2021-2022学年某校初三（上）第一次月考数学试卷

这是一份2021-2022学年某校初三（上）第一次月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A.x2+3x=0B.x2−2x+1=0
C.x2−5x=2D.x2−2=x+12

2. 方程(x+1)(x−2)=x+1的解是( )
A.2B.3C.−1，2D.−1，3

3. 若a−b+c=0，a≠0，则方程ax2+bx+c=0必有一个根是()
A.1B.0C.−1D.不能确定

4. 若x1，x2是关于x的方程x2+bx−3b=0的两个根，且x12+x22=7，则b的值为( )
A.1B.−7C.1或−7D.7或−1

5. 若方程(m−1)x2+mx=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A.m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m为任何实数

6. 已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和−3，则x2−px+q可分解为( )
A.x+2x+3B.x−2x−3C.x−2x+3D.x+2x−3

7. 将一元二次方程−3x2−2=−x化成一般形式ax2+bx+c=0a>0后，一次项和常数项分别是( )
A.−1，2B.x，−2C.−x，2D.3x2，2

8. 若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A.k>−1B.k<−1C.k>−1且k≠0D.k≥−1且k≠0

9. 若关于x的一元二次方程x2−2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A.B.
C.D.

10. 某市组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A.12x(x+1)=28B.12x(x−1)=28
C.x(x−1)=28D.x(x+1)=28

11. 已知x2+y2+1x2+y2+3=8，则x2+y2的值为( )
A.−5或1B.1C.5D.5或−1

12. 如图，是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )

A.1或9B.3或5C.4或6D.3或6
二、填空题

关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，则a的值为________.

已知x2+3x−5=0，那么3x2+9x+2000的值为________．

小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a, b)进入其中，会得到一个新的实数a2−2b+3．若将实数(x, −2x)放入其中，得到−1，则x=________．

若a是方程x2+x−1=0的一个根，则a−1a的值是________.
三、解答题

解方程：
(1)3x2+x−5=0；

(2)4x+22−9x−32=0；

(3)x2+2x−399=0．（配方法）

用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2−8x+18的值不小于10.

为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）


已知，关于x的一元二次方程(3k+1)x2−2kx−1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

列方程解应用题：
有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1−x2|=22，求m的值，并求出此时方程的两根．

