专题16：双曲线的离心率问题34页

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专题16：双曲线的离心率问题
一、单选题
1．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
2．是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A． B． C．2 D．
3．已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
4．设点，分别为双曲线的左右焦点.点，分别在双曲线的左，右支上，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为( )
A．2 B． C． D．
6．已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知是双曲线的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P与点关于直线对称，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线上有两点、，为坐标原点，为双曲线焦点，满足，当、在双曲线上运动时，使得恒成立，则离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
13．已知，分别为双曲线的左，右焦点，点A为双曲线C的右顶点，且直线与双曲线C的左、右两支分别交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率为，分别为、的中点，若原点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
15．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（ ）
A． B． C．2或 D．2或
16．已知为双曲线的右焦点，、是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，，且的中点在双曲线上，则的离心率为
A． B． C． D．
17．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．2
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于，两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．设双曲线的左、右顶点分别为，，点C在双曲线上，的三个内角分别用，，表示，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
20．设双曲线的上焦点为F，过点F作与y轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则双曲线的离心率e的值是（ ）
A．3 B． C． D．
21．已知是方程的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


二、填空题
22．已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点，过垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上的点，当的外接圆面积达到最小时，点恰好落在（或）处，则双曲线的离心率是__________．
23．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________．
24．已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且.若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为__________.
25．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，M是C上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为________.

26．双曲线上一点P，过双曲线中心O的直线交双曲线于A、B两不同（点A，B异于点P）．设直线PA、PB的斜率分别为、，当最小时，双曲线的离心率为_______．
27．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.

参考答案
1．B
【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴，
设PA的倾斜角为，则，
当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为．
故选B．

【点评】本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.
2．B
【分析】根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率．
【解析】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线
因为是双曲线的左、右焦点
所以（-c，0），（c，0）
因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）
则
解得
所以为（）
因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为
将以的（）代入圆的方程得
化简整理得 ，所以
所以选B
【点评】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．
3．C
【分析】不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率．
【解析】不妨设在第二象限，则在等腰中，，
设，则，为锐角．
外接圆面积为，则其半径为，∴，
∴，，
∴，，
设点坐标为，则，，
即点坐标为，
由点在双曲线上，得，整理得，
∴．
故选C．
【点评】本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率．
4．B
【分析】由及数量积的运算律可得，设，则，，利用双曲线的定义及直角三角形可求得（不合题意舍去），然后求出，再用余弦定理得出关系求得离心率．
【解析】，共线，且，
，
，则，故有，
设，则，，QQ群333528558由双曲线的定义可得
∴，整理得，解得：或，
若，则，，不满足，舍去；
若，，符合题意，则，，
此时，
在中，，
即，得到，即，
∴．
故选：B．

【点评】关键点【点评】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率及直线与双曲线的位置关系的应用，其中涉及到平面向量的线性运算和余弦定理，求解出是本题的解题关键，属于中档题.
5．C
【分析】由向量数量积等式推出l⊥x轴，求出点Q坐标，进而得点B坐标，再代入双曲线方程求解即得.
【解析】由已知得，设，
由，得，
所以轴，即，
不妨设点在第一象限，则.
设，由，得，
，
，即，
点在双曲线上，
，
整理得，，
解得，或(负值舍去).故选C.
故选：C
【点评】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c的齐次式，再转化为关于e的方程，解之即可得e.
6．A
【分析】设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求.
【解析】设，则，
从而，进而.
过作，则.如图：

