
【思路导航】
B，C，D的选票共44—23—4=17（张），C，D的选票至少 各5张。如果他们的选票超过5张，那么B，C，D的选票超过6+6+6=18（张），这不可能。所以，C，D各得5票，B得
17—5—5=7（张）

【练习3】1、某商品编号是一个三位数，现有5个三位数：874、765、123、364、925。其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是多少？


2、某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁， 最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩 大4岁。最大的男孩多少岁？




3、小明将玻璃球放进大、小两种盒子中。大盒装12个玻璃球，小盒装5 个玻璃球，正好装完。如果玻璃球总数为99，盒子超过10个，那么两种盒子各有多少个？

第32周 逻辑推理 疯狂操练四
【例题4】 将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字分成两组，每组4个数，并且两组数之和相等。从A组拿一个到B组后，B组五个数之和将是A组剩下三数之和 的2倍。从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和A组五个数之和的5/7。 这八个数如何分成两组？

【思路导航】
八个数的和是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 26 ， 所以每组的四个数之和是36÷2=18。从A组取出一个数到B，两组总和不变。现在A组三个数之和是36÷（1+2）=12，原来A组四个数之和是18，说明A组中取6到B组。
同样道理， 从B组取一个数到A组后， 现在B组三个数之和是36 ÷
（1+5/6）×5/7=15。说明B组中取出的数为18—15=3。除去6和3，还剩
6个数。A组的另外三个数之和应是18—6=12，在剩下的6个数中只有1，
4，7三个数，它们的和是12。所以A组四个数是1，4，6，7。B组四个数是2，3，5，8。

【练习4】1、某年的8月份有4个星期四，5个星期三。这年8月8日是星期几？




2、甲、一两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖的粒数是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的 糖的粒数就是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？



3、某各家庭有四个家庭成员。他们的年龄各不相同，总和是129岁，其中有三个人的年龄是平方数。如果倒退15年，这四人中仍有三人的年龄 是平方数。你知道他们各自的年龄吗？

第32周 逻辑推理 疯狂操练五
【例题5】在一次设计联系中，小张、小王、小李各打4发子 弹，全部中靶。命中的情况如下：（1）每人4发子弹所命中 的环数各不相同。（2）每人4发子弹所命中的总环数均为17 槐。（3）小王有两法命中的环数分别与小张命中的两法一 样；小王另两发命中的环数与小李命中的两法一样。（4） 小张和小李只有一发环数相同。（5）每人每发子弹的最好 成绩不超过7环。小张、小李命中相同的环数是几环？

第32周 逻辑推理 疯狂操练五
【思路导航】
首先，用枚举法找出符合条件（1）、（2）、（5）的所有 情况。其次， 再用筛选法从这些情况中去掉不符合条件
（3）、（4）的情况。剩下的就符合要求了。
（1）1+7+3+6=17（环）
（2）1+7+4+5=17（环）
（3）2+6+4+5=17（环）
（4）2+7+3+5=17（环）
对照条件可知（2）、（1）式和（3）式分别代表王、张、 李，所以，小张和小李命中相同的环数是6环，

【练习5】1、甲、乙、丙三人玩转盘（如图32-6所示），转盘上的数字表
示应得的分。甲说：“我转8次得26分”。乙说：“我转7次得34分”。丙说：“我转9次得41分”。其中有一人没说真话，他是谁？


2、将3张数字卡片（均不超过10）分给甲、乙、丙三人，各人记下所得卡片上的数再重新分。分了3次后，每人将各字记下的数相加，甲为13， 乙为15，丙为23。你能西饿出三张卡片上的数吗？



3、A，B，C三个足球队进行一次比赛，每两个队赛一场。按规定每升一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。现在已知：（1）B对一球未进， 结果得一分；（2）C队进一球，失2球，并且胜一场；
求A队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。



六年级数学举一反三


行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法
计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为 三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。
行 程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和
2. 相背而行：相背距离=速度和×时间。
3. 同向而行：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离÷速度 差
在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离=速度差×时间。
解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来， 有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。


【例题1】两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙 车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少小时？
【思路导航】




【练习1】1、甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。第一辆汽车 到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？


2、A、B两地相距900千米，甲车由A地到B地需15小时，乙车由B地到A
地需10小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少千米？




