湖北省武汉市江岸区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷(word版含答案)

这是一份湖北省武汉市江岸区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷(word版含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，解答题共8小题，共72分）等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
2．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（　　）

A．25 B．30 C．35 D．40
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别C取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
5．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（　　）

A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
6．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（　　）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
7．如图，在△ABC中D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，且BD＝BF，CF＝CE，∠A＝62°，则∠DFE的度数为（　　）

A．58° B．59° C．62° D．76°
8．如图．AD为△ABC的中线．AB＝6．AC＝3，则AD的长可能是（　　）

A．1 B．1.5 C．2.7 D．5
9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（　　）

A．120° B．135° C．150° D．165°
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空（共6小题，每小题3分共18分
11．五边形的对角线一共有　 　条．
12．等腰三角形的三边中有两边的长分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是 　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为 　 　．

14．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB和直线AC于D、E两点，且∠EBC＝30°，则∠A的度数为 　 　．
15．如图，在四边形ABDE中，点C为BD边上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，AC＝CE，点M为AE中点．连BM．DM，分别交AC，CE于G．H两点下列结论：①AB+DE＝BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是 　 　．

16．如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 　 　．

三、解答题共8小题，共72分）
17．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，分别交AD、BC于E、F，求证：BE∥DF．

19．如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．

20．如图．在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是AB与网格线的交．点且AB＝5，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）作AB边上高CE．
（2）画出点D关于AC的对称点F；
（3）在AB上画点M，使BM＝BC；
（4）在△ABC内两点P，使S△ABP＝S△ACP＝S△BCP．

21．如图，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，AB与DE交于点M．
（1）求证：AB＝DE；
（2）连MC，求证：MC平分∠BMD．

22．已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．

（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．

23．已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠DAC＝∠DBC＝α．
（1）如图1，点D在△ABC内；
①若α＝10°，求∠BAD的度数；
②求证：∠ABD＝2∠ACD；
（2）如图2，点D在△ABC外，且BC＝8，CD＝5，直接写出△BCD的面积 　 　．


24．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），a≠0且（a+b）2+＝0．

（1）直接写出△ABC的形状是 　 　．
（2）如图1，点D为BC上一点，E为y轴负半轴上一点且∠ACB＝120°，∠ADE＝60°，CD＝2BD，求点E的坐标；
（3）如图2，点P在AB的延长线上，过P作PM⊥AC交AC的延长线于M点，交CB的延长线于N点，且PM＝BC．试确定线段CM、BN、PN之间的数量关系，并加以证明．



参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
2．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
3．已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（　　）

A．25 B．30 C．35 D．40
【分析】根据三角形内角和定理解决此题．
解：由题意得：x°+35°+115°＝180°．
∴x＝30．
故选：B．
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别C取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】根据全等三角形的判定是解决本题的关键．
解：由题意得：MC＝NC．
在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS）．
故选：A．
5．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（　　）

A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
【分析】求出BC＝EF，根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
条件∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BC＝EF符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D．BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（　　）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．
解：点（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为：（3，2）．
故选：B．
7．如图，在△ABC中D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，且BD＝BF，CF＝CE，∠A＝62°，则∠DFE的度数为（　　）

A．58° B．59° C．62° D．76°
【分析】首先根据三角形内角和定理，求出∠B+∠C的度数；然后根据等腰三角形的性质，表示出∠BFD+∠CFE的度数，由此可求得∠DFE的度数．
解：△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°，
△BDF中，BD＝BF，
∴∠BFD＝（180°﹣∠B）；
同理，得：∠CFE＝（180°﹣∠C）；
∴∠BFD+∠CFE＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣×118°＝121°，
∵∠BFD+∠CFE+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝180°﹣121°＝59°．
故选：B．
8．如图．AD为△ABC的中线．AB＝6．AC＝3，则AD的长可能是（　　）

