2021-2022学年初三（上）9月月考数学试卷

这是一份2021-2022学年初三（上）9月月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 一元二次方程2x2−3x−1=0的二次项系数是2，则一次项系数是( )
A.3B.−3C.1D.−1

2. 用配方法解一元二次方程x2−4x−1=0时，原方程可变形为（ ）
A.x+22=5B.x−22=5C.x+42=5D.x−42=5

3. 一元二次方程x2−2x=1的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根

4. 已知方程x2−5x+2=0的两个根分别为x1,x2，则x1+x2−x1x2=（ ）
A.−7B.−3C.3D.7

5. 二次函数y=2x−22+1的顶点坐标为（ ）
A.2,−1B.−2,1C.2,1D.−2,−1

6. 将二次函数y=x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )
A.y=(x−1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=(x−1)2−2D.y=(x+1)2−2

7. 某种植基地3月份蔬菜产量为80t，预计5月份蔬菜产量将达到100t，求蔬菜产量的月平均增长率．设蔬菜产量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A.801+x2=100B.1001−x2=80
C.801+2x=100D.801+x2=100

8. 某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A.−11B.−2C.1D.−5

9. 已知实数x满足方程x2−x2−4x2−x−12=0，则代数式x2−x+3的值为（ ）
A.9B.1C.9或1D.3

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A0,5 ，D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE， ∠ADE=90∘，连接OE，则OE的最小值为（ ）

A.9B.1C.52D.522
二、填空题

一元二次方程x2=x的解为________．

若函数y=(m−3)xm2−7是二次函数，则m=________.

要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，则应邀请________个球队参加比赛.

已知实数a、b满足方程a2−8a+6=0,b2−8b+6=0且a≠b，则1a+1b的值为________.

若抛物线y=m−1x2+3mx+2m+1与坐标轴有2个公共点，则m的值是________.

下列关于二次函数y=x2−2mx+1（m为常数）的结论：
①该函数的图像与函数y=−x2+2mx的图像的对称轴相同；
②该函数的图像与x轴有交点时，m2≥1；
③该函数的图像的顶点在函数y=−x2+1的图像上；
④点Ax1,y1 与点Bx2,y2在该函数的图像上，若x1其中正确的结论是________（填写序号）
三、解答题

解一元二次方程：
(1)x2−2x−1=0；

(2)x(2x−5)=4x−10.

若关于x的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根.

如图，已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A(−1, 0) 和点C(0，3)．

(1)求该二次函数的解析式及抛物线的顶点坐标；

(2)结合函数图象，直接写出当 −1
在11×11的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A(−1,5),B−4,1,C−1,−1，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图．

(1)在第二象限内画出点D，使得AD⊥AB，且AD=AB，并写出点D的坐标________；

(2)在线段BD上画点E，使∠DAE=45∘（保留画图过程中的痕迹）；

(3)画出AB的中点F，在BC的延长线上找到一点P，使得∠BPF=∠BAC，则点P的坐标为________.

如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BF平分∠ABC交AD于F，连接EF，AE，BE，AE与BF交于点G，且BE⊥EF.

(1)求∠AEB的度数；

(2)求证： EF=EG.

投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为xm.

(1)设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)若菜园面积为384m2，求x的值；

(3)求菜园的最大面积．


(1)问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线 CD上，E在直线 BC上．若∠EAF=45∘，求证： BE+FD=EF；

(2)迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE=3, EC=2，求EF的长；

(3)联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、C在CD上，F在BC上，若EF=EA,∠FQA=∠FEA．若∠CFQ=34∘，则∠QAD=________.

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(1, 0)，B(3, 0)，与y轴交于C(0, 3)，抛物线顶点为D点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若S△ADP=3，求点P的坐标；

