专题10：椭圆中的范围问题29页

专题10：椭圆中的范围问题

1．已知椭圆：，直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上一点，且，设．

（1）证明：三点共线；

（2）求面积的最大值．

2．如图，过椭圆的左右焦点分别做直线，交椭圆于四点，设直线的斜率为

（1）求（用k表示）；

（2）若直线的斜率之积为，求四边形面积的取值范围．

3．已知椭圆的离心率为，且经过点.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点（异于椭圆的左、右端点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值.

4．已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为、．过的直线交椭圆于、两点，且的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点作圆的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值．

5．已知椭圆的离心率为，且过点，设M．F分别是椭圆E的左、右焦点．

（1）是椭圆E的标准方程；

（2）若椭圆E上至少有个不同11的点，使得，，，…组成公差为d的等差数列，求公差d的取值范围

（3）若过右焦点F的直线交椭圆E于A，B两点，过左焦点M的直线交椭圆E于C，D两点，且，求的最小值．

6．已知椭圆的一个焦点为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，求面积的最大值．

7．如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且，其中为椭圆的离心率.若，分别是椭圆的上顶点与右顶点，动直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，的面积分别为，，求的最小值，并求出此时的值.

8．已知，是椭圆的左、右焦点，弦经过点，若，，且的面积为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

9．已知椭圆经过一点，左、右焦点分别为，P是椭圆上一动点，当垂直于x轴时，.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点，斜率为k的直线l交椭圆于两点，且为钝角（O为坐标原点），求k的取值范围.

10．如图所示，已知点、是椭圆的两个焦点，椭圆经过点、，点是椭圆上异于、的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是、和、.设、的斜率分别为、.

（1）求证：为定值；

（2）求的最大值.

11．已知椭圆的离心率为，过点的直线与有两个不同的交点，，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线分别交直线于点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求线段的最小值.

12．已知椭圆的一个焦点为，且经过点，A，B是椭圆上两点，．

（1）求椭圆方程；

（2）求的取值范围．

13．如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求使取最小值时直线的方程．

参考答案

1．（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）将，代入椭圆方程，作差可求得，结合可求得；利用两点连线斜率公式可求得，由此得到结论；

（2）由（1）可得直线方程，代入椭圆方程可得韦达定理的形式，结合韦达定理可表示出，结合满足椭圆方程化简可得，利用得，由单调性可求得最大值.

【解析】（1）由题意知：点关于原点对称，．

，都在上，

则，两式作差得：．

即．

又，，，则．

又，，，

又，故，三点共线．

（2）由（1）得：直线的方程为，

将直线的方程代入椭圆的方程，消去整理得：，

．

，

，．

令，则，（当且仅当时等号成立）．

．

函数在上单调递增，当时，取得最小值，

故面积的最大值为．

【点评】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：

（1）几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数、不等式等方法进行求解．

2．（1）；（2）.

【分析】（1）求出焦点坐标，写出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出、，利用弦长公式即可求解；

（2）设，，直线CD的方程为，利用点到直线的距离公式分别求到直线的距离，，利用，再利用换元法和二次函数的性质即可求解.

【解析】（1）由可得：，，所以，所以，

设，．由已知得：直线的方程为，

由得，即，

所以，．     

故．     

（2）设，．由已知得，，

故直线CD的方程为，即．

设分别为点到直线AB的距离，

则．     

又到直线在异侧，则

由得，，即，

故．    

所以，

从而，    

因为，不妨令，令，可得，

令，因为，所以，

所以，

二次函数对称轴为，开口向下，

当时，单调递增，时， 单调递减，

所以时，；当时，；

当时，，

所以，

所以，，

因此，．

【点评】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

3．（1）；（2）.

【分析】（1）根据已知条件可得出，，再将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程；

（2）设直线，联立直线与椭圆的方程，由可得出，求出点的坐标，可计算得出点的轨迹方程，进而可求得面积的最大值.

【解析】（1）由椭圆的离心率，可得：，即有.

再结合、、三者的关系可得.

椭圆的方程可化为，

将点代入上述椭圆方程可得.

求解得，所以，，.

椭圆的方程为；

（2）设直线，

联立直线与椭圆的方程可得.

若直线与椭圆相切，可得上述方程只有一个解，即有，化简可得，（*）.

