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陕西省西安市第一中学2022届高三上学期期中考试数学（文）试题含答案
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这是一份陕西省西安市第一中学2022届高三上学期期中考试数学（文）试题含答案，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：白恒兴
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1. 设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|12. i是虚数单位，计算等于( )
A．－2i B．0 C．2i D．2
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
同时掷两个骰子，则向上点数不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 设θ∈R，则“0<θ1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6. 已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，
若，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 若点 G是的重心，则 ( )
A.0 B. C. D.
8. 若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1
9. 已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α＝( )
A.eq \f(3,5) B.－eq \f(3,5) C.－3 D.3
10. 函数f(x)＝cs x－sin x在[0，]上的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
11.在上的极小值为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数lnx + 1,若存在,对任意，都有，则实数的取值范围是( )
二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)
13. 在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状为__________.
已知曲线，则曲线在点处的切线方程为__________________.
15. 在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.
16. 函数y＝cs(2x＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移eq \f(π,2)个单位长度后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
三、解答题(共4小题,每小题12分,共48分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （12分）的内角A，B，C的对边分别为，且
求角A的大小；
若，的面积，求的周长.
18. （12分）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间．
19.（12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加年月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数(见下表)∶
由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测年月份参与竞拍的人数.
参考公式及数据：
①回归方程，其中，；
②，，.
（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为
求的值；
若函数有两个零点，求实数的取值范围.
21.（12分）已知函数.
（1）若在上为单调函数，求实数的取值范围：
（2）记的两个极值点为，求证：
选做题（22、23题中任选一题）
22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).
(1)若＝eq \f(3π,4)，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；
(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.
23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.
(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；
(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.
西安市第一中学2021-2022学年度第一学期期中考试
高三数学答案（文）
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1. 答案 C 2.答案 B 3. 答案 D 4.答案 D 5.答案 A 6.答案 D
7.答案 B 8.答案 A 9.答案A 10.答案 C 11.答案D 12.答案 C
二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)
13. 矩形 14. 15. 2 16. eq \f(π,6)
三、解答题(共4小题,每小题12分,共48分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （12分）解：（1）由已知得
（2）由已知及余弦定理得，周长为
18. （12分）解 (1)f(x)＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)
＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)令z＝2x－eq \f(π,3)，函数y＝2sin z在z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z上是增加的．
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z.
f(x)的单调递增区间是．
19.（12分）解：（1）易知，，
， ，
则关于的线性回归方程为
当时，，即2020年11月份参与竞拍的人数估计为2万人．
20.（12分）解：f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′(1)＝e(2a＋1)＝b，,f(1)＝e(a＋1)＝b－e，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3e，))∴a＝1，b＝3e.
（2） g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，
相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图像与直线y＝m有两个交点，
u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，
∴u(x)在(－∞，1)上是减少的；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，
∴u(x)在(1，＋∞)上是增加的，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.
又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，
∴实数m的取值范围为{m|－e21.（12分）解：（1）的定义域为，.
因为单调，所以对恒成立，
所以，恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以；
由（1）知，是的两个根. 从而>0，，
且,所以. 故>2
，而，
所以
选做题（22、23题中任选一题）
22.（10分）解 (1)由直线l的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数)及α＝eq \f(3π,4)可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，由曲线C的极坐标方程ρ＝eq \f(2cs θ,1－cs2 θ)，
得其直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数)，
代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2 α＋2t(sin α－cs α)－3＝0(*)，
设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq \f(2(sin α－cs α),sin2 α).
∵P(2，1)为AB的中点，∴P点所对应的参数为eq \f(t1＋t2,2)＝－eq \f(sin α－cs α,sin2 α)＝0，
∴sin α－cs α＝0，即α＝eq \f(π,4).则(*)变为eq \f(1,2)t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±eq \r(6)，
∴|AB|＝2eq \r(6).
23.（10分）解 (1)由于f(x)＝|2x|－|x＋3|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x(x<－3)，,－3x－3(－3≤x≤0)，,x－3(x>0)，))
所以f(x)的最小值为f(0)＝－3.又因为对任意的实数x，都有
f(x)≥2m2－7m成立，所以只需2m2－7m≤－3，即2m2－7m＋3≤0，解得eq \f(1,2)≤m≤3，
故m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3)).