在中，，；
在中，，
即，所以.
故选：A
【点评】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；
（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于的齐次等式，再化为的等式可求；
（3）此题的关键是作得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立的齐次等式.
7．B
【分析】由点A、B关于原点对称，设，则，利用，得，再利用得到关系式，再用点C、B在双曲线上，三个式子联立求解得到，化简得到，即可求得双曲线的离心率.
【解析】由点A、B关于原点对称，设，则
，设，，
，，即
，
利用向量数量积公式得：，即①
又点C、B均在双曲线上，
②，③
由①②③可得：
两边同时除以可得：
两边同时平方得；，即
又双曲线的离心率，则，即
故选：B.
【点评】关键点【点评】本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中利用得到点C坐标，利用点C、B均在双曲线上，得到关系式，再利用得到关系式，三个式子联立得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
8．B
【分析】求出过焦点且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合，解出即得.
【解析】由题意，设点焦点且垂直渐近线的直线方程为：，
由，解得：，，
所以，对称中心的点坐标为，又，设点，
则，解得，即点，
将点代入双曲线的方程可得，又，
化简可得，故.
故选：B.
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求解和对称问题，属于中档题.
9．D
【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得，即，同理可得，从而可得，再由，可得，设直线的倾斜角为，在和中，分别将,用表示代入即可求出直线的斜率，再结合直线与双曲线右支交于两点，即可求出，进而可求出离心率的取值范围.
【解析】不妨设直线的斜率大于0．如图:

连接．，，设的内切圆与三边分别切于点，，，则
，
所以，即，同理可得，所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
在中，，
又，所以，
即，解得，
所以，即直线的斜率为，
由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，
所以.
故选:D
【点评】本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题.
10．A
【分析】先根据得到，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到，从而得到为定值，即可求解离心率.
【解析】设，直线:
因为，即
联立，整理得
，

代入得
所以
整理得
即由到直线:的距离
所以距离为一个定值
又
又
即
所以
又
所以
又
所以
故选：A
【点评】此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，属于较难题目.
11．C
【分析】根据，得到，，然后由等面积法由，结合，解得，再利用距离公式得到，进而得到A的坐标，代入双曲线方程求解即可.
【解析】如图所示：

因为，
所以，
所以，，
所以，
又，
解得，
设，，
所以，
.
所以，
解得，
所以，代入双曲线方程得：，
解得，
所以.
故选：C
【点评】本题主要考查双曲线的第一定义和焦半径公式以及内切圆的应用，离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.
12．D
【分析】取中点，连结，因为，所以可得，设，根据双曲线的定义求出，再由勾股定理得出，得出，再由直线的斜率为，即可求出离心率.
【解析】如图，因为，则取中点，连结，可得，设，因为，则，又因为，则，，则，则，
在中有，在中有，
所以，解得，因为直线的斜率为，
所以，所以，，
所以离心率.

故选：D
【点评】本题主要考查双曲线的性质即离心率的求法，解题的关键是找出双曲线中间的关系.
13．A
【分析】首先联立直线l与双曲线的方程，求得点P，Q的坐标，然后根据条件可推出，由此得到关于a，b的不等式，从而求得的范围，进而求得双曲线离心率的取值范围.
【解析】由，得，所以，.因为，所以，.又，所以，则，即，整理，得.因为，所以，所以，所以双曲线C的离心率，又，所以，
故选：A.
【点评】本题考查双曲线的几何性质、向量的数量积等，考查逻辑推理能力、运算求解能力、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算，属于较难题.
关于求解椭圆，双曲线的离心率问题，基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中关于a，b，c的关系式，求值问题建立关于a，b，c的等式，求取值范围问题建立关于a，b，c的不等式.
14．A
【分析】设，点与点关于原点对称，分别为、的中点，可得出的坐标，再根据原点在以线段为直径的圆上，所以有,可得出与的关系，代入双曲线方程化简即可得出离心率.
【解析】设，则，，如图

分别为、的中点，
，，
原点在以线段为直径的圆上，
即，
解得：
故，
把代入双曲线方程可得：，
化简得：即，
解得：即
故选：A
【点评】本题考查了双曲线的几何性质及其应用，由题意得到和的关系，接下来解关于离心率的方程，考查了学生的计算能力，属于较难题.
15．C
【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.
【解析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.
故选：C
【点评】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.
16．A
【分析】由题知是直角三角形，是斜边中点，得 ，从而求出点坐标，得到点坐标，再代入双曲线方程化简可得离心率.
【解析】，是直角三角形，

点在渐近线上，设 ，
解得：
，
中点在双曲线上,代入方程：
化简得，则
故选：A.
【点评】本题考查求双曲线离心率.
求双曲线离心率的三种方法:
(1)直接求出来求解通过已知条件列方程组，解出的值．
(2)构造的齐次式，解出由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于离心率的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
在解关于离心率的二次方程时，要注意利用双曲线的离心率)进行根的取舍，否则将产生增根．
17．A
【分析】设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.
【解析】设，直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，
故该双曲线的离心率.
故选：.

