2021-2022学年广西玉林市北流市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年广西玉林市北流市九年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题每小题都给出代号为A，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广西玉林市北流市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1．（3分）下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．3x﹣4＝0 B．x2﹣3x＝0 C．x+3y＝2 D．＝3
3．（3分）对于二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝﹣2
D．顶点坐标是（2，2）
4．（3分）苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s＝gt2（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝34°，∠C＝90°）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（　　）

A．56° B．68° C．124° D．180°
6．（3分）抛物线y＝x2，y＝﹣3x2，y＝x2的共同性质是（　　）
A．开口向上 B．都有最大值
C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
7．（3分）关于x的一元二次方程x2＝1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x＝﹣1 D．x1＝x2＝1
8．（3分）若将抛物线y＝2x2+3向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+3）2+5 B．y＝2（x﹣3）2+5
C．y＝2（x+3）2﹣1 D．y＝2（x﹣3）2﹣1
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2m＝4x有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥0 D．m＜0
10．（3分）一个长方形的长比宽多2，若把它的长、宽分别增加2后，面积增加了24，求原来长方形的长与宽，若设原长方形的宽为x，可列方程为（　　）
A．x（x+2）＝24 B．（x+4）（x+2）＝24
C．（x+4）（x+2）﹣x（x+2）＝24 D．x（x+4）＝24
11．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
12．（3分）如图，在菱形OABC中，点A在x轴上，点B（4，2）将菱形OABC绕原点O逆时针旋转90°，若点C的对应点是点C1，那么点C1坐标是（　　）

A．（﹣2，4） B．（﹣2.5，2） C．（﹣1.5，2） D．（﹣2，1.5）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共24分。请你将答案写在答题卡的横线上。）
13．（3分）抛物线的开口向 　 　（填“上”或“下”）．
14．（3分）若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
15．（3分）设x1、x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝　 　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是　 　．

17．（3分）某飞机着陆后靠惯性滑行的路程s米与时间t秒满足关系式，那么该飞机着陆后滑行到停止的时间为 　 　秒．
18．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
19．（6分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
20．（6分）已知抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），求抛物线的解析式．
21．（6分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；
作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（2）点B1的坐标为　 　，点C2的坐标为　 　．

22．（8分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2＝2，求实数m的值．
23．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

24．（9分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．

25．（10分）新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出x的取值范围．
（2）设每天的总利润为w元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
26．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．P为该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位长度，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求△OPP'的面积．
（3）如图2，连接AP，BP，设△APB的面积为S，当﹣2≤m≤2时，直接写出S的最大值．

2021-2022学年广西玉林市北流市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1．（3分）下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
2．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．3x﹣4＝0 B．x2﹣3x＝0 C．x+3y＝2 D．＝3
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）对于二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝﹣2
D．顶点坐标是（2，2）
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2），当x＝2时，有最小值2，
故A、B、C说法错误，D说法正确，
故选：D．
4．（3分）苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s＝gt2（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据s与t的函数关系，可判断二次函数，图象是抛物线；再根据s、t的实际意义，判断图象在第一象限．
【解答】解：∵s＝gt2是二次函数的表达式，
∴二次函数的图象是一条抛物线．
又∵g＞0，
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
图象是抛物线在第一象限的部分．
故选：B．
5．（3分）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝34°，∠C＝90°）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（　　）

A．56° B．68° C．124° D．180°
【分析】找到图中的对应点和对应角，根据旋转的性质作答．
【解答】解：∵∠B＝34°，∠C＝90°
∴∠BAC＝56°
∴∠BAB1＝180°﹣56°＝124°
即旋转角最小等于124°．
故选：C．
6．（3分）抛物线y＝x2，y＝﹣3x2，y＝x2的共同性质是（　　）
A．开口向上 B．都有最大值
C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
【分析】根据二次函数的性质，可以分别写出题目中抛物线的开口方向，最值、对称轴和顶点坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线y＝x2的开口向上，有最小值，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
抛物线y＝﹣3x2的开口向下，有最大值，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
抛物线y＝x2的开口向上，有最小值，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
故选：D．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2＝1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x＝﹣1 D．x1＝x2＝1
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故选：B．
8．（3分）若将抛物线y＝2x2+3向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+3）2+5 B．y＝2（x﹣3）2+5
C．y＝2（x+3）2﹣1 D．y＝2（x﹣3）2﹣1
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2+3向右平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝2（x﹣3）2+3，
由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝2（x﹣3）2+3向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝2（x﹣3）2+5；
故选：B．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2m＝4x有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥0 D．m＜0
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（2m）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：方程x2+2m＝4x整理得x2﹣4x+2m＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+2m＝4x有两个实数根．
∴Δ≥0，即（﹣4）2﹣4×1×（2m）≥0，
解得，m≤2，
故选：A．
10．（3分）一个长方形的长比宽多2，若把它的长、宽分别增加2后，面积增加了24，求原来长方形的长与宽，若设原长方形的宽为x，可列方程为（　　）
A．x（x+2）＝24 B．（x+4）（x+2）＝24
C．（x+4）（x+2）﹣x（x+2）＝24 D．x（x+4）＝24
【分析】设原长方形的宽为x，则原长方形的长为x+2，增加长、宽后的长方形的长为x+4，宽为x+2，根据长方形的面积增加了24，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设原长方形的宽为x，则原长方形的长为x+2，增加长、宽后的长方形的长为x+2+2＝x+4，宽为x+2，
依题意得：（x+4）（x+2）﹣x（x+2）＝24．
故选：C．
11．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【分析】根据图象可得出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴没有交点，则可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根．
故选：D．
12．（3分）如图，在菱形OABC中，点A在x轴上，点B（4，2）将菱形OABC绕原点O逆时针旋转90°，若点C的对应点是点C1，那么点C1坐标是（　　）

