专题23：双曲线向量结合问题19页

专题23：双曲线向量结合问题

一、单选题

1．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．已知双曲线的右焦点为，直线与交于，两点，以为直径的圆过点，若上存在点满足，则的离心率为（   ）

A． B． C． D．

3．经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ）

A． B．1 C．2 D．

4．若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知点在双曲线，且线段经过原点，点为圆上的动点，则的最大值为

A． B． C． D．

二、解答题

6．已知经过点且以为一个方向向量的直线与双曲线相交于不同两点、.

（1）求实数的取值范围；

（2）若点、均在已知双曲线的右支上，且满足，求实数的值；

（3）是否存在这样的实数，使得、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

7．已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线在轴上方交上双曲线于点，且，的面积为.

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线实轴右端点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值.

8．如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.

（1）求双曲线的方程；

（2）当时，求的取值范围；

（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围.

9．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点.在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

10．已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线与双曲线C交于A，B两点，试问：k为何值时，．

11．已知双曲线的方程为，离心率,顶点到渐近线的距离为

(1)求双曲线的方程;

(2)设P是双曲线C上的点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若,,求面积的取值范围.

12．直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．

（1）求与满足的关系；

（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．

参考答案

1．A

【分析】根据向量数量积为零对应的垂直关系结合双曲线的定义求解出的长度，再根据焦点坐标求解出椭圆的方程，联立直线与椭圆方程可求解出的纵坐标，通过用表示出，则的值可求.

【解析】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，

由双曲线定义可知：，又因为，所以，，

所以，所以，

所以，所以，所以，所以椭圆方程为，

又因为，所以，所以，

所以，所以，

又因为，所以，所以，解得，

故选：A.

【点评】 解答本题的关键是通过已知的条件求解出椭圆的方程，后续求解的过程中，除了联立思想的运用，还要注意利用点的纵坐标去分析求解问题.

2．B

【分析】由题意设，，，则，求出，，的坐标，根据得到，由点在圆上得到，把点，坐标代入双曲线方程联立，可得答案.

【解析】由题意设，，，则，

，，．

，，．

以为直径的圆过点，，

即①，

点，均在双曲线上，②，③．

②-③整理得，将代入，整理得，

于是，最后将，代入双曲线方程，整理得，所以．

故选：B.

【点评】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用和得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

3．B

【分析】先依题意写出直线的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即得结果.

【解析】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为，

的直线方程可设为，

设，，则，

联立可得，

，，

，

．

故选：B．

4．B

【分析】设点，转化条件得，由即可得解.

【解析】由题意，点，点，

设点，则，，，

所以，

所以，

所以当时，取最小值.

故选：B.

5．C

【解析】试题分析：设,则所以求的最大值,只要求出的最大值,的最小值,因为点M为圆上的动点,所以的最大值为,因为点,在双曲线上,所以的最小值为,所以的最大值为,故选C.

考点：双曲线的简单几何性质、圆的有关性质.

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的简单几何性质和定点到圆上点的距离.由，是不相关的两个点可知本题是分别考查了两个知识点，即将数量积的最值转化成原点到双曲线上的最近距离的平方和圆上的点原点的最大距离的平方，由此实现了几何与代数转化，体现了解析几何的特点.本题综合性强，难度大.

6．（1）；（2）；（3）存在实数满足题意，理由见详解.

【分析】（1）先由题意，得到直线的方程为，联立直线与双曲线方程，根据交点个数，列出不等式求解，即可得出结果；

（2）先设、，根据两点都在双曲线的右支上，列出不等式求解，得出，再由，利用韦达定理，列出等式求解，即可得出结果；

（3）先假设存在实数满足题意，根据对称性，得到两直线垂直，求出，再求出中点坐标验证，即可得出结果.

【解析】（1）因为直线经过点且以为一个方向向量，

所以直线的方程为，

由得，整理得，

因此 ，解得，即或或，

所以实数的取值范围是；

（2）设、，

因为点、均在已知双曲线的右支上，所以由（1）可得，

解得；

又，即，则，

整理得，

则，整理得，解得，

因为，所以；

（3）假设存在实数，使得、两点关于直线对称，

则直线与垂直，

所以，则，

由（2）知，则，

因此的中点坐标为，

又，即点在直线，

所以存在实数，使得、两点关于直线对称.

【点评】思路点睛：

已知直线与圆锥曲线交点个数求参数时，一般需要联立直线与圆锥曲线的方程，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程，根据判别式列出对应的不等式，即可求解.（判别式大于零，有两个交点；判别式等于零，有一个交点；判别式小于零，没有交点.）

7．（1）；（2）.

【分析】（1）求出点的坐标，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程；

（2）设渐近线的倾斜角为，可得，求出的值，利用点到直线的距离公式求出、，利用平面向量数量积的定义可求得的值.