设点的坐标为，过点作的垂线为，

联立与求得，.

由上式可得，

将（*）代入上式可得，故可知点的轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆.

是椭圆上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点.

的面积为，即面积的最大值为.

【点评】 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

4．（1）；（2）.

【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率可求得的值，进一步可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，由直线与圆相切，可得出，设点、，联立直线与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，然后利用基本不等式可求得的面积的最大值.

【解析】（1）因为的周长为，所以，由椭圆的定义可得，即，

又椭圆的离心率为，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设、，

若直线与轴重合，则直线与圆相交，设直线的方程为，

因为直线与圆相切，所以，即，

联立直线与椭圆的方程，整理得，

，

由韦达定理可得，，

所以，

又点到直线的距离为，所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以的面积的最大值为．

【点评】 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

5．（1）；（2）且；（3）．

【分析】（1）由，已知点的坐标代入椭圆方程，同时结合可解得得椭圆方程；

（2）由椭圆焦半径最小值为1，最大值为3，知，，，…中只要最小项为，数列的第11项不大于3，或最大项为，数列的第11项不小于1即可得．注意公差不可能为0．

（3）先计算出当直线中有一个斜率为0（或不存在）时，的值，在直线的斜率存在且不为0时，直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，然后由弦长公式求出，同理得，观察得为常数，利用基本不等式得的最小值，比较上面的值可得结论．

【解析】（1）由题意，由，故解得，

∴椭圆标准方程是；

（2）设是椭圆上的点，则，，

∵等差数列，，，…至少有11项，

若，则，解得，

若，则，解得，

若，则满足条件的点最多有4个，不合题意．

∴所求的范围是且；

（3）当斜率为0时，，，，同理当斜率不存在时，也有，

当斜率存在且不为0时，设斜率为，方程为，设，

由得，

∴，，

，

设，同理可得，

∴，

∴，当且仅当，即时等号成立．∴．，

∴的最小值为．

【点评】 本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查椭圆的焦半径的概念，直线与椭圆相交中的最值．求最值问题的方法是“设而不求”的思想方法，应用韦达定理求得弦长，从而得出一个常数后利用基本不等式求得最小值．解题时注意对直线的斜率分类讨论．否则过程不完整，易出错．

6．（1）；（2）.

【分析】（1）由题意，将代入椭圆方程，联立求解即可；

（2）由题意斜率存在设直线的方程为，联立直线与椭圆方程消元得到，将用斜率表示，进而表示出面积，根据表达式换元，通过导数求出最值.

【解析】解：（1）由题意可得

解得：，，故椭圆的方程

（2）由题意可得直线，斜率均存在

设的斜率为，斜率为，设，

直线的方程为，由

得：，则，

可得点的横坐标为，代入，得点的纵坐标为，

故点坐标为，

则

将换为，得，

故面积

令，，故，

，当时，，故在单调递减，故时，，所以面积的最大值

【点评】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：

①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；

②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.

7．（1）；（2）的最小值为，此时的值为.

【分析】（1）根据题中条件，由椭圆的性质列出方程组，求出，即可得出椭圆方程；

（2）先由（1）得到，，求出直线的方程，根据题意，设，得，联立直线与椭圆方程，求出，再分别记点，到直线的距离为，，根据点到直线距离公式， 以及三角形面积公式，得到，利用基本不等式，即可求出其最小值，以及取最小值时的值.

【解析】（1）因为椭圆过点，且，其中为椭圆的离心率，

所以，即，解得，所以椭圆的方程为；

（2）由（1）可得，，，

所以直线的方程为，即，

由题意，设，

因为直线与椭圆交于，两点，所以；

由可得，则，所以

分别记点，到直线的距离为，，

则，

因为，所以，则，

因此，

同理，

又，的面积分别为，，

所以

，

当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立.

故的最小值为，此时的值为.

【点评】求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，根据韦达定理，以及三角形面积公式表示出三角形的面积，再结合相关知识即可求解三角形面积的最值或面积之比的最值等.

8．（1）；（2）．

【分析】（1）设，得到，，在中，利用余弦定理可得，进而得到，然后在中，利用勾股定理得到．然后由的面积为2求解；

（2）联立，结合韦达定理写出线段的垂直平分线方程，令，得到与轴的交点，然后利用距离公式和弦长公式建立模型求解.

