专题29：抛物线的定直线问题23页

专题29：抛物线的定直线问题

1．已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.

（1）求抛物线C的方程.

（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.

2．如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1．

（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；

（2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．

3．如图，已知点，、为抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），满足.

（1）证明：的中点位于某定直线上；

（2）记内切圆、外接圆的半径分别为、，求的最小值.

4．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.

（1）求的值；

（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.

5．已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切.

（1）求的值；

（2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上.

6．已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点做直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.

（1）求曲线的方程；

（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.

7．已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.

8．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.

（1）求p的值；

（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上.

9．已知椭圆：的离心率为，且经过点

Ⅰ求椭圆的标准方程；

Ⅱ已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的动直线与抛物线相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上．

10．曲线C上任一点到定点（0，）的距离等于它到定直线的距离．

（1）求曲线C的方程；

（2）经过P（1,2）作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且⊥，设是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等．若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程．若不存在，说明理由．

11．如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.

（1）证明：；

（2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.

12．已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.

（1）求和的值；

（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.

参考答案

1．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）易得点A的坐标为，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程；

（2）抛物线，则，设,，可分别求得切线PM的方程和切线PN的方程，联立解得点，设直线MN的方程为，代入抛物线的方程得，所以，进而可得点的纵坐标为，命题得证.

【解析】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，

代入解得，所以抛物线的方程为；

（2）抛物线，则，设,，

所以切线PM的方程为 ，即,

同理切线PN的方程为，

联立解得点，

设直线MN的方程为，代入，

得，所以，

所以点P在上，结论得证.

【点评】方法点睛：直线过定点的解题策略一般有以下几种：

（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据 特殊情况先找到这个定点，再进行证明；

（2）直接找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式或者斜截式方程，从而得到定点；

（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

2．（1）①③，；（2）点P在定直线上；证明见解析；定直线．

【分析】（1）根据抛物线的标准方程确定可以满足哪两个条件；

（2）设，，，，，，直线方程代入抛物线方程整理应用应用韦达定理得，同理得，然后由抛物线上两点坐标写出直线和方程，两方程消去后并代入韦达定理的结论可得为定值．这样得定直线．

【解析】（1）若有①，则，，此时②不能满足，，③能满足，

若有②，则，①③都不能满足．

故能同时满足①③，抛物线方程为；

（2），，

，，，；

，

由韦达定理得，

同理，；

因为

即，

同理，；

消去y得，

，

，

，．

所以点P在定直线上．

【点评】关键点点睛：本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线相交中的定直线问题．解题方法是设而不求的思想方法：设直线方程，设交点坐标，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得两交点的纵坐标（或横坐标）的和与积．对定直线问题，需求出动点的坐标，代入上述韦达定理的结论可得坐标满足的性质，从而确定定直线，

3．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）因为，得到得到直线的斜率，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，可求得中点坐标得到答案；

（2）由正弦定理和面积公式得到外接圆半径，根据三角形面积得到内切圆的半径，作比值结合导数法求最值可得答案.

【解析】（1）由题意可知，过点作轴的平行线，如图所示，作为，

因为，所以，则直线的斜率为，

设直线的方程为，设点、，

联立，整理得，

所以，， ，

的中点，即，则在直线上；

（2）设、，则直线的斜率为，所以，

由抛物线的定义可得，，

，

，，

，

由正弦定理得，可得，

又由，

所以内切圆半径为，

所以，

将代入可得

可得，

令，由图形可得，则，

设，

则，

对于方程，，

所以，对任意的，，

二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

所以，函数在区间上单调递减，

，，所以，存在，使得，

即，则且，

当时，，，此时函数单调递减；

当时，，，此时函数单调递增.

所以，.

因此，的最小值为.

【点评】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

4．（1）1；（2）证明见解析.

【分析】（1）当直线过点且垂直于轴时，由知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得的值；

（2）设直线的方程，与抛物线方程联立，消去化简得关于的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线的方程，再根据垂直关系求出直线的方程，由此求得两直线的交点坐标，并判断点在定直线上．

【解析】（1）因为过，且当垂直于轴时，，

所以抛物线经过点，

代入抛物线方程，得，解得.

（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，

设直线方程为：，，.

联立消去，得，

则，.

因为为中点，所以，

则直线方程为：.

因为直线过点且与垂直，则直线方程为：，

联立，解得即，所以，点在定直线上.

【点评】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题．

5．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）依题意设直线的方程为，解方程即得的值；

（2）依题意设，，根据四边形为平行四边形，求出，即得解.

【解析】（1）依题意设直线的方程为，

由已知得，圆的圆心，半径因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离.

即，解得或（舍去），

所以.

（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，所以，

所以，设，则以为切点的切线的斜率为，

所以切线的方程为.

令，，即交轴于点坐标为.

四边形为平行四边形，所以，

所以，，

，

.

设点坐标为，则，

所以点在直线上.

