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2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学中考数学一模试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了下列计算正确的是，如图所示物体的左视图为等内容，欢迎下载使用。
2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．在数﹣3，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
2．下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3 B．x2•x3＝x6 C．（x3）2＝x6 D．x9÷x3＝x3
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
5．如图所示物体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．原价196元的某商品经过两次降价后，现售价100元，如果两次降价的百分数都为x，那么下列各式中正确的是（ ）
A．196（1﹣2x）＝100 B．196（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）＝196 D．100（1+x）2＝196
9．如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE＝（ ）
A．90° B．85° C．80° D．40°
10．在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）如图，已知乙一直做匀速运动，下列说法：①甲先到达终点；②甲在AB段的速度为0.2千米/分：③第48分钟时，两人第一次相遇；④这次比赛的全程是28千米．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题）
11．今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名活动，9天共收集超1210000个签名，将1210000用科学记数法表示为 ．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．﹣＝ ．
14．分解因式：ax2﹣ay2＝ ．
15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ．
16．不等式组的解集是 ．
17．用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票 枚．
18．不透明的袋子里装有3个红球、6个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．
19．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为 ．
20．如图，在△ABC中，tan（∠C﹣∠B）＝，AC＝，AB＝5，则BC的长为 ．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin60°+tan45°．
22．图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为l，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个直角三角形，且三边长为，2，5；
（2）画一个边长为整数的等腰三角形，且面积等于12．
23．若中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分．规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；a＝ %；C级对应的圆心角为 度．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
24．如图，反比例函数y＝经过点D，且点D的坐标为（﹣，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数图象于另一点C，若3OA＝4OB，求△BOC的面积．
25．经纬文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本的数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利高于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
26．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．
（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；
（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；
（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．
27．如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在数﹣3，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣1＜0＜2，3＞2，
∴大小在﹣1和2之间的数是0．
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3 B．x2•x3＝x6 C．（x3）2＝x6 D．x9÷x3＝x3
【分析】A、原式不能合并，错误；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝x5，错误；
C、原式＝x6，正确；
D、原式＝x6，错误．
故选：C．
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
4．对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
【分析】先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k﹣3＞0，解得k＞3．
故选：C．
5．如图所示物体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看下边是一个大矩形，矩形的左上角是一个小矩形，
故选：A．
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设BC＝3x，AB＝5x，根据勾股定理求出AC＝4x，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，
∴设BC＝3x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝4x，
∴tanA＝＝＝，
即∠A的正切值为，
故选：D．
7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴A选项正确，
故选：A．
8．原价196元的某商品经过两次降价后，现售价100元，如果两次降价的百分数都为x，那么下列各式中正确的是（ ）
A．196（1﹣2x）＝100 B．196（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）＝196 D．100（1+x）2＝196
【分析】用原价×（1﹣降价的百分数）2＝现售价列方程可得．
【解答】解：设两次降价的百分数都为x，
根据题意，得：196（1﹣x）2＝100，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE＝（ ）