3、甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A、B两城同时相向而行。到10点钟时两车相距112.5千米。继续行进到下午1时，两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米？

第33周 行程问题 疯狂操练二


【例题2】两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后 都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？


【思路导航】


从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两辆汽车行一个全程时，从东站出发的汽车行了60千米，两车走三个全程时，这辆汽车走了3个60千米。这时这辆汽车距中点30千米，也就是说这辆汽车再行30千米的话，共行的路程相当于东、西两站路程的1.5倍。找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以

（60×3+30）÷1.5=140（千米）

【练习2】1、两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站 55千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立 即返回，又在距中点南侧15千米处相遇。两站相距多少千米？


2、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站40千米的地方。两车仍以原速继续前进。各自到站后立即返回，又在离乙站20千 米的地方相遇。两站相距多少千米？




3、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。第一次相遇时离A站有
90千米。然后各按原速继续行驶，分别到达对方车站后立即沿原路返回。第二次相遇时在离A地的距离占A、B两站间全程的65%。A、B两站间的路程是多少千米？

第33周 行程问题 疯狂操练三
【例题3】A、B两地相距960米。甲、乙两人分别从A、B两 地同时出发。若相向而行，6分钟相遇；若同向行走，80分 钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多少分钟？
【思路导航】




【练习3】




第33周 行程问题 疯狂操练四
【例题4】 上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后每爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后 他又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米（如图33-2 所示），这时是几时几分？
【思路导航】

【练习4】1、A、B两地相距21千米，上午8时甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行。甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回。上午 10时他们第二次相遇。此时，甲走的路程比乙走的多9千米，甲一共行了多少千米？甲每小时走多少千米？


2、张师傅上班坐车，回家步行，路上一共要用80分钟。如果往、返都坐车，全部行程要50千米；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？




3、当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米。如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么乙到达终点时将比丙领先 多少米？

第33周 行程问题 疯狂操练五


【例题5】 甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过2分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少器秒年米毫 ？
【思路导航】


如图33-3所示，可以看出，乙、丙两人相遇时，乙比甲多行的路程正好是后来甲、丙2分钟所行的路程和，是（68+72）×2=280（米）。而每分钟乙比甲多行7 0 . 5 — 6 8 = 2 . 5 （ 米） 可见， 乙、丙相遇时间是280÷2.5=112（分钟），因此，求东、西两镇间的距离可用速度和乘以相遇时间求出。列式为

乙、丙相遇时间：（68+72）×2÷2.5=112（分钟）
东、西两镇相距的千米数：（70.5+72）×112÷1000=15.96（千米）

【练习5】1、有甲、乙、丙三人，甲每分钟行70米，乙每分钟行60米， 丙每分钟行75米，甲、乙从A地去B地，丙从B地去A地，三人同时出发， 丙遇到甲8分钟后，再遇到乙。A、B两地相距多少千米？


2、一只狼以每秒15米的速度追捕在它前面100米处的兔子。兔子每秒行
4.5米，6秒钟后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒16.5米的速度背向兔子逃去。问：开枪多少秒后兔子与狼又相距100米？




3、甲、乙两车同时从A地开往B地，乙车6小时可以到达，甲车每小时比乙车慢8千米，因此比乙车迟一小时到达。A、B两地间的路程是多少千 米？



六年级数学举一反三



在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。




【例题1】




【思路导航】



【练习1】
2、兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行。兄每秒走1.3米。妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时，劢还要走多少米才能归到出发点？






3、如图34-1所示，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点， 同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。求这个圆的周长。

第34周 行程问题 疯狂操练二
【例题2】


【思路导航】






【练习2】1、小明绕一个圆形长廊游玩。顺时针走，从A处到C处要12 分钟，从B处到A处要15分钟，从C处到B处要11分钟。从A处到B处需要多少分钟（如图34-3所示）？




【练习2】


3、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。甲速是 乙速的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。环形跑道有多少米？

第34周 行程问题 疯狂操练三
【例题3】绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6 千米的速度每走50分钟后休息10分钟。两人出发多少时间第一次相遇？
【思路导航】小张的速度是每小时6千米，50分钟走5千米，我们可以把他们出发后的时间与行程列出下表：