A．1 B．1.5 C．2.7 D．5
【分析】延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，则AE＝2AD，证△ADB≌△EDC（SAS），得EC＝AB＝6，再由三角形的三边关系求出＜AD＜，即可求解．
解：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE，如图所示：
则AE＝2m，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴EC＝AB＝6，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜EC+AC，
即6﹣3＜2AD＜6+3，
∴＜AD＜，
故选：C．

9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（　　）

A．120° B．135° C．150° D．165°
【分析】延长CB交网格于E，连接AE，根据勾股定理求出AE、AB、BE，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△EAB是等腰直角三角形，求出∠EBA＝45°即可．
解：延长CB交网格于E，连接AE，

由勾股定理得：AE＝AB＝＝，BC＝BE＝＝，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴△EAB是等腰直角三角形（∠EAB＝90°），
∴∠EBA＝∠AEB＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设AC＝1，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理求出AB，BC，根据AD＝CD，得到AD＝，CD＝，过点D作DH⊥AB于H点，求出AH，DH，根据△DEF是等边三角形，证明△DCF≌△EHD，得到CF，HE，故可求出BF，BE，AE，从而求解．
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，设AC＝1，则AB＝2AC＝2，
∴BC＝＝，
∵AD＝CD，AD+CD＝1，
∴AD＝，CD＝，
过点D作DH⊥AB于H点，

∴∠ADH＝90°﹣∠A＝30°，
∴AH＝AD＝，DH＝，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝DE，∠C＝∠DHE＝90°，∠FDE＝60°，
∴∠CFD+∠CDF＝∠CDF+∠HDE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠CFD＝∠HDE，
∵∠FCD＝∠DHE＝90°，DF＝ED，
∴△DCF≌△EHD（AAS），
∴CF＝DH＝，HE＝CD＝，
∴BF＝，
BE＝2﹣，
AE＝，
∴，
故选：D．
二、填空（共6小题，每小题3分共18分
11．五边形的对角线一共有　5　条．
【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）（n≥3，且n为整数）计算．
解：五边形的对角线共有＝5；
故答案为：5
12．等腰三角形的三边中有两边的长分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是 　22　．
【分析】由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：当4为底时，其它两边都为9，
∵9、9、4可以构成三角形，
∴三角形的周长为22；
当4为腰时，其它两边为9和4，
∵4+4＝8＜9，
∴不能构成三角形，故舍去．
综上所述，这个等腰三角形的周长是22，
故答案为：22．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为 　5　．

【分析】方法一：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，证△ABE≌△ACF（AAS），得BE＝CF，AE＝AE，再证Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得DF＝DE＝3，则CF＝CD+DF＝5，即可求解．
方法二：在BD上截取BN＝CD，连接AN，设BD交AC于H，先证明∠ABN＝∠ACD，再证明△ABN≌△ACD（SAS），得出AN＝AD，由等腰三角形三线合一的性质得NE＝DE，即可得出答案．
解：方法一：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示：
则∠AFC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝AF，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴DF＝DE＝3，
∴CF＝CD+DF＝5，
∴BE＝CF＝5，
故答案为：5．
方法二：在BD上截取BN＝CD，连接AN，设BD交AC于H，如图2所示：
∵∠ABN+∠BAC+∠AHB＝180°，∠ACD+∠BDC+∠CHD＝180°，∠AHB＝∠CHD，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABN＝∠ACD，
在△ABN和△ACD中，
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴AN＝AD，
∵AE⊥BD，
∴NE＝DE，
∴BE＝BN+NE＝CD+DE＝2+3＝5，
故答案为：5．