某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

如图，在矩形ABCD中， AB=10cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．

(1)几秒后，点P，D的距离是点P，Q的距离的2倍；

(2)几秒后，△DPQ的面积是24cm2.
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖北省恩施市某校初三（上）第一次月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
2.
【答案】
D
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：方程(x+1)(x−2)=x+1可化为
(x+1)(x−3)=0，
∴ x+1=0或x−3=0,
∴ x=−1或x=3.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x=−1时，a−b+c=0，
所以方程ax2+bx+c=0必有一个根为−1．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
解一元二次方程-因式分解法
完全平方公式
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．根据x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2代入数值列出方程解即可．
【解答】
解：x1，x2是关于x的方程x2+bx−3b=0的两个根，
得x1+x2=−b，x1x2=−3b．
又x12+x22=7，
则(x1+x2)2−2x1x2=b2+6b=7，
解得b=−7或1.
当b=−7时，Δ=49−84<0，方程无实数根，舍去；
则b=1．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的定义
二次根式有意义的条件
【解析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．
【解答】
解：根据题意得：m−1≠0m≥0
解得：m≥0且m≠1．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
因式分解-十字相乘法
根与系数的关系
【解析】
首先根据一元二次方程根与系数的关系求出p和q的值，然后运用十字相乘法进行因式分解即可.
【解答】
解：∵ −3和2是方程x2+px+q=0的两个根，
∴ 根据根与系数的关系，
∴ p=−−3+2=1，q=−3×2=−6.
∴ x2−px+q
=x2−x−6
=x+2x−3.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
根据一元二次方程的定义解答．
【解答】
解：将一元二次方程−3x2−2=−x化成一般形式3x2−x+2=0后，一次项和常数项分别是−x，2．
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
【解析】
利用一元二次方程的定义以及一元二次方程的根与其判别式的关系列出不等式求解即可．
【解答】
解：根据题意，得
Δ=22−4k×−1>0k≠0
解得k>−1且k≠0.
故答案为：C．
9.
【答案】
B
【考点】
一次函数图象与系数的关系
一次函数的图象
根的判别式
【解析】
利用判别式的意义得到Δ=22−4kb+1>0，则kb<0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】
解：∵ 关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=22−4kb+1>0,
∴ kb<0,
当k>0,b<0时，一次函数经过第一、三、四象限；
当k<0， b>0时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．
【解答】
解：设邀请x个队参赛，
由题意得，12x(x−1)=4×7=28，
即12x(x−1)=28．
故选B．
11.
【答案】
B
【考点】
换元法解一元二次方程
【解析】
先变形，把x2+y2看成一个整体，用因式分解发求出x2+y2的值，即可解答.
【解答】
解:x2+y2+1x2+y2+3=8，
x2+y22+4(x2+y2)+3−8=0，
x2+y2+5x2+y2−1=0 ，
x2+y2=1或x2+y2=−5(舍去).
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
正方形的性质
面积相等问题
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
根据题意列方程，即可得到结论．
【解答】
解：如图，
∵ 若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴ 12×(6+9+x)×9−x×(9−x)
=12×(62+92+x2)，
解得x=3，或x=6.
故选D．
二、填空题
【答案】
−2
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
根据方程根的定义把x=0代入即可得出a的值．
【解答】
解：∵ 关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，
∴ a2−4=0，
解得a=±2.
又∵ a−2≠0，
解得a≠2，
∴ a=−2.
故答案为：−2．
【答案】
2015
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
观察题中的两个代数式x2+3x−5和3x2+9x+2000，可以发现3x2+9x=3(x2+3x)，因此可整体求出x2+3x的值，然后整体代入即可求出所求的结果．
【解答】
解：由x2+3x−5=0，得
x2+3x=5，
则3x2+9x+2000=3(x2+3x)+2000=3×5+2000=2015．
故答案是：2015．
【答案】
−2
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
根据新定义得到x2−2⋅(−2x)+3=−1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可．
【解答】
解：根据题意得x2−2×(−2x)+3=−1，
整理得x2+4x+4=0，
(x+2)2=0，
所以x1=x2=−2．
故答案为：−2．
【答案】
−1
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
把x=a代入已知方程可以求得a2+a−1=0，然后在方程的两边同时除以a即可求得所求代数式的值．
【解答】
解：当a=0时， 02+0−1≠0，
即a≠0，
把x=a代入方程x2+x−1=0，
得a2+a−1=0，
则a+1−1a=0，
∴ a−1a=−1.
故答案为：−1.
三、解答题
【答案】
解：(1)3x2+x−5=0，
∵ a=3，b=1，c=−5，
∴ Δ=b2−4ac=1+60=61>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴ x=−1±612×3，
即x1=−1+616，x2=−1−616.
(2)4x+22−9x−32=0，
[2(x+2)+3(x−3)][2(x+2)−3(x−3)]=0，
2x+4+3x−92x+4−3x+9=0，
5x−5−x+13=0，
解得x1=1，x2=13.
(3)x2+2x−399=0，
x2+2x+1−1−399=0，
x+12=400，
x+1=±20，
解得x1=19，x2=−21.
【考点】
解一元二次方程-公式法
解一元二次方程-配方法
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
直接利用公式法求解即可.
利用平方差公式将其因式分解求解即可.
将原方程进行配方，然后开方求解即可.
【解答】
解：(1)3x2+x−5=0，
∵ a=3，b=1，c=−5，
∴ Δ=b2−4ac=1+60=61>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴ x=−1±612×3，
即x1=−1+616，x2=−1−616.
(2)4x+22−9x−32=0，
[2(x+2)+3(x−3)][2(x+2)−3(x−3)]=0，
2x+4+3x−92x+4−3x+9=0，
