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    2021-2022学年四川省成都市锦江区九年级(上)期中数学试卷 解析版

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    2021-2022学年四川省成都市锦江区九年级(上)期中数学试卷 解析版

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    这是一份2021-2022学年四川省成都市锦江区九年级(上)期中数学试卷 解析版,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2021-2022学年四川省 成都市锦江区九年级(上)期中数学试卷
    一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
    1.(3分)如图所示“属于物体在太阳光下形成的影子”的图形是(  )
    A. B.
    C. D.
    2.(3分)已知关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,则(  )
    A.m≠±2 B.m=﹣2 C.m=2 D.m=±2
    3.(3分)将一元二次方程3x2﹣4=5x化为一般形式后,其中二次项系数、一次项系数分别是(  )
    A.3,5 B.3,﹣5 C.﹣4,5 D.﹣4,﹣5
    4.(3分)如图,l1∥l2∥l3,且=,则错误的是(  )

    A.= B.= C.= D.=
    5.(3分)用配方法解x2﹣8x+5=0方程,将其化成(x+a)2=b的形式,则变形正确的是(  )
    A.(x+4)2=11 B.(x﹣4)2=21 C.(x﹣8)2=11 D.(x﹣4)2=11
    6.(3分)如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其左视图是(  )

    A. B.
    C. D.
    7.(3分)已知线段a、b、c,若求作线段x,使a:b=c:x,则以下作图正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    8.(3分)如图,已知△ABC∽△A′B′C′,则图中角度α和边长x分别为(  )
    A.40°,9 B.40°,6 C.30°,9 D.30°,6
    9.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D、E、F分别是三边的中点,且DE=4cm,则AF的长度是(  )

    A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
    10.(3分)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,设共有x个队参加比赛,则下列方程符合题意的是(  )
    A.x(x+1)=90 B.x(x+1)=90
    C.x(x﹣1)=90 D.x(x﹣1)=90
    二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上)
    11.(4分)若=k,则=   .(用含k的代数式表示)
    12.(4分)如果x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根,那么2021﹣4a+4b=   .
    13.(4分)如图,当太阳光与地面上的树影成45°角时,树影投射在墙上的影高CD等于2米,若树根到墙的距离BC等于8米,则树高AB等于   米.

    14.(4分)如图,取一张长为a,宽为b的矩形纸片,将它对折两次后得到一张小矩形纸片,若要使小矩形与原矩形相似,则a、b的大小关系式为    .


    三、解答题(本大题共6个小题,共4分,解答过程写在答题卡上)
    15.(12分)按要求解下列方程:
    (1)x2﹣7x+10=0(因式分解法);
    (2)3x2﹣2x﹣1=0(求根公式法).
    16.(6分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,建立如图所示的平面直角坐标系,并给出了格点△ABC(顶点为网格线的交点).
    (1)若△A1B1C1与△ABC以点O为对称中心对称,画出△A1B1C1.
    (2)若△A2B2C2,与△ABC以点O为位似中心位似,A2B2=2AB,在第四象限,画出△A2B2C2.

    17.(8分)若==,且x+2y+3z=40,求3x+4y+5z的值.
    18.(8分)如图,数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度,他们通过调整测量位置,并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上,已知AC=0.8米,BC=0.5米,目测点A到地面的距离AD=1.5米,到旗杆的水平距离AE=20米,求旗杆MN的高度.

    19.(10分)已知关于x的方程b(x2﹣1)+2ax+c(x2+1)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
    (1)若x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状;
    (2)若△ABC是等边三角形,试求这个方程的根;
    (3)若方程有两个相等的实数根,且a=5,b=12,求c的值.
    20.(10分)如图,在正方形ABCD中,点G是对角线上一点,CG的延长线交AB于点E,交DA的延长线于点F,连接AG.
    (1)求证:AG=CG;
    (2)求证:△AEG∽△FAG;
    (3)若GE•GF=9,求CG的长.

    一、填空题(本大题共5分,每小题4分,共20分,答案写在答题卡上)
    21.(4分)若一元二次方程x2﹣2x﹣a=0没有实数根,则直线y=(a+1)x+a﹣1一定不经过的象限是    .
    22.(4分)如图,点A的坐标为(3,4),点B的坐标为(4,0),以O为位似中心,按比例尺1:2将△AOB放大后得△A1O1B1,则A1坐标为   .