14．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB和直线AC于D、E两点，且∠EBC＝30°，则∠A的度数为 　40°或160°　．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，得到∠ABE＝∠EAB，根据三角形的内角和等于180°或三角形外角的性质计算即可．
解：如图1，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∵DE垂直且平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ABE+∠EBC＝∠A+30°，
∴∠A+2（∠A+30°）＝180°，
解得∠A＝40°；
如图2，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE垂直且平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠BAE，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠EBC﹣∠ABE＝∠EBC﹣∠BAE＝30°﹣∠BAE，
∵∠ABC+∠ACB＝∠BAE，
∴2（30°﹣∠BAE）＝∠BAE，
解得∠BAE＝20°，
∴∠A＝180°﹣20°＝160°．
故答案为：40°或160°．
15．如图，在四边形ABDE中，点C为BD边上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，AC＝CE，点M为AE中点．连BM．DM，分别交AC，CE于G．H两点下列结论：①AB+DE＝BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是 　①②④　．

【分析】由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AB＝CD，BC＝DE，可证AB+BD＝BC+CD＝BD，故①正确；由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得∠AMB＝∠CMD，BM＝DM，可证△BMD是等腰直角三角形，故②正确；由AE≠BD，可得△ACE与△BMD不全等，故③错误；由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG＝MH，可求∠MGH＝45°＝∠MBD，可证GH∥BD，故④正确；即可求解．
解：∵∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，
∴∠BCA+∠ECD＝90°＝∠BCA+∠BAC，
∴∠BAC＝∠ECD，
又∵AC＝CE，
∴△ACB≌△CED（AAS），
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴AB+DE＝BC+CD＝BD，故①正确；
如图，连接MC，

∵AC＝CE，∠ACE＝90°，点M是AE的中点，
∴AM＝CM＝ME，∠CAE＝∠ACM＝∠ECM＝45°，
∴∠BAM＝∠MCD，
又∵AB＝CD，
∴△ABM≌△CDM（SAS），
∴∠AMB＝∠CMD，BM＝DM，
∴∠AMB+∠BMC＝∠BMC+∠DMC＝90°，
∴∠BMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确；
∵点C不是BD的中点，
∴BD≠2MC，
∴AE≠BD，
∴△ACE与△BMD不全等，故③错误；
∵△BMD是等腰直角三角形，
∴∠MBD＝∠MDB＝45°，
∵∠AMC＝∠GMH＝90°，
∴∠AMG＝∠CMH，
又∵AM＝CM，∠MAG＝∠MCH，
∴△AMG≌△CMH（ASA），
∴MG＝MH，
∴∠MGH＝45°＝∠MBD，
∴GH∥BD，故④正确；
故答案为：①②④．
16．如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 　15°　．

【分析】以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，则BP+2AP＝2（BP+AP）＝（PH+AP），故当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，从而解决问题．
【解答】解；如图，以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，

∴PH＝BP，
∴BP+2AP＝2（BP+AP）＝（PH+AP），
∴当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，
过点A作AG⊥BF于G，交BC于P'，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°+45°＝75°，
∴∠BAG＝15°，
∴当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为15°，
故答案为：15°．
三、解答题共8小题，共72分）
17．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，分别交AD、BC于E、F，求证：BE∥DF．

【分析】首先根据四边形内角和定理得出∠ABC+∠ADC＝180°，进而利用角平分线的性质得出∠ABE+∠EDF＝90°，即可得出∠AEB＝∠ADF，利用平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE+∠EDF＝90°，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠ADF，
∴BE∥DF．
19．如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．

【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
20．如图．在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是AB与网格线的交．点且AB＝5，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）作AB边上高CE．
（2）画出点D关于AC的对称点F；
（3）在AB上画点M，使BM＝BC；
（4）在△ABC内两点P，使S△ABP＝S△ACP＝S△BCP．

【分析】（1）取格点T，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求；
（2）作线段AB关于直线AC的对称直线与网格线的交点F即为所求；
（3）取格点J，Q，连接BJ，CQ（BJ⊥CQ），CQ交AB于点M，点M即为所求；
（4）△ABC的中线的交点，即为所求．
解：（1）如图，线段CE即为所求；
（2）如图，点F即为所求；
（3）如图，点M即为所求；
（4）如图，点P即为所求．

