专题十二利用导数解决几何问题

专题十二     利用导数解决几何问题

例题1．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______．

【解析】如图连接交于，由题意，设等边三角形的边长为（），则，．

由题意可知三棱锥的高

底面，

三棱锥的体积为，

设，则（），

令，解得，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以是取得最大值

所以．

例题2．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．

(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．

过作⊥于，则∥，所以，

故，，

则矩形的面积为，

的面积为．

过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．

令，则，．

当时，才能作出满足条件的矩形，

所以的取值范围是．

答：矩形的面积为平方米，的面积为

，的取值范围是．

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，

则年总产值为

，．

设，，

则．

令，得，

当时，，所以为增函数；

当时，，所以为减函数，

因此，当时，取到最大值．

答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

例题3．如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.

（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；

（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.

【解析】

（1）由题意，，所以，

又，

所以观光专线的总长度

，，

因为当时，，

所以在上单调递减，

即观光专线的总长度随的增大而减小.

（2）设翻新道路的单位成本为，

则总成本 ，，

，

令，得，因为，所以，

当时，，当时，.

所以，当时，最小.

答：当时，观光专线的修建总成本最低.

【素养提升】

1.如图，是半径为，的扇形，是弧上的点，是扇形的内棱矩形，经，若，且当时，四边形的面积取得最大，则的值为（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由题意，则，，，

则

∴，∴，

∴ ，

当的最大值时，，故选B.

2.某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口沿，方向修建两条小路，休息亭与入口的距离为米（其中为正常数），过修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于、处，已知，．

（1）设米，米，求关于的函数关系式及定义域；

（2）试确定，的位置，使三条路围成的三角形地皮购价最低．

【答案】(1) ，定义域为  (2)见解析

【解析】

（1）法一：由得，

且

由题可知

所以

得

即

所以

由得定义域为

法二： 由得，

设

中，由正弦定理

所以

同理可得

由

即

整理得，

由得定义域为

（2）设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则（为常数），

所以要使最小，只要使最小

由题可知

定义域为

令

则

当且仅当即时取等号

所以，当时，最小，所以最小，此时y=

答：当点距离点 米,F距离点米远时，三条路围成地皮购价最低

3.将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：

方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；

方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

（1）设所得圆柱的半径为，则，

解得．

（2）设所得正四棱柱的底面边长为dm，则即

方法一：

所得正四棱柱的体积

记函数则在上单调递增，在上单调递减.

∴当时， ．

∴当， 时， dm3．

方法二：

，从而．

所得正四棱柱的体积．

∴当， 时， dm3．

答：（1）圆柱的底面半径为dm；

（2）当为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．

4.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的条直道， ， 将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上， 分别与， 相交于点， .（道路宽度忽略不计）

（1）若经过圆心，求点到的距离；

（2）设， .

①试用表示的长度；

②当为何值时，绿化区域面积之和最大.

【解析】以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.

（1）直线的方程为，

半圆的方程为 ，

由得.

所以，点到的距离为.

（2）①由题意，得.

直线的方程为

，

令，得

.

直线的方程为，

令，得 .

所以， 的长度为

， .

②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为

，

区域Ⅱ的面积为

，

所以 .

设，则，

.

.

当且仅当，即时“”成立.

所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为.

答：当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.

5.现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形.某厂家因产品宣传的需要，拟投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形（点在曲线段上，点在线段上）.已知， ，其中曲线段是以为顶点， 为对称轴的抛物线的一部分.

（1）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段与线段的方程；

（2）求该厂家广告区域的最大面积.

【解析】

（1）以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.

则， ， ， ，

曲线段的方程为： ；

线段的方程为： ；

（2）设点，则需，即,

则， ， .

∴， ， ，

则厂家广告区域的面积

，

∴，

令，得， .

∴在上是增函数，在上是减函数.

∴.

∴厂家广告区域的面积最大值是.