（3）在(2)的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝−3于点F，连接NF，求证：NF // y轴．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖北省武汉市某校初三（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知，该一元二次方程的一次项系数为：−3.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
3.
【答案】
B
【考点】
根的判别式
【解析】
计算方程的根的判别式△后，即可根据△的符号判断根的情况．
【解答】
解：x2−2x=1，
即x2−2x−1=0，
∵ Δ=(−2)2−4×1×(−1)=8>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
根与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
5.
【答案】
C
【考点】
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质
二次函数的三种形式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
6.
【答案】
A
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，
把二次函数y=x2的图象向右平移1个单位后，
得到的抛物线的解析式为：y=(x−1)2,
再向上平移2个单位，
则平移后的抛物线的表达式为：y=(x−1)2+2．
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
8.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
9.
【答案】
A
【考点】
列代数式求值
换元法解一元二次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
10.
【答案】
D
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
一次函数的综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
二、填空题
【答案】
x1=0，x2=1
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
【解答】
解：x2=x，
移项得：x2−x=0，
整理得x(x−1)=0，
则x=0或x−1=0，
解得x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
【答案】
−3
【考点】
二次函数的定义
【解析】
根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可解答．
【解答】
解：根据二次函数的定义，得：m2−7=2，
∴ m=3或m=−3.
又∵ m−3≠0，
∴ m≠3，
∴ 当m=−3时，这个函数是二次函数．
故答案为：−3.
【答案】
6
【考点】
一元二次方程的应用——其他问题
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打(x−1)场球，第二个球队和其他球队打(x−2)场，以此类推可以知道共打(1+2+3+...+x−1)场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
【解答】
解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+...+x−1=15，
即x(x−1)2=15，
∴ x2−x−30=0，
∴ x=6或x=−5（不合题意，舍去）．
故答案为：6.
【答案】
43
【考点】
根与系数的关系
分式的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
【答案】
−12或−2
【考点】
抛物线与x轴的交点
根的判别式
【解析】
本题分两种情况①抛物线经过原点；②抛物线不经过原点，分别得出判别式应满足的条件，从而得出m的值．
【解答】
解：∵ 函数是抛物线，
∴ m−1≠0，即m≠1.
①若抛物线过原点时，与y轴总有一个交点(0, 2m+1)，
则2m+1=0，即m=−12，
此时Δ=9m2−4m−12m+1=m+22>0，
符合题意；
②若抛物线不经过原点，则此时Δ=m+22=0，
解得：m=−2，满足题意，
综上所述，m的值可以是：−12或−2.
故答案为：−12或−2.
【答案】
①②③
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
二次函数的性质
二次函数综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
三、解答题
【答案】
解：(1)x2−2x−1=0，
配方得：(x−1)2=2，
开方得：x−1=±2，
即x1=2+1，x1=−2+1；
(2)原式变形为：x(2x−5)=2(2x−5)，
移项：x(2x−5)−2(2x−5)=0，
提公因式：(x−2)(2x−5)=0，
