北师大版九年级下册6 利用三角函数测高当堂达标检测题

初中数学·北师大版·九年级下册——第一章　直角三角形的边角关系

6　利用三角函数测高

测试时间:30分钟

一、选择题

1.(2021浙江杭州模拟)如图,小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为α,同时测得AC=15 m,则树的高度AB为              (　　)

A. m　　　　B.15tan α m　　　　C. m　　　　D.15sin α m

2.(2020江苏苏州中考)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点D处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为              (　　)

A.a+btan α　　　　B.a+bsin α　　　　C.a+　　　　D.a+

3.(2021河南信阳商城期末)下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容:

设树顶到地面的高度DC=x米,根据以上条件,可以列出求树高的方程为 (　　)

A.x=(x-30)tan 28°　　B.x=(30+x)tan 28°   C.x+30=xtan 28°　　　D.x-30=xtan 28°

4.(2019重庆长寿模拟)如图,某人为了测量菩提山上的“塔式佛教圣灯”ED的高,他在山下点A处测得塔尖D的仰角为45°,沿AC方向前进24.40 m到达山脚点B,测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,那么“塔式佛教圣灯”ED的高度约为(参考数据:≈1.7,≈1.4,结果保留两位小数)              (　　)

A.35.78 m　　　　B.38.23 m　　　　C.39.53 m　　　　D.40.52 m

二、填空题

5.(2021湖南长沙开福北雅中学二模)为了测量教学楼的高度,某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°,再沿DF方向前行40米到达点E处,在点E处测得楼顶M的仰角为45°,已知测角仪的高AD为1.5米,则此楼MF的高为　　　　米.(结果精确到0.1米,≈1.414,≈1.732,≈2.449) 

6.(2020江苏徐州模拟)如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°,底部D的俯角为45°,如果A处离地面的高度AB=20米,则起点拱门CD的高度为　　　　.(结果精确到1米;参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70) 

7.(2020山东泰安新泰期中)如图,某建筑物的顶部有一块标识牌CD,小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°,沿斜坡走下来,在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°,已知斜坡AB的坡角为30°,AB=AE=10米.则标识牌CD的高度是　　　　米. 

三、解答题

8.(2020吉林中考)如图,某班数学小组测量塔的高度,在与塔底部B相距35 m的C处,用高1.5 m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°.求塔AB的高度.(结果精确到1 m;参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73)

9.(2021山东聊城莘县三模)如图,小明想用所学的知识来测量某塔的高度,他先在E处测得塔顶A的仰角α为30°,然后,他从E处迎着塔的方向走了71.1米到F处,在F处测得塔顶A的仰角β为45°.已知点E、F、B在同一水平线上,小明的观测点C、D距离地面都为1.6米,请你利用小明测得的相关数据,求塔的高度AB.(结果精确到1米.参考数据:≈1.41,≈1.73)

10.(2021四川成都新都二模)某中学在学校门口设置了红外测温通道,对进校师生进行体温监测,测温装置安装在E处.某同学进校时,当他在地面D处时,开始显示测量体温,此时在其额头A处测得E的仰角为30°,当他走到地面C处时,测温结束显示体温,此时在其额头B处测得E的仰角为45°,已知该同学额头离地面DG的高度为AD,且AD=1.6米,CD=1米,求测温装置E距地面的高度约为多少米.(结果精确到0.01米,≈1.73)

11.(2021河南周口商水三模)洛阳应天门是中国古代建筑规格最高的城门,其建制对北宋汴梁宣德门、元大都崇天门、明清故宫午门的影响深远,名称更被日本京都·应天门取用,被誉为“隋唐第一门”“天下第一门”,在中国宫城建筑史上占有重要地位.

某数学活动小组希望测量应天门的高度,他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量,测量结果如下表:

请根据数据计算出应天门的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 66°≈0.91,cos 66°≈0.41,tan 66°≈2.25,sin 8°≈0.14,cos 8°≈0.99,tan 8°≈0.14)

答案全解全析

一、选择题

1.答案　D　在Rt△ABC中,AC=15 m,∠ACB=α,sin α=,∴AB=AC·sin α=15sin α(m),故选D.