第34周 行程问题 疯狂操练三
【思路导航】

12+15=27，比24大，从上表可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至
3小时15分之间。出发后2小时10分，小张已走了10+5÷（50÷10）=11
（千米），此时两人相距24—（8+11）=5（千米）。由于从此时到相遇以不会再休息，因此共同走完这5千米所需的时间是5÷（4+6）=0.5（小时），而2小时10分+0.5小时=2小时40分。
小张50分钟走的路程：6÷60×50=5（千米）
小张2小时10分后共行的路程：10+5÷（50÷10）=11（千米） 两人行2小时10分后相距的路程：24—（8+11）=5（千米）
两人共同行5千米所需时间：5÷（4+6）=0.5（小时） 相遇时间：2小时10分+0.5小时=2小时40分

【练习3】1、在400米环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟。那么甲追上乙需要多少秒？


2、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。往、返一次共用去4小时。汽车去 时每小时行45千米，返回时每小时行驶30千米，那么甲、乙两站相距多少千米？




3、龟、兔进行10000米跑步比赛。兔每分钟跑400米，龟每分钟跑80米， 兔每跑5分钟歇25分钟，谁先到达终点？

第34周 行程问题 疯狂操练四
【例题4】一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的 两端同时出发，游到另一端立即返回。找这样往、返游，两 人游10分钟。已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。在出发后的 两分钟 内，二人相遇了几次？


【思路导航】

【练习4】1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、 返游泳训练。从池的一端到另一端甲要3分钟，乙要3.2分钟。两人下水后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？



2、一游泳池道长100米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？




3、马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为 每小时18千米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东 向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲，6秒争后汽车离开了 甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑来的乙，又经过了2秒钟，汽车离开乙， 再过几秒钟，甲、乙两人相遇？

第34周 行程问题 疯狂操练五
【例题5】甲、乙两地相距60千米。张明8点从甲地出发去乙 地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均 速度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地？
【思路导航】






【练习5】1、A、B两地相距90千米。一辆汽车从A地出发去B地，前 一半时间平均每小时行60千米，后一半时间平均每小时行40千米。这辆汽车经过多少时间可以到达B地？


2、甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环行跑道行走。甲每分钟走80米，乙蔑分钟走50米。两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？




3、在300米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行5米， 乙平均每秒行4.4米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？



六年级数学举一反三



本周主要讲结合分数、百分数知识相关的较为复杂抽象的 行程问题。要注意：出发的时间、地点和行驶方向、速度的 变化等，常常需画线段图来帮助理解题意。




【例题1】 客车和货车同时从A、B两地相对开出。客车 每小时行驶50千米，货车的速度是客车的80%，相遇后客车继 续行3.2小时到达B地。A、B两地相距多少千米？
【思路导航】


如图35-1所示，要求A、B两地相距多少千米，先要求客、货 车合行全程所需的时间。客车3.2小时行了50×3.2=160（千 米），货车行160千米所需的时间为：
160÷（50×80%）=4（小时）
所以（50+50×80%）×4=360（千米）

【练习1】


第35周 行程问题 疯狂操练二
【例题2】从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段， 各段路程之比是1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比 是4：5：6。已知他上坡时的速度为每小时2.5千米，路程全 长为20千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？

【思路导航】





【练习2】1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2：3：5，小亮走这三段路所用的时间之比是6：5：4。已知小亮走平炉时的速度为每小时4.5千米，他从甲地走到乙地共用了5小时。问：甲、乙两地相距多少千米？


2、小明去登山，上午6点出发，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在 山顶停了1小时后按原路返回，中午11点回到家。已知他走平路的速度为每小时4千米，上坡速度为每小时3千米，下坡速度为每小时6千米。问： 小明一共走了多少千米？




3、青青从家到学校正好要翻一座小山，她上坡每分钟行50米，下坡速度比上坡快40%，从就秒到学校的路程为2800米，上学要用50分钟。从学校回家要用多少时间？

第35周 行程问题 疯狂操练三
【例题3】 甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3：2。他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。这样，当几B地时，乙离A地还有14千米。那么A、B两地间的距离是多少千米？
【思路导航】

