专题18：双曲线的定值问题25页

专题18：双曲线的定值问题

1．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，.

（1）求双曲线的方程.

（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.

2．已知双曲线的离心率为，点在上．

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．

3．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，).

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点B(0，1).

①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值.

4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．

5．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）．

（1）若，求直线l的方程；

（2）设直线的斜率分别为，证明：为定值．

6．已知双曲线，过圆上任意一点作圆的切线，若交双曲线于，两点，证明：的大小为定值.

7．已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值；

（3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：．

8．已知双曲线: 过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点．

（1）求双曲线的方程；

（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；

9．已知双曲线过点，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线交双曲于点，直线分别交直线于点．试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

10．已知双曲线的方程．

（1）求点到双曲线上的点的距离的最小值；

（2）已知直线与圆相切

①求和的关系

②若与双曲线交于、两点，那么是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

11．已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点.

（1）求的取值范围，并说明理由；

（2）过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值.

12．已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.

（1）求双曲线的方程；

（2）求证：面积为定值，并求出该定值.

13．已知点P是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线l与半径相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为.

（1）求点M的轨迹的方程；

（2）若点N在双曲线(顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.

14．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.

（1）求的取值范围，并求的最小值；

（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.

参考答案

1．（1）；（2）是定值，2.

【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；

（2）设出点，的坐标，可得点的坐标，代入双曲线的方程，可得，设，利用渐近线方程的斜率得角的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得，由，的坐标得，，结合及三角形面积公式即可求出.

【解析】（1）由题意，易得，，

则由，可得，

，即.

又，解得（负值舍去），，

解得，

双曲线的方程为.

（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为，

设，，其中，.

为线段的中点，，

将点的坐标代入双曲线的方程得，解得.

设，则.

又，，，

，，

.

又，，

，

的面积为定值2.

【点评】关键点睛：本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点，的坐标，设，得出和.

2．（1）；（2）存在；；定点．

【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程组，解出a、b、c，即可求出双曲线的方程；

（2）设直线的方程为，设定点，联立方程组，用“设而不求法”表示出为常数，求出t，即可求出定点Q.

【解析】 （1）由题意，，解得，．

∴双曲线方程为；

（2）设直线的方程为，设定点，

联立，得．

∴，且，解得且．

设，，

∴，，

∴，

．

∴

为常数，与无关，

∴，即，此时．

∴在轴上存在定点，使得为常数．

【点评】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

3．（1）；（2）①；②或者.

【分析】（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.

（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，又由可得，由此可得最小时，的值.

②设过点的动直线为：设与双曲线的方程联立得，根据根的判别式和根与系数的关系可求得且，由直线的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.

【解析】 （1）由题意，且解得，

所以双曲线的标准方程为

（2）①由对称性可设，且，则，

因为点在双曲线上，所以，所以，所以，

当时，为直角，

当吋，为钝角.

因此，最小时，.

②设过点的动直线为：

设联立得，

所以，由且，解得且，

，即即，

化简得，

所以，

化简得，

由于上式对无穷多个不同的实数都成立，

所以

如果那么此时不在双曲线上，舍去.

因此从而代入解得.

此时在双曲线上.

综上，或者.

【点评】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.

4．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）当时，由勾股定理和三角形面积公式可得，再由双曲线定义，即可得出结果.

（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合,求出定值；

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由渐近线可得，联立直线与双曲线方程，由韦达定理结合向量知识，即可得出定值.

【解析】（1）当时，，，

可得．

由双曲线的定义可知，，

两边同时平方可得，，

所以．①

又双曲线的离心率为，所以．②

由①②可得，，，所以，

所以双曲线的标准方程为．

（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合，

此时，，，所以，，．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，

由题意知且，

将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，

则，，．

易知点的坐标为，

则由，可得，

所以，

同理可得．

所以．

综上，为定值．

【点评】易错点点睛：直线与双曲线左、右分支各交于一点，直线斜率的取值范围容易忽略.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

5．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设直线方程为，，，根据条件得出，分别求出的纵坐标，由条件可得可得答案.
（2）由，所以 ,所以，要证为定值，只需证为定值，由，可得答案.

【解析】 （1）设直线方程为，，

由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则

，

由点P在x轴上方，则

∴直线l方程为

（2）由方程可得，设，

则，

所以 ,所以

要证为定值，只需证为定值

由（1）可知，

∴为定值．

【点评】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出，所以 ,所以，要证为定值，只需证为定值，属于中档题.

6．证明见解析.

【分析】过圆上一点作切线，找到切线方程是关键，分切线的斜率不存在时切线方程为，切线的斜率存在时，设切线方程为，则分析，联立化简，求出即可.

【解析】当切线的斜率不存在时，切线方程为.

当时，代入双曲线方程，得，即，，此时，

同理，当时，.

当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，即.

由直线方程和双曲线方程消掉，得，

由直线与双曲线交于，两点.故.设，.

则，

+，

故，由于，

故，即，.

综上可知，若交双曲线于，两点，则的大小为定值.

【点评】本题考查双曲线的标准方程，圆的切线方程，直线与双曲线的位置关系，此类问题可以先取特殊值探索，比如此题中，可以先分析切线斜率不存在的情况，然后有针对性的验证即可.