A．90° B．85° C．80° D．40°
【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【解答】解：由旋转的性质可知，AB＝AD，∠ADE＝∠B＝40°，
在△ABD中，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝40°，
∴∠BDE＝∠ADE+∠ADB＝80°．
故选：C．
10．在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）如图，已知乙一直做匀速运动，下列说法：①甲先到达终点；②甲在AB段的速度为0.2千米/分：③第48分钟时，两人第一次相遇；④这次比赛的全程是28千米．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲先到达终点，故①正确；
甲在AB段的速度为：（14﹣10）÷（66﹣30）＝4÷36＝千米/分≠0.2，故②错误；
设两人第一次相遇的时间为t分钟，10+×（t﹣30）＝12，得t＝48，
即第48分钟时，两人第一次相遇，故③正确；
这次比赛的全程是12÷48×96＝24（千米），故④错误；
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名活动，9天共收集超1210000个签名，将1210000用科学记数法表示为 1.21×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数1210000用科学记数法表示为1.21×106，
故答案为：1.21×106．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
13．﹣＝ ．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝3﹣2＝，
故答案为：．
14．分解因式：ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣ay2，
＝a（x2﹣y2），
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 27π ．
【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为r．
则＝6π，
解得r＝9，
∴扇形的面积＝＝27π．
故答案为：27π．
16．不等式组的解集是 ﹣1＜x≤2 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤2，
所以，这个不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为﹣1＜x≤2．
17．用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票 11 枚．
【分析】设买了80分的邮票x枚，120分的邮票y枚，根据购买两种邮票17枚共花费16元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设买了80分的邮票x枚，120分的邮票y枚，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：11．
18．不透明的袋子里装有3个红球、6个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．
【分析】用红球的数量除以球的总数量即可求得摸到红球的概率．
【解答】解：∵不透明的袋子里装有3个红球、6个白球，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是：＝．
故答案为：．
19．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为 3或 ．
【分析】分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和相似三角形的性质以及锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，当点E在BC的延长线上时，
∵BE＝2CE，
∴BC＝CE，
∵OE⊥BD，
∴OC＝BC＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；
∴BO＝CO＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°
∴tan∠ACB＝，
∴BC＝＝AD，
如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，
∵AB∥CD，
∴，
∴AF＝CH，
∵AB∥CD，
∴△EBF∽△ECH，
∴，
∴BF＝2CH＝2AF，
∴3+AF＝2AF，
∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，
∴AO＝AB＝AF＝3，
∵AO＝BO＝CO＝DO，
∴AO＝AB＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴tan∠ABD＝，
∴AD＝3，
故答案为：3或．
20．如图，在△ABC中，tan（∠C﹣∠B）＝，AC＝，AB＝5，则BC的长为 6 ．
【分析】在BC上取点E，连接AE，使AE＝AC＝，过E作EF⊥AB于点F，过A作AD⊥CE于点D，得∠BAE＝∠C﹣∠B，解Rt△AEF，得AE，AF，再用勾股定理得BE，由△ABE的面积公式得AD，进而由勾股定理得DE与CD，便可求得结果．
【解答】解：在BC上取点E，连接AE，使AE＝AC＝，过E作EF⊥AB于点F，过A作AD⊥CE于点D，
则∠AEC＝∠C，DE＝CD，
∵∠EAF＝∠AEC﹣∠B，
∴∠EAF＝∠C﹣∠B，
∵tan（∠C﹣∠B）＝，
∴，
设EF＝6x，则AF＝17x，由勾股定理得，
AF2+EF2＝AE2，
∴，
∴x＝，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BC＝2+2+2+＝6．
故答案为：6．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin60°+tan45°．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•（a+1）
＝•（a+1）
＝•（a+1）
＝•（a+1）
＝，
当a＝2sin60°+tan45°＝2×+1＝+1时，原式＝＝．
22．图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为l，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个直角三角形，且三边长为，2，5；
（2）画一个边长为整数的等腰三角形，且面积等于12．
【分析】（1）在互相垂直的两边上分别取边长为，2，然后连接两格点即可得解；
（2）因为边长为整数，所以取底边长为8，高为3的等腰三角形；或取底边长为6，高为4的等腰三角形即可．
【解答】解：（1）如图①所示，直角三角形两直角边分别为，2；
（2）如图②所示，底边长为8，高为3的等腰三角形；或取底边长为6，高为4的等腰三角形
23．若中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分．规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 50 名学生；a＝ 24 %；C级对应的圆心角为 72 度．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出a；用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；
（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