【练习3】1、甲、乙两人步行的速度比是13：11，他们分别由A、B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇。如果他们同向而行，那么甲追上乙 需要几小时？



2、从A地到B地，甲要走2小时，乙要走1小时40分钟。若甲从A地出发8
分钟后，乙从A地出发追甲。乙出发多久能追上甲？



3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样， 当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么，A、B两地相距多少千米？

第35周 行程问题 疯狂操练四
【例题4】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，一辆汽车一次只能坐一个班的学生。为了尽快到达机场，两个班商定，由甲班先坐车， 乙班步行，同时出发。甲班学生在中途下车步行去机场，汽车立即返回接途中步行的乙班同学。已知凉拌学生步行的速度相同，汽车的速度是步行的7倍，汽车应在距机场多少千米处返回接乙班同学，才能使两班同学同时到达机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？


【思路导航】如图35-4所示，汽车到达甲班学生下车的地方又返回到与乙班学生相遇的地点，汽车所行路程应为乙班不行的7倍，即比乙班学生多走6倍，因此汽车单程比乙班步行多（6÷2）=3（倍）。汽车返回与乙班相遇时，乙班步行的路程与甲班学生步行到机场的路程相等。由此得出汽车送甲班学生下车地点到几长的距离为学校到机场的距离的1/5。列算式为 24÷（1+3+1）=4.8（千米）



【练习4】

第35周 行程问题 疯狂操练五
【例题5】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果按原速行驶120千米后，再将速度提高25%， 则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？


【思路导航】此题是将行程、比例、百分数三种应用题综合在了一起。解题时，我们可先求出改车按原定速度到达乙地所需的时间，再求出甲、乙两地的路程。



【练习5】


2、一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形。这个长方形的面积与原正方形的面积想等。原正方形面积是多少平方米？




3、客、货车同时从甲、乙两地相对开出，相遇时客、货两车所行路程的 比是5：4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走27千米。客车仍按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站，已知客车一共行了10小时。 甲、乙两地相距多少千米？



六年级数学举一反三


当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。当顺风时，借着风力，相对而言用里较少。在你 的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。
解答这类题的要素有下列几点：水速、流速、划速、距离，解答这类题 与和差问题相似。划速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺 流速相当于和数，逆流速相当于差速。
划速=（顺流船速+逆流船速）÷2； 水速=（顺流船速—逆流船速）÷2； 顺流船速=划速+水速；
逆流船速=划速—水速；
顺流船速=逆流船速+水速×2； 逆流船速=逆流船速—水速×2。


【例题1】 一条轮船往返于A、B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A地到B地用了6小时，由B地到A地所用的时间是由A地到B地所用时间的1.5 倍，求水流速度。
【思路导航】在这个问题中，不论船是逆水航行，还是顺水航行，其行 驶的路程相等，都等于A、B两地之间的路程；而船顺水航行时，其形式 的速度为船在静水中的速度加上水流速度，而船在怒水航行时的行驶速 度是船在静水中的速度与水流速度的差。

解：设水流速度为每小时x千米，则船由A地到B地行驶的路程为[（20+x）
×6]千米，船由B地到A地行驶的路程为[（20—x）×6×1.5]千米。列方程为（20+x）×6=（20—x）×6×1.5
x=4

【练习1】1、水流速度是每小时15千米。现在有船顺水而行，8小时行
320千米。若逆水行320千米需几小时？



2、水流速度每小时5千米。现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时，顺水航行需几小时？











第36周 流水行船问题 疯狂操练二
【例题2】有一船行驶于120千米长的河中，逆行需10小时， 顺行要6小时，求船速和水速。
【思路导航】
这题条件中有行驶的路程和行驶的时间，这样可分别算出船在逆流时的行驶速度和顺流时的行驶速度，再根据和差问题就可以算出船速和水速。列式为

逆流速：120÷10=12（千米/时） 顺流速：120÷6=12（千米/时）
船速：（20+12）÷2=16（千米/时） 水速：（20—12）÷2=4（千米/时）