21．如图，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，AB与DE交于点M．
（1）求证：AB＝DE；
（2）连MC，求证：MC平分∠BMD．

【分析】（1）根据SAS证明△ABC和△DEC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据AAS证明△AGC和△DHC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECD，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）过C作CG⊥AB于G，CH⊥DE于H，

∵△ABC≌△DEC，
∴∠A＝∠D，AC＝DC，
∵∠AGC＝∠DHC＝90°，
在△AGC和△DHC中，
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴CG＝CH，
∴MC平分∠BMD．
22．已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．

（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．

【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可．
【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，
∴∠B＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，
（2）证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，
∵∠AFD＝∠B+∠BDF，
∴∠BDF＝α＝∠B，
∴BF＝DF．
23．已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠DAC＝∠DBC＝α．
（1）如图1，点D在△ABC内；
①若α＝10°，求∠BAD的度数；
②求证：∠ABD＝2∠ACD；
（2）如图2，点D在△ABC外，且BC＝8，CD＝5，直接写出△BCD的面积 　10　．


【分析】（1）①设∠ABC＝∠ACB＝x，利用三角形内角和定理构建关系式，可得结论；
②如图1中，在BC上取一点T，使得BT＝AD，连接DT．证明△DAC≌△TBD（SAS），推出CD＝DT，∠ACD＝∠BDT，设∠ACD＝∠BDT＝β，证明∠ABD＝2β，可得结论；
（2）如图2中，过点A作AJ⊥BC于点J，在AD上取一点K，使得AK＝BC＝8，连接CK，过点K作KH⊥AJ于点H，过点C作CQ⊥AD于点Q．证明△ACK≌△BDC（SAS），推出CK＝CD＝5，∠ACK＝∠BDC，设∠ACK＝∠BDC＝β，求出∠BAC＝2β，推出AJ∥CK
，再证明∠KAH＝30°，求出CQ可得结论．
【解答】（1）①解：如图1中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
设∠ABC＝∠ACB＝x，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝180°﹣2x﹣10°，
∵∠ABD＝x﹣10°，∠ABD+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴x﹣10°+2（180°﹣2x﹣10°）＝180°，
∴x＝50°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝50°﹣10°＝40°；

②证明：如图1中，在BC上取一点T，使得BT＝AD，连接DT．

在△DAC和△TBD中，
，
∴△DAC≌△TBD（SAS），
∴CD＝DT，∠ACD＝∠BDT，
设∠ACD＝∠BDT＝β，
∴∠DTC＝∠DCT，
∵∠DTC＝∠DBT+∠TDB＝α+β，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α+2β，
∴∠ABD＝2β，
∴∠ABD＝2∠ACD；

（2）解：如图2中，过点A作AJ⊥BC于点J，在AD上取一点K，使得AK＝BC＝8，连接CK，过点K作KH⊥AJ于点H，过点C作CQ⊥AD于点Q．

在△ACK和△BDC中，
，
∴△ACK≌△BDC（SAS），
∴CK＝CD＝5，∠ACK＝∠BDC，
设∠ACK＝∠BDC＝β，
∵CK＝CD，
∴∠CKD＝∠CDK＝∠ACK+∠CAK＝α+β，
∵BA＝BD，
∴∠BAC＝∠BDA＝α+2β，
∴∠BAC＝2β，
∵AB＝AC，AJ⊥BC，
∴∠BAJ＝∠CAJ＝β，BJ＝JC＝4，
∴∠CAJ＝∠ACK＝β，
∴AJ∥CK，
∴CK⊥BC，
∵KH⊥AJ，
∴∠HJC＝∠JCK＝∠KHJ＝90°，
∴四边形CKHJ是矩形，
∴KH＝CJ＝4，
∴AK＝2KH，
∴∠KAH＝30°，
∴∠CKQ＝∠KAH＝30°，
∴CQ＝CK＝，
∴S△BCD＝S△ACK＝•AK•CQ＝×8×＝10．
故答案为：10．
24．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），a≠0且（a+b）2+＝0．