（3）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：＝50（人），
a＝×100%＝24%；扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°＝72°；
故答案为：50，24，72；
（2）补全条形统计图如图．
（3）∵2000×＝160名
∴若该校共有2000名学生，估计该校D级学生有160名．
24．如图，反比例函数y＝经过点D，且点D的坐标为（﹣，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数图象于另一点C，若3OA＝4OB，求△BOC的面积．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝﹣1，从而求得解析式；
（2）根据题意求得直线AB的解析式，即可求得B的坐标，与反比例函数解析式联立，解方程组求得交点C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点D（﹣，2）．
∴k＝﹣＝﹣1，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴A（0，b），B（﹣，0），
∴OA＝b，OB＝，
∵3OA＝4OB，
∴3b＝，
∴a＝，
∴y＝x+b，
∵直线AB经过D（﹣，2），
∴2＝×（﹣）+b，
∴b＝，
∴y＝x+，B（﹣2，0），
解得或，
∴C（﹣，），
∴S△BOC＝2×＝．
25．经纬文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本的数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利高于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
【分析】（1）关键语是“用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本的数量相同”可根据此列出方程；
（2）设最多购进A种笔记本y本，依据“这两种笔记本全部售出后总获利高于468元”列出不等式．
【解答】解：（1）设A种笔记本每本的进价为x元，则B两种笔记本每本的进价为（x+10）元，则
＝，
解得 x＝20．经检验x＝30是原方程的解，且符合题意．
则x+10＝30．
答：A、B两种笔记本每本的进价分别为20元、30元；
（2）设最多购进A种笔记本y本，则依题意，得
（24﹣20）y+（35﹣30）（100﹣y）＞468，
解得 y＜32．
因为y是正整数，
所以y取31．
答：最多购进A种笔记本31本．
26．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．
（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；
（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；
（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．
【分析】（1）先证明∠ACE＝∠DCE，再证明△ACE≌△DCE，便可得结论；
（2）证明AB与CE的交点是圆心O点，进而得CE⊥AD，便可得CE∥BD；
（3）先证明△OAE≌△OCK得OE＝OK，设设BK＝4m，用m表示AB，OK，再证明BD＝2OE＝5m，由勾股定理，用m表示AD，再证明△AKL∽△ADB，用比例线段便可用m表示KL，最后由勾股定理得出m的方程，求得m，便可求得BD．
【解答】解：（1）∵CE⊥AD，
∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，
∵∠D+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCE，
在△ACE和△DCE中，
，
∴△ACE≌△DCE（ASA），
∴CA＝CD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠ADC+∠ACE＝90°，
∴∠BDC＝∠ACE，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACE，
设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，
∴M在AC的垂直平分线上，
∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，
∴M与点O重合，即CE过圆心O，
∵AE＝DE，
∴CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴CE∥BD；
（3）∵4AK＝9BK，
∴AK：BK＝9：4，
设BK＝4m，则AK＝9m，
∴AB＝13m，
∴OA＝OB＝6.5m，
∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，
∵AK⊥CL，
∴∠AKC＝90°＝∠AEO，
在△OAE和△OCK中，
，
∴△OAE≌△OCK（AAS），
∴OE＝OK＝2.5m，
∵OA＝OB，AE＝DE，
∴BD＝2OE＝5m，
∴AD＝，
∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，
∴△AKL∽△ADB，
∴，即，
∴LK＝，
∵OK2+LK2＝OL2，
∴，
解得，m＝0.8，
∴BD＝5m＝4．
27．如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．
【分析】（1）c＝3，故OC＝3，tan∠ABC＝1，则OA＝3，即可出点A、B、C的坐标，即可求解；
（2）S＝CR×（xP﹣xA）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；
（3）CP＝2，OC＝3，CH＝2sinα，ON＝3sinα，CN＝3cosα，则tan∠HON＝＝，故点H（，）；设点G（m，﹣m2+2m+3），由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝，故点G（﹣，），即可求解．
【解答】解：（1）c＝3，故OC＝3，tan∠ABC＝1，则OA＝3，
tan∠BAC＝3，则OA＝1，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C坐标代入上式并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）点P（t，﹣t2+2t+3），点A（﹣1，0），
将点P、A坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得：
直线PA的表达式为：y＝（3﹣t）（x+1），
设直线AP交y轴于点R，则R（0，3﹣t），
S＝CR×（xP﹣xA）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；
（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2，
故点P（2，3），而点C（0，3），
连接CP，则CP∥x轴，
CH⊥GP，则∠CPH＝∠OCH＝α，
HM⊥CP，则∠CHM＝∠HCO＝α，
过点O作ON⊥CH交CH的延长线于点N，作HM⊥CP于点M，
CP＝2，OC＝3，
CH＝CPsinα＝2sinα，ON＝OCsinα＝3sinα，CN＝OCcosα＝3cosα，
∵ON⊥CN，GH⊥CH，
∴∠HON＝∠OHG，
故tan∠HON＝＝＝＝tan∠OHG＝，
解得：tan，则sinα＝，cosα＝，
MH＝CHcosα＝2sinα•cosα＝，CM＝CHsinα＝，故点H（，）；
设点G（m，﹣m2+2m+3），而点P（2，3），