【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查抛物线中的定直线问题 ，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据抛物线的定义，得到圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，即可求得圆心的轨迹方程；

（2）设，由三点共线，求得的值，再求得过点与直线垂直和点与直线垂直的直线方程，联立方程组，求得，即可得到结论.

【解析】（1）圆经过点与直线相切，

则圆心满足到点与到直线的距离相等，

根据抛物线的定义，可得圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，

其中，所以圆心的轨迹方程为.

（2）设，，

由三点共线，则，整理得，

过点与直线垂直的直线为，

同理过点与直线垂直的直线为，

两条垂线联立方程组 ，解得，

所以垂心在直线.

【点评】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.

7．（1）；（2）存在，，.

【分析】（1）显然当轴时，取得最小值，可得，即可得到所求抛物线方程；

（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．设，，，，直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，由的方程和直线的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．

【解析】（1）设直线的倾斜角为，

所以由抛物线（）的焦点弦公式得，

所以当，即当轴时，取得最小值.

把代入可得，

故，，

可得抛物线的方程为：．

（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．

设，，，，直线的方程为，

联立抛物线方程，可得，

，，

直线的方程为即，

联立直线，

可得，

由，，可得，，

即有，

由假设可得，

即，此时，

可得存在定点，定直线为．

【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．

8．（1）p＝1（2）证明见解析

【分析】（1）根据AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入计算得到答案.

（2）由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得到y1+y2，y1y2＝﹣4，根据直线方程得到P（1，），得到答案.

【解析】（1）当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，

由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），

代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；

（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，

点A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，

由根与系数的关系得y1+y2，y1y2＝﹣4；

又点C在直线AB上，则yC，所以直线l1的方程为y；

又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y（x﹣2）；

联立，解得，所以点P（1，），

所以点P在定直线x＝1上.

【点评】本题考查了抛物线的值，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

9．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【分析】Ⅰ由题意可知解得，，即可求出椭圆方程，

Ⅱ设点Q，A，B的坐标分别为，，，根据题意设，，，分别求出点A，B的坐标，即可证明点Q总在定直线上．

【解析】 Ⅰ由题意可知解得，，

故椭圆的方程为．

证明Ⅱ由已知可得抛物线的标准方程为，

设点Q，A，B的坐标分别为，，，

由题意知，不妨设A在P，Q之间，设，，

又点Q在P，B之间，故，

，

，

由可得解得，，

点A在抛物线上，

，

即，，

由可得解得，，

点B在抛物线上，

，

即，，．

由可得，

，

，

点Q总在定直线上

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查抛物线的简单性质，考查推理论证与运算求解能力，考查化归与转化思想，属中档题．

10．（1）；（2）所求的定点为，定直线方程为y=．．

【分析】（1）曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.所以，由抛物线的定义，其方程为，而，所以，y=2x2；

（2）利用“参数法” 得到y=4x2+4x+，根据图象的平移变换得到结论：定点为，定直线方程为y=.

 【解析】（1）利用抛物线的定义，确定得到y=2x2；

（2）设：y-2=k(x-1)(k≠0):y=2=

由得2x2-kx+k-2=0

同理得B点坐标为

∴

消去k得：y=4x2+4x+………9分

M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离．将抛物线方程化为，此抛物线可看成是由抛物线左移个单位，上移个单位得到的，而抛物线的焦点为(0，)，准线为y=-.∴所求的定点为，定直线方程为y=.

考点：抛物线方程，直线与抛物线的位置关系．

【点评】难题，利用“直接法”可确定得到抛物线方程．利用“参数法”求得抛物线方程，通过研究焦点、准线等，达到确定“存在性”的目的．

11．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证；

（2）对函数求导，利用导数的几何意义求出过点、的切线、的方程，即可得到，即可得证；

【解析】 （1）设，，

把代入，得.

由韦达定理得，.

.

所以

（2），，

故经过点的切线的方程为：，

即，①

同理，经过点的切线的方程为：，②

，得.

即点M在直线上.

【点评】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

12．（1），；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与抛物线方程，根据判别式等于零可得；

（2）联立直线与抛物线，解得点的坐标为，点的坐标为，设直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理可得，利用直线和直线的方程联立，消去可得，所以点在定直线上

【解析】（1）圆的标准方程为，可知圆的圆心为，半径为，

由直线与圆相切，可得，解得或（舍去），

联立方程，消去后整理为，

因为直线与抛物线相切，所以，得，

故，.

（2）证明：直线的方程为，

联立方程，解得或，

则点的坐标为，点的坐标为，

设直线的方程为，

点的坐标为，点的坐标为

联立方程，消去整理为，

有，，

，

由得或，

直线的斜率为，

直线的斜率为，

直线的方程为，化为，

直线的方程为，化为，

联立直线、的方程消去后得，

得，因为直线与不重合，所以，所以，

故点在定直线上.

【点评】本题考查了直线与圆、直线与抛物线相切的位置关系，考查了韦达定理、斜率公式、直线的交点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.