考点43 数列不等式-练习题

这是一份考点43 数列不等式-练习题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考点42数列不等式一、单选题1．已知等差数列的前项和为，且满足，，则该数列的公差可取的值是（    ）A．3 B．1 C．-1 D．-32．已知数列的前n项和为，且，，若，则k的最小值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．83．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．数列满足，，且，则的取值范围是（    ）．A． B． C． D．5．已知数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，若数列为“和谐数列”，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．公差不为0的等差数列中，前n项和记为，若且，，成等比数列，数列 的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（    ）A．1 B．2 C． D．8．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．9．数列的前项和为，若，，则（    ）A．数列是公比为2的等比数列 B．C．既无最大值也无最小值 D．10．设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（    ）A．3 B． C．2 D．11．已知，，若对任意恒成立，则实数的最小值是(    )A． B．C． D．12．已知正项数列的前项和为，且满足，，，记数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．二、填空题13．设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________14．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是___________.15．以为首项､以为公比的等比数列满足，，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是______.16．数列的前项和记为，若，，，2…，若恒成立，则的最小值是________.
参考答案1．D【分析】由可得，然后将化为，即得，结合，所以得到，从而得出答案.【详解】由，即又，所以则，即又，则，解得选项中只有选项D 满足.故选：D2．B【分析】由得数列的递推式，构造新数列是等比数列，求出后解不等式可得．【详解】,，，，所以是等比数列，公比为2，所以，，，．的最小值为6．故选：B．3．A【分析】依题意得到，成立，则，对于 成立，且对于 成立，即可求出参数的取值范围；【详解】解：若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则，成立，则，对于 成立，且对于 成立，即，对于 成立，且，对于 成立，所以，且，解得，故选：A．4．D【分析】令，可排除A项；利用数学归纳法，可得判定当时，，根据当时，数列满足，结合选项，即可求解.【详解】令，可得，所以，可排除A项；先用数学归纳法证明：当时，，当时，可得成立，假设时，时，成立，当时，，所以对于，，所以当时，命题成立，可排除B项；又由时，，此时数列满足，结合选项，可得.故选：D.5．B【分析】讨论与的情况，对的情况，计算，由，可得结果.【详解】解：当时，显然满足；当时，，由可得，即，由恒成立，可得.综上可知，故选：B.6．D【分析】设公差为，运用等比中项和等差数列的求和公式，解方程可得，进而得到的通项公式，然后可得，然后求出，即可选出答案.【详解】设公差不为0的等差数列中，前项和记为，若，且，，成等比数列，则，即有，由，解得，则；所以，，则所以故选：D7．C【分析】先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t的最小值.【详解】时，，因为，所以时，，两式相减得到，故时不适合此式，所以，当时，，当时，，所以；所以t的最小值；故选：C.【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.8．A【分析】首先根据题意求出，从而得到；再由对于任意的，不等式恒成立，得到不等式在时恒成立，从而得到，通过解不等式组即可求出实数的取值范围.【详解】因为，所以时，，两式相减，得，即，又时，，所以，因为也适合，所以.所以，因为对于任意的，不等式恒成立，所以对于任意的，不等式恒成立，即对于任意的，不等式恒成立，所以只需，即，解得或.所以实数的取值范围为.故选：A.9．D【分析】根据间的关系求出，进而判断A,B；然后求出，根据数列的增减性判断C；最后通过等比数列求和公式求出，进而判断D.【详解】由题意，时，，又，解得：，时，，则，又，所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；易得，，则，B错误；时，，时，，而是递减数列，所以时，.综上：有最大值1.C错误；时，，满足题意；时，，于是，.D正确.故选：D.10．B【分析】由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.【详解】解：由，得，∴.又由，得，又，∴.所以，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，∴，∴，∴.∴.∵对任意，，∴的最小值为.故选：B.11．B【分析】结合已知条件分离参数，然后构造新数列，通过分类讨论为奇数或偶数，求新数列的最值即可求解.【详解】依题意，，所以，即，所以对于恒成立，不妨令，当为偶数时，，当增大，增大，且，当为奇数是，，当增大，减小，故当时，取得最大值，所以，故实数的最小值.故选:B.12．B【分析】由结合等比数列的定义得出，再由裂项相消法求出，进而得出恒成立，令，求出其单调性，进而得出实数的取值范围.【详解】由，得，又，是以为首项，2为公比的等比数列恒成立等价于恒成立令，则当时，，当时，当或时，取得最大值，故选：B.13．【分析】先求得，由，可得，由此即可求解【详解】因为，所以，由，可得，解得，所以满足的最小值为，故答案为：14．【分析】利用累加法求出，然后可得，然后可得答案.【详解】从而可得即， 因为，所以.故答案为：15．【分析】利用等比数列的前项和公式求出从而可得，进而可得，解不等式即可.【详解】由题意得，可得，所以，所以，即.故答案为：16．【分析】先由递推公式， 得到，结合题中条件，得到从第二项起为等比数列，公比为，由此求出的最大值，即可得出结果.【详解】由得，两式相减得：，则，由，，解得，所以不满足上式，故数列从第二项起为等比数列，公比为，所以当时，；即数列从第二项起都是负数，因此的最大值为，所以为使恒成立，只需，即的最小值是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于求出的最大值，求解时，先根据递推公式，判定数列从第二项起都是负数，即可得出的最大值.