【练习2】1、有只大木船在长江中航行。逆流而上5小时行5千米，顺 流而下1小时行5千米。求这只木船每小时划船速度和河水的流速各是多 少？




2、有一船完成360千米的水程运输任务。顺流而下30小时到达，但逆流而上则需60小时。求河水流速和静水中划行的速度？



3、一海轮在海中航行。顺风每小时行45千米，逆风每小时行31千米。求这艘海轮每小时的划速和风速各是多少？

第36周 流水行船问题 疯狂操练三
【例题3】 轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下， 行了8小时；逆流而上，行了10小时。如果水流速度是每小时3千米，求两码头之间的距离。


【思路导航】在同一线段图上做下列游动性示意图36-1演示：


因为水流速度是每小时3千米，所以顺流比逆流每小时快6千 米。如果怒六时也行8小时，则只能到A地。那么A、B的距 离就是顺流比逆流8小时多行的航程，即6×8=48千米。而这 段航程又正好是逆流2小时所行的。由此得出逆流时的速度。列算式为（3+3）×8÷（10—8）×10=240（千米）

【练习3】1、一走轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口，它顺流而下行了7小时，逆流而上行了10小时。如果水流速度是每小时3.6千米， 求甲、乙两个港口之间的距离。




2、一艘渔船顺水每小时行18千米，逆水每小时行15千米。求船速和水速各是多少？




3、沿河有上、下两个市镇，相距85千米。有一只船往返两市镇之间，船的速度是每小时18.5千米，水流速度每小时1.5千米。求往返依次所需的时间。

第36周 流水行船问题 疯狂操练四
【例题4】汽船每小时行30千米，在长176千米的河中逆流航 行要11小时到达，返回需几小时？
【思路导航】
依据船逆流在176千米的河中所需航行时间是11小时，可以 求出逆流的速度。返回原地是顺流而行，用行驶路程除以顺 流速度，可求出返回所需的时间。
逆流速：176÷11=16（千米/时）
所需时间：176÷[30+（30—16）]=4（小时）

【练习4】1、当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时行48千米。返回时水流速度是逆流而上的2倍。需几小时行195千米？



2、已知一船自上游向下游航行，经9小时后，已行673千米，此船每小时的划速是47千米。求此河的水速是多少？



3、一只小船在河中逆流航行3小时行3千米，顺流航行1小时行3千米。求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少？

第36周 流水行船问题 疯狂操练五
【例题5】 有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物 相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速 相同，河长多少千米？
【思路导航】
漂流物和水同速，甲船是划速和水速的和，甲船4小时后，距漂流物100 千米，即每小时行100÷4=25（千米）。乙船12小时后与漂流物相遇， 所受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为

船速：100÷4=25（千米/时） 河长：25×12=300（千米）

【练习5】1、有两只木排，甲木排和漂流物同时由A地向B地前行，乙木排也同时从B地向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相距75千米，乙木排行15小时后与漂流物相遇，两木排的划速相同，A、B两地长多少千米？


2、有一条河在降雨后，每小时水的流速在中流和沿岸不同。中流每小时
59千米，沿岸每小时45千米。有一汽船逆流而上，从沿岸航行15小时走完570千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？


3、有一架飞机顺风而行4小时飞360千米。今出发至某地顺风去，逆风会， 返回的时间比去的时间多3小时。已知逆风速为75千米/小时，求距目的地多少千米？



六年级数学举一反三


同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避短”的策略，取得了胜利。
生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中 总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争 斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞 争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼， 百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终 的胜利。
解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。


【例题1】 两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴 就算谁输。如果开始时有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。

【思路导航】先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用 逆推法就可得到答案。

设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第999根火柴。因此， 只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6 根。依次类推，甲取的与乙取的之和为8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保证获胜。
所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。

【练习1】1、一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。每人每次可以拿1至3根，不许不拿，乙让甲先拿。问：谁能一定取 胜？他要取胜应采取什么策略？


2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的自然数，把两人报的 数累加起来，谁先报到88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？



3、把1994个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的方法是什么？

第37周 对策问题 疯狂操练二
【例题2】 有1987粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜 者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还 是后取的能胜？怎样取法才能取胜？
【思路导航】
从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜， 只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。

【练习2】1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒，谁取到最后一粒的是胜利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜， 应采取什么策略？


2、有1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取 胜的策略是什么？


3、盒子里有47粒珠子，两人轮流取，每次最多取5粒，最少取1粒，谁最先把盒子的珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏， 先名先、小红后，谁胜？取胜的策略是什么？