A．（﹣2，4） B．（﹣2.5，2） C．（﹣1.5，2） D．（﹣2，1.5）
【分析】如图，作BH⊥x轴于H．设OA＝AB＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，作BH⊥x轴于H．设OA＝AB＝x，

在Rt△ABH中，∵AB2＝AH2+BH2，
∴x2＝（4﹣x）2+22，
∴x＝，
∴C（，2），
∴将菱形OABC绕原点O逆时针旋转90°，若点C的对应点是点C1，那么点C1坐标是（﹣2，），
故选：D．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共24分。请你将答案写在答题卡的横线上。）
13．（3分）抛物线的开口向 　下　（填“上”或“下”）．
【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以得到该抛物线的开口方向．
【解答】解：∵抛物线，a＝﹣＞0，
∴该抛物线开口向下，
故答案为：下．
14．（3分）若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1　＜　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】可先求二次函数y＝x2的对称轴为y轴，根据两点到y轴的距离的大小即可判断．
【解答】解：由函数y＝x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴，
∵点（2，y1）到y轴的距离比点（4，y2）到y轴的距离近，
∴y1＜y2，
故答案为＜．
15．（3分）设x1、x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝　2　．
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1，然后先求出m的值，再计算x1x2的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1，
∵x1+x2＝3，
∴m＝3，
∴x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为2．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是　（1，﹣1）　．

【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点即为所求．
【解答】解：∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，
∴A、B的对应点分别是A′、B′，
又∵线段BB′的垂直平分线为x＝1，
线段AA′是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，
由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
17．（3分）某飞机着陆后靠惯性滑行的路程s米与时间t秒满足关系式，那么该飞机着陆后滑行到停止的时间为 　120　秒．
【分析】令s＝0，解一元二次方程即可．
【解答】解：令s＝0，则200t﹣t2＝0，
整理得：t2﹣120t＝0，
因式分解得：t（t﹣120）＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝120，
∴该飞机着陆后滑行到停止的时间为120秒，
故答案为：120．
18．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有　①③④　．

【分析】由抛物线与x轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而即可得出abc＞0，即可判断②；由将抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有一个交点，即可判断③；由a＞0、b＝﹣2a，可得出3a+b＝a＞0，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＝1，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，②错误；
∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
∴m＜﹣3，③正确；
∵a＞0，b＝﹣2a，
∴3a+b＝a＞0，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
19．（6分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
【分析】观察方程x2+2x﹣3＝0，可因式分解法求得方程的解．
【解答】解：x2+2x﹣3＝0
∴（x+3）（x﹣1）＝0
∴x1＝1，x2＝﹣3．
20．（6分）已知抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），求抛物线的解析式．
【分析】利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案；
【解答】解：设抛物线为y＝ax2+bx+c（a≠0）
∵抛物线经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴所求抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3．
21．（6分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；
作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（2）点B1的坐标为　（﹣2，﹣3）　，点C2的坐标为　（2，﹣2）　．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点B1、C2的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；

（2）B1（﹣2，﹣3），C2（2，﹣2）．

22．（8分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2＝2，求实数m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．
【解答】解：（1）由题意得：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；

（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝2，
即，
解得：x1＝2，x2＝0，
由根与系数的关系得：m＝2×0＝0．
23．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；

（2）当S△PCQ＝S△ABC时，
t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
24．（9分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．

【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；

（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
25．（10分）新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出x的取值范围．
（2）设每天的总利润为w元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%求解即可得到答案；
（2）求出w关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%，
∴，
解得：10≤x≤28，
∴x的取值范围10≤x≤28；
（2）由题意，得w＝（x﹣10）[1000﹣40（x﹣25）]，
即w＝﹣40x2+2400x﹣20000＝﹣40（x﹣30）2+16000，
∵a＝﹣40＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∵10≤x≤28，当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值是﹣40×（28﹣30）2+16000＝15840，
答：销售单价定为每包28元时，每天的利润最大，最大利润是15840元．
26．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．P为该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位长度，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求△OPP'的面积．
（3）如图2，连接AP，BP，设△APB的面积为S，当﹣2≤m≤2时，直接写出S的最大值．
【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出线段AB的长，再求出抛物线平移后得到的抛物线的解析式，根据平移的性质求出点P的纵坐标为1，则P（m，1），把P（m，1），代入原抛物线的解析式，求出点P的横坐标，进而求出△OPP'的面积；
（3）先求出点P的纵坐标的最大值和最小值，再通过比较求出在﹣2≤m≤2范围内点P到x轴的距离的最大值，进而求出△APB的面积S的最大值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+.
（2）∵AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∴AB＝2，
∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝﹣x2+x+沿y轴向下平移AB个单位得到的抛物线为y＝﹣（x﹣1）2，
如图1，设PP′交x轴于点C，
由平移得PP′＝2，PP′⊥x轴，
∴OC⊥PP′，
∵OP＝OP'，
∴PC＝P′C＝1，
∴P（m，1），
把P（m，1）代入y＝﹣x2+x+，
得﹣m2+m+＝1，
解得m1＝1，m2＝1，
∴P（1，1）或P1（1，1），
∴S＝×2×（）＝或S＝×2×（1）＝1，
∴△OPP'的面积为或1．
（3）如图2，∵S＝AB•|yP|＝×4×|yP|＝2|yP|，
∴S随|yP|的增大而增大，
∵﹣2≤m≤2，
∴当m＝1时，y最大＝2；当m＝﹣2时，y最小＝﹣×（﹣2）2+（﹣2）+＝﹣，
∵|﹣|＞|2|
∴|yP|的最大值为，
此时，S＝2|yP|＝2×＝5，
∴S的最大值为5．