    23.(4分)如图,校园内有一棵与地面垂直的树,数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子,第一次是阳光与地面成60°角时,第二次是阳光与地面成30°角时,两次测量的影长相差8米,则树高   米.(结果保留根号)

    24.(4分)若α2﹣2α+k=0,β2﹣2β+k=0,且α2﹣α+β=5,α≠β,则k=   .
    25.(4分)如图,△ABC中,点P、Q分别在AB,AC上,且PQ∥BC,PM⊥BC于点M,QN⊥BC于点N.AD⊥BC于点D,交PQ于点E,且AD=BC.连接MQ,若△ABC的面积等于8,则MQ的最小值为    .

    二、解答题(本大题共3个小题,共30分解答过程写在答题卡上)
    26.(8分)某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
    (1)求y与x之间的函数关系式;
    (2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元?

    27.(10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4=0.
    (1)求证:该一元二次方程总有两个实数根;
    (2)若该方程有一个小于5的根,另一个根大于5,求m的取值范围;
    (3)若x1,x2为方程的两个根,且n=x12+x22﹣8,试判断动点P(m,n)所形成的图象是否经过定点(﹣3,21),并说明理由.
    28.(12分)如图,在矩形ABCD中,BC=2AB=4,点G为边BC上一点,过点G作GE⊥AG,且GE=2AG,GE交DC于点F,连接AE.

    (1)求证:△ABG∽△GCF;
    (2)连接CE,求证:∠DCE=∠AEG;
    (3)当点E正好在BD的延长线上时,求BG的长.

    2021-2022学年四川省 成都市锦江区九年级(上)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
    1.(3分)如图所示“属于物体在太阳光下形成的影子”的图形是(  )
    A. B.
    C. D.
    【分析】根据平行投影特点在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例可知.
    【解答】解:在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同.B、D的影子方向相反,都错误;
    C中物体的物高和影长不成比例,也错误.
    故选:A.
    2.(3分)已知关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,则(  )
    A.m≠±2 B.m=﹣2 C.m=2 D.m=±2
    【分析】利用一元二次方程的定义(只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)解答即可.
    【解答】解:∵关于x的方程(m﹣2)x|m|﹣3x﹣4=0是一元二次方程,
    ∴,
    解得m=﹣2,
    故选:B.
    3.(3分)将一元二次方程3x2﹣4=5x化为一般形式后,其中二次项系数、一次项系数分别是(  )
    A.3,5 B.3,﹣5 C.﹣4,5 D.﹣4,﹣5
    【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4=0,然后确定二次项系数和一次项系数.
    【解答】解:方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4=0,
    所以二次项系数、一次项系数分别是3,﹣5.
    故选:B.
    4.(3分)如图,l1∥l2∥l3,且=,则错误的是(  )

    A.= B.= C.= D.=
    【分析】根据比例的性质、平行线分线段成比例定理列出比例式,判断即可.
    【解答】解:A、∵=,
    ∴=,本选项说法正确,不符合题意;
    B、∵l1∥l2∥l3,
    ∴==,本选项说法正确,不符合题意;
    C、的值无法确定,本选项说法错误,符合题意;
    D、∵l1∥l2∥l3,
    ∴==,本选项说法正确,不符合题意;
    故选:C.
    5.(3分)用配方法解x2﹣8x+5=0方程,将其化成(x+a)2=b的形式,则变形正确的是(  )
    A.(x+4)2=11 B.(x﹣4)2=21 C.(x﹣8)2=11 D.(x﹣4)2=11
    【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得.
    【解答】解:∵x2﹣8x=﹣5,
    ∴x2﹣8x+16=﹣5+16,即(x﹣4)2=11,
    故选:D.
    6.(3分)如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其左视图是(  )

    A. B.
    C. D.
    【分析】根据左视图是从左边看得到的图形,可得答案.
    【解答】解:从左边看该几何体,是一行两个相邻的正方形,
    故选:A.
    7.(3分)已知线段a、b、c,若求作线段x,使a:b=c:x,则以下作图正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【分析】利用比例式a:b=c:x,与已知图形作对比,可以得出结论.
    【解答】解:A、a:b=x:c与已知a:b=c:x不符合,故选项A不正确;
    B、a:b=x:c与已知a:b=c:x不符合,故选项B不正确;
    C、a:c=x:b与已知a:b=c:x不符合,故选项C不正确;
    D、a:b=c:x与已知a:b=c:x符合,故选项D正确;
    故选:D.
    8.(3分)如图,已知△ABC∽△A′B′C′,则图中角度α和边长x分别为(  )
    A.40°,9 B.40°,6 C.30°,9 D.30°,6
    【分析】根据相似三角形的对应边的比相等,对应角相等解答.
    【解答】解:∵△ABC∽△A′B′C′,
    ∴∠α=40°,x=,
    故选:A.
    9.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D、E、F分别是三边的中点,且DE=4cm,则AF的长度是(  )

