模块一 三角函数与解三角形练习题

模块一 三角函数与解三角形

一、解答题

1．已知函数，，，函数的部份图象如下图，求

（1）函数的最小正周期及的值：

（2）函数的单调递增区间．

2．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

3．在中，，．

（1）求；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．

条件①：；

条件②：的周长为；

条件③：的面积为；

4．已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）求函数的零点的集合

5．已知函数

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期

（Ⅱ）求的单调递减区间．

6．△中，角所对的边分别为，已知=3，=,,

（1）求的值；

（2）求△的面积.

7．

已知函数.

（1）若，且，求的值；

（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.

8．在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.

（1）求的值；

（2）若，求的面积.

9．函数．

（1）求的值；

（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．

10．已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若是第二象限角，，求的值.

11．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调递增区间.

12．在中，内角所对的边分别为.已知，

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积.

13．已知向量，，设函数.

（1）求函数的最大值;

（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.

14．在中，，

求的值；

若，求的面积．

15．设向量

（I）若

（II）设函数

参考答案

1．（1）最小正周期；；（2），．

【分析】

（1）根据解析式可直接求出最小正周期，代入点可求出；

（2）令可解出单调递增区间.

【详解】

（1）函数的最小正周期，

因为函数的图象过点，因此，即，又因为，因此．

（2）因为函数的单调递增区间是，．

因此，解得，

因此函数的单调递增区间是，

2．（1）；（2）存在，且.

【分析】

（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.

【详解】

（1）因为，则，则，故，，

，所以，为锐角，则，

因此，；

（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，

由余弦定理可得，

解得，则，

由三角形三边关系可得，可得，，故.

3．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．

【分析】

（1）由正弦定理化边为角即可求解；

（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；

若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；

若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.

【详解】

（1），则由正弦定理可得，

，，，，

，解得；

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，

与矛盾，故这样的不存在；

若选择②：由（1）可得，

设的外接圆半径为，

则由正弦定理可得，

，

则周长，

解得，则，

由余弦定理可得边上的中线的长度为：

；

若选择③：由（1）可得，即，

则，解得，

则由余弦定理可得边上的中线的长度为：

.

4．（1）1；（2）或

【详解】

（1）因为所以当即时，函数取最大值1.

（2）由（1）及得，所以或即或

故所求函数的零点的集合为或

5．（Ⅰ）定义域为最小正周期为

（Ⅱ）

【考点定位】本题考查三角函数，三角函数难度较低，此类型题平时的练习中练的较多，考生应该觉得非常容易入手．

【详解】

（Ⅰ）只需，∴∴的定义域为

∴最小正周期为

（Ⅱ）∴

∴的单调递减区间为（）

6．(1）.（2）的面积.

【详解】

试题分析：（1）应用三角函数同角公式得，，

再据，求得，进一步应用正弦定理可得解.

（2）由已知，只需进一步确定，结合及.

可得.

应用的面积公式即得解.

试题解析：（1）在中，

由题意知，

又因为，

所有，

由正弦定理可得

.

（2）由得

，

由,得.

所以

.

因此，的面积.

考点：正弦定理，三角函数诱导公式、同角公式，两角和差的三角函数，三角形的面积.

7．(1) ;(2) ,

【详解】

试题分析：(1)由，且,求出角的余弦值,再根据函数,即可求得结论.

(2) 已知函数,由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函数的化一公式,将函数化简.根据三角函数周期的公式即可的结论.根据函数的单调递增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.

试题解析： (1)因为所以.所以

(2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.

考点：1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.

8．（1）；（2）

【详解】

（1）利用两角和与差的正切公式，得到，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.

试题解析：（1）由，得，

所以.

（2）由可得，.

，由正弦定理知：.

又，

所以.

考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.

9．（1）；（2），的单调递增区间为.

【详解】

试题分析：（1）借助题设直接运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件和二倍角公式求解．

试题解析:

（1），

（2）因为．

所以， 由，

得，所以的单调递增区间为．

考点：三角函数的图象及诱导公式二倍角公式的运用．

10．（1），；（2）或．

【详解】

试题分析：（1）将看作一个整体，根据正弦函数的单调递增区间便可得的单调递增区间.（2）将代入得.求三角函数值时，首先考虑统一角，故利用和角公式和倍角公式化为单角的三角函数得：.注意这里不能将约了.接下来分和两种情况求值.

试题解答：（1）；

（2）由题设得：，

即，.

若，则，

若，则.

【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.

11．(1).

(2).

【分析】

试题分析： （1）观察图象可知，周期，

根据点在函数图象上，得到，结合，求得；

再根据点（0，1）在函数图象上，求得，即得所求.

（2）首先将化简为，利用“复合函数单调性”，

由，得，

得出函数的单调递增区间为.

【详解】

（1）由图象可知，周期，

∵点在函数图象上，∴，∴，解得

，

∵，∴；

∵点（0，1）在函数图象上，∴，

∴函数的解析式为.

（2）

==，

由，得，

∴函数的单调递增区间为

12．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求角的大小，由已知，可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理，，有两角和与差的三角函数关系，得，可得，从而可得；（2）求的面积，由已知，，且，可由正弦定理求出，可由求面积，故求出即可，由，，故由即可求出，从而得面积．

（1）由题意得，，

即，

，由得，，又，得，即，所以；

（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．

点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．

13．（1）；（2）.

【分析】

（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；

（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．

【详解】

（1）因为，，

所以函数

∴当时，

（2）∵为锐角三角形，.

又

即

14．（1）；（2）.

【分析】

由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可．

【详解】

（1），，

由正弦定理可得.

（2）若，则，

，

，又由可得，

，

．

【点睛】

本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

15．（I）（II）

【详解】

(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，

＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，

及，得4sin2x＝1.

又x∈，从而sinx＝，所以x＝.

(2) sinx·cosx＋sin2x

＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，

当x∈时，－≤2x－≤π，

∴当2x－＝时，

即x＝时，sin取最大值1.

所以f(x)的最大值为.