5x−5−x+13=0，
解得x1=1，x2=13.
(3)x2+2x−399=0，
x2+2x+1−1−399=0，
x+12=400，
x+1=±20，
解得x1=19，x2=−21.
【答案】
证明：∵ 2x2−8x+18=2(x2−4x+4)+10=2(x−2)2+10，
∵(x−2)2≥0，
2(x−2)2+10≥10，
∴ 无论x取何实数，
代数式2x2−8x+18的值不小于10.
【考点】
配方法的应用
【解析】
先用配方法把代数式2x2−8x+18化成2(x−2)2+10的形式，然后即可证明．
【解答】
证明：∵ 2x2−8x+18=2(x2−4x+4)+10=2(x−2)2+10，
∵(x−2)2≥0，
2(x−2)2+10≥10，
∴ 无论x取何实数，
代数式2x2−8x+18的值不小于10.
【答案】
解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得(30−2x)(20−x)=532，
整理，得x2−35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵ 34>20（不合题意，舍去），
∴ x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米.
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解答】
解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得(30−2x)(20−x)=532，
整理，得x2−35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵ 34>20（不合题意，舍去），
∴ x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米.
【答案】
解：∵ 关于x的一元二次方程(3k+1)x2−2kx−1=0有两个不相等的实数根，
∴ 3k+1≠0k≥04k−4(3k+1)(−1)>0，
解得k≥0，
∴ k的取值范围是k≥0．
【考点】
根的判别式
一元二次方程的定义
【解析】
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和△的意义得到3k+1≠0k≥04k−4(3k+1)(−1)>0，然后解不等式组即可得到k的取值范围．
【解答】
解：∵ 关于x的一元二次方程(3k+1)x2−2kx−1=0有两个不相等的实数根，
∴ 3k+1≠0k≥04k−4(3k+1)(−1)>0，
解得k≥0，
∴ k的取值范围是k≥0．
【答案】
解：(1)设每轮传染中平均每人传染了x人，
根据题意可得，1+x+x(x+1)=64，
整理得 ，(x+9)(x−7)=0，
解得：x=7或x=−9（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)根据题意可得，64×7=448(人)．
答：第三轮将又有448人被传染．
【考点】
一元二次方程的应用——其他问题
【解析】
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
【解答】
解：(1)设每轮传染中平均每人传染了x人，
根据题意可得，1+x+x(x+1)=64，
整理得 ，(x+9)(x−7)=0，
解得：x=7或x=−9（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)根据题意可得，64×7=448(人)．
答：第三轮将又有448人被传染．
【答案】
(1)证明：∵ Δ=(m+3)2−4(m+1)
=(m+1)2+4，
∵ 无论m取何值，(m+1)2+4恒大于0，
∴ 原方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵ x1，x2是原方程的两根，
∴ x1+x2=−(m+3)，x1⋅x2=m+1，
∵ |x1−x2|=22，
∴ (x1−x2)2=(22)2，
∴ (x1+x2)2−4x1x2=8，
∴ [−(m+3)]2−4(m+1)=8，
解得：m1=−3，m2=1．
当m=−3时，原方程化为：x2−2=0，
解得：x1=2，x2=−2，
当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，
解得：x1=−2+2，x2=−2−2．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2−4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x1+x2=−(m+3)，x1⋅x2=m+1；然后由已知条件“|x1−x2|=22”可以求得(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
【解答】
(1)证明：∵ Δ=(m+3)2−4(m+1)
=(m+1)2+4，
∵ 无论m取何值，(m+1)2+4恒大于0，
∴ 原方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵ x1，x2是原方程的两根，
∴ x1+x2=−(m+3)，x1⋅x2=m+1，
∵ |x1−x2|=22，
∴ (x1−x2)2=(22)2，
∴ (x1+x2)2−4x1x2=8，
∴ [−(m+3)]2−4(m+1)=8，
解得：m1=−3，m2=1．
当m=−3时，原方程化为：x2−2=0，
解得：x1=2，x2=−2，
当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，
解得：x1=−2+2，x2=−2−2．
【答案】
解：设每件应降价x 元，由题意可列方程为(40−x )(30+2x )=1200，
解得x1=0，x2=25，
当x=0 时，能卖出30 件；
当x=25 时，能卖出80件，
根据题意，x=25 时能卖出80 件，符合题意，不降价也能盈利1200元，符合题意，
因为要减少库存，所以应降价25 元。
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
本题的关键语“每件降价1元时，平均每天可多卖出2件”，设每件应降价x元，用x来表示出商场所要求的每件盈利的数额量，然后根据盈利1200元来列出方程；
【解答】
解：设每件应降价x 元，由题意可列方程为(40−x )(30+2x )=1200，
解得x1=0，x2=25，
当x=0 时，能卖出30 件；
当x=25 时，能卖出80件，
根据题意，x=25 时能卖出80 件，符合题意，不降价也能盈利1200元，符合题意，
因为要减少库存，所以应降价25 元。
【答案】
解：(1)设t秒后点P，D的距离是点P，Q距离的2倍，
∴ PD=2PQ.
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠B=90∘,
∴ PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2.
∵PD2=4PQ2，
∴ 82+2t2=410−2t2+t2，
整理，得t2−10t+21=0，
解得： t1=3，t2=7．
∵t=7时，10−2t<0，
∴ t=3.
答：3秒后，点P，D的距离是点P，Q的距离的2倍.
(2)设x秒后△DPQ的面积是24cm2，
则12×8×2x+1210−2x×x+128−x×10=80−24，
整理，得x2−8x+16=0，
解得：x1=x2=4.
答：4秒后， △DPQ的面积是24cm2.
【考点】
动点问题
一元二次方程的应用——其他问题
勾股定理
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)设t秒后点P，D的距离是点P，Q距离的2倍，
∴ PD=2PQ.
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠B=90∘,
∴ PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2.
∵PD2=4PQ2，
∴ 82+2t2=410−2t2+t2，
整理，得t2−10t+21=0，
解得： t1=3，t2=7．
∵t=7时，10−2t<0，
∴ t=3.
答：3秒后，点P，D的距离是点P，Q的距离的2倍.
(2)设x秒后△DPQ的面积是24cm2，
则12×8×2x+1210−2x×x+128−x×10=80−24，
整理，得x2−8x+16=0，
解得：x1=x2=4.
答：4秒后， △DPQ的面积是24cm2.