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2021-2022学年四川省自贡市八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年四川省自贡市八年级（上）期中数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省自贡市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，）
1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用这三根小木棒能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，3cm，5cm
C．2cm，3cm，5cm D．3cm，5cm，9cm
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图所示，直线a、b被直线c、d所截，且a∥b，c与d相交于点O，则α＝（ ）
A．11° B．33° C．43° D．68°
4．（3分）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
6．（3分）如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
7．（3分）如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠B＝∠C D．AE＝BF
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AC＝4cm，那么AE+DE＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．（3分）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A＝50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（ ）
A．115° B．110° C．100° D．90°
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共计18分，）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点P1的坐标是 ．
12．（3分）一个等腰三角形的边长分别是4cm和5cm，则它的周长是 cm．
13．（3分）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ．
14．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝35°，∠E＝20°，则∠BAC的度数是 ．
15．（3分）如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为 ．
16．（3分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于 ．
三、解答题（本题共计8小题，共计52分，）
17．（6分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上，按要求完成：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为 ．
18．（6分）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）求此多边形的对角线条数．
19．（6分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
20．（6分）如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC．求证：△ABC≌△EBD．
21．（6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2，∠C＝∠E．求证：BC＝DE．
22．（6分）已知，如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．求证：
（1）AE∥FB；
（2）DE＝CF．
23．（8分）如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC＝BC＝CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数．
24．（8分）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．
2021-2022学年四川省自贡市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，）
1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用这三根小木棒能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，3cm，5cm
C．2cm，3cm，5cm D．3cm，5cm，9cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、1+2＝3，不能摆成三角形；
B、3+3＞5，能摆成三角形；
C、2+3＝5，不能摆成三角形；
D、3+5＜9，不能摆成三角形．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：A．
3．（3分）如图所示，直线a、b被直线c、d所截，且a∥b，c与d相交于点O，则α＝（ ）
A．11° B．33° C．43° D．68°
【分析】根据平行线的性质可求∠1，再根据三角形外角的性质可求α．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝79°（两直线平行，同位角相等），
∴α＝112°﹣79°＝33°．
故选：B．
4．（3分）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．
【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
5．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【解答】解：连接BD，
∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，
故选：D．
6．（3分）如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．
【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3＝54（m），
故选：C．
7．（3分）如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠B＝∠C D．AE＝BF
【分析】根据HL判断即可．
【解答】解：∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，即BE＝CF，
根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，
需要添加AB＝CD，
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AC＝4cm，那么AE+DE＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，然后利用等线段代换得到AE+DE＝AC．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝4cm．
故选：D．
9．（3分）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A＝50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（ ）
A．115° B．110° C．100° D．90°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝130°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠FCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BDC＝180°﹣65°＝115°，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，
此时点P与点E重合．
所以PA+PB的最小值即为AC的长，为8．
所以PA+PB的最小值为8．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共计18分，）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点P1的坐标是 P1（﹣2，﹣3） ．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；则P1的坐标为（﹣2，﹣3）．
【解答】解：∵P（﹣2，3）与P1关于x轴对称，
∴横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴P1的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）．
