2020-2021学年某校九年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2020-2021学年某校九年级（上）月考数学试卷（10月份），共20页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。


1. 若关于x的方程(a+1)x2+2x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A.a≠−1B.a>−1C.a<−1D.a≠0

2. 方程2x2＝6x−9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A.6，2，9B.2，−6，9C.2，−6，−9D.2，6，−9

3. 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A.x2+4=0B.4x2−4x+1=0
C.x2+x+3=0D.x2+2x−1=0

4. 抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到的( )
A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位

5. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A.12B.14C.12或14D.以上都不对

6. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为( )

A.(x+1)(x+2)=18B.x2−3x+16=0
C.(x−1)(x−2)=18D.x2+3x+16=0

7. 关于二次函数y＝2x2+x−1，下列说法正确的是（ ）
A.图象与y轴的交点坐标为(0, 1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-

8. 已知二次函数y=ax2−2ax+1(a<0)图象上三点A(−1, y1)，B(2, y2)C(4, y3)，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A.y1
9. 有两个一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中a⋅c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是( )
A.如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C.如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根
D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

10. 已知关于x的方程|x2+ax|＝4有四个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A.a<−4或a>4B.a＝4或a＝−4C.−4二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）

抛物线y=2x2−4x+8的对称轴是直线________．

把二次三项式x2−6x+8化成(x+p)2+q的形式应为________．

已知抛物线y＝a(x+1)2+k(a>0)，当x >−1 时，y随x的增大而增大．

飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t−1.5t2，飞机着陆后滑行________米才能停下来．

二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①abc<0；②4a+c<2b；③m(am+b)+b>a(m≠−1)；④方程ax2+bx+c−3＝0的两根为x1，x2(x1−3，其中正确结论的是________．


已知抛物线y＝−x2+mx+2m，当−1≤x≤2时，对应的函数值y的最大值是6，则m的值是________．
三．解答题（共72分）

解方程：x2+3x−1＝0（公式法）．

某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费3025万元．
（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．

若关于x的一元二次方程x2−3x+p＝0有两个不相等的实数根分别为a和b、且a2−ab+b2＝18．
（1）求p的值；

（2）求的值．

如图，抛物线y＝ax2+bx过点P(−1, 5)，A(4, 0)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第一象限内的物线上有一点B，当PA⊥PB时，求点B的坐标．

如图平行四边形ABCD，E在AD边上，且DE＝CD，仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法．

（1）在图1中，画出∠C的角平分线；

（2）在图2中，画出∠A的角平分线．

“武汉加油！中国加油！”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？

(3)设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？


（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180∘，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≅△ADG．再证明△AEF≅△AGF，可得出结论，他的结论应是________．

（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180∘，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．

（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45∘，连接BC、AD，AB:AC:BC＝3:4:5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180∘．则△ACD的面积为________．