解得：x1=2，x2=52.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-配方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)x2−2x−1=0，
配方得：(x−1)2=2，
开方得：x−1=±2，
即x1=2+1，x1=−2+1；
(2)原式变形为：x(2x−5)=2(2x−5)，
移项：x(2x−5)−2(2x−5)=0，
提公因式：(x−2)(2x−5)=0，
解得：x1=2，x2=52.
【答案】
解：∵ 一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=4−4m=0，
解得：m=1，
∴ 一元二次方程为x2+2x+1=0，
∴ x+12=0，
解得：x1=x2=−1.
【考点】
根的判别式
解一元二次方程-配方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=4−4m=0，
解得：m=1，
∴ 一元二次方程为x2+2x+1=0，
∴ x+12=0，
解得：x1=x2=−1.
【答案】
解：(1)∵ 图像经过点A(−1, 0) 和C(0，3)．
∴ 代入得：a−2+c=0；c=3，
解得：a=−1，
∴ 二次函数解析式为：y=−x2+2x+3，
∴ 整理得：y=−(x−1)2+4.
∴ 顶点坐标为：(1，4).
0【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 图像经过点A(−1, 0) 和C(0，3)．
∴ 代入得：a−2+c=0；c=3，
解得：a=−1，
∴ 二次函数解析式为：y=−x2+2x+3，
∴ 整理得：y=−(x−1)2+4.
∴ 顶点坐标为：(1，4).
(2)由题画图知：
当 −1【答案】
(−5,8)
(2)如图.
(16,1)
【考点】
经过一点作已知直线的垂线
作一个角等于已知角
全等三角形的性质与判定
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
(2)如图.
略
【答案】
(1)解：延长EF至H，使HF=BE，连接AH
由题意易得AB=AF,∠AFH=∠ABE，
∴ △AFH≅△ABE，
∴ AH=AE ，∠HAF=∠EAB，
∴ ∠EAH=∠BAF=90∘，
∴ △HAE为等腰直角三角形，
∴ ∠AEH=45∘，
∴ ∠AEB=90∘−∠AEH=45∘.
(2)证明：延长EF，BC交于点M，
易得△DFE≅△CME，
∴ EF=EM，
∵ BE⊥EF，
∴ BF=BM，
∴ BE平分∠FBC ，
∴ ∠EBF=12∠FBC=22.5∘，
∴ ∠BFE=90∘−22.5∘=67.5∘，
∠FGE=180∘−67.5∘−45∘=67.5∘，
∴ EF=EG.
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
矩形的性质
等腰三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：延长EF至H，使HF=BE，连接AH
由题意易得AB=AF,∠AFH=∠ABE，
∴ △AFH≅△ABE，
∴ AH=AE ，∠HAF=∠EAB，
∴ ∠EAH=∠BAF=90∘，
∴ △HAE为等腰直角三角形，
∴ ∠AEH=45∘，
∴ ∠AEB=90∘−∠AEH=45∘.
(2)证明：延长EF，BC交于点M，
易得△DFE≅△CME，
∴ EF=EM，
∵ BE⊥EF，
∴ BF=BM，
∴ BE平分∠FBC ，
∴ ∠EBF=12∠FBC=22.5∘，
∴ ∠BFE=90∘−22.5∘=67.5∘，
∠FGE=180∘−67.5∘−45∘=67.5∘，
∴ EF=EG.
【答案】
解：(1)根据题意知，
y=10000−200x2×150=−23x+1003；(0(2)根据题意，得：
(−23x+1003)x=384，
解得：x=18或x=32，
∵ 墙的长度为24m，
∴ x=18；
(3)设菜园的面积是S，
则S＝(−23x+1003)x
=−23x2+1003x
=−23(x−25)2+12503
∵ −23<0，
∴ 当x<25时，S随x的增大而增大，
∵ x≤24，
∴ 当x=24时，S取得最大值，最大值为416，
答：菜园的最大面积为416m2．
【考点】
二次函数的应用
一元二次方程的应用
【解析】
（1）根据“垂直于墙的长度=−​÷2”可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【解答】
解：(1)根据题意知，
y=10000−200x2×150=−23x+1003；(0(2)根据题意，得：
(−23x+1003)x=384，
解得：x=18或x=32，
∵ 墙的长度为24m，
∴ x=18；
(3)设菜园的面积是S，
则S＝(−23x+1003)x
=−23x2+1003x
=−23(x−25)2+12503
∵ −23<0，
∴ 当x<25时，S随x的增大而增大，
∵ x≤24，
∴ 当x=24时，S取得最大值，最大值为416，
答：菜园的最大面积为416m2．
【答案】
(1)证明：延长EB至G使BG=DF，连AG，
则△AGB≅△AFD，
再证△AEG≅△AEF，
∴ BF+FD=BE+BG=EG=FF .
(2)解：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示直角坐标系，
则A0,0,E3,5，直线AE的解析式为y=53x，
