沪科版九年级下册24.5 三角形的内切圆优秀ppt课件

24.5  三角形的内切圆

1．了解并掌握有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念；

2．学会解决与三角形的内切圆和三角形内心有关的计算，进一步体会数形结合思想(重点，难点)．

一、情境导入

李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大．应该怎样画出裁剪图？

探索：(1)当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？

(2)与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？

(3)如何确定这个圆的圆心？

二、合作探究

探究点一：与三角形内切圆有关的计算

【类型一】 求三角形的内切圆的半径

如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．

解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为.

方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．

【类型二】 求三角形的周长

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　)

A．r  B.r  C．2r  D.r

解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选C.

方法总结：本题没有明确告诉数据，因此要从转化入手，连接切点与圆心，运用三角形内切圆的相关性质，得到等量关系，从而求解．

探究点二：三角形的内心及相关计算

【类型一】 根据三角形的内心求角度

  已知O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC等于(　　)

A．100°  B．115°  C．130°  D．125°

解析：∵O是△ABC的内心，∠A＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝(180°－∠A)＝(180°－50°)＝65°，∴∠BOC＝180°－65°＝115°.故选B.

方法总结：在三角形中三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心叫三角形的内心．

【类型二】 三角形内心的有关判定

  如图，⊙O与△ABC的三条边相交所得的弦长相等，则下列说法正确的是(　　)[来

A．点O是△ABC的内心

B．点O是△ABC的外心

C．△ABC是正三角形

D．△ABC是等腰三角形

解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN.∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得OM＝ON＝OQ，即O到△ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC的内心，故选A.

方法总结：本题考查了垂径定理、勾股定理和三角形内心的综合应用，解题时要注意三角形的内心到三角形三边的距离相等．

三、板书设计

1．三角形的内切圆

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．

2．三角形的内心

内切圆的圆心叫做三角形的内心，是这个三角形三个内角的角平分线交点．三角形的内心到三角形的三边距离相等．

    教学过程中，需要向学生强调三角形的内切圆圆心的性质与特点，针对难以理解的概念性问题，可以在练习中让学生自己探索解题方法，引导学生发现规律，使学生成为课堂真正的主人.