模块十一函数与导数综合练习题

这是一份模块十一函数与导数综合练习题，共19页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
模块十一 函数与导数综合一、解答题1．已知函数的最小值为0，其中（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；（Ⅲ）证明（）.2．已知函数，（），（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围3．设函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围．4．已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.5．已知函数的定义域是.（1）求实数的取值范围;（2）解关于的不等式.6．已知函数（ 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设,其中 为的导函数.证明：对任意 .7．设（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为；求的值．8．已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R[（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P9．设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为．（1）求的值； （2）求函数的最大值； （3）证明：．10．已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．11．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．12．已知函数（1）画出函数的图象；（2）若，求的取值范围.13．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．14．已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．15．已知函数．（1）求的单调区间；（2）记在区间，上的最小值为，令如果对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；求证：．
参考答案1．(1)(2)(3) 见解析【考点定位】本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，不等式基础知识.考查函数思想、分类讨论思想.考查综合分析和解决问题的能力.试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.【解析】(1)解：的定义域为由，得当x变化时，，的变化情况如下表：x
 
 
 
 
 -
 0
 +
 
 
 极小值
 
  因此，在处取得最小值，故由题意，所以（2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即令，得①当时，，在上恒成立．因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.故不合题意.综上，k的最小值为.（3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.当时，在（2）中取，得，从而所以有综上，， 2．【详解】试题分析：（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在在区间上的最大值小于，由此可得结论．试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以;（2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为，即区间包含极大值点，所以．考点：导数的几何意义，函数的单调性与最值．3．（Ⅰ）
 
 
 
 
 
 +
 0
 -
 -
 
 单调增
 极大值
 单调减
 单调减
   （Ⅱ）【解析】若则列表如下
 
 
 
 
 
 +
 0
 -
 -
 
 单调增
 极大值
 单调减
 单调减
  (2) 在两边取对数, 得,由于所以(1)由(1)的结果可知,当时,,为使(1)式对所有成立,当且仅当,即 4．（1）；（2）.【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，则，因为，所以，即，解得.5．（1）；（2）.【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为函数的定义域是，所以恒成立，则，解得，的取值范围为.（2），即，因为，所以，即，解得，故不等式的解集为.6．：（Ⅰ）； （Ⅱ）的单调增为单调减区为.（Ⅲ）见解析【详解】试题分析：(1)根据导数的几何意义，可知，所以先求函数的导数，然后代入，即得.(2)根据导数求函数的单调区间，第一步先求，因为，所以，第二步，令，求，或的解集，即为函数的单调增，减区间；（3）第一步先求函数，再设，第二步求，以及求函数的极值点，分析两侧的单调性以及最大值，第三步，分析当时，，所以，即命题成立.试题解析：解 (1)由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．所以f′(1)＝0，因此k＝1. (2)由(1)得f′(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.又ex＞0，所以x∈ (0,1)时，f′(x)＞0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞) (3)因为g(x)＝xf′(x)，所以g(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，由(2)得，h(x)＝1－x－xln x，求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)．所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.又当x∈(0，＋∞)时，0＜＜1，所以当x∈(0，＋∞)时， h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2.综上所述结论成立考点：导数的综合应用 7．（1） （2）【详解】（I）设；则①当时，在上是增函数得：当时，的最小值为②当时，当且仅当时，的最小值为（II）由题意得： 8．见解析【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识啊，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查数形结合思想、转化化归思想、分了讨论思想、有限与无线思想【解析】、视频9．（1）（2）（3）见解析【解析】（1）因为，由点在上，可得因为，所以又因为切线的斜率为，所以，所以（2）由（1）可知，令，即在上有唯一的零点．在上，，故单调递增；而在上，，单调递减，故在的最大值为．（3）令，则在上，，故单调递减，而在上，，单调递增，故在上的最小值为，所以即，令，得，即所以，即由（2）知，，故所证不等式成立．【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查 10．（1）或；（2）．【分析】（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；（2）根据的定义域是，由恒成立求解．【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数，因此当时，函数取得最大值16，即，因此．当时，函数在区间上是增函数，当时，函数取得最大值16，即，因此．（2）因为的定义域是，即恒成立．则方程的判别式，即，解得，又因为或，因此．代入不等式得，即，解得，因此实数的取值范围是．11．（1）1；（2）y＝x＋7．【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1．（2）由y＝，得y′＝．设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．从而|AB|＝|x1－x2|＝．由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，解得m＝7．所以直线AB的方程为y＝x＋7．12．（1）答案见解析；（2）【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.【详解】（1）函数的图象如图所示：    （2），当时， ，可得：，当，，可得：，所以的解集为：，所以的取值范围为.13．（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.14．（1）图像见解析；（2）【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.15．（1）的单调递增区间为；的单调递减区间为．（2），； 证明见解析【分析】（1）先求函数的导数，再根据导函数的正负和原函数的关系可得答案．（2）先求出的值然后代入到放缩可得答案．根据知，然后用数学归纳法证明即可．【详解】（1）因为，所以函数定义域为，且．由得，的单调递增区间为；由’ 得，的单调递减区间为．（2）因为在，上是减函数，所以，则．因为对恒成立．所以对恒成立．则对恒成立．设，，则对恒成立．考虑．因为，所以在，内是减函数；则当时，随的增大而减小，又因为．所以对一切，，因此，即实数的取值范围是，．（ⅱ）由（ⅰ）知．下面用数学归纳法证明不等式①当时，左边，右边，左边右边．不等式成立．②假设当时，不等式成立．即．当时，，即时，不等式成立综合①、②得，不等式成立．所以，所以．即．