12．（3分）一个等腰三角形的边长分别是4cm和5cm，则它的周长是 14或13 cm．
【分析】分腰为4cm或腰为5cm两种情况求得各边长，再利用三角形的三边关系验证，再求得周长即可．
【解答】解：当腰为4cm时，则三角形的三边长为4cm、4cm、5cm，满足三角形的三边关系，
此时三角形的周长为13cm，
当腰为5cm时，则三角形的三边长为5cm、5cm、4cm，满足三角形的三边关系，
此时三角形的周长为14cm，
故答案为：14或13．
13．（3分）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ASA ．
【分析】根据垂直的定义、全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABD＝∠EDC＝90°，
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
故答案为：ASA．
14．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝35°，∠E＝20°，则∠BAC的度数是 75° ．
【分析】由三角形外角的性质可求解∠ECD的度数，结合角平分线的定义可求∠ACD的度数，再利用三角形的外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠E＝20°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+20°＝55°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝110°，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝110°﹣35°＝75°．
故答案为75°．
15．（3分）如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为 46° ．
【分析】欲求∠2，需求∠C′DA．由题意得∠C′＝90°，四边形BCDE≌四边形B′C′DE，得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，进而推断出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，从而求得∠2．
【解答】解：由题意得：∠C′＝90°，四边形BCDE≌四边形B′C′DE．
∴∠CDE＝∠C′DE．
∵∠1＝68°，
∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°．
∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°．
∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°．
∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°．
故答案为：46°．
16．（3分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于 ．
【分析】过P点作PE⊥OB，垂足为E，结合平行线的性质可得∠BOP＝∠CPO＝15°，利用三角形外角的性质可得∠BCP＝30°，由含30° 角的直角三角形的性质可求解PE的长，再根据角平分线的性质可求解．
【解答】解：过P点作PE⊥OB，垂足为E，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠AOP，
∵∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠BOP＝∠CPO＝15°，
∴∠BCP＝∠BOP+∠CPO＝30°，
∴PE＝PC＝，
∵∠AOP＝∠BOP，PE⊥OB，PD⊥OA于D，
∴PD＝PE＝．
故答案为．
三、解答题（本题共计8小题，共计52分，）
17．（6分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上，按要求完成：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为 （3，2） ．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据点A的坐标，将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位，即横坐标加8，纵坐标加3即可得到点A2的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）如图所示，
∵A（﹣5，﹣1），
∴A2坐标为：（3，2）．
故答案为：（3，2）．
18．（6分）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）求此多边形的对角线条数．
【分析】（1）根据多边形的内角和、外角和公式列出方程，解方程即可；
（2）根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°﹣360°＝1080°，
解得，n＝10，
答：这个多边形的边数为10；
（2）此多边形的对角线条数＝×10×（10﹣3）＝35．
19．（6分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
【分析】（1）利用面积法得到AD•BC＝AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；
（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝S△ABC．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴AD•BC＝AB•AC，
∴AD＝＝（cm）；
（2）∵CE是AB边上的中线，
∴S△BCE＝S△ABC＝××12×16＝48（cm2）．
20．（6分）如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC．求证：△ABC≌△EBD．
【分析】根据∠ABD＝∠EBC求出∠ABC＝∠EBD，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠EBC，
∴∠ABD﹣∠CBD＝∠EBC﹣∠CBD，
∴∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（SAS）．
21．（6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2，∠C＝∠E．求证：BC＝DE．
【分析】先由∠1＝∠2，得到∠BAC＝∠DAE，再证△BAC≌△DAE（AAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（AAS），
∴BC＝DE．
22．（6分）已知，如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．求证：
（1）AE∥FB；
（2）DE＝CF．
【分析】（1）可证明△ACE≌△BDF，得出∠A＝∠B，即可得出AE∥BF；
（2）根据SAS求证△ADE≌△BCF，再得出DE＝CF即可．
【解答】证明：（1）∵AD＝BC，∴AC＝BD，
在△ACE和△BDF中，，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
（2）在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴DE＝CF．
23．（8分）如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC＝BC＝CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据已知利用SAS判定△ACB≌△ACD，从而得到AB＝AD，即△ABD是等腰三角形；
（2）由已知可得到△ACB、△ACD都是等腰直角三角形，即∠B＝∠D＝45°，从而求得∠BAD＝90°．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，AC＝BC＝CD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°．
∴△ACB≌△ACD．
∴AB＝AD．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）∵AC⊥BD，AC＝BC＝CD，
∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．
∴∠B＝∠D＝45°．
∴∠BAD＝90°．
24．（8分）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM＝（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN＝（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C＝∠C﹣∠B，
即∠DAE＝∠C﹣∠B；
（3）不变，
理由：连接BC交AD于F，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
∴∠EAM＝（∠ACB﹣∠ABC），
同理，∠ADN＝（∠BCD﹣∠CBD），