（1）直接写出△ABC的形状是 　等腰三角形　．
（2）如图1，点D为BC上一点，E为y轴负半轴上一点且∠ACB＝120°，∠ADE＝60°，CD＝2BD，求点E的坐标；
（3）如图2，点P在AB的延长线上，过P作PM⊥AC交AC的延长线于M点，交CB的延长线于N点，且PM＝BC．试确定线段CM、BN、PN之间的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）证OA＝OB，再由线段垂直平分线的性质得AC＝BC即可；
（2）在CE上取点F，使CF＝CD，连接DF，证△CDF是等边三角形，得∠CFD＝60°，CD＝FD，再证△ACD≌△EFD（AAS），得AC＝EF，然后由含30°角的直角三角形的性质得BC＝AC＝2OC＝8，则EF＝AC＝8，求出CE＝EF+CF＝，则OE＝，即可求解；
（3）过A作AQ⊥AM交y轴于Q，过Q作QT⊥MN交MN的延长线于T，连接BQ、NQ，证△AMP≌△QAC（AAS），得AM＝QA，再证四边形AMTQ是正方形，得AM＝TM＝TQ＝AQ＝BQ，然后证Rt△QBN≌Rt△QTN（HL），得BN＝TN，即可解决问题．
解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵A（a，0），B（b，0），
∴OA＝﹣a，OB＝b，
∵a≠0且（a+b）2+＝0，
∴a+b＝0，c﹣4＝0，
∴b＝﹣a，c＝4，
∴OA＝OB，
又∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）在CE上取点F，使CF＝CD，连接DF，如图1所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠ACO＝∠BCO＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，CD＝FD，
∴∠EFD＝120°，
∵∠ACO＝∠ADE＝60°，
∴∠CAD＝∠CED，
又∵∠ACD＝∠EFD＝120°，
∴△ACD≌△EFD（AAS），
∴AC＝EF，
由（1）得：c＝4，
∴OC＝4，
∵∠AOC＝90°，∠ACO＝60°，
∴∠OAC＝30°，
∴BC＝AC＝2OC＝8，EF＝AC＝8，
∵CD＝2BD，
∴BD＝，CF＝CD＝，
∴CE＝EF+CF＝8+＝，
∴OE＝CE﹣OC＝﹣4＝，
∴E（0，﹣）；
（3）CM＝BN+PN，证明如下：
过A作AQ⊥AM交y轴于Q，过Q作QT⊥MN交MN的延长线于T，连接BQ、NQ，如图2所示：
则∠QAC＝90°，
∴∠ACQ+∠CQA＝90°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠PAM+∠ACQ＝90°，
∴∠PAM＝∠CQA，
∵PM⊥AC，
∴∠M＝90°＝∠QAC，
由（1）得：OA＝OB，AC＝BC，
∵PM＝BC，
∴PM＝AC，
∴△AMP≌△QAC（AAS），
∴AM＝QA，
∵QT⊥MN，
∴∠QTM＝90°＝∠QAC＝∠M，
∴四边形AMTQ是矩形，
∵AM＝QA，
∴矩形AMTQ是正方形，
∴AM＝TM＝TQ＝AQ＝BQ，
∵AC＝BC，CQ⊥AB，
∴△ACQ和△BCQ关于y轴对称，
∴AQ＝BQ，∠QBC＝∠QAC＝90°，
∴∠QBN＝90°，
∵QN＝QN，
∴Rt△QBN≌Rt△QTN（HL），
∴BN＝TN，
∴BN+PN＝TN+PN＝PT，
∵AC＝BC，PM＝BC，
∴AC＝PM，
∴CM＝PT，
∴CM＝BN+PN．