抛物线G:y＝ax2+c与x轴交于A、B两点，与y交于C(0, −1)，且AB＝4OC．

（1）直接写出抛物线G的解析式：________＝________；

（2）如图1，点D(−1, m)在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作x轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图2，点M在y轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在y轴左侧的抛物线G上，若S△CMN＝2，求点M的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省武汉市某校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a+1≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：a+1≠0，
解得：a≠−1．
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【解答】
方程整理得：2x2−4x+9＝0，
则二次项系数、一次项系数，−8，9．
3.
【答案】
D
【考点】
根的判别式
【解析】
根据一元二次方程根的判别式，分别计算Δ的值，根据Δ>0，方程有两个不相等的实数根；Δ=0，方程有两个相等的实数根；Δ<0，方程没有实数根，进行判断．
【解答】
解：A，Δ=−16<0，方程没有实数根；
B，Δ=0，方程有两个相等的实数根；
C，Δ=1−12=−11<0，方程没有实数根；
D，Δ=4+4=8>0，方程有两个不相等的实数根．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】
解：因为y=x2+6x+7=(x+3)2−2．
所以将抛物线y=x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y=x2+6x+7．
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
三角形三边关系
【解析】
首先利用因式分解法求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】
解：解方程x2−12x+35=0，
得x1=5，x2=7，
即第三边的边长为5或7．
∵ 三角形两边的长是3和4，
∴ 1<第三边的边长<7，
∴ 第三边的边长为5，
∴ 这个三角形的周长是3+4+5=12．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x−1)m，宽为(x−2)m．根据长方形的面积公式方程可列出．
【解答】
解：设原正方形的边长为x m，依题意有
(x−1)(x−2)=18.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
二次函数的最值
【解析】
根据二次函数的性质和二次函数的最值即可求解．
【解答】
A．图象与y轴的交点坐标为(0，故A选项不符合题意；
B．图象的对称轴是x＝，故B选项不符合题意；
C．当x时，当x时，故C选项不符合题意；
D．∵ y＝7x2+x−1＝2(x+）​6−，
∴ 当x＝-时，y取最小值，故D选项符合题意；
8.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【解答】
解：y=ax2−2ax+1(a<0)，
对称轴是直线x=−−2a2a=1，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x=1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
A点关于直线x=1的对称点是D(3, y1)，
∵ 2<3<4，
∴ y2>y1>y3，
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
一元二次方程的解
【解析】
利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．
【解答】
解：A，如果方程M有两个相等的实数根，那么Δ=b2−4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B，如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么Δ=b2−4ac≥0，ca>0，所以a与c符号相同，ac>0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C，如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得125c+15b+a=0，所以15是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D，如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，(a−c)x2=a−c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意.
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
