考点35 平面向量在几何中的应用练习题

考点36平面向量在几何中的应用

一、单选题

1．已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为

A．6 B．7 C．8 D．9

2．已知是单位向量，.若向量满足（ ）

A． B．

C． D．

3．设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，,∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于

A．以，为邻边的平行四边形的面积 B．以，为两边的三角形面积

C．，为两边的三角形面积 D．以，为邻边的平行四边形的面积

4．若非零向量满足=，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

5．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是

A． B．

C． D．

6．设分别为的三边的中点，则

A．    B．      C．         D．

7．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

8．设向量满足，，，则的最大值等于

A．4 B．2 C． D．1

9．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为

A．3 B．2 C． D．2

10．已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是

A． B． C． D．

11．在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是

A． B． C． D．

12．在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知向量=，=, 若m+n=(), 则的值为______.

14．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____.

15．在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为_____________________.

16．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若,则m+n的值为_________．

参考答案

1．B

【详解】

由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.

考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.

2．A

【详解】

因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.

3．A

【详解】

假设与的夹角为，∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A．

4．A

【详解】

试题分析：

考点：数量积表示两个向量的夹角

5．A

【详解】

∵

∴−=3(−)；

∴=−.

故选A.

6．A

【解析】

试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，同理，则．

考点：向量的运算

7．B

【分析】

根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．

【详解】

建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，

则，，，

设，则，，，

则

当，时，取得最小值，

故选：．

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8．A

【详解】

因为，，所以,.

如图所以，设，则,,.

所以，所以，所以四点共圆.

不妨设为圆M，因为,所以.

所以,由正弦定理可得的外接圆即圆M的直径为.

所以当为圆M的直径时，取得最大值4.

故选A.

点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

9．A

【详解】

如图所示，建立平面直角坐标系.

设,

易得圆的半径，即圆C的方程是，

，若满足，

则 ，，所以，

设，即，点在圆上，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.

【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

10．B

【详解】

试题分析：如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又

，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.

【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题

【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．

11．B

【详解】

试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又

，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.

【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题

【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．

12．A

【详解】

试题分析：设，则 ，，区域 表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使 为两段分离的曲线，则，故选A.

考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.

13．

【解析】

由题意得：

考点：向量相等

14．

【详解】

设AB的长为，因为，，所以

==+1+=1，

解得，所以AB的长为.

【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.

15．

【详解】

因为，，

，，

当且仅当即时的最小值为.

考点：向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.

16．2

【详解】

略