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2021-2022学年江苏省连云港市海州区九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年江苏省连云港市海州区九年级（上）期中数学试卷，共27页。
2021-2022学年江苏省连云港市海州区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分，每题只有一个正确答案）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1＝0
2．（3分）已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
3．（3分）如图，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A．156° B．78° C．39° D．12°
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
5．（3分）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
6．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
7．（3分）如图，Rt△ABC有一外接圆，其中∠B＝90°，AB＞BC，今欲在上找一点P，使得＝，下是甲、乙两人的作法：
甲：①取AB的中点D：②过点D作直线AC的平行线，交于点P，则点P即为所求，
乙：①取AC的中点E；②过点E作直线AB的平行线，交于点P，则点P即为所求，
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（ ）
A．6﹣ B．4 C．5 D．3
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 ．
10．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
11．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 分．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝ °．
14．（3分）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 ．
15．（3分）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
16．（3分）如图，点A、B的坐标分别为A（3，0），B（0，4），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ．
三、解答题（本大题共102分）
17．（14分）解下列方程：
（1）3x2﹣x＝0．
（2）x2﹣6x﹣6＝0（用配方法解）．
（3）2x2﹣5x+1＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
19．（8分）如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm．
（1）求的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
20．（8分）如图，在⊙O中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
21．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
22．（8分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是成绩最好的中班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：
1号
2号
3号
4号
5号
总数
甲班
89
100
96
118
97
500
乙班
100
95
110
91
104
500
经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．
请你回答下列问题：
（1）甲班的优秀率为40%，乙班的优秀率为 ；甲班5名学生比赛成绩的中位数是 个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；
（2）求两班比赛数据的方差；
（3）根据以上几条信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由．
23．（10分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
24．（12分）“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， ，EN切半圆O于F．
求证： ．
证明：
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm、s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：
（1）如图1，几秒后，△DPQ的面积等于21cm2？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的⊙P同时与直线AD、BD相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在⊙Q上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理）
26．（12分）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
2021-2022学年江苏省连云港市海州区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共24分，每题只有一个正确答案）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；
故选：B．
2．（3分）已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选：A．
3．（3分）如图，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A．156° B．78° C．39° D．12°
【分析】同弧所对圆心角是圆周角2倍，即∠BAC＝∠BOC＝39°．
【解答】解：∵∠BOC＝78°，
∴∠BAC＝∠BOC＝39°．
故选：C．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0
∴x2﹣2x＝4
∴x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
故选：C．
5．（3分）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
【分析】根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求出结果即可．
【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6，
处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；
出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；
平均数为：＝（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃，
极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃，
故选：B．
6．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
7．（3分）如图，Rt△ABC有一外接圆，其中∠B＝90°，AB＞BC，今欲在上找一点P，使得＝，下是甲、乙两人的作法：
甲：①取AB的中点D：②过点D作直线AC的平行线，交于点P，则点P即为所求，
乙：①取AC的中点E；②过点E作直线AB的平行线，交于点P，则点P即为所求，
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】如图，甲的作法错误．乙的作法正确．利用垂径定理即可证明；
【解答】解：如图，甲的作法错误．乙的作法正确．
∵AE＝EC，AC是直径，
∴点E是圆心，
∵EP∥AB，AB⊥BC，
∴EP⊥BC，
∴＝，
故选：D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（ ）
A．6﹣ B．4 C．5 D．3
【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝3，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．
【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，
∴B′H＝OE＝3，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1，
∴CG＝B′E＝OH＝＝2，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝4，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故答案为甲．
