模块三数列综合问题

模块三数列综合问题

一、解答题

1．等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

2．

已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.

（Ⅰ）求等差数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和

3．已知各项为正数的等比数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

4．等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.

5．

在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记，求.

6．等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

7．已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．

（1） 求等差数列的通项公式；

（2）若成等比数列，求数列的前项和

8．设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.

（Ⅰ）求通项公式；

（Ⅱ）求数列{||}的前项和.

9．已知等差数列的前项和为，满足，且成等比数列.

（1）求及；

（2）设，数列的前项和为，求.

10．已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列的前n项和Tn．

11．已知数列和满足，

（1）求与；

（2）记数列的前项和为，求.

12．设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．

(1) 证明：；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数，有．

13．已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？

14．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

15．已知数列满足.

(1)证明是等比数列，并求的通项公式；

(2)证明： .

参考答案

1．（1）或 .

（2）.

【详解】

分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．

详解：（1）设的公比为，由题设得．

由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．

综上，．

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．

2．（Ⅰ），或.（Ⅱ）

【解析】

考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算．

（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，

由题意得解得或

所以由等差数列通项公式可得

，或.

故，或.

（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；

当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.

故

记数列的前项和为.

当时，；当时，；

当时，

. 当时，满足此式.

综上，

3．（1）；（2）

【分析】

（1）根据条件求出即可；

（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.

【详解】

（1）且，，

（2）

4．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；

（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.

【详解】

（1）设数列{an}的公比为q,

由＝9a2a6得＝9,

所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.

故.

所以数列的前n项和为

5．（1）.（2）.

【详解】

试题分析：（1）由题意知，

解得，即得所求.

（2）由题意知.

从而得到.

由于.因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和

具体的，当n为偶数时，

当n为奇数时，

.

试题解析：（1）由题意知，

即，

解得，

所以数列的通项公式为.

（2）由题意知.

所以.

因为.

可得，当n为偶数时，

当n为奇数时，

所以.

考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想.

6．（1）；（2）．

【详解】

试题分析：（1）由已知可得等差数列的公差为整数．由可得列出不等式组解得的范围，从而可确定整数的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；

（2）由已知先写出，

列出的表达式，

由于可分裂为，故采用裂项相消法求．

（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．

（2），

于是．

考点：1．等差数列通项公式；2．裂项法求数列的前项和．

7． （1），或.

（2）

【详解】

考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算．

（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，

由题意得解得或

所以由等差数列通项公式可得，或.

故，或.

（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；

当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.

故

记数列的前项和为.

当时，；当时，；

当时，

. 当时，满足此式.

综上，

【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.

8．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】

试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.

试题解析：（Ⅰ）由题意得，则

又当时，由，

得.

所以，数列的通项公式为.

（Ⅱ）设，，.

当时，由于，故.

设数列的前项和为，则.

当时，，

所以，

【考点】

等差、等比数列的基础知识.

【方法点睛】

数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．

9．（1）；或，；（2）或

【分析】

（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件列出方程组，求出首项和公差，结合公式即可求出结果；

（2）先由（1）得到，或，再由错位相减法或常数列求和，即可求出结果.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，因为，且成等比数列，

所以有，即，解得或 ，

所以，；或，.

（2）由（1）可得，或=64.因为数列的前项和为，

当时，

所以，

因此，，

两式作差得，

整理得.

当时，.

【点睛】

本题主要考查等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于基础题.

10．（1）

（2）Tn

【详解】

试题分析：（1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以

（1） 因为，

所以

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和．

点评：典型题，本题首先由的关系，确定数列的通项公式是关键．不求和过程中应用了“错位相减法”．在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到．

11．（1）；（2）

【解析】

（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.

试题解析：（1）由，得.

当时，，故.

当时，，整理得，

所以.

（2）由（1）知，

所以

所以

所以.

考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.

12．(1)见解析 (2) (3) 见解析

【详解】

试题分析：（1）令，，即可证明；（2）由得到，解得，再进而验证，即可求解数列的通项公式；（3）对于一切正整数，有，即可证明结论．

试题解析：（1）令，，∴．

（2），①

时，，②

①②：，整理得，

，∴，即，解得，

，，又，可得，

综上：．

（3）．

考点：数列的综合应用．

13．（1）若a1 =0, 若a1；（2）数列{lg}的前6项的和最大.

【详解】

(1)取n=1,得

若a1=0,则s1="0," 当n

若a1, 当n

上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列

综上，若a1 = 0,

若a1

（2）当a1>0,且

所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）

则 b1>b2>b3>…>b6=

当n≥7时，bn≤b7=

故数列{lg}的前6项的和最大

【点睛】

本小题主要考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力.

14．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;

（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.

【详解】

（1）由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

【点睛】

本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.

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15．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.

【详解】

试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.

试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.

（2）由（1）知：，所以，

因为当时，，所以，于是=，

所以.

【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.

考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.