第37周 对策问题 疯狂操练三
【例题3】 在黑板上写有999个数：2，3，4，……，1000。甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦）， 如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。谁必胜？ 必胜的策略是什么？
【思路导航】
甲先擦去1000，剩下的998个数，分为499个数对：（2， 3），（4，5），（6，7），……（998，999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。

【练习3】1、甲、乙两人轮流从分别写有1，2，3，……，99的99张卡片中任意取走一张，先取卡的人能否保证在他取走的第97张卡片时， 使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？


2、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3，……，100，
101勾去九个数。经过这样的11次删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是55，这时判第一个勾数的人获胜。问第一个勾数的人能否获胜？ 获胜的策略是什么？


3、在黑板上写n—1（n＞3）个数：2，3，4，……，n。甲、乙两人轮流在黑板上擦去一个数。如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲 胜。N分别取什么值时：（1）甲必胜？（2）乙必胜？必胜的策略是什么？

第37周 对策问题 疯狂操练四
【例题4】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个 写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。
【思路导航】

这里关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验。甲不 能写1，否则乙写6，乙可获胜；甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获胜；甲不能写4，9，10，否则乙写6，乙可获胜。因此，甲先写6或8， 才有可能获胜。

甲可以获胜。如甲写6，去掉6的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，
9，10这六个数中的一个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，
10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。

【练习4】1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数。书写 规则是：不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就 是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取什么对策？


2、甲、乙两人轮流从分别写有3，4，5，……，11的9张卡片中任意取走一张，规定取卡人不能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁 就输。现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？应采取的对策是什么？




3、甲、乙两人轮流在2004粒棋子中取走1粒，3粒，5粒或7粒棋子。甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？

第37周 对策问题 疯狂操练五
【例题5】 有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片如图37-1所示，9张卡片分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下 两行6个数的和；小强计算左、右两列6个数的和，和数大的一方取胜。 小兵一定能取胜吗？
【思路导航】
如图37-1所示，由于4个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与放在
A，B，C，D这4个格中的数有关。
小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入A或C格，尽可能将 小数填入B格或D格。
由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵应先将1放在B格，如小强把10放进D格，小兵再把9放进A格，这时不论小强怎么做，C格中一定是大于或等于3的数，因而小兵获胜。如小强把3放进A格，小兵只需将9放到C格， 小兵也一定获胜。＋100=180（次）。

【练习5】1、在5×5的棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下对角线走一格。两人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？


2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放， 谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样才能取胜？




3、两人轮流在3×3的方格中画“√”和“×”，规定每人每次至少画一格， 至多画三格，所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。谁有获胜的策略？



六年级数学举一反三



同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这 样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说， 对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：

性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和
（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余， 用符号表示就是： 3 2 ≡ 2 （ m o d 5 ） ， 1 9 ≡ 4 （ m o d 5 ） ， 32+19≡2+4≡1（mod 5）



性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一 定能被这个除数整除。

性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然 同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。


【例题1】 求1992×59除以7的余数。
【思路导航】
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59 除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以 7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59” 除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就 可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。

【练习1】1、求4217×364除以6的余数。



2、求1339655×12除以13的余数。



3、求879×4376×5283除以11的余数。

第38周 应用同余问题 疯狂操练二
【例题2】已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆 节是星期几？
【思路导航】一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几， 就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。
2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年， 即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7）， 3 6 5 × 7 ≡ 1 × 7 ≡ 0 （ m o d 7 ） ，
366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）

【练习2】1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？





2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期几？



3、今天是星期四，再过365的15次方是星期几？

第38周 应用同余问题 疯狂操练三
【例题3】求2001的2003次方除以13的余数。
【思路导航】2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1
（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方
≡ 1 2 的2 0 0 2 次方× 1 2 。根据同余性质（ 2 ） 可知1 2 的2 0 0 2 次方
×12≡1×12≡12（mod 13） 因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）
12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1

12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13） 所以2001的2003次方除以13的余数是12。