    A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
    【分析】根据三角形中位线定理求出BC,根据直角三角形的性质解答即可.
    【解答】解:∵点D、E分别是AB、AC的中点,
    ∴DE是△ABC的中位线,
    ∴BC=2DE=8cm,
    在Rt△BAC中,点F分别是斜边BC的中点,
    则AF=BC=4cm,
    故选:C.
    10.(3分)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,设共有x个队参加比赛,则下列方程符合题意的是(  )
    A.x(x+1)=90 B.x(x+1)=90
    C.x(x﹣1)=90 D.x(x﹣1)=90
    【分析】设有x个队参赛,根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛,共要比赛90场,可列出方程.
    【解答】解:设有x个队参赛,则
    x(x﹣1)=90.
    故选:D.
    二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上)
    11.(4分)若=k,则=  .(用含k的代数式表示)
    【分析】由=k可得b=ak,代入所求代数式计算可得答案.
    【解答】解:∵=k,
    ∴b=ak
    ∴===.
    故答案为:.
    12.(4分)如果x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根,那么2021﹣4a+4b= 2025 .
    【分析】根据一元二次方程解的定义得到a﹣b=﹣1,再把2021﹣4a+4b变形为2021﹣4(a﹣b),然后利用整体代入的方法计算.
    【解答】解:把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+1=0得a﹣b+1=0,
    所以a﹣b=﹣1,
    所以2021﹣4a+4b=2021﹣4(a﹣b)
    =2021﹣4×(﹣1)
    =2025.
    故答案为:2025.
    13.(4分)如图,当太阳光与地面上的树影成45°角时,树影投射在墙上的影高CD等于2米,若树根到墙的距离BC等于8米,则树高AB等于 10 米.

    【分析】作DH⊥AB于H,如图,易得四边形BCDH为矩形,则DH=BC=8m,CD=BH=2m,利用平行投影得到∠ADH=45°,则可判断△ADH为等腰直角三角形,所以AH=DH=8m,然后计算AH+BH即可.
    【解答】解:作DH⊥AB于H,如图,则DH=BC=8m,CD=BH=2m,
    根据题意得∠ADH=45°,
    所以△ADH为等腰直角三角形,
    所以AH=DH=8m,
    所以AB=AH+BH=8m+2m=10m.
    故答案为10.

    14.(4分)如图,取一张长为a,宽为b的矩形纸片,将它对折两次后得到一张小矩形纸片,若要使小矩形与原矩形相似,则a、b的大小关系式为  a=2b .


    【分析】根据相似四边形的性质得出比例式,再求出答案即可.
    【解答】解:∵小矩形与原矩形相似,原矩形纸片的边长为a、b,
    ∴,
    ∴a2=4b2,
    ∴a=2b(负数舍去),
    故答案为:a=2b.
    三、解答题(本大题共6个小题,共4分,解答过程写在答题卡上)
    15.(12分)按要求解下列方程:
    (1)x2﹣7x+10=0(因式分解法);
    (2)3x2﹣2x﹣1=0(求根公式法).
    【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可.
    (2)用求根公式x=求解即可.
    【解答】解:(1)∵x2﹣7x+10=0,
    ∴(x﹣2)(x﹣5)=0,
    则x﹣2=0或x﹣5=0,
    解得x1=2,x2=5;
    (2)∵a=3,b=﹣2,c=﹣1,
    ∴Δ=(﹣2)2﹣4×3×(﹣1)=21>0,
    ∴x==,
    ∴x1=,x2=.
    16.(6分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,建立如图所示的平面直角坐标系,并给出了格点△ABC(顶点为网格线的交点).
    (1)若△A1B1C1与△ABC以点O为对称中心对称,画出△A1B1C1.
    (2)若△A2B2C2,与△ABC以点O为位似中心位似,A2B2=2AB,在第四象限,画出△A2B2C2.

    【分析】(1)分别作出三个顶点关于原点的对称点,再首尾顺次连接即可;
    (2)根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点,再首尾顺次连接即可.
    【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.