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN＝（∠ACB﹣∠ABC）+（∠BCD﹣∠CBD）＝（∠ACD﹣∠ABD）．
2021-2022学年四川省自贡市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，）
1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用这三根小木棒能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，3cm，5cm
C．2cm，3cm，5cm D．3cm，5cm，9cm
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图所示，直线a、b被直线c、d所截，且a∥b，c与d相交于点O，则α＝（ ）
A．11° B．33° C．43° D．68°
4．（3分）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
6．（3分）如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
7．（3分）如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠B＝∠C D．AE＝BF
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AC＝4cm，那么AE+DE＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．（3分）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A＝50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（ ）
A．115° B．110° C．100° D．90°
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共计18分，）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点P1的坐标是 ．
12．（3分）一个等腰三角形的边长分别是4cm和5cm，则它的周长是 cm．
13．（3分）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ．
14．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝35°，∠E＝20°，则∠BAC的度数是 ．
15．（3分）如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为 ．
16．（3分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于 ．
三、解答题（本题共计8小题，共计52分，）
17．（6分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上，按要求完成：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为 ．
18．（6分）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）求此多边形的对角线条数．
19．（6分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
20．（6分）如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC．求证：△ABC≌△EBD．
21．（6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2，∠C＝∠E．求证：BC＝DE．
22．（6分）已知，如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．求证：
（1）AE∥FB；
（2）DE＝CF．
23．（8分）如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC＝BC＝CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数．
24．（8分）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．
2021-2022学年四川省自贡市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，）
1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用这三根小木棒能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，3cm，5cm
C．2cm，3cm，5cm D．3cm，5cm，9cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、1+2＝3，不能摆成三角形；
B、3+3＞5，能摆成三角形；
C、2+3＝5，不能摆成三角形；
D、3+5＜9，不能摆成三角形．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：A．
3．（3分）如图所示，直线a、b被直线c、d所截，且a∥b，c与d相交于点O，则α＝（ ）
A．11° B．33° C．43° D．68°
【分析】根据平行线的性质可求∠1，再根据三角形外角的性质可求α．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝79°（两直线平行，同位角相等），
∴α＝112°﹣79°＝33°．
故选：B．
4．（3分）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．
【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
5．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【解答】解：连接BD，
∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，
故选：D．
6．（3分）如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．
【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3＝54（m），
故选：C．
7．（3分）如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠B＝∠C D．AE＝BF
【分析】根据HL判断即可．
【解答】解：∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，即BE＝CF，
根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，
需要添加AB＝CD，
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AC＝4cm，那么AE+DE＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，然后利用等线段代换得到AE+DE＝AC．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝4cm．
故选：D．
9．（3分）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A＝50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（ ）
A．115° B．110° C．100° D．90°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝130°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠FCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BDC＝180°﹣65°＝115°，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，
此时点P与点E重合．
所以PA+PB的最小值即为AC的长，为8．
所以PA+PB的最小值为8．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共计18分，）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点P1的坐标是 P1（﹣2，﹣3） ．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；则P1的坐标为（﹣2，﹣3）．
【解答】解：∵P（﹣2，3）与P1关于x轴对称，
∴横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴P1的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）．
12．（3分）一个等腰三角形的边长分别是4cm和5cm，则它的周长是 14或13 cm．
【分析】分腰为4cm或腰为5cm两种情况求得各边长，再利用三角形的三边关系验证，再求得周长即可．