2.答案　A　如图,延长CE交AB于F,

由题意得四边形CDBF为矩形,

∴CF=DB=b,FB=CD=a,

在Rt△ACF中,∠ACF=α,CF=b,

∵tan∠ACF=,

∴AF=CF·tan∠ACF=btan α,

∴AB=AF+BF=a+btan α.

故选A.

3.答案　B　∵∠DCA=90°,∠DBC=45°,∴BC=CD=x米,∵AB=30米,∴AC=(x+30)米,∵CD=AC·tan 28°,∴x=(x+30)tan 28°,故选B.

4.答案　B　由题意知,∠DBC=60°,∠EBC=30°,

∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°-30°=30°.

∵∠BCD=90°,∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°,

∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE.

设EC=x m,则BE=DE=2x m,

∴BC===x(m),CD=x+2x=3x(m),

由题意知,∠DAC=45°,∠DCA=90°,

∴△ACD为等腰直角三角形,∴AC=CD,

∵AC=AB+BC=(24.40+x)m,

∴x+24.40=3x,解得x=.

∴2x=2×≈38.23.

所以ED的高度约为38.23 m.故选B.

二、填空题

5.答案　56.1

解析　在Rt△MBC中,∵∠MBC=45°,∴MC=BC.在Rt△MAC中,∵∠MAC=30°,∴AC=MC,设MC=BC=x米,则AC=x米,∴x=40+x,解得x=20+20≈54.64,∴MF=MC+CF=54.64+1.5≈56.1(米),故答案为56.1.

6.答案　6米

解析　如图,作CE⊥AB于E,则四边形CDBE为矩形,∴CE=DB,CD=BE.

在Rt△ADB中,∠ADB=45°,∴AB=DB=20,∴CE=20.

在Rt△ACE中,∠ACE=35°,tan∠ACE=,∴AE=CE·tan∠ACE≈20×0.70=14,

∴CD=BE=AB-AE=6米.故答案为6米.

7.答案　(15-5)

解析　如图,过点B作BH⊥EA,交EA的延长线于点H,作BF⊥CE于点F,

根据题意可知,∠BAH=30°,AB=AE=10米,∴BH=5米,AH=5米,易得四边形BHEF是矩形,∴EF=BH=5米,BF=HE=AH+AE=(5+10)米,∵tan∠DAE=,∠DAE=60°,∴DE=AE·tan 60°=10米,∴DF=DE-EF=(10-5)米,∵∠CBF=45°,∴CF=BF=(5+10)米,∴CD=CF-DF=5+10-(10-5)=(15-5)米.所以标识牌CD的高度是(15-5)米.故答案为(15-5).

三、解答题

8.解析　设AB与DE交于点F,如图所示:

由题意得DF⊥AB,易得四边形DCBF为矩形,∴BF=CD=1.5 m,DF=BC=35 m,

在Rt△ADF中,∠AFD=90°,tan∠FDA=,∠FDA=36°,

∴AF=DF×tan 36°≈35×0.73=25.55(m),

∴AB=AF+BF=25.55+1.5≈27(m).

答:塔AB的高度约为27 m.

9.解析　由题意可知,∠α=30°,∠β=45°,EF=CD=71.1米,CE=DF=1.6米,

如图,过D作DG⊥AB于G,

在Rt△ADG中,∵∠β=45°,∴AG=DG,

设AG=DG=x米,则CG=DG+CD=(71.1+x)米,

在Rt△ACG中,∵tan α=,∠α=30°,

∴=,解得x≈96.85,

∴AB=96.85+1.6≈98(米).

答:塔的高度AB约为98米.

10.解析　设EF=x米,在Rt△BEF中,∠EBF=45°,∴BF=EF=x米.

在Rt△AEF中,∠EAF=30°,tan∠EAF=,∴AF=EF=x米.

∵AB=CD=AF-BF,∴x-x=1,解得x≈1.370,∴EG=EF+FG=EF+AD=1.370+1.6=2.97(米).

答:测温装置E距地面的高度约为2.97米.

11.解析　在Rt△ABD中,AB=2.12 m,∠ADB=∠EAD=8°,

∴BD==≈15.14(m),

在Rt△ACE中,AE=BD=15.14 m,∠CAE=66°,

∴CE=AE·tan 66°≈34.07(m),

∴CD=CE+ED=34.07+2.12≈36.2(m).

答:应天门的高度约为36.2 m.