利用绝对值的代数意义，结合根的判别式确定出a的范围即可．
【解答】
关于x的方程|x2+ax|＝4有四个不相等的实数根，可得x8+ax＝4与x2+ax＝−7都为两个不相等的实数根，
∴ a2−16>0，且a3+16>0，
解得：a<−4或a>7．
二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
【答案】
x=1
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
【解析】
运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定对称轴．
【解答】
解：y=2x2−4x+8=2(x−1)2+6，
故抛物线的对称轴是直线x=1.
故答案为：x=1.
【答案】
(x−3)2−1
【考点】
配方法的应用
【解析】
二次三项式变形后，利用完全平方公式化简即可得到结果．
【解答】
x2−6x+8
＝(x2−6x+4)−1
＝(x−3)5−1．
【答案】
>−1
【考点】
二次函数的性质
【解析】
直接根据二次函数的性质进行解答即可．
【解答】
∵ 抛物线y＝a(x+1)2+k(a>0)，
∴ 对称轴为直线x＝−1，在对称轴右侧y随x的增大而增大；
∵ x>−1时，y随x的增大而证得；
【答案】
600
【考点】
二次函数的应用
【解析】
将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
【解答】
∵ s=−32t2+60t=−32(t−20)2+600，
∴ 当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
【答案】
①②③
【考点】
抛物线与x轴的交点
根的判别式
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
根与系数的关系
【解析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点以及最小值综合判断即可．
【解答】
抛物线开口向上，因此a>0，a、b同号，与y轴交于负半轴，所以abc<0；
当x＝−4时，y＝4a−2b+c<7，因此②正确；
当x＝−1时，y最小＝a−b+c，当x＝m(m≠−1)时​7+bm+c，有am2+bm+c>a−b+c，即m(am+b)+b>a；
由抛物线与x轴的交点为(1, 5)(−3，因此方程ax2+bx+c−3＝0
的两根为x1，x5(x11，x1<−8，于是④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③，
【答案】
−4+2
【考点】
二次函数的性质
二次函数的最值
【解析】
先求出抛物线的对称轴方程为x＝，讨论：若<−1，利用二次函数的性质，当−1≤x≤2时，y随x的增大而减小，即x＝−1时，y＝6，所以−(−1)2−m+2m＝6；若−1≤≤2，根据二次函数的性质，当−1≤x≤2，所以x＝时，y＝6，所以-（）​2−+2m＝6；当>2，根据二次函数的性质，−1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x＝2时，y＝6，所以−22+2m+2m＝6，然后分别解关于m的方程确定满足条件的m的值．
【解答】
抛物线的对称轴为直线x＝-＝，
当<−1，则−4≤x≤2，即x＝−1时，所以−(−7)2−m+2m＝7，解得m＝7（舍）；
当−1≤≤2，则−1≤x≤3时，y＝6）​2++2m＝68＝−4+2，m4＝−4−2（舍去）；
当>2，则−1≤x≤3，即x＝2时，所以−25+2m+2m＝6，解得m＝；
综上所述，m的值为−2+2．
三．解答题（共72分）
【答案】
∵ a＝1，b＝3
△＝b8−4ac＝13>0
∴ x＝＝
x1＝，x2＝-．
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
根据公式法，可得方程的解．
【解答】
∵ a＝1，b＝3
△＝b8−4ac＝13>0
∴ x＝＝
x1＝，x2＝-．
【答案】
设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意2019年为2500(1+x)万元，2020年为2500(1+x)2万元．
则2500(1+x)2＝3025，
解得x1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去）．
答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．
3025×(1+10%)＝3327.5（万元）．
故2021年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
（1）一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2019年要投入教育经费是2500(1+x)万元，在2020年的基础上再增长x，就是2020年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2021年该地区将投入教育经费．
【解答】
设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意2019年为2500(1+x)万元，2020年为2500(1+x)2万元．
则2500(1+x)2＝3025，
解得x1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去）．