【点评】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18．B
【分析】计算得到，， ，，根据，利用余弦定理得到，计算得到答案.
【解析】，故，
，故，故.
根据余弦定理，
，，
化简整理得到：，即，解得或（舍去）.
故选：.
【点评】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．A
【分析】由式子和可得：，进而可得出，设点在第一象限，分别求得，，代入可得：，最后求出离心率即可.
【解析】，，
∵，，
∴，即，
设点在第一象限，
则，，，，
∴，，
∴，.
故选：A.
【点评】本题考查两角和的正切公式，考查双曲线的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
20．C
【分析】根据三点共线得到，计算得到，代入双曲线方程，化简得到答案.
【解析】渐近线为：，取，解得，则.
，且三点共线，故，，
则 或，不妨取，则，
代入双曲线方程得到：，即.
故选：.
【点评】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到是解题的关键.
21．D
【分析】由题意，求出，分解函数的表达方式为一个一次因式与一个二次因式的乘积，通过函数的零点即可推出，的关系利用线性规划求解的取值范围即可.
【解析】依题意得，故，
所以.另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故有两个分别属于和的零点.
故有且，即且.
运用线性规划知识，以横轴为，以纵轴为，
作出不等式组所表达平面区域,为阴影部分

可求得.
故选D.
【点评】椭圆离心率，双曲线离心率，本题考查函数零点问题，线性规划问题，综合性比较强，有一定难度.
22．
【解析】
【分析】设点的坐标为，求出点的坐标，由的外接圆面积取最小值时，取到最大值，则，利用基本不等式求出
的最小值，利用等号成立求出的表达式，令求出双曲线的离心率的值．
【解析】如下图所示，将代入双曲线的方程得，得，所以点，

设点的坐标为，由的外接圆面积取最小值时，则取到最大值，
则取到最大值，，，

，
当且仅当，即当时，等号成立，
所以，当时，最大，此时的外接圆面积取最小值，
由题意可得，则，此时，双曲线的离心率为，
故答案为．
【点评】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题．
23．6
【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.
【解析】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.
【点评】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.
24．．
【分析】在中，利用正弦定理：，求得，，设，再利用余弦定理求得，然后由求解．
【解析】双曲线的焦点为，
在中，由正弦定理得：，
解得，，
设，
在中，由余弦定理得：，
解得，
所以，
因为
又，
所以，则
所以
整理得，则
解得或（舍去）
故答案为：．
【点评】关键点【点评】本题的关键在于结合正余定理以及化简求解．
25．
【分析】根据双曲线的定义以及圆的切线定理得到，进而得到，求出，即可求出双曲线的离心率.
【解析】解：如图所示：设的内切圆在上的切点分别为，

由双曲线的定义知：，
即，
又，
即，
即，
又，
，
即，
则，
，
，
即，
,
故答案为：.
【点评】关键点【点评】本题解题的关键是利用双曲线的定义以及切线长定理得到.
26．2
【分析】设，，，显然，，又由点A，P在双曲线上得
，结合斜率公式可推得，令，构造函数，利用导数求出函数的最小值，然后计算出双曲线的离心率.
【解析】设，，，显然，．
∵点A，P在双曲线上，∴，
两式相减得，
∴，
∵，
设，则，
∴求导得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴当时，取最小值，
此时．
故答案为：2
【点评】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，利用导数求函数的最值，直线的斜率公式，考查了学生的运算求解能力.
27．
【分析】设，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出，由可得，这几个式子再结合化简可得
【解析】因为直线过点，且斜率为
所以直线的方程为：
与双曲线联立消去，得

设
所以
因为，可得
代入上式得
消去并化简整理得：
将代入化简得：
解之得
因此，该双曲线的离心率
故答案为：
【点评】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解
2.求离心率即是求与的关系.