由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝，
故点G（﹣，），
由点G、H的坐标得，GH＝．
2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．在数﹣3，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
2．下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3 B．x2•x3＝x6 C．（x3）2＝x6 D．x9÷x3＝x3
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
5．如图所示物体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．原价196元的某商品经过两次降价后，现售价100元，如果两次降价的百分数都为x，那么下列各式中正确的是（ ）
A．196（1﹣2x）＝100 B．196（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）＝196 D．100（1+x）2＝196
9．如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE＝（ ）
A．90° B．85° C．80° D．40°
10．在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）如图，已知乙一直做匀速运动，下列说法：①甲先到达终点；②甲在AB段的速度为0.2千米/分：③第48分钟时，两人第一次相遇；④这次比赛的全程是28千米．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题）
11．今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名活动，9天共收集超1210000个签名，将1210000用科学记数法表示为 ．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．﹣＝ ．
14．分解因式：ax2﹣ay2＝ ．
15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ．
16．不等式组的解集是 ．
17．用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票 枚．
18．不透明的袋子里装有3个红球、6个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．
19．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为 ．
20．如图，在△ABC中，tan（∠C﹣∠B）＝，AC＝，AB＝5，则BC的长为 ．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin60°+tan45°．
22．图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为l，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个直角三角形，且三边长为，2，5；
（2）画一个边长为整数的等腰三角形，且面积等于12．
23．若中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分．规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；a＝ %；C级对应的圆心角为 度．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
24．如图，反比例函数y＝经过点D，且点D的坐标为（﹣，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数图象于另一点C，若3OA＝4OB，求△BOC的面积．
25．经纬文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本的数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利高于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
26．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．
（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；
（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；
（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．
27．如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在数﹣3，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣1＜0＜2，3＞2，
∴大小在﹣1和2之间的数是0．
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3 B．x2•x3＝x6 C．（x3）2＝x6 D．x9÷x3＝x3
【分析】A、原式不能合并，错误；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝x5，错误；
C、原式＝x6，正确；
D、原式＝x6，错误．
故选：C．
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
4．对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
【分析】先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k﹣3＞0，解得k＞3．
故选：C．
5．如图所示物体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看下边是一个大矩形，矩形的左上角是一个小矩形，
故选：A．
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设BC＝3x，AB＝5x，根据勾股定理求出AC＝4x，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，
∴设BC＝3x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝4x，
∴tanA＝＝＝，
即∠A的正切值为，
故选：D．
7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴A选项正确，
故选：A．
8．原价196元的某商品经过两次降价后，现售价100元，如果两次降价的百分数都为x，那么下列各式中正确的是（ ）
A．196（1﹣2x）＝100 B．196（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）＝196 D．100（1+x）2＝196
【分析】用原价×（1﹣降价的百分数）2＝现售价列方程可得．
【解答】解：设两次降价的百分数都为x，
根据题意，得：196（1﹣x）2＝100，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE＝（ ）
A．90° B．85° C．80° D．40°
【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【解答】解：由旋转的性质可知，AB＝AD，∠ADE＝∠B＝40°，