10．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
11．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 72 分．
【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）
故答案为：72．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
13．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝ 50 °．
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACB＝∠D＝50°．
故答案为50．
14．（3分）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 7或6 ．
【分析】讨论：当m＝n时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，则k＝7；当m＝4时，根据根与系数的关系得4+n＝6，4n＝k+2，解得n＝2，k＝6；当n＝4时，同理可得m＝2，k＝6．
【解答】解：当m＝n时，Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，
解得k＝7，
∵m+n＝6＞4，
∴k＝7满足条件；
当m＝4时，4+n＝6，4n＝k+2，
解得n＝2，k＝6，
当n＝4时，同理可得m＝2，k＝6，
综上所述，k的值为7或6．
15．（3分）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
【分析】根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，＝2πr，
解得，r＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，点A、B的坐标分别为A（3，0），B（0，4），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 3 ．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝3，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝4，OD＝3，∠BOD＝90°，
∴BD＝5，
∴CD＝6，
∴OM＝CD＝3，即OM的最大值为3；
故答案为3．
三、解答题（本大题共102分）
17．（14分）解下列方程：
（1）3x2﹣x＝0．
（2）x2﹣6x﹣6＝0（用配方法解）．
（3）2x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）提取公因式，分解因式，即可得到两个一元一次方程积的形式，解一元一次方程即可；
（2）移项，配方，然后开方求解即可；
（3）先判断b2﹣4ac＞0，然后代入求根公式求解即可．
【解答】解：（1）3x2﹣x＝0，
x（3x﹣1）＝0，
∴x＝0或3x﹣1＝0，
∴；
（2）x2﹣6x﹣6＝0
x2﹣6x＝6，
∴x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，
则x﹣3＝±，
∴x＝3±
∴；
（3）2x2﹣5x+1＝0
∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴，．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）代入x＝1求出m值即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m﹣2）2+4＞0，由此可证出：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：将x＝1代入原方程，得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝．
（2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4．
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
19．（8分）如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm．
（1）求的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可；
（2）求出两个思想面积的差即可．
【解答】解：（1）长度＝（cm）；
（2）∵AB＝25cm，BD＝15cm，
∴AD＝25﹣15＝10（cm）．
∵S扇形ABC＝＝（cm2），
S扇形ADE＝＝（cm2），
∴贴纸部分的面积＝﹣＝175π（cm2）．
20．（8分）如图，在⊙O中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DE，从而证得DE是⊙O的切线；
（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝AB＝10，CD＝8，
∴AD＝＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE＝AD•CD，
∴DE＝＝＝．
21．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
22．（8分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是成绩最好的中班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：
1号
2号
3号
4号
5号
总数
甲班
89
100
96
118
97
500
乙班
100
95
110
91
104
500
经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．
请你回答下列问题：
（1）甲班的优秀率为40%，乙班的优秀率为 60% ；甲班5名学生比赛成绩的中位数是 97 个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；
（2）求两班比赛数据的方差；
（3）根据以上几条信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由．
【分析】（1）优秀率就是优秀的人数与总人数的百分比；
（2）根据平均数和方差的概念计算．
（3）根据计算出来的统计量的意义分析判断．
【解答】解：（1）乙班的优秀率：×100%＝60%；
把甲班5名同学踢的个数从小到大排列为：89，96，97，100，118，
则甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个；
故答案为：60%，97；
（2）甲班的平均数是：（89+100+96+118+97）÷5＝100（个），
甲班的方差S甲2＝[（89﹣100）2+（100﹣100）2+（96﹣100）2+（118﹣100）2+（97﹣100）2]÷5＝94
乙班的平均数是：（100+95+110+91+104）÷5＝100（个），
乙班的方差S乙2＝[（100﹣100）2+（95﹣100）2+（110﹣100）2+（91﹣100）2+（104﹣100）2]÷5＝44.4；
（3）冠军奖杯应发给乙班，理由如下：
因为两班总数相等，但乙班5名学生的比赛成绩的优秀率比甲班高，中位数比甲班大，方差比甲班小，成绩更稳定，综合评定乙班踢毽子水平较好．
23．（10分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）＝10求出即可．
【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．
化简，整理，的x2﹣3x+2＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝2，
则3+1＝4，2+3＝5，
答：每盆应植4株或者5株．
24．（12分）“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， AB＝OB ，EN切半圆O于F．
求证： EB，EO将∠MEN三等分 ．
证明：
【分析】根据题意即可补充完整已知和求证，进而写出“证明”过程．
【解答】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F，
求证：EB，EO将∠MEN三等分．
证明：∵EB⊥AC，
∴∠ABE＝∠OBE＝90°，
∵AB＝OB，BE＝BE，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵BE⊥OB，
∴BE是⊙E的切线，
∵EN切半圆O于F，
∴DF⊥OF，
∵OF＝OB，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴EB，EO就把∠MEN三等分．
故答案为：AB＝OB，EB，EO将∠MEN三等分．
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm、s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：
（1）如图1，几秒后，△DPQ的面积等于21cm2？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的⊙P同时与直线AD、BD相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在⊙Q上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点，则t的取值范围为 0＜t＜﹣10+2 ．（直接写出结果，不需说理）