【解析】（1）设，

则，，

在中，由余弦定理得，

整理得，解得(负值舍)，

所以，，，

所以，

在中，，

即，解得．

又因为，

故，，故，

即，，，，

所以椭圆的方程是．

（2）由得．

设，，

则有，，，

所以线段的中点坐标为，

则线段的垂直平分线方程为，

令，则，

于是线段的垂直平分线与轴的交点，

又点，所以．

又，

于是，

因为，所以，

所以的取值范围为．

【点评】 1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则 (k为直线斜率)．

注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．

9．（1）；（2）.

【分析】（1）由题得关于的方程组，解方程组即得椭圆的方程；

（2）当直线斜率时，显然不合题意，当时，设直线： ，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，由得到，把韦达定理代入化简即得解.

【解析】（1）由题意有， 

解得 

所以由题得椭圆方程为

（2），

当直线斜率时，显然不合题意 

当时，设直线：

联立直线与椭圆

有

设，，， 

因为为钝角，所以.

，且

综上，k的取值范围是.

【点评】 解答本题有两个关键，关键一，是把为钝角，转化为解析几何里角的问题一般转化为倾斜角和向量的夹角；关键二，不要忘记了排除，因为时，为平角，不是钝角.

10．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）求得椭圆的方程为，设点，可得出，利用斜率公式可证得为定值；

（2）设直线的方程为，设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，可求得关于的表达式，进而可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值.

【解析】（1）证明：点、是椭圆的两个焦点，故、的坐标是、，

而点、是椭圆上的点，将、的坐标代入的方程，得，

设，直线和的斜率分别是、，

，

又点是椭圆上的点，故，则，

所以（定值）；

（2）直线的方程可表示为，

联立方程组，得，

恒成立，

设、，则，，

，

同理可求得，

，

当且仅当时等号成立，故的最大值等于.

【点评】 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

11．（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意列出关于的等式再求解即可.

（2）设直线方程为，再联立直线与椭圆的方程,求得中点的坐标，利用韦达定理可得，再分析与两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.

【解析】解：（1）依题意可知解得.

所以椭圆的标准方程为；

（2）显然直线斜率存在，设过点点的直线方程为，（，否则直线与直线无交点.）

直线与椭圆的交点为.

由得，则，

，.

所以.

令，.

直线方程为，令，.

所以.

①  当时，.

当且仅当时,即时等号成立；

②  当时，.

当且仅当时取等号成立.此时.

综上，线段的取值范围为.

故线段的最小值为.

【点评】直线与椭圆的综合问题的常见处理方法：

（1）对椭圆上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线的斜率，中点的坐标M为，点代入椭圆方程作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式．

（2）对于弦长问题，我们常让直线与椭圆方程组方程组，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或，斜率不存在时，解决相关问题.

12．（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可求解.

（2）讨论直线斜率不存在或存在，斜率存在时设，将直线与椭圆联立，根据弦长公式求出，再由向量的数量积，令，再利用函数的单调性即可求解.

【解析】解：（1）由题意，，

（2）①当直线斜率不存在时

②当直线斜率存在时，设

，  

，

得

令 得，

，.

【点评】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键根据弦长求出，考查了运算能力、分析能力.

13．（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【分析】（Ⅰ）由离心率及，可得出，，进而写出椭圆的方程；

（Ⅱ）进行分类讨论，①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，不满足题意；②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，分别将直线与的方程与椭圆方程联立，由韦达定理得出和的表达式，然后利用弦长公式求出的表达式，然后利用基本不等式求出取得最小值时k的值，最后写出直线的方程即可.

【解析】（Ⅰ）由题意知，，又，解得，，所以椭圆方程为；

（Ⅱ）①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知，不满足条件；

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，

则直线CD的方程为，设，，

将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得 ，则，，

所以，

同理， ，

所以+=≥ ，

当且仅当即时，上式取等号，所以直线AB的方程为或．

【点评】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查基本不等式的应用，对于第二问，应该对斜率存在与否进行分类讨论，注意别漏掉斜率不存在的情形，考查逻辑思维能力和的分析计算能力，属于中档题.