7．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【分析】（1）设，的坐标，利用点在双曲线上，，可得，利用双曲线的定义，可得双曲线的方程；

（3）确定两条渐近线方程，设双曲线上的点，，求出点到两条渐近线的距离，利用，在双曲线上，及向量的数量积公式，即可求得结论．

（3）设，，，，切线的方程为：代入双曲线中，利用韦达定理，结合向量的数量积，可得结论．

【解析】 （1）设，的坐标分别为

因为点在双曲线上，所以，即，所以

在△中，，，所以

由双曲线的定义可知：

故双曲线的方程为：

（3） 由条件可知：两条渐近线分别为，

设双曲线上的点，，则点到两条渐近线的距离分别为，

所以

因为，在双曲线上，所以

故

设和的夹角为，则由，可得

所以

（3）设，，，，切线的方程为：

①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：

所以：

又

所以

②当时，易知上述结论也成立．

所以

所以

【点评】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；

(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

8．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用双曲线过点，两条渐近线的夹角为60°，列出方程组解出即可；

（2）设，由双曲线的对称性，可得的坐标，设，结合题意，又由A、B在双曲线上，可得，将其坐标代入中，计算可得答案.

【解析】（1）由题意，双曲线：过点，两条渐近线的夹角为60°，

可得，解得，，或，无解．

所以双曲线的方程为．

（2）设，由双曲线的对称性，可得，设，

则，因为，，

所以，

即为定值3．

【点评】关键点点睛：（1）根据渐近线的夹角得到或者两种情形；

（2）双曲线上点的坐标满足双曲线的方程，利用整体代换.

9．（1）；（2）

【分析】（1）将点，代入，求出，进一步得出，即求.

（2）设直线所在的直线方程，与双曲线方程联立，设出的坐标，写出所在的直线方程，求出的纵坐标，结合根与系数的关系可得，从让他可得.

【解析】（1）将点，代入，

可得，解得，则，

双曲线的方程为.

（2）由题意可知，直线的斜率存在，

设直线的方程为，

联立，可得，

由，

解得，

设，，

则，，

又点，

的方程为，

令，得

，

同理可得，

，

，即，

，

为定值.

【点评】关键点点睛：本题考查了双曲线方程的求法，考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是利用韦达定理得出，考查了运算求解能力.

10．（1）；（2）（i）；（ii）为定值．

【分析】（1）设为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小值；

（2）设直线的方程为，由直线和圆相切可得，设，，，，联立双曲线的方程，消去可得的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得为定值．

【解析】 （1）设为双曲线上的点，则，

则，

当时最小，且为，

所以点到从曲线上点的距离的最小值为；

（2）①设直线线的方程为，

由直线与圆相切，可得，即，

②设，联立得，

则，

所以

，

所以，

所以为定值．

【点评】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．

11．（1），理由见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由渐近线求出双曲线方程，得焦点坐标，利用两点间的距离及二次函数求最值即可；

（2）由点到直线的距离求出，求积后由双曲线方程化简即可.

【解析】（1）双曲线渐近线方程为，又，所以，

双曲线的标准方程为，

则，设，

则

所以…

所以的取值范围是

（2）因为

又，所以为定值.

【点评】关键点点睛：，利用点到直线的距离求出后，根据点在双曲线上，化简求值是解题关键.

12．（1）；（2）证明见解析，面积为.

【分析】（1）根据题意可得关于、、的方程组，求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程；

（2）设直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出、所满足的等式，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式可计算出的面积.

【解析】（1）设双曲线的焦距为，

由题意可得：，则双曲线的方程为；

（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，

设直线的方程为，

则消得，

，①

设与轴交于一点，，

，

双曲线两条渐近线方程为：，

联立，联立，

则（定值）.

【点评】关键点点睛：解答本题的关键就是利用直线与双曲线得出，并求出点、的坐标，再结合三角形的面积计算出为定值.

13．（1）；（2）存在，定值为：.

【分析】（1）根据椭圆定义即可求出结果；（2）设得直线的斜率乘积，利用点斜式方程设出直线NR，NQ的方程，与（1）的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出|AB|，|CD|的长度，然后求和，通过计算可得出结果．

【解析】（1）依题意：，

且，

由椭圆定义知点M的轨迹为以R，Q为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆，

即：，

故.

（2）设，则，

∴直线的斜率都存在，分别设为，

则，

将直线的方程代入得，

设，则，

∴，

同理可得，

【点评】本题考查了椭圆定义以及根与系数的关系，弦长公式，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．

14．（1）的取值范围为；取最小值；（2）是定值；证明见解析.

【分析】（1）根据直线与圆相切，可得，联立直线与双曲线，根据可得的范围，根据韦达定理以及可得最小值；

（2）根据斜率公式以及韦达定理，将变形化简可得结果.

【解析】（1）与圆相切，，，

由，得，

，

，

故的取值范围为.

由于，

，当时，即时，取最小值.

（2）由已知可得的坐标分别为，

，

，

又因为，所以，

为定值.

【点评】本题考查了直线与圆相切，考查了直线与双曲线相交，考查了斜率公式、韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档题.