【解答】解：当腰为4cm时，则三角形的三边长为4cm、4cm、5cm，满足三角形的三边关系，
此时三角形的周长为13cm，
当腰为5cm时，则三角形的三边长为5cm、5cm、4cm，满足三角形的三边关系，
此时三角形的周长为14cm，
故答案为：14或13．
13．（3分）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ASA ．
【分析】根据垂直的定义、全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABD＝∠EDC＝90°，
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
故答案为：ASA．
14．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝35°，∠E＝20°，则∠BAC的度数是 75° ．
【分析】由三角形外角的性质可求解∠ECD的度数，结合角平分线的定义可求∠ACD的度数，再利用三角形的外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠E＝20°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+20°＝55°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝110°，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝110°﹣35°＝75°．
故答案为75°．
15．（3分）如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为 46° ．
【分析】欲求∠2，需求∠C′DA．由题意得∠C′＝90°，四边形BCDE≌四边形B′C′DE，得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，进而推断出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，从而求得∠2．
【解答】解：由题意得：∠C′＝90°，四边形BCDE≌四边形B′C′DE．
∴∠CDE＝∠C′DE．
∵∠1＝68°，
∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°．
∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°．
∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°．
∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°．
故答案为：46°．
16．（3分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于 ．
【分析】过P点作PE⊥OB，垂足为E，结合平行线的性质可得∠BOP＝∠CPO＝15°，利用三角形外角的性质可得∠BCP＝30°，由含30° 角的直角三角形的性质可求解PE的长，再根据角平分线的性质可求解．
【解答】解：过P点作PE⊥OB，垂足为E，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠AOP，
∵∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠BOP＝∠CPO＝15°，
∴∠BCP＝∠BOP+∠CPO＝30°，
∴PE＝PC＝，
∵∠AOP＝∠BOP，PE⊥OB，PD⊥OA于D，
∴PD＝PE＝．
故答案为．
三、解答题（本题共计8小题，共计52分，）
17．（6分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上，按要求完成：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为 （3，2） ．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据点A的坐标，将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位，即横坐标加8，纵坐标加3即可得到点A2的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）如图所示，
∵A（﹣5，﹣1），
∴A2坐标为：（3，2）．
故答案为：（3，2）．
18．（6分）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）求此多边形的对角线条数．
【分析】（1）根据多边形的内角和、外角和公式列出方程，解方程即可；
（2）根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°﹣360°＝1080°，
解得，n＝10，
答：这个多边形的边数为10；
（2）此多边形的对角线条数＝×10×（10﹣3）＝35．
19．（6分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
【分析】（1）利用面积法得到AD•BC＝AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；
（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝S△ABC．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴AD•BC＝AB•AC，
∴AD＝＝（cm）；
（2）∵CE是AB边上的中线，
∴S△BCE＝S△ABC＝××12×16＝48（cm2）．
20．（6分）如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC．求证：△ABC≌△EBD．
【分析】根据∠ABD＝∠EBC求出∠ABC＝∠EBD，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠EBC，
∴∠ABD﹣∠CBD＝∠EBC﹣∠CBD，
∴∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（SAS）．
21．（6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2，∠C＝∠E．求证：BC＝DE．
【分析】先由∠1＝∠2，得到∠BAC＝∠DAE，再证△BAC≌△DAE（AAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（AAS），
∴BC＝DE．
22．（6分）已知，如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．求证：
（1）AE∥FB；
（2）DE＝CF．
【分析】（1）可证明△ACE≌△BDF，得出∠A＝∠B，即可得出AE∥BF；
（2）根据SAS求证△ADE≌△BCF，再得出DE＝CF即可．
【解答】证明：（1）∵AD＝BC，∴AC＝BD，
在△ACE和△BDF中，，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
（2）在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴DE＝CF．
23．（8分）如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC＝BC＝CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据已知利用SAS判定△ACB≌△ACD，从而得到AB＝AD，即△ABD是等腰三角形；
（2）由已知可得到△ACB、△ACD都是等腰直角三角形，即∠B＝∠D＝45°，从而求得∠BAD＝90°．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，AC＝BC＝CD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°．
∴△ACB≌△ACD．
∴AB＝AD．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）∵AC⊥BD，AC＝BC＝CD，
∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．
∴∠B＝∠D＝45°．
∴∠BAD＝90°．
24．（8分）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM＝（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN＝（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C＝∠C﹣∠B，
即∠DAE＝∠C﹣∠B；
（3）不变，
理由：连接BC交AD于F，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
∴∠EAM＝（∠ACB﹣∠ABC），
同理，∠ADN＝（∠BCD﹣∠CBD），
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN＝（∠ACB﹣∠ABC）+（∠BCD﹣∠CBD）＝（∠ACD﹣∠ABD）．
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