2020-2021学年湖北省某校初三（上）9月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省某校初三（上）9月月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2−5x−m=0一定有实数根的是( )
A.a>0B.a=0C.m>0D.m=0

2. 一元二次方程x2−23x−2+2x+1=0的一般形式是( )
A.x2−8x−3=0B.x2−4x+5=0C.x2+4x−5=0D.x2−6x+5=0

3. 将抛物线y=12x2−6x+21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为( )
A.y=12(x−8)2+5B.y=12(x+4)2+5
C.y=12(x−8)2+3D.y=12(x−4)2+3

4. 已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a的值为( )
A.0B.±1C.−1D.1

5. 用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为(x+ℎ)2=k，则ℎ，k的值是( )
A.32和14B.34和14C.34和116D.−34和116

6. 一元二次方程(x+1)(x−1)=2x+3的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根

7. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x应满足的方程是( )

A.(40−x)(70−x)=350B.(40−2x)(70−3x)=2450
C.(40−2x)(70−3x)=350D.(40−x)(70−x)=2450

8. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为( )
A.B.C.D.

9. 若抛物线y=(x−m)2+(m+1)的顶点在第二象限，则m的取值范围是( )
A.m>1B.m>0C.m>−1D.−1
10. 已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为( )
A.−2B.−4C.2D.4
二、填空题

已知抛物线y=−x−ℎ2，当自变量x的值满足3≤x≤7时，与其对应的函数的最大值是−1，则ℎ的值为________.
三、解答题

解方程：(x−2)2+x(x−2)=0.

已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0 的一个根是x=−1，且a，b满足b=a−3+3−a−2，求a，b，c的值．

已知函数y=k2−kx2+kx+k+1．
(1)若是一次函数，求k的值；

(2)若是二次函数，求k的值满足什么条件.

已知二次函数y=a(x−ℎ)2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点(1, −3).
(1)求此二次函数的关系式；

(2)指出当x为何值时，y随x的增大而增大．

要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？（参考坐标系如图）


新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染n个人，经过两轮传染就共有625人患病．
(1)求出n的值．

(2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？

如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．

(1)求证：△AEF≅△DEB；

(2)若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

如图，抛物线y=mx2+n的图象与直线y=kx+1交于A，B两点，A−1,0，直线与y轴交于点C，点B的纵坐标为3.