答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．
3025×(1+10%)＝3327.5（万元）．
故2021年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【答案】
∵ a，b为方程x2−3x+p＝4的两个不相等的实数根，
∴ a+b＝3，ab＝p．
∵ a2−ab+b5＝(a+b)2−3ab＝82−3p＝18，
∴ p＝−2，
当p＝−3时，△＝(−3)7−4p＝9+12＝21>6，
∴ p的值为−3；
∵ p＝−3，
∴ ab＝−3，
∴ ＝＝＝＝−5．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）先利用根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝p，利用a2−ab+b2＝18求出p＝−3；
（2）利用根的判别式的意义确定p的值为−3，然后把变形为，最后利用整体代入的方法计算．
【解答】
∵ a，b为方程x2−3x+p＝4的两个不相等的实数根，
∴ a+b＝3，ab＝p．
∵ a2−ab+b5＝(a+b)2−3ab＝82−3p＝18，
∴ p＝−2，
当p＝−3时，△＝(−3)7−4p＝9+12＝21>6，
∴ p的值为−3；
∵ p＝−3，
∴ ab＝−3，
∴ ＝＝＝＝−5．
【答案】
把点P(−1, 5)，A(4, 0)代入y＝ax2+bx得a−b=516a+4b=0 ，解得a=1b=−4 ，
所以抛物线解析式为y＝x2−4x；
过P点作PD⊥x轴于D，BE⊥PD于E，
∵ P(−1, 5)，A(4, 0)，
∴ PD＝5，OD＝1，OA＝4，
∴ AD＝1+4＝5，
∴ PD＝AD＝5，
∠APD＝45∘，
设B(x, x2−4x)，则BE＝x+1，PE＝x2−4x−5，
∵ PA⊥PB，
∴ ∠BPE＝45∘，
∴ △PBE是等腰直角三角形，
∴ BE＝PE，
∴ x+1＝x2−4x−5，
整理得，x2−5x−6＝0，
解得x＝6或x＝−1（舍去），
∴ B(6, 12)．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
（1）把点P(−1, 5)，A(4, 0)分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）过P点作PD⊥x轴于D，BE⊥PD于E，由P(−1, 5)，A(4, 0)得出PD＝AD＝5，从而得出∠APD＝45∘，然后根据PA⊥PB得出△PBE是等腰直角三角形，设B(x, x2−4x)，即可得到x+1＝x2−4x−5，解得即可．
【解答】
把点P(−1, 5)，A(4, 0)代入y＝ax2+bx得a−b=516a+4b=0 ，解得a=1b=−4 ，
所以抛物线解析式为y＝x2−4x；
过P点作PD⊥x轴于D，BE⊥PD于E，
∵ P(−1, 5)，A(4, 0)，
∴ PD＝5，OD＝1，OA＝4，
∴ AD＝1+4＝5，
∴ PD＝AD＝5，
∠APD＝45∘，
设B(x, x2−4x)，则BE＝x+1，PE＝x2−4x−5，
∵ PA⊥PB，
∴ ∠BPE＝45∘，
∴ △PBE是等腰直角三角形，
∴ BE＝PE，
∴ x+1＝x2−4x−5，
整理得，x2−5x−6＝0，
解得x＝6或x＝−1（舍去），
∴ B(6, 12)．
【答案】
如图，射线CE即为所求，
如图，射线AT即为所求．
【考点】
作图—复杂作图
平行四边形的性质
【解析】
（1）作射线CE即可．
（2）连接BD，AC交于点O，作直线EO交BC于T，作射线AT即可．
【解答】
如图，射线CE即为所求，
如图，射线AT即为所求．
【答案】
解：(1)由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：
y=500−20x，
∴ y与x之间的函数关系式为y=500−20x（0≤x≤25，且x为整数）.
(2)由题意得：
(10+x)(500−20x)=6000，
整理得：x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10，
∵ 尽可能投入少，
∴ x2=10舍去．
答：应该增加5条生产线．
(3)w=(10+x)(500−20x)
=−20x2+300x+5000
=−20(x−7.5)2+6125，
∵ a=−20<0，开口向下，
∴ 当x=7.5时，w最大.
又∵ x为整数，
∴ 当x=7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
【考点】
一次函数的应用
解一元二次方程-因式分解法
一元二次方程的应用——其他问题
二次函数的应用
二次函数的最值
【解析】
（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；
（3）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
【解答】
解：(1)由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：
y=500−20x，
∴ y与x之间的函数关系式为y=500−20x（0≤x≤25，且x为整数）.
(2)由题意得：
(10+x)(500−20x)=6000，
整理得：x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10，