    (2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
    17.(8分)若==,且x+2y+3z=40,求3x+4y+5z的值.
    【分析】设===k,则x=2k,y=3k,z=4k,所以2k+6k+12k=40,解得k=2,然后用k表示3x+4y+5z,从而得到3x+4y+5z的值.
    【解答】解:设===k,
    ∴x=2k,y=3k,z=4k,
    ∵x+2y+3z=40,
    ∴2k+6k+12k=40,解得k=2,
    ∴3x+4y+5z=6k+12k+20k=38k=38×2=76.
    18.(8分)如图,数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度,他们通过调整测量位置,并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上,已知AC=0.8米,BC=0.5米,目测点A到地面的距离AD=1.5米,到旗杆的水平距离AE=20米,求旗杆MN的高度.

    【分析】利用相似三角形的性质求出EM,利用矩形的性质求出EN,可得结论.
    【解答】解:∵∠CAB=∠EAM,∠ACB=∠AEM=90°,
    ∴△ACB∽△AEM,
    ∴,
    ∴,
    ∴EM=12.5(米),
    ∵四边形ADNE是矩形,
    ∴AD=EN=1.5(米),
    ∴MN=ME+EN=12.5+1.5=14(米).
    19.(10分)已知关于x的方程b(x2﹣1)+2ax+c(x2+1)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
    (1)若x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状;
    (2)若△ABC是等边三角形,试求这个方程的根;
    (3)若方程有两个相等的实数根,且a=5,b=12,求c的值.
    【分析】(1)把x=﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c=0,整理得a=b,从而可判断三角形的形状;
    (2)利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为2ax2+2ax=0,然后利用因式分解法解方程;
    (3)根据判别式的意义得Δ=4a2﹣4(b+c)(b﹣c)=0,即a2+c2=b2,即可求解.
    【解答】解:(1)∵x=﹣1,
    ∴﹣2a+2c=0,
    ∴a=c,
    ∴△ABC是等腰三角形;
    (2)∵△ABC是等边三角形,
    ∴a=b=c,
    ∴ax2﹣a+2ax+ax2+a=0,
    ∴2ax2+2ax=0,
    解得x1=0,x2=﹣1.
    (3)∵b(x2﹣1)+2ax+c(x2+1)=0,
    ∴(b+c)x2+2ax+c﹣b=0,
    ∵方程有两个相等的实数根,
    ∴Δ=4a2﹣4(b+c)(b﹣c)=0,
    ∴a2+c2=b2,
    ∵a=5,b=12,
    ∴c=.
    20.(10分)如图,在正方形ABCD中,点G是对角线上一点,CG的延长线交AB于点E,交DA的延长线于点F,连接AG.
    (1)求证:AG=CG;
    (2)求证:△AEG∽△FAG;
    (3)若GE•GF=9,求CG的长.

    【分析】(1)根据正方形的性质得到∠ADB=∠CDB=45°,AD=CD,从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG(SAS),进而利用全等三角形的性质进行证明即可;
    (2)根据正方形的性质得到AD∥CB,推出∠FCB=∠F,由(1)可知△ADG≌△CDG,利用全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCG,结合图形根据角之间的和差关系∠DAB﹣∠DAG=∠DCB﹣∠DCG,推出∠BCF=∠BAG,从而结合图形可利用相似三角形的判定定理即可得到△AEG∽△FAG;
    (3)根据相似三角形的性质进行求解即可.
    【解答】(1)证明:∵BD是正方形ABCD的对角线,
    ∴∠ADB=∠CDB=45°,
    又AD=CD,
    在△ADG和△CDG中,

    ∴△ADG≌△CDG(SAS),
    ∴AG=CG;

    (2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AD∥CB,
    ∴∠FCB=∠F,
    由(1)可知△ADG≌△CDG,
    ∴∠DAG=∠DCG,
    ∴∠DAB﹣∠DAG=∠DCB﹣∠DCG,即∠BCF=∠BAG,
    ∴∠EAG=∠F,
    又∠EGA=∠AGF,
    ∴△AEG∽△FAG;
    (3)解:由(2)得△AEG∽△FAG,
    ∴,即GA2=GE•GF=9,
    ∴GA=3或GA=﹣3(舍去),
    根据(1)中的结论得AG=CG,
    ∴CG=3.
    一、填空题(本大题共5分,每小题4分,共20分,答案写在答题卡上)
    21.(4分)若一元二次方程x2﹣2x﹣a=0没有实数根,则直线y=(a+1)x+a﹣1一定不经过的象限是  第一象限 .
    【分析】首先由一元二次方程x2﹣2x﹣a=0无实数根求出a的取值范围,然后判断一次函数y=(a+1)x+a﹣1的图象一定不经过第几象限.
    【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x﹣a=0无实数根,
    ∴4+4a<0,
    解得a<﹣1,
    故a+1<0,a﹣1<0,
    故一次函数y=(a+1)x+a﹣1的图象一定不经过第一象限;
    故答案为:第一象限.
    22.(4分)如图,点A的坐标为(3,4),点B的坐标为(4,0),以O为位似中心,按比例尺1:2将△AOB放大后得△A1O1B1,则A1坐标为 (6,8)或(﹣6,﹣8) .