(1)求抛物线和直线解析式；

(2)判断△ABM的形状，并说明理由．

(3)在二次函数图象上是否存在点D，使S△AMD=3，若存在直接写出点D的坐标，不存在请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省某校初三（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
根的判别式
【解析】
一元二次方程有实数根，根的判别式△=b2−4ac≥0，b2是非负数，如果−4ac为非负数，无论b为什么数，方程一定有实数根，由此探讨得出答案即可．
【解答】
解：∵ 关于x的一元二次方程ax2−5x−m=0一定有实数根，
∴ a≠0且Δ=25+4ma≥0，
在四个选项中一定能保证Δ=25+4ma≥0成立的只有D.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0 （a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】
解：x2−23x−2+2x+1=0,
x2−6x+4+2x+1=0,
x2−4x+5=0．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象的平移规律
【解析】
直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
【解答】
解：y=12x2−6x+21
=12(x2−12x)+21
=12[(x−6)2−36]+21
=12(x−6)2+3，
故y=12(x−6)2+3向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y=12(x−4)2+3．
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
直接把x＝0代入进而方程，再结合a−1≠0，进而得出答案．
【解答】
解：∵ 关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，
∴ a2−1=0，且a−1≠0，
∴ a=−1.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】
解：原方程可以化为：
x2+32x+12=0，
移项，得
x2+32x=−12，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+32x+(34)2=−12+(34)2，
配方，得
(x+34)2=116.
比较对应系数，有：ℎ=34，k=116.
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将一元二次方程(x+1)(x−1)=2x+3整理得，
x2−2x−4=0，Δ=b2−4ac=20>0，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为(40−2x)，长为(70−3x)根据要使观赏路面积占总面积18，可列方程求解．
【解答】
解：设路宽为x，
(40−2x)(70−3x)=(1−18)×70×40，
化简，整理得(40−2x)(70−3x)=2450．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
二次函数的图象
一次函数的图象
【解析】
本题形数结合，一次函数y=ax+b，可判断a、c的符号；根据二次函数y=a(x+c)2的图象位置，可得a，c．经历：图象位置-系数符号-图象位置．
【解答】
解：A，函数y=ax+c中，a>0，c>0，y=a(x+c)2中，a<0，c<0，故错误；
B，函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c)2中，a<0，c>0，故正确；
C，函数y=ax+c中，a>0，c<0，y=a(x+c)2中，a>0，c>0，故错误；
D，函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c)2中，a>0，c<0，故错误．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质
二次函数图象与系数的关系
【解析】
直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
【解答】
解：抛物线y=(x−m)2+(m+1)的顶点坐标为(m, m+1)，
∵ 顶点在第二象限，
∴ m+1>0，m<0，
解得：−1故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4，n)两点，
可知函数的对称轴x=−2+42=1，
∴ b2=1，
∴ b=2；
∴ y=−x2+2x+4，
将点(−2,n)代入函数解析式，可得n=−4．
故选B.
二、填空题
【答案】
2或8
【考点】
二次函数的性质
二次函数的最值
【解析】
根据对称轴x=ℎ和3≤x≤7位置关系，分三种情况讨论即可求解.
【解答】
解：函数的对称轴为：x=ℎ，
①当ℎ≥7时，
x=7时，y取得最大值，即−7−ℎ2=−1，
解得：ℎ=6或8（舍去6），
故ℎ=8；
②当ℎ≤3时，
当x=3时，y取得最大值，即−3−ℎ2=−1,
解得：ℎ=2或4（舍去4），
故ℎ=2；
③当3<ℎ<7时，
x=ℎ取得最大值0，不成立；
综上，ℎ=2或8.
故答案为：2或8.
三、解答题
【答案】
解：分解因式得：(x−2)(x−2+x)=0，
可得x−2=0或2x−2=0，
解得：x1=2，x2=1.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）方程利用因式分解法求出解即可；
【解答】
解：分解因式得：(x−2)(x−2+x)=0，
可得x−2=0或2x−2=0，
解得：x1=2，x2=1.
【答案】
解：将x=−1代入ax2+bx+c=0中，得：
a−b+c=0，①
由题意得：
a−3≥0，3−a≥0，
∴ a=3，b=−2，
∴ 把a=3，b=−2代入①得c=−5 .
【考点】
二次根式的非负性
一元二次方程的解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将x=−1代入ax2+bx+c=0中，得：
a−b+c=0，①
由题意得：
a−3≥0，3−a≥0，
∴ a=3，b=−2，
∴ 把a=3，b=−2代入①得c=−5 .
【答案】
解：(1)若是一次函数则满足：k2−k=0，k≠0，
k1=0,k2=1，k≠0，
∴ k=1
∴ 当k=1时，它是一次函数.
(2)若是二次函数，则k2−k≠0，
∴k≠0且k≠1，
∴ 当k≠0且k≠1时，它是二次函数．
【考点】
一次函数的定义
二次函数的定义
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)若是一次函数则满足：k2−k=0，k≠0，
k1=0,k2=1，k≠0，
∴ k=1
∴ 当k=1时，它是一次函数.
(2)若是二次函数，则k2−k≠0，
∴k≠0且k≠1，
∴ 当k≠0且k≠1时，它是二次函数．
【答案】
解：(1)根据题意得
y=a(x−2)2，
把(1, −3)代入得a=−3，
所以二次函数解析式为y=−3(x−2)2.
(2)因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x<2时，y随x的增大而增大．
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
由于当x=2时有最大值，则抛物线的顶点式为y=a(x−2)2，再把(1, −3)代入即可求出a．从而得到二次函数解析式；再根据二次函数的性质易得当x<2时，y随x的增大而增大．
【解答】
解：(1)根据题意得
y=a(x−2)2，
把(1, −3)代入得a=−3，
所以二次函数解析式为y=−3(x−2)2.
(2)因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x<2时，y随x的增大而增大．
【答案】
解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y=a(x−1)2+3(0≤x≤3)，
将(3, 0)代入抛物线的解析式中，解得：a=−34．
将a=−34代入得到抛物线的解析式为：
y=−34(x−1)2+3(0≤x≤3).
令x=0，则y=94=2.25．
答：水管长为2.25m．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a(x−1)2+3(0≤x≤3)，将(3, 0)代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
【解答】
解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y=a(x−1)2+3(0≤x≤3)，
将(3, 0)代入抛物线的解析式中，解得：a=−34．
将a=−34代入得到抛物线的解析式为：
y=−34(x−1)2+3(0≤x≤3).
令x=0，则y=94=2.25．
答：水管长为2.25m．
【答案】
解：(1)(1+n)2=625，
解得：n1=24，n2=−26（舍去）.
答：n的值为24.
(2)(1+24−10)×24+24+1=385.
答：两轮传染后，一共有385人患病.
【考点】
列代数式求值
一元二次方程的应用
【解析】