∵ 尽可能投入少，
∴ x2=10舍去．
答：应该增加5条生产线．
(3)w=(10+x)(500−20x)
=−20x2+300x+5000
=−20(x−7.5)2+6125，
∵ a=−20<0，开口向下，
∴ 当x=7.5时，w最大.
又∵ x为整数，
∴ 当x=7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
【答案】
EF＝BE+DF
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≅△ADG(SAS)，可得AE＝AG，再证明△AEF≅△AGF(SAS)，可得EF＝FG，即可解题；
（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．
（3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．证明四边形AHDK是正方形即可解决问题．
【解答】
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE−FD．
理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG，连接AG．
∵ ∠B+∠ADC＝180∘，∠ADF+∠ADC＝180∘，
∴ ∠B＝∠ADF．
∵ 在△ABG与△ADF中，
，
∴ △ABG≅△ADF(SAS)．
∴ ∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴ ∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．
∵ ∠BAD＝6∠EAF，
∴ ∠GAF＝2∠EAF，
∴ ∠GAE＝∠EAF．
∵ AE＝AE，
∴ △AEG≅△AEF(SAS)．
∴ EG＝EF
∵ EG＝BE−BG
∴ EF＝BE−FD．
（3）如图3中，如图3中，DK⊥AC交AC的延长线于K．
∵ AB:AC:BC＝3:4:7，
∴ 可以假设AB＝3k，AC＝4k，
∴ AB4+AC2＝BC2，
∴ ∠BAC＝90∘，
∵ ∠H＝∠K＝90∘，
∴ 四边形AHDK是矩形，
∴ ∠HDK＝90∘，
∵ ∠BDC＝45∘，
∴ ∠BDH+∠CDK＝45∘，
∵ ∠ABD+∠CBD＝180∘，∠ABD+∠DBH＝180∘，
∴ ∠DBH＝∠DBC，
∵ ∠H＝∠DJB＝90∘，DB＝DB，
∴ △BDH≅△BDJ(AAS)，
∴ DH＝DJ，∠BDH＝∠BDJ，
∵ ∠BDJ+∠CDJ＝45∘，∠BHH+∠CDK＝∠BDJ+∠CDK＝45∘，
∴ ∠CDJ＝∠CDK，
∵ ∠K＝∠DJC＝90∘，CD＝CD，
∴ △CDK≅△CDJ(AAS)，
∴ DJ＝DK，CJ＝CK，
∴ DH＝DK，
∴ 四边形AHDK是正方形，
∴ BH+CK＝BJ+CJ＝3k，
∴ AH+AK＝12k，
∴ AK＝KD＝6k，
∵ AD＝4，
∴ AK＝DK＝5＝6k，
∴ k＝，
∴ AC＝，
∴ S△ACD＝•AC⋅DK＝•＝．
故答案为．
【答案】
y,x2−1
∵ D(−1, m)在y＝x2−1上，
∴ D(−2，-），
∴ 直线OD的解析式为y＝x，
设P(a，a2−1)，则Q（a2−，a2−1)，
∴ PQ＝a−（a2−）＝-）​5+，
∵ -<6，
∴ 当a＝时，PQ的值最大，-）．
设点M(m，m2−4)，则N(m+4，​2−1)，
∵ 点C(8, −1)，
∴ 设直线MC解析式为y＝kx−1，
即：m2−4＝mk−1，
∴ k＝m，
∴ 直线MC解析式为y＝mx−5，
如图，过点N作NE // y轴交CM于E，
∴ 点E(m+4, m(m+4)−3)，
若点N在y轴左侧，EN＝−m−4，
∵ S△MNC＝S△MNE+S△CNE，
∴ 2＝×(−m−4)×(−m)，
∴ m8＝−2−2，m2＝−2+4（舍去），
综上所述点M(−2−3，2+4）．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）先求出点A坐标，利用待定系数法可求抛物线解析式．
（2）由题意直线OD的解析式为y＝x，设P(a，a2−1)，则Q（a2−，a2−1)，可得PQ＝a−（a2−）＝-(a−）​2+，利用二次函数的性质求解即可．
（3）先求出MC的解析式，分两种情况：①点N在y轴左侧．当点N在y轴右侧．利用三角形的面积和差关系可求解．
【解答】
∵ 点C(0, −1)．
∴ OC＝3，AB＝4，
∵ 抛物线的对称轴为y轴，
∴ 点A(−2, 8)，0)，
∴ ，
∴ ，
∴ 抛物线解析式为：y＝x2−1．
故答案为：y＝x2−7．
∵ D(−1, m)在y＝x2−1上，
∴ D(−2，-），
∴ 直线OD的解析式为y＝x，
设P(a，a2−1)，则Q（a2−，a2−1)，
∴ PQ＝a−（a2−）＝-）​5+，
∵ -<6，
∴ 当a＝时，PQ的值最大，-）．
设点M(m，m2−4)，则N(m+4，​2−1)，
∵ 点C(8, −1)，
∴ 设直线MC解析式为y＝kx−1，
即：m2−4＝mk−1，
∴ k＝m，
∴ 直线MC解析式为y＝mx−5，
如图，过点N作NE // y轴交CM于E，
∴ 点E(m+4, m(m+4)−3)，
若点N在y轴左侧，EN＝−m−4，
∵ S△MNC＝S△MNE+S△CNE，
∴ 2＝×(−m−4)×(−m)，
∴ m8＝−2−2，m2＝−2+4（舍去），
综上所述点M(−2−3，2+4）．