在△ABD中，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝40°，
∴∠BDE＝∠ADE+∠ADB＝80°．
故选：C．
10．在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）如图，已知乙一直做匀速运动，下列说法：①甲先到达终点；②甲在AB段的速度为0.2千米/分：③第48分钟时，两人第一次相遇；④这次比赛的全程是28千米．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲先到达终点，故①正确；
甲在AB段的速度为：（14﹣10）÷（66﹣30）＝4÷36＝千米/分≠0.2，故②错误；
设两人第一次相遇的时间为t分钟，10+×（t﹣30）＝12，得t＝48，
即第48分钟时，两人第一次相遇，故③正确；
这次比赛的全程是12÷48×96＝24（千米），故④错误；
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名活动，9天共收集超1210000个签名，将1210000用科学记数法表示为 1.21×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数1210000用科学记数法表示为1.21×106，
故答案为：1.21×106．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
13．﹣＝ ．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝3﹣2＝，
故答案为：．
14．分解因式：ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣ay2，
＝a（x2﹣y2），
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 27π ．
【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为r．
则＝6π，
解得r＝9，
∴扇形的面积＝＝27π．
故答案为：27π．
16．不等式组的解集是 ﹣1＜x≤2 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤2，
所以，这个不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为﹣1＜x≤2．
17．用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票 11 枚．
【分析】设买了80分的邮票x枚，120分的邮票y枚，根据购买两种邮票17枚共花费16元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设买了80分的邮票x枚，120分的邮票y枚，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：11．
18．不透明的袋子里装有3个红球、6个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．
【分析】用红球的数量除以球的总数量即可求得摸到红球的概率．
【解答】解：∵不透明的袋子里装有3个红球、6个白球，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是：＝．
故答案为：．
19．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为 3或 ．
【分析】分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和相似三角形的性质以及锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，当点E在BC的延长线上时，
∵BE＝2CE，
∴BC＝CE，
∵OE⊥BD，
∴OC＝BC＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；
∴BO＝CO＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°
∴tan∠ACB＝，
∴BC＝＝AD，
如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，
∵AB∥CD，
∴，
∴AF＝CH，
∵AB∥CD，
∴△EBF∽△ECH，
∴，
∴BF＝2CH＝2AF，
∴3+AF＝2AF，
∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，
∴AO＝AB＝AF＝3，
∵AO＝BO＝CO＝DO，
∴AO＝AB＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴tan∠ABD＝，
∴AD＝3，
故答案为：3或．
20．如图，在△ABC中，tan（∠C﹣∠B）＝，AC＝，AB＝5，则BC的长为 6 ．
【分析】在BC上取点E，连接AE，使AE＝AC＝，过E作EF⊥AB于点F，过A作AD⊥CE于点D，得∠BAE＝∠C﹣∠B，解Rt△AEF，得AE，AF，再用勾股定理得BE，由△ABE的面积公式得AD，进而由勾股定理得DE与CD，便可求得结果．
【解答】解：在BC上取点E，连接AE，使AE＝AC＝，过E作EF⊥AB于点F，过A作AD⊥CE于点D，
则∠AEC＝∠C，DE＝CD，
∵∠EAF＝∠AEC﹣∠B，
∴∠EAF＝∠C﹣∠B，
∵tan（∠C﹣∠B）＝，
∴，
设EF＝6x，则AF＝17x，由勾股定理得，
AF2+EF2＝AE2，
∴，
∴x＝，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BC＝2+2+2+＝6．
故答案为：6．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin60°+tan45°．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•（a+1）
＝•（a+1）
＝•（a+1）
＝•（a+1）
＝，
当a＝2sin60°+tan45°＝2×+1＝+1时，原式＝＝．
22．图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为l，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个直角三角形，且三边长为，2，5；
（2）画一个边长为整数的等腰三角形，且面积等于12．
【分析】（1）在互相垂直的两边上分别取边长为，2，然后连接两格点即可得解；
（2）因为边长为整数，所以取底边长为8，高为3的等腰三角形；或取底边长为6，高为4的等腰三角形即可．
【解答】解：（1）如图①所示，直角三角形两直角边分别为，2；
（2）如图②所示，底边长为8，高为3的等腰三角形；或取底边长为6，高为4的等腰三角形
23．若中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分．规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 50 名学生；a＝ 24 %；C级对应的圆心角为 72 度．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出a；用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；
（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
（3）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：＝50（人），
a＝×100%＝24%；扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°＝72°；