    【分析】根据位似变换的性质,结合图形,以O为位似中心,将△AOB放大2倍则点A、B的横坐标与纵坐标都扩大2倍,写出即可,再根据对称性可得结论.
    【解答】解:根据题意,按比例尺1:2将△AOB放大,
    则点A的横坐标与纵坐标都扩大2倍,
    ∵点A的坐标为(3,4),
    ∴A1坐标为(6,8),根据对称性可知A1坐标可以为(﹣6,﹣8),
    故答案为:(6,8)或(﹣6,﹣8).
    23.(4分)如图,校园内有一棵与地面垂直的树,数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子,第一次是阳光与地面成60°角时,第二次是阳光与地面成30°角时,两次测量的影长相差8米,则树高 4 米.(结果保留根号)

    【分析】设出树高,利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长,然后作差建立方程即可.
    【解答】解:如图,

    在Rt△ABC中,tan∠ACB=,
    ∴BC==,
    同理:BD=,
    ∵两次测量的影长相差8米,
    ∴﹣=8,
    ∴x=4
    故答案为4.
    24.(4分)若α2﹣2α+k=0,β2﹣2β+k=0,且α2﹣α+β=5,α≠β,则k= ﹣3 .
    【分析】根据已知得:α和β是方程x2﹣2x+k=0的两个根,由根与系数的关系得:α+β=2,代入已知等式α2﹣α+β=5,可得k的值.
    【解答】解:∵α2﹣2α+k=0,β2﹣2β+k=0,且α≠β,
    ∴α和β是方程x2﹣2x+k=0的两个根,
    ∴α+β=2,
    ∵α2﹣α+β=5,
    ∴α2﹣2α+α+β=5,
    ∴﹣k+2=5,
    ∴k=﹣3.
    故答案为:﹣3.
    25.(4分)如图,△ABC中,点P、Q分别在AB,AC上,且PQ∥BC,PM⊥BC于点M,QN⊥BC于点N.AD⊥BC于点D,交PQ于点E,且AD=BC.连接MQ,若△ABC的面积等于8,则MQ的最小值为  2 .

    【分析】根据平行线的性质得到AE⊥PQ,根据相似三角形的性质得到=,求得AE:PQ=AD:BC,由于AD=BC,可得AE=PQ,根据垂直的定义得到∠PMN=∠MNQ=∠MPQ=90°,推出四边形PMNQ是矩形,得到PQ=MN,PM=ED,等量代换即可得到QN=BM+CN,根据三角形的面积得到BC•AD=8,求得BC=4,AD=4,设MN=x,则BM+CN=4﹣x,PM=QN=4﹣x,根据勾股定理即可得到结论.
    【解答】解:∵PQ∥BC,AD⊥BC,
    ∴AE⊥PQ,
    ∵PQ∥BC,
    ∴△APQ∽△ABC,
    ∴=,
    ∴AE:PQ=AD:BC,
    ∵AD=BC,
    ∴AE=PQ,

    ∵PM⊥BC,QN⊥BC,
    ∴∠PMN=∠MNQ=∠MPQ=90°,
    ∴四边形PMNQ是矩形,
    ∴PQ=MN,PM=ED,
    ∵AE=PQ,AD=BC,
    ∴AE+ED=BM+MN+CN,
    ∴MN+QN=BM+MN+CN,
    ∴QN=BM+CN;
    ∵△ABC的面积等于8,
    ∴BC•AD=8,
    ∵AD=BC,
    ∴BC2=8,
    ∴BC=4,AD=4,
    设MN=x,则BM+CN=4﹣x,PM=QN=4﹣x,
    ∵MQ===,
    ∴当x=2时,MQ有最小值是2.
    故答案为:2.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分解答过程写在答题卡上)
    26.(8分)某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
    (1)求y与x之间的函数关系式;
    (2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元?