(2)方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有两个不同的交点，作出这两个函数的图像，由图像可知，a的取值范围是(－1，1)∪{－2}.
月份
月份编号
竞拍人数（万人）
命题人：白恒兴
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1. 设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2
A．－2i B．0 C．2i D．2
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
同时掷两个骰子，则向上点数不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 设θ∈R，则“0<θ
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6. 已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，
若，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 若点 G是的重心，则 ( )
A.0 B. C. D.
8. 若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1
9. 已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α＝( )
A.eq \f(3,5) B.－eq \f(3,5) C.－3 D.3
10. 函数f(x)＝cs x－sin x在[0，]上的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
11.在上的极小值为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数lnx + 1,若存在,对任意，都有，则实数的取值范围是( )
二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)
13. 在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状为__________.
已知曲线，则曲线在点处的切线方程为__________________.
15. 在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.
16. 函数y＝cs(2x＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移eq \f(π,2)个单位长度后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
三、解答题(共4小题,每小题12分,共48分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （12分）的内角A，B，C的对边分别为，且
求角A的大小；
若，的面积，求的周长.
18. （12分）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间．
19.（12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加年月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数(见下表)∶
由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测年月份参与竞拍的人数.
参考公式及数据：
①回归方程，其中，；
②，，.
（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为
求的值；
若函数有两个零点，求实数的取值范围.
21.（12分）已知函数.
（1）若在上为单调函数，求实数的取值范围：
（2）记的两个极值点为，求证：
选做题（22、23题中任选一题）
22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).
(1)若＝eq \f(3π,4)，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；
(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.
23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.
(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；
(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.
西安市第一中学2021-2022学年度第一学期期中考试
高三数学答案（文）
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1. 答案 C 2.答案 B 3. 答案 D 4.答案 D 5.答案 A 6.答案 D
7.答案 B 8.答案 A 9.答案A 10.答案 C 11.答案D 12.答案 C
二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)
13. 矩形 14. 15. 2 16. eq \f(π,6)
三、解答题(共4小题,每小题12分,共48分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （12分）解：（1）由已知得
（2）由已知及余弦定理得，周长为
18. （12分）解 (1)f(x)＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)
＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)令z＝2x－eq \f(π,3)，函数y＝2sin z在z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z上是增加的．
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z.
f(x)的单调递增区间是．
19.（12分）解：（1）易知，，
， ，
则关于的线性回归方程为
当时，，即2020年11月份参与竞拍的人数估计为2万人．
20.（12分）解：f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′(1)＝e(2a＋1)＝b，,f(1)＝e(a＋1)＝b－e，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3e，))∴a＝1，b＝3e.
（2） g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，
相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图像与直线y＝m有两个交点，
u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，
∴u(x)在(－∞，1)上是减少的；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，
∴u(x)在(1，＋∞)上是增加的，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.
又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，
∴实数m的取值范围为{m|－e
因为单调，所以对恒成立，
所以，恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以；
由（1）知，是的两个根. 从而>0，，
且,所以. 故>2
，而，
所以
选做题（22、23题中任选一题）
22.（10分）解 (1)由直线l的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数)及α＝eq \f(3π,4)可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，由曲线C的极坐标方程ρ＝eq \f(2cs θ,1－cs2 θ)，
得其直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数)，
代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2 α＋2t(sin α－cs α)－3＝0(*)，
设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq \f(2(sin α－cs α),sin2 α).
∵P(2，1)为AB的中点，∴P点所对应的参数为eq \f(t1＋t2,2)＝－eq \f(sin α－cs α,sin2 α)＝0，
∴sin α－cs α＝0，即α＝eq \f(π,4).则(*)变为eq \f(1,2)t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±eq \r(6)，
∴|AB|＝2eq \r(6).
23.（10分）解 (1)由于f(x)＝|2x|－|x＋3|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x(x<－3)，,－3x－3(－3≤x≤0)，,x－3(x>0)，))
所以f(x)的最小值为f(0)＝－3.又因为对任意的实数x，都有
f(x)≥2m2－7m成立，所以只需2m2－7m≤－3，即2m2－7m＋3≤0，解得eq \f(1,2)≤m≤3，
故m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3)).
(2)方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有两个不同的交点，作出这两个函数的图像，由图像可知，a的取值范围是(－1，1)∪{－2}.
月份
月份编号
竞拍人数（万人）
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