故答案为：50，24，72；
（2）补全条形统计图如图．
（3）∵2000×＝160名
∴若该校共有2000名学生，估计该校D级学生有160名．
24．如图，反比例函数y＝经过点D，且点D的坐标为（﹣，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数图象于另一点C，若3OA＝4OB，求△BOC的面积．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝﹣1，从而求得解析式；
（2）根据题意求得直线AB的解析式，即可求得B的坐标，与反比例函数解析式联立，解方程组求得交点C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点D（﹣，2）．
∴k＝﹣＝﹣1，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴A（0，b），B（﹣，0），
∴OA＝b，OB＝，
∵3OA＝4OB，
∴3b＝，
∴a＝，
∴y＝x+b，
∵直线AB经过D（﹣，2），
∴2＝×（﹣）+b，
∴b＝，
∴y＝x+，B（﹣2，0），
解得或，
∴C（﹣，），
∴S△BOC＝2×＝．
25．经纬文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本的数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利高于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
【分析】（1）关键语是“用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本的数量相同”可根据此列出方程；
（2）设最多购进A种笔记本y本，依据“这两种笔记本全部售出后总获利高于468元”列出不等式．
【解答】解：（1）设A种笔记本每本的进价为x元，则B两种笔记本每本的进价为（x+10）元，则
＝，
解得 x＝20．经检验x＝30是原方程的解，且符合题意．
则x+10＝30．
答：A、B两种笔记本每本的进价分别为20元、30元；
（2）设最多购进A种笔记本y本，则依题意，得
（24﹣20）y+（35﹣30）（100﹣y）＞468，
解得 y＜32．
因为y是正整数，
所以y取31．
答：最多购进A种笔记本31本．
26．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．
（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；
（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；
（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．
【分析】（1）先证明∠ACE＝∠DCE，再证明△ACE≌△DCE，便可得结论；
（2）证明AB与CE的交点是圆心O点，进而得CE⊥AD，便可得CE∥BD；
（3）先证明△OAE≌△OCK得OE＝OK，设设BK＝4m，用m表示AB，OK，再证明BD＝2OE＝5m，由勾股定理，用m表示AD，再证明△AKL∽△ADB，用比例线段便可用m表示KL，最后由勾股定理得出m的方程，求得m，便可求得BD．
【解答】解：（1）∵CE⊥AD，
∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，
∵∠D+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCE，
在△ACE和△DCE中，
，
∴△ACE≌△DCE（ASA），
∴CA＝CD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠ADC+∠ACE＝90°，
∴∠BDC＝∠ACE，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACE，
设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，
∴M在AC的垂直平分线上，
∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，
∴M与点O重合，即CE过圆心O，
∵AE＝DE，
∴CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴CE∥BD；
（3）∵4AK＝9BK，
∴AK：BK＝9：4，
设BK＝4m，则AK＝9m，
∴AB＝13m，
∴OA＝OB＝6.5m，
∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，
∵AK⊥CL，
∴∠AKC＝90°＝∠AEO，
在△OAE和△OCK中，
，
∴△OAE≌△OCK（AAS），
∴OE＝OK＝2.5m，
∵OA＝OB，AE＝DE，
∴BD＝2OE＝5m，
∴AD＝，
∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，
∴△AKL∽△ADB，
∴，即，
∴LK＝，
∵OK2+LK2＝OL2，
∴，
解得，m＝0.8，
∴BD＝5m＝4．
27．如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．
【分析】（1）c＝3，故OC＝3，tan∠ABC＝1，则OA＝3，即可出点A、B、C的坐标，即可求解；
（2）S＝CR×（xP﹣xA）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；
（3）CP＝2，OC＝3，CH＝2sinα，ON＝3sinα，CN＝3cosα，则tan∠HON＝＝，故点H（，）；设点G（m，﹣m2+2m+3），由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝，故点G（﹣，），即可求解．
【解答】解：（1）c＝3，故OC＝3，tan∠ABC＝1，则OA＝3，
tan∠BAC＝3，则OA＝1，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C坐标代入上式并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）点P（t，﹣t2+2t+3），点A（﹣1，0），
将点P、A坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得：
直线PA的表达式为：y＝（3﹣t）（x+1），
设直线AP交y轴于点R，则R（0，3﹣t），
S＝CR×（xP﹣xA）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；
（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2，
故点P（2，3），而点C（0，3），
连接CP，则CP∥x轴，
CH⊥GP，则∠CPH＝∠OCH＝α，
HM⊥CP，则∠CHM＝∠HCO＝α，
过点O作ON⊥CH交CH的延长线于点N，作HM⊥CP于点M，
CP＝2，OC＝3，
CH＝CPsinα＝2sinα，ON＝OCsinα＝3sinα，CN＝OCcosα＝3cosα，
∵ON⊥CN，GH⊥CH，
∴∠HON＝∠OHG，
故tan∠HON＝＝＝＝tan∠OHG＝，
解得：tan，则sinα＝，cosα＝，
MH＝CHcosα＝2sinα•cosα＝，CM＝CHsinα＝，故点H（，）；
设点G（m，﹣m2+2m+3），而点P（2，3），
由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝，
故点G（﹣，），
由点G、H的坐标得，GH＝．
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