【练习3】1、求12的200次方除以13的余数。




2、求3的92次方除以21余几。





3、9个小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？

第38周 应用同余问题 疯狂操练四
【例题4】自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？
【思路导航】
自然数16520 ， 14903 ， 14177 除以m的余数相同， 换句话说就是16520≡14903≡14177（mod m）。根据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它们差的 最大公约数是多少？
因为16520—14903=1617=3×7的平方×11 16520—14177=2343=3×11×71
14903—14177=726=2×3×11的平方
M是这些差的公约数，m最大是3×11=33。

【练习4】1、若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数是多少？




2、一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？




3、当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？

第38周 应用同余问题 疯狂操练五
【例题5】某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？
【思路导航】

我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模8同余的数，9≡1（mod 8），但9输以7余数不是5，所以某数不是9。17≡1（mod 8），17除以7 的余数也不是5。25≡1（mod 8），25除以7的余数也不是5。33≡1
（mod 8），33除以7的余数正好是5，而且33除以6余数正好是3，所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列举法，也可以简化为下面的 格式：

被8除余1的数有： 9， 17， 25， 33， 41， 49， 57， 65， 73， 81， 89，……其中被7除余5的数有：33，89，……这些数中被6除余3的数最小是33。

【练习5】1、某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小是几？




2、某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。




3、在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1），小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？



六年级数学举一反三



牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可 供1 0 头牛吃3 天， 供6 头牛吃几天？ ” 这题很简单， 用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长 的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草 的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问 题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场 上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速 生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有 的草及每天长出的草，问题就容易解决了。


【例题1】 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6 周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
【思路导航】
这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162
（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207
（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）
=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）

【练习1】1、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，
20头牛吃10天，那么可供19头牛吃几天？



2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天， 或者可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？





3、牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

第39周 牛吃草问题 疯狂操练二
【例题2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速 度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
【思路导航】
与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是， 我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。
设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100- 90=10（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草， 所以原有草两有（20+10）×5=150（份），由150÷10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。

【练习2】1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减 少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。那么， 可供11头牛吃几天？


2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的 草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？


3、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活
300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？

第39周 牛吃草问题 疯狂操练三
【例题3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶 梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级 台阶？
【思路导航】

与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变 成了“台阶”，“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分 是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100—90=10（级），多用了6—
5=1（分钟），说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）
×5=150（级）

【练习3】1、自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明 每分钟走25级台阶，小红 每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？




2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级台阶， 女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？




3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛 白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往 下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井 底，另一只蜗牛恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

第39周 牛吃草问题 疯狂操练四
【例题4】 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水， 要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？
【思路导航】
已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。
1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：
（5×10—12×3）÷（10—3）=2
已漏进的水：（12—2）×3=30
已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成： 30+2×2=34
用2小时来舀完这些水需要17人：34÷2=17（人）

【练习4】1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？


2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔 同时打开后，如果每小时注水30立方分米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米，注满水箱可少用2.5小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？




3、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台 抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？

第39周 牛吃草问题 疯狂操练五
【例题5】有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚， 而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12 头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
【思路导航】

前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积 不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即[5，6，8]=120这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。120÷8=15。

第39周 牛吃草问题 疯狂操练五
【思路导航】

问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛齿及天？ 即每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）
草地原有草：（264—180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）

【练习5】1、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人 数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？


2、快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车 的速度分别是嵋小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6 小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？



3、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？



六年级数学举一反三




当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定 方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的 个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：


如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此， 研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般 要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然 后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小 未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组， 可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽 的）取适当的值。


【例题1】 求3x+4y＝23的自然数解。
【思路导航】





【练习1】1、求3x+2y＝25的自然数解。



2、求4x+5y＝37的自然数解。



3.求5x－3y＝16的最小自然数解。

第40周 不定方程 疯狂操练二
【例题2】
【思路导航】




【练习2】




第40周 不定方程 疯狂操练三
【例题3】 一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒 子数大于9，问两种盒子各有多少个？
【思路导航】两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出 不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9） y＝（99－12y）÷5




【练习3】1、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3 人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）



2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？




3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买 来多少枝？

第40周 不定方程 疯狂操练四
【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千 克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了 多少千克？
【思路导航】




【练习4】1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？



2、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9
角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）




3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总 数最少是多少张？

第40周 不定方程 疯狂操练五
【例题5】 某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人 发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1 枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？
【思路导航】




【练习5】1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？



2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元， 茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？