【分析】（1）由题意可知PA＝t，BQ＝2t，从而得到PB＝6﹣t，BQ＝2t，QC＝8﹣2t，然后依据△DPQ的面积等于21cm2列方程求解即可；
（2）如图1所示：连接PE．依据勾股定理可求得BD的长，然后依据切线长定理可知DE＝AD＝8，从而可求得BE的长，由圆的半径相等可知PE＝AP＝t，然后再Rt△PEB中依据勾股定理列方程求解即可；
（3）①如图2所示：先用含t的式子表示出BP、BQ、CQ的长，然后依据DC2+CQ2＝PB2+QB2列出关于t的方程，从而可求得t的值；②当t＝0时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，由①可知当t＝4时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，从而可确定出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA＝t，BQ＝2t，
∴PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝8﹣2t．
∵△DPQ的面积等于21cm2，
∴6×8﹣×8×t﹣（6﹣t）•2t﹣×6×（8﹣2t）＝21．
整理得：t2﹣4t+3＝0，解得t＝1或t＝3．
答：当t为1秒或3秒时，△DPQ的面积等于21cm2．
（2）如图1所示：连接PE．
∵⊙P分别与AD、BD相切，
∴PE⊥BD，AD＝DE＝8．
在Rt△ABD中，依据勾股定理可知BD＝10．
∴BE＝BD﹣DE＝2．
∵AP＝PE，
∴PE＝t，PB＝6﹣t．
在Rt△PEB中，依据勾股定理可知：（6﹣t）2＝t2+22，解得：t＝．
（3）①如图2所示：
∵PA＝t，BQ＝2t，
∴PB＝6﹣t，CQ＝8﹣2t．
∵点D在⊙Q上，
∴QD＝PQ．
∴DC2+CQ2＝PB2+QB2，即62+（8﹣2t）2＝（2t）2+（6﹣t）2．
整理得：t2+20t﹣64＝0．解得t＝﹣10+2或t＝﹣10﹣2（舍去）．
所以当t＝﹣10+2时，点D落在⊙Q上．
②（Ⅰ）当t＝0时，如图3所示：
⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；
（Ⅱ）如图4所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点．
由①可知此时t＝﹣10+2．
∴当0＜t＜4时，⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点．
故答案为：0＜t＜﹣10+2．
26．（12分）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF ．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；
（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，＝2，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；
（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35，S△ACB＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝＝50，由S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，求PF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，＝2，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，
在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：4＝CF+CF，
解得：CF＝6﹣2；
（3）①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，
∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，
在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，
∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，
∴×50×PF＝×40×30，
解得：PF＝24，
∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），
∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．
2021-2022学年江苏省连云港市海州区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分，每题只有一个正确答案）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1＝0
2．（3分）已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
3．（3分）如图，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A．156° B．78° C．39° D．12°
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
5．（3分）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
6．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
7．（3分）如图，Rt△ABC有一外接圆，其中∠B＝90°，AB＞BC，今欲在上找一点P，使得＝，下是甲、乙两人的作法：
甲：①取AB的中点D：②过点D作直线AC的平行线，交于点P，则点P即为所求，
乙：①取AC的中点E；②过点E作直线AB的平行线，交于点P，则点P即为所求，
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（ ）
A．6﹣ B．4 C．5 D．3
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 ．
10．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
11．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 分．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝ °．
14．（3分）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 ．
15．（3分）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
16．（3分）如图，点A、B的坐标分别为A（3，0），B（0，4），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ．
三、解答题（本大题共102分）
17．（14分）解下列方程：
（1）3x2﹣x＝0．
（2）x2﹣6x﹣6＝0（用配方法解）．
（3）2x2﹣5x+1＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
19．（8分）如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm．
（1）求的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
20．（8分）如图，在⊙O中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
21．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
22．（8分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是成绩最好的中班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：
1号
2号
3号
4号
5号
总数
甲班
89
100
96
118
97
500
乙班
100
95
110
91
104
500
经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．
请你回答下列问题：
（1）甲班的优秀率为40%，乙班的优秀率为 ；甲班5名学生比赛成绩的中位数是 个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；
（2）求两班比赛数据的方差；
（3）根据以上几条信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由．
23．（10分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
24．（12分）“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， ，EN切半圆O于F．
求证： ．
证明：
