考点17 幂函数练习题

考点 17幂函数

一、单选题

1．函数的图象是

A． B． C．D．

2．函数的定义域是（   ）

A． B． C． D．

3．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（    ）

A．或3 B．3 C． D．0

4．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（    ）

A．[-1，+∞) B．[0，+∞)

C．(-∞，+∞) D．(-∞，0)

5．下列结论中正确的个数有（    ）

（1）幂函数的图像一定过原点；

（2）当时，幂函数在其定义域上是严格减函数；

（3）当时，幂函数在其定义域上是严格增函数；

（4）函数既是二次函数，又是幂函数.

A．0 B．1 C．2 D．3

6．函数是幂函数，则a的值为（    ）

A． B． C． D．

7．若，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

8．设函数，若，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数，那么不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

10．幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．2

11．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（     ）

A． B．或 C．或 D．

二、填空题

13．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝______.

14．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

15．若幂函数的图象经过点，则的值等于_________.

16．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为_______.

参考答案

1．B

【详解】

试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．

解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；

由特殊点（8，2），（，），可排除C．

故选B．

点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．

2．B

【分析】

根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】

因为，

则有，解得且，因此的定义域是．

故选：B.

3．B

【分析】

由题意可得，从而可求出实数的值

【详解】

解：因为幂函数在上是减函数，

所以，

由，得或，

当时，，所以舍去，

当时，，

所以，

故选：B

4．B

【分析】

根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.

【详解】

设幂函数为f(x)=xα，

因为幂函数的图象过点(3， )，

所以f(3)=3α==，

解得α=，

所以f(x)=，

所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).

故选：B

【点睛】

本题主要考查幂函数的定义及单调区间，属于简单题.

5．A

【分析】

根据幂函数的概念，及图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于幂函数，其图象不过原点，且在上为减函数，

所以（1）、（2）都不正确；

对于幂函数，在是减函数，所以（3）不正确；

由幂函数概念，幂函数，可得系数必为1，所以（4）不正确.

故选：A.

6．D

【分析】

根据幂函数的系数为即可得答案.

【详解】

解：因为函数是幂函数，

所以，解得

故选：D

7．B

【分析】

分别画出函数，的图象，由图象交点坐标，即可判断得出的大小关系．

【详解】

分别画出函数，的图象，如图所示，

由图象，可得．

故选：B．

8．A

【分析】

分别在和的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果.

【详解】

当时，，，解得：；

当时，，解得：；

综上所述：的取值范围为.

故选：A.

9．C

【分析】

作出函数与的图象，观察图象可得结果.

【详解】

作出函数与的图象：

由图可知：不等式的解集为.

故选：C

10．A

【分析】

根据幂函数单调性，先求出范围，再由其奇偶性，即可求出的值.

【详解】

因为幂函数在上是减函数，

所以，解得，

又，所以或，

当时，定义域为，且，所以是偶函数，满足题意；

当时，定义域为，而，所以是奇函数，不满足题意，舍去；

综上，.

故选：A

11．B

【分析】

构造函数，利用导数判断函数的单调性，可得，从而可得，再由在上单调递增，即可得出选项.

【详解】

构造函数，则，

当时，，故在上单调递减，

所以，所以，

所以，，

因为在上单调递增，所以，

同理，

所以，

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题考查了利用导数判断函数函数的单调性，解题的关键是构造函数，利用函数的单调性判断，此题考查了幂函数的单调性.

12．D

【分析】

先根据幂函数定义解得m,再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.

【详解】

由题意，则，即，当时， ，又当时， ，∴，解得，故选D．

【点睛】

对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空．

13．

【详解】

　当时，有，此时，此时为减函数，

不合题意.若，则，故，检验知符合题意

14．

【分析】

先求，再根据奇函数求

【详解】

，因为为奇函数，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．

【分析】

设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可求解.

【详解】

设，函数图像经过，

可得，解得，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

16．

【分析】

代入点可求得，依据为上的偶函数且在上递增可得，从而可得不等式的解.

【详解】

由题意知，故，

由于为上的偶函数且在上递增，

故即为，

所以，解得.

【点睛】

本题考查幂函数解析式的求法及其性质，属于基础题.