    【分析】(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式,即可求解;
    (2)根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程,通过解方程即可求解.
    【解答】解:(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为:y=kx+b,
    将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得:,
    解得:,
    故函数的表达式为:y=10x+100;
    (2)由题意得:(10x+100)×(55﹣x﹣35)=1760,
    整理,得x2﹣10x﹣24=0.
    解得x1=12,x2=﹣2(舍去).
    所以55﹣x=43.
    答:这种消毒液每桶实际售价43元.
    27.(10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4=0.
    (1)求证:该一元二次方程总有两个实数根;
    (2)若该方程有一个小于5的根,另一个根大于5,求m的取值范围;
    (3)若x1,x2为方程的两个根,且n=x12+x22﹣8,试判断动点P(m,n)所形成的图象是否经过定点(﹣3,21),并说明理由.
    【分析】(1)首先计算△,再根据非负数的性质可判断出Δ≥0,进而得到结论;
    (2)当两根一个大于5一个小于5时,得到方程有两个不相等的实数根其两根与5的差的积小于零,列出不等式解之即可;
    (3)根据一元二次方程根与系数得关系,得到x1+x2和x1x2关于m的表达式,整理n=x12+x22﹣8,得n=(m﹣2)2﹣4,即可得到答案.
    【解答】(1)证明:∵Δ=(﹣m)2﹣4×1×(2m﹣4)=(m﹣4)2≥0,
    ∴不论m取何实数,该方程总有两个实数根;
    (2)设两个实数根为x1,x2,
    则x1+x2=m,x1x2=2m﹣4,
    ∵方程的一个根大于5,另一个根小于5,
    ∴(x1﹣5)(x2﹣5)=x1x2﹣5(x1+x2)+25<0,
    ∴2m﹣4﹣5m+25<0,
    解得:m>7,
    ∴方程的一个根大于5,另一个根小于5,m的取值范围是m>7;
    (3)根据题意得:x1+x2=m,x1x2=2m﹣4,
    n=x12+x22﹣8
    =(x1+x2)2﹣2x1x2﹣8
    =m2﹣2(2m﹣4)﹣8
    =m2﹣4m
    =(m﹣2)2﹣4,
    即n=(m﹣2)2﹣4,经过(﹣3,21).
    28.(12分)如图,在矩形ABCD中,BC=2AB=4,点G为边BC上一点,过点G作GE⊥AG,且GE=2AG,GE交DC于点F,连接AE.

    (1)求证:△ABG∽△GCF;
    (2)连接CE,求证:∠DCE=∠AEG;
    (3)当点E正好在BD的延长线上时,求BG的长.
    【分析】(1)根据两组对应角相等的三角形相似进行判定即可;
    (2)连接AC,交GE于M点,先证明△AGE∽△ABC得∠AEG=∠ACB,进一步证得△AME∽△GMC和△AMG∽△EMC,得到∠ECM=90°,最终根据余角性质推出∠ACB=∠DCE,即可得证;
    (3)作EH⊥BC的延长线于H点,设BG=x,根据△ABG∽△GHE,分别表示出EH、BH,再通过△DCB∽△EHB建立方程求解并检验即可.
    【解答】解:(1)∵四边形ABCD为矩形,
    ∴∠B=∠D=90°,
    ∵GE⊥AG,
    ∴∠AGB+∠CGF=90°,
    ∴∠BAG+∠AGB=90°,
    ∴∠BAG=∠CGF,
    ∴△ABG∽△GCF;
    (2)如图所示,连接AC,交GE于M点,

    ∵GE=2AG,BC=2AB,
    ∴=,
    又∵∠AGE=∠B=90°,
    ∴△AGE∽△ABC,
    ∴∠AEG=∠ACB,
    ∵∠AME=∠GMC,
    ∴△AME∽△GMC,
    ∴=,
    又∵∠AMG=∠EMC,
    ∴△AMG∽△EMC,
    ∴∠AGM=∠ECM=90°,
    即:∠BCD=∠ECM=90°,
    ∴∠ACB=∠DCE,
    ∴∠AEG=∠DCE;
    (3)如图,作EH⊥BC的延长线于H点,设BG=x,

    ∵△ABG∽△GHE,GE=2AG,
    ∴EH=2BG=2x,GH=2AB=4,
    则BH=BG+GH=4+x,
    ∵△DCB∽△EHB,
    ∴==,
    ∴=,
    解得:x=,
    经检验,x=是原分式方程的解,
    ∴BG的长为.


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