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm、s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：
（1）如图1，几秒后，△DPQ的面积等于21cm2？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的⊙P同时与直线AD、BD相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在⊙Q上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理）
26．（12分）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
2021-2022学年江苏省连云港市海州区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共24分，每题只有一个正确答案）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；
故选：B．
2．（3分）已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选：A．
3．（3分）如图，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A．156° B．78° C．39° D．12°
【分析】同弧所对圆心角是圆周角2倍，即∠BAC＝∠BOC＝39°．
【解答】解：∵∠BOC＝78°，
∴∠BAC＝∠BOC＝39°．
故选：C．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0
∴x2﹣2x＝4
∴x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
故选：C．
5．（3分）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
【分析】根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求出结果即可．
【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6，
处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；
出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；
平均数为：＝（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃，
极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃，
故选：B．
6．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
7．（3分）如图，Rt△ABC有一外接圆，其中∠B＝90°，AB＞BC，今欲在上找一点P，使得＝，下是甲、乙两人的作法：
甲：①取AB的中点D：②过点D作直线AC的平行线，交于点P，则点P即为所求，
乙：①取AC的中点E；②过点E作直线AB的平行线，交于点P，则点P即为所求，
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】如图，甲的作法错误．乙的作法正确．利用垂径定理即可证明；
【解答】解：如图，甲的作法错误．乙的作法正确．
∵AE＝EC，AC是直径，
∴点E是圆心，
∵EP∥AB，AB⊥BC，
∴EP⊥BC，
∴＝，
故选：D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（ ）
A．6﹣ B．4 C．5 D．3
【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝3，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．
【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，
∴B′H＝OE＝3，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1，
∴CG＝B′E＝OH＝＝2，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝4，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故答案为甲．
10．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
11．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 72 分．
【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）
故答案为：72．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
13．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝ 50 °．
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACB＝∠D＝50°．
故答案为50．
14．（3分）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 7或6 ．
【分析】讨论：当m＝n时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，则k＝7；当m＝4时，根据根与系数的关系得4+n＝6，4n＝k+2，解得n＝2，k＝6；当n＝4时，同理可得m＝2，k＝6．
【解答】解：当m＝n时，Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，
解得k＝7，
∵m+n＝6＞4，
∴k＝7满足条件；
当m＝4时，4+n＝6，4n＝k+2，
解得n＝2，k＝6，
当n＝4时，同理可得m＝2，k＝6，
综上所述，k的值为7或6．
15．（3分）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
【分析】根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，＝2πr，
解得，r＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，点A、B的坐标分别为A（3，0），B（0，4），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 3 ．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝3，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝4，OD＝3，∠BOD＝90°，
∴BD＝5，
∴CD＝6，
∴OM＝CD＝3，即OM的最大值为3；
故答案为3．
三、解答题（本大题共102分）
17．（14分）解下列方程：
（1）3x2﹣x＝0．
（2）x2﹣6x﹣6＝0（用配方法解）．
（3）2x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）提取公因式，分解因式，即可得到两个一元一次方程积的形式，解一元一次方程即可；
（2）移项，配方，然后开方求解即可；
（3）先判断b2﹣4ac＞0，然后代入求根公式求解即可．
【解答】解：（1）3x2﹣x＝0，
x（3x﹣1）＝0，
∴x＝0或3x﹣1＝0，
∴；
（2）x2﹣6x﹣6＝0
x2﹣6x＝6，
∴x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，
则x﹣3＝±，
∴x＝3±
∴；
（3）2x2﹣5x+1＝0
∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴，．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）代入x＝1求出m值即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m﹣2）2+4＞0，由此可证出：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：将x＝1代入原方程，得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝．
（2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4．
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
19．（8分）如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm．
（1）求的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可；
（2）求出两个思想面积的差即可．
【解答】解：（1）长度＝（cm）；
（2）∵AB＝25cm，BD＝15cm，
∴AD＝25﹣15＝10（cm）．
∵S扇形ABC＝＝（cm2），
S扇形ADE＝＝（cm2），
∴贴纸部分的面积＝﹣＝175π（cm2）．
20．（8分）如图，在⊙O中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DE，从而证得DE是⊙O的切线；