【解答】
解：(1)(1+n)2=625，
解得：n1=24，n2=−26（舍去）.
答：n的值为24.
(2)(1+24−10)×24+24+1=385.
答：两轮传染后，一共有385人患病.
【答案】
(1)证明：∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE.
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE=∠DBE.
在△AEF和△DEB中，
∵ ∠AFE=∠DBE，∠AEF=∠DEB,AE=DE,
∴ △AEF≅△DEB(AAS).
(2)解：连接DF，
∵ AF // CD，AF=CD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ △AEF≅△DEB，
∴ BE=FE.
∵ AE=DE，
∴ 四边形ABDF是平行四边形，
∴ DF=AB.
∵ AB=AC，
∴ DF=AC，
∴ 四边形ADCF是矩形.
【考点】
矩形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的性质
【解析】
（1）由AF // BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；
（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90∘，由四边形ADCF是矩形可得答案．
【解答】
(1)证明：∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE.
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE=∠DBE.
在△AEF和△DEB中，
∵ ∠AFE=∠DBE，∠AEF=∠DEB,AE=DE,
∴ △AEF≅△DEB(AAS).
(2)解：连接DF，
∵ AF // CD，AF=CD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ △AEF≅△DEB，
∴ BE=FE.
∵ AE=DE，
∴ 四边形ABDF是平行四边形，
∴ DF=AB.
∵ AB=AC，
∴ DF=AC，
∴ 四边形ADCF是矩形.
【答案】
解：(1)将A(−1,0)代入y=kx+1中，
得−k+1=0，
解得k=1，
∴ 直线AB：y=x+1.
当y=3时，x+1=3，
解得x=2，
∴ B(2,3).
把A(−1,0)，B(2,3)代入y=mx2+n中，
得m+n=0,4m+n=3,
解得m=1,n=−1,
∴ 抛物线的解析式为y=x2−1.
(2)△ABM为直角三角形.
∵ A(−1,0)，M(0,−1)，C(0,1)，
∴ 在Rt△AOC中，OA=OC=1.
在Rt△AOM中，OA=OM=1，
∴ ∠OAC=∠ACO=45∘，∠OAM=∠AMO=45∘，
∴ ∠BAM=∠OAC+∠OAM=90∘，
∴ △ABM为直角三角形.
(3)设二次函数图象上存在点D(p,p2−1)，使得S△AMD=3，
连接AD，连接DM交x轴于点E，如图，
设点E(t,0)，直线DM为y=kx+b.
∵ M(0,−1)，D(p,p2−1)，
解得k=p，b=−1，
∴ y=p⋅x−1.
将点E(t,0)代入y=p⋅x−1中，
解得t=1p.
∵ S△AMD=3,
∴ 12×(1+1p)×(1+p2−1)=3，
即p(p+1)=6，
解得p1=2，p2=−3，
∴ y1=22−1=3，y2=(−3)2−1=8，
∴ 点D的坐标为(2,3)或(−3,8).
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
三角形的面积
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
等腰直角三角形
直角三角形的性质
【解析】



【解答】
解：(1)将A(−1,0)代入y=kx+1中，
得−k+1=0，
解得k=1，
∴ 直线AB：y=x+1.
当y=3时，x+1=3，
解得x=2，
∴ B(2,3).
把A(−1,0)，B(2,3)代入y=mx2+n中，
得m+n=0,4m+n=3,
解得m=1,n=−1,
∴ 抛物线的解析式为y=x2−1.
(2)△ABM为直角三角形.
∵ A(−1,0)，M(0,−1)，C(0,1)，
∴ 在Rt△AOC中，OA=OC=1.
在Rt△AOM中，OA=OM=1，
∴ ∠OAC=∠ACO=45∘，∠OAM=∠AMO=45∘，
∴ ∠BAM=∠OAC+∠OAM=90∘，
∴ △ABM为直角三角形.
(3)设二次函数图象上存在点D(p,p2−1)，使得S△AMD=3，
连接AD，连接DM交x轴于点E，如图，
设点E(t,0)，直线DM为y=kx+b.
∵ M(0,−1)，D(p,p2−1)，
解得k=p，b=−1，
∴ y=p⋅x−1.
将点E(t,0)代入y=p⋅x−1中，
解得t=1p.
∵ S△AMD=3,
∴ 12×(1+1p)×(1+p2−1)=3，
即p(p+1)=6，
解得p1=2，p2=−3，
∴ y1=22−1=3，y2=(−3)2−1=8，
∴ 点D的坐标为(2,3)或(−3,8).