∵ 直线GH垂直平分直线AE，∴ 直线GH的解析式为y=−35x+175，
∴ G0,175 .
设F5,t，∵ EG2+EF2=GF2，
∴ 32+5−1752+t−52+22=52+t−1752，
∴ t=54 ，EF=174.
34∘
【考点】
全等三角形的性质与判定
一次函数的性质
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：延长EB至G使BG=DF，连AG，
则△AGB≅△AFD，
再证△AEG≅△AEF，
∴ BF+FD=BE+BG=EG=FF .
(2)解：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示直角坐标系，
则A0,0,E3,5，直线AE的解析式为y=53x，
∵ 直线GH垂直平分直线AE，∴ 直线GH的解析式为y=−35x+175，
∴ G0,175 .
设F5,t，∵ EG2+EF2=GF2，
∴ 32+5−1752+t−52+22=52+t−1752，
∴ t=54 ，EF=174.
略
【答案】
(1)解：把A(1, 0)，B(3, 0)，C(0, 3)分别代入y＝ax2+bx+c，得
{a+b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得{a=1b=−4c=3，
所以该抛物线解析式为：y＝x2−4x+3.
(2)解：由(1)知，该抛物线解析式为：y＝x2−4x+3，
∵ y＝x2−4x+3＝(x−2)2−1，
∴ 顶点D的坐标是(2, −1)．
如图1，过点P作PR // y交AD的延长线于R，
由A(1, 0)，D(2, −1)易得直线AD的解析式为：y＝−x+1．
设P(t, t2−4t+3)，R(t, −t+1)．
∴ PR＝t2−3t+2．
∵ △ADP的面积为3，
∴ S△ADP＝S△APR−S△PDR＝12PR⋅(t−1)−12PR⋅(t−2)＝3，
∴ PR＝6，即t2−3t+2＝6，
解得t1＝4，t2＝0（舍去）．
此时t2−4t+3＝42−4×4+3＝3，
∴ P(4，3).
(3)证明：∵ P(4, 3)，A(1, 0)，
∴ 直线AP为y＝x−1，
把x＝2代入，y＝1，故E(2, 1)．
设直线MN的解析式为：y＝kx−2k+1．
联立方程组，得{y＝kx−2k+1y＝x2−4x+3，
消去y，得x2−(4+k)x+2+2k＝0，
解得x1＝k+4−k2+82，x2＝k+4+k2+82，
∴ M(k+4−k2+82, k2+2−kk2+8k−k2+8)，xN＝k+4+k2+82．
∴ 直线MN的解析式为y＝k2+2−kk2+8k−k2+8(x−2)−1．
令y＝−3，得xF＝k+4+k2+82，
即：xN＝xF，
∴ NF // y轴．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象上点的坐标特征
三角形的面积
二次函数综合题
【解析】
（1）利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式；
（2）将（1）所求的抛物线的解析式配成顶点式，得出点D的坐标，如图1，过点P作PRIly交AD的延长线于R，利用待定系数法求出直线AD的解析式，根据点的坐标与图形的性质，用含t的式子表示出点PR的坐标，根据两点间的距离公式表示出PR的长，利用割补法，由S△ADP=S△APR−S△PDR=3建立方程，求解并检验即可求出t的值，从而求出点P的坐标；
（3）利用待定系数法求出直线AP的解析式，根据点的坐标与图形的性质求出点E的坐标，设直线MN的解析式为：y=kx
2k+1 ．联立直线MN与抛物线的解析式组成的方程组，求解用含k的式子表示出点M的坐标及N点的横坐标，然后判断出NFIly轴．
【解答】
(1)解：把A(1, 0)，B(3, 0)，C(0, 3)分别代入y＝ax2+bx+c，得
{a+b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得{a=1b=−4c=3，
所以该抛物线解析式为：y＝x2−4x+3.
(2)解：由(1)知，该抛物线解析式为：y＝x2−4x+3，
∵ y＝x2−4x+3＝(x−2)2−1，
∴ 顶点D的坐标是(2, −1)．
如图1，过点P作PR // y交AD的延长线于R，
由A(1, 0)，D(2, −1)易得直线AD的解析式为：y＝−x+1．
设P(t, t2−4t+3)，R(t, −t+1)．
∴ PR＝t2−3t+2．
∵ △ADP的面积为3，
∴ S△ADP＝S△APR−S△PDR＝12PR⋅(t−1)−12PR⋅(t−2)＝3，
∴ PR＝6，即t2−3t+2＝6，
解得t1＝4，t2＝0（舍去）．
此时t2−4t+3＝42−4×4+3＝3，
∴ P(4，3).
(3)证明：∵ P(4, 3)，A(1, 0)，
∴ 直线AP为y＝x−1，
把x＝2代入，y＝1，故E(2, 1)．
设直线MN的解析式为：y＝kx−2k+1．
联立方程组，得{y＝kx−2k+1y＝x2−4x+3，
消去y，得x2−(4+k)x+2+2k＝0，
解得x1＝k+4−k2+82，x2＝k+4+k2+82，
∴ M(k+4−k2+82, k2+2−kk2+8k−k2+8)，xN＝k+4+k2+82．
∴ 直线MN的解析式为y＝k2+2−kk2+8k−k2+8(x−2)−1．
令y＝−3，得xF＝k+4+k2+82，
即：xN＝xF，
∴ NF // y轴．