（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝AB＝10，CD＝8，
∴AD＝＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE＝AD•CD，
∴DE＝＝＝．
21．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
22．（8分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是成绩最好的中班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：
1号
2号
3号
4号
5号
总数
甲班
89
100
96
118
97
500
乙班
100
95
110
91
104
500
经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．
请你回答下列问题：
（1）甲班的优秀率为40%，乙班的优秀率为 60% ；甲班5名学生比赛成绩的中位数是 97 个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；
（2）求两班比赛数据的方差；
（3）根据以上几条信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由．
【分析】（1）优秀率就是优秀的人数与总人数的百分比；
（2）根据平均数和方差的概念计算．
（3）根据计算出来的统计量的意义分析判断．
【解答】解：（1）乙班的优秀率：×100%＝60%；
把甲班5名同学踢的个数从小到大排列为：89，96，97，100，118，
则甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个；
故答案为：60%，97；
（2）甲班的平均数是：（89+100+96+118+97）÷5＝100（个），
甲班的方差S甲2＝[（89﹣100）2+（100﹣100）2+（96﹣100）2+（118﹣100）2+（97﹣100）2]÷5＝94
乙班的平均数是：（100+95+110+91+104）÷5＝100（个），
乙班的方差S乙2＝[（100﹣100）2+（95﹣100）2+（110﹣100）2+（91﹣100）2+（104﹣100）2]÷5＝44.4；
（3）冠军奖杯应发给乙班，理由如下：
因为两班总数相等，但乙班5名学生的比赛成绩的优秀率比甲班高，中位数比甲班大，方差比甲班小，成绩更稳定，综合评定乙班踢毽子水平较好．
23．（10分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）＝10求出即可．
【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．
化简，整理，的x2﹣3x+2＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝2，
则3+1＝4，2+3＝5，
答：每盆应植4株或者5株．
24．（12分）“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， AB＝OB ，EN切半圆O于F．
求证： EB，EO将∠MEN三等分 ．
证明：
【分析】根据题意即可补充完整已知和求证，进而写出“证明”过程．
【解答】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F，
求证：EB，EO将∠MEN三等分．
证明：∵EB⊥AC，
∴∠ABE＝∠OBE＝90°，
∵AB＝OB，BE＝BE，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵BE⊥OB，
∴BE是⊙E的切线，
∵EN切半圆O于F，
∴DF⊥OF，
∵OF＝OB，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴EB，EO就把∠MEN三等分．
故答案为：AB＝OB，EB，EO将∠MEN三等分．
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm、s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：
（1）如图1，几秒后，△DPQ的面积等于21cm2？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的⊙P同时与直线AD、BD相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在⊙Q上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点，则t的取值范围为 0＜t＜﹣10+2 ．（直接写出结果，不需说理）
【分析】（1）由题意可知PA＝t，BQ＝2t，从而得到PB＝6﹣t，BQ＝2t，QC＝8﹣2t，然后依据△DPQ的面积等于21cm2列方程求解即可；
（2）如图1所示：连接PE．依据勾股定理可求得BD的长，然后依据切线长定理可知DE＝AD＝8，从而可求得BE的长，由圆的半径相等可知PE＝AP＝t，然后再Rt△PEB中依据勾股定理列方程求解即可；
（3）①如图2所示：先用含t的式子表示出BP、BQ、CQ的长，然后依据DC2+CQ2＝PB2+QB2列出关于t的方程，从而可求得t的值；②当t＝0时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，由①可知当t＝4时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，从而可确定出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA＝t，BQ＝2t，
∴PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝8﹣2t．
∵△DPQ的面积等于21cm2，
∴6×8﹣×8×t﹣（6﹣t）•2t﹣×6×（8﹣2t）＝21．
整理得：t2﹣4t+3＝0，解得t＝1或t＝3．
答：当t为1秒或3秒时，△DPQ的面积等于21cm2．
（2）如图1所示：连接PE．
∵⊙P分别与AD、BD相切，
∴PE⊥BD，AD＝DE＝8．
在Rt△ABD中，依据勾股定理可知BD＝10．
∴BE＝BD﹣DE＝2．
∵AP＝PE，
∴PE＝t，PB＝6﹣t．
在Rt△PEB中，依据勾股定理可知：（6﹣t）2＝t2+22，解得：t＝．
（3）①如图2所示：
∵PA＝t，BQ＝2t，
∴PB＝6﹣t，CQ＝8﹣2t．
∵点D在⊙Q上，
∴QD＝PQ．
∴DC2+CQ2＝PB2+QB2，即62+（8﹣2t）2＝（2t）2+（6﹣t）2．
整理得：t2+20t﹣64＝0．解得t＝﹣10+2或t＝﹣10﹣2（舍去）．
所以当t＝﹣10+2时，点D落在⊙Q上．
②（Ⅰ）当t＝0时，如图3所示：
⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；
（Ⅱ）如图4所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点．
由①可知此时t＝﹣10+2．
∴当0＜t＜4时，⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点．
故答案为：0＜t＜﹣10+2．
26．（12分）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF ．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；
（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，＝2，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；
（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35，S△ACB＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝＝50，由S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，求PF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，＝2，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，
在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：4＝CF+CF，
解得：CF＝6﹣2；
（3）①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，
∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，
在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，
∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，
∴×50×PF＝×40×30，
解得：PF＝24，
∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），
∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．
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