【解析】（1）设、，则，

将点的坐标代入双曲线的方程得，可得，，，

，

，轴，所以，，

由双曲线的定义可得，，则，

，，，

因此，双曲线的方程为；

（2）双曲线的两条渐近线为，，

易知，渐近线的倾斜角为，则，

，

，

由平面向量数量积的定义可得.

【点评】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

8．（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）先由题意，得到双曲线的渐近线方程，根据夹角公式，由题中条件，得到，再由点到直线距离公式，求出，进而可得出结果；

（2）先由题意，设，，，，当，得到代入双曲线方程，得到，再计算向量数量积，即可得出结果；

（3）同（2），设，，，，

由得，代入双曲线方程，得到，再由点到直线距离公式，两点间距离公式，求出，由题中条件，求出，进而可求出结果.

【解析】（1）由题意双曲线渐近线为.

根据夹角公式.

又.

所以.

（2）由题意，设，，，，

当时，，则

所以，整理得；

又，，

所以

，当且仅当时，等号成立；

所以.

（3）同（2），设，，，，

由得，即，

则

所以.

把点的坐标代入双曲线的方程得.

  所以，

因为直线的斜率为，

则直线的方程为，即，

所以点到直线的距离为，

又，

所以，

由题意知，，所以，

.

设是双曲线右支上一点，记双曲线左右焦点分别为，，

由双曲线的性质可得，，

又

，，

所以，即双曲线上的点到其焦点的距离的范围是，

由题意可得，，

令，，

任取，

则显然成立，

所以在上单调递增，

因此，

即.

所以.

【点评】方法点睛：

圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法：

（1）函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解；

（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的范围；

（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围；

（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.

9．存在，．

【分析】假设在轴上存在定点，使为常数，当不与轴垂直时，设出直线的方程，然后与双曲线方程联立消去得到关于的一元二次方程，进而可得到两根之和与两根之积，表示出向量并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出的坐标；当与轴垂直时可直接得到，的坐标，再由，可确定答案．

【解析】解：由条件知，

设点的坐标分别为，

假设在轴上存在定点，使为常数，

当不与轴垂直时，设直线的方程是，

代入，得，

，

∴

，

∵是与无关的常数，

∴，即，此时；

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，

此时；

故在轴上存在定点，使为常数．

【点评】本题主要考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．

10．（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）由题意结合双曲线过点即可得，由抛物线的焦点可得，即可得解；

（Ⅱ）设，，联立方程可得，，由可得，代入即可得解.

【解析】（Ⅰ）由题意设双曲线方程为，双曲线的半焦距为，

把代入得①,

又的焦点是，

∴，

与①联立，消去可得，解得或（不合题意舍去），

于是，

∴双曲线方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得双曲线方程为，∴该双曲线的渐近线为，

由直线与双曲线C交于A，B两点可得，

联立方程可得，

消去y得，

当即时，l与C有两个交点A，B，

设，，则，，

因为，故，

，

，

化简得，∴，检验符合条件，

故当时，．

【点评】本题考查了抛物线焦点以及双曲线方程的求解，考查了直线与双曲线的综合应用与运算求解能力，属于中档题.

11．(1) ;(2)

【分析】(1)根据离心率以及顶点到渐近线的距离表达出对应的关系再求解即可.

(2)由双曲线方程与渐近线方程可设,再利用求得,再代入双曲线方程求解化简,再代入面积公式求解即可.

【解析】(1)由题,一条渐近线方程, 可知 ,

两式相乘有,又.故.

故双曲线的方程：

(2)由题,渐近线方程为,故设

因为,故 ,将点代入双曲线方程有.化简得.

故.

因为,由对勾函数性质得,故

【点评】本题主要考查了双曲线方程的求解以及设点求双曲线上对应的点代入方程求解的方法等.主要利用向量的关系表达出双曲线上的点的表达式,属于难题.

12．（1）；（2）证明见解析，

【分析】(1)设点A,B联立直线方程和双曲线方程消元化简:

,然后利用韦达定理结合向量垂直即,可求得和满足的关系;

(2)利用点到直线的距离公式求出距离表达式再利用(1)的结论即可证明距离是定值;利用弦长公式以及韦达定理表示出弦长表达式,然后利用换元配方求解最小值.

【解析】（1）设点A,B,联立消得,

∴,

由得

代入化简可得和满足的关系为:;

（2）由点到直线的距离公式可得:,由(1)得

代入可解得为定值;

由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:

,令(t≤3)

化简可得,

由t≤3可得当,t=3时.

【点评】本题考查了直线与双曲线的位置关系以及弦长距离的问题,解决此类问题通常联立解直线与双曲线方程组成的方程组,消元利用韦达定理解决，运算过程常常采用设而不求,整体代入等解法,是高考常考题型.