初中数学北师大版九年级下册1 二次函数第2课时综合训练题

初中数学·北师大版·九年级下册——第二章　二次函数

2　二次函数的图象与性质

第2课时

测试时间:30分钟

一、选择题

1.(2021重庆八中月考)二次函数y=ax2的图象开口向上,则a可能为 (　　)

A.1　　　　B.0　　　　C.-1　　　　D.-2

2.在同一平面直角坐标系中作y=2x2,y=-2x2,y=0.5x2的图象,它们的共同特点是 (　　)

A.都关于x轴对称,开口向上

B.都关于原点对称,顶点都是原点

C.都关于y轴对称,开口向下

D.都关于y轴对称,顶点都是原点

3.(2021安徽合肥肥东期末)将抛物线y=-3x2平移后得到抛物线y=-3x2-2,对此平移叙述正确的是              (　　)

A.向上平移2个单位　　　　　B.向下平移2个单位

C.向左平移2个单位　　　　　D.向右平移2个单位

4.下列说法错误的是 (　　)

A.二次函数y=3x2的图象有最低点

B.二次函数y=-6x2,当x=0时,y有最大值,最大值为0

C.无论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点

D.a越大,二次函数的图象的开口越小;a越小,二次函数的图象的开口越大

5.(2021河南驻马店汝南期末)函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是              (　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

6.(2021浙江金华浦江期末)如图,已知抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点.点A在x轴上,点B的横坐标为2,那么抛物线的顶点M的坐标是              (　　)

A.(-1,0)　　　　B.(1,0)　　　　C.(0,1)　　　　D.(0,-1)

二、填空题

7.(2021浙江丽水期末)抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为　　　　. 

8.(2021云南昆明官渡期末)若点(-1,m)在二次函数y=x2+3的图象上,则m=　　　　. 

9.二次函数y1=mx2,y2=nx2的图象如图所示,则m　　　　n(填“>”或“<”). 

10.(2019河南开封十中月考)如图,正方形的边长为4,以正方形的中心(对角线的交点)为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是　　　　. 

三、解答题

11.在同一平面直角坐标系中作出y=x2,y=-2x2的图象,并根据图象回答下列问题:

(1)抛物线y=x2的开口方向是　　　　,对称轴是　　　　,顶点坐标是　　　　;抛物线y=-2x2的开口方向是　　　　,对称轴是　　　　,顶点坐标是　　　　; 

(2)抛物线y=x2,当x　　　　时,抛物线上的点都在x轴上方;当x>0时,抛物线自左向右逐渐　　　　,它的顶点是抛物线的最　　　　点. 

12.写出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y=5x2;(2)y=x2-1;(3)y=-3x2+2.

13.(2021福建南平月考)已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).

(1)求a的值;

(2)若点P(m,-6)在此抛物线上,求点P的坐标.

14.把抛物线y=ax2(a≠0)向下平移3个单位长度后得到一条新抛物线M,已知抛物线M经过点(-1,-5).

(1)求a的值和抛物线M的表达式;

(2)在同一平面直角坐标系内画出平移前后的两条抛物线;

(3)如果点M1(x1,y1)与点M2(x2,y2)都是抛物线M上的点,x1<x2且x1,x2的符号相同,请你比较y1,y2的大小.

15.如图所示,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线y=-0.2x2+3.5运行,然后准确落入篮筐内.已知篮筐的中心离地面的距离为3.05 m.

(1)球在空中运行的最大高度为多少?

(2)如果该运动员跳起,球出手时离地面的高度为2.25 m,要想投入篮筐,那么他距离篮筐中心的水平距离是多少?

16.(2020湖南常德中考节选)如图,已知抛物线y=ax2过点A.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知直线l过点A,M,且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA·MB.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　A　∵二次函数y=ax2的图象开口向上,∴a>0.故选A.

2.答案　D　二次函数y=ax2(a≠0)的图象关于y轴对称,顶点为原点.∵y=2x2,y=-2x2,y=0.5x2都是形如y=ax2(a≠0)的二次函数,∴y=2x2,y=-2x2,y=0.5x2的图象都关于y轴对称,且顶点都是原点.故选D.

3.答案　B　

4.答案　D　由二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质知A、B、C选项说法正确.

D项,|a|越大,二次函数的图象的开口越小;|a|越小,二次函数的图象的开口越大,故D选项说法错误.

5.答案　D　①当a>0时,二次函数y=ax2-a的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点在y轴负半轴,一次函数y=ax-a的图象经过第一、三、四象限,且两个函数的图象交于y轴同一点;

②当a<0时,二次函数y=ax2-a的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点在y轴正半轴,一次函数y=ax-a的图象经过第一、二、四象限,且两个函数的图象交于y轴同一点.结合四个选项的图象可知D正确.故选D.

6.答案　D　∵点A在x轴上,∴点A的纵坐标为0,当y=0时,0=x+1,解得x=-1,∴A(-1,0).∵点B的横坐标为2,当x=2时,y=2+1=3,∴B(2,3).设抛物线的解析式为y=ax2+b,将A(-1,0),B(2,3)代入,得解得∴y=x2-1,∴抛物线的顶点M的坐标是(0,-1),故选D.

二、填空题

7.答案　(0,2)

解析　当x=0时,y=0+2=2,所以抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为(0,2).故答案为(0,2).

8.答案　4

解析　将点(-1,m)的坐标代入y=x2+3,得m=(-1)2+3=4.故答案为4.

9.答案　>

解析　根据二次项系数的绝对值越大,开口越小,知|m|>|n|,因为两个图象开口都向上,所以m>0,n>0,所以m>n.

10.答案　8

解析　∵函数y=2x2与y=-2x2的图象关于x轴对称,∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半,又∵边长为4的正方形的面积为16,∴图中阴影部分的面积是8.

三、解答题

11.解析　在同一平面直角坐标系中作出y=x2,y=-2x2的图象,如图所示:

(1)抛物线y=x2的开口方向是向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0);抛物线y=-2x2的开口方向是向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0).

(2)抛物线y=x2,当x≠0时,抛物线上的点都在x轴上方;当x>0时,抛物线自左向右逐渐上升,它的顶点是抛物线的最低点.

12.解析　(1)y=5x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0).

(2)y=x2-1的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-1).

(3)y=-3x2+2的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2).

13.解析　(1)把点A(-2,-8)的坐标代入y=ax2,得4a=-8,∴a=-2.

(2)把点P(m,-6)的坐标代入y=-2x2,得-2m2=-6,∴m=±,∴点P的坐标为(,-6)或(-,-6).

14.解析　(1)根据题意,可得抛物线M的表达式为y=ax2-3(a≠0),

∵抛物线M经过点(-1,-5),

∴-5=a(-1)2-3,解得a=-2.

∴抛物线M的表达式为y=-2x2-3.

(2)平移前后的两条抛物线如图所示:

(3)观察(2)中的图象可知,当x1<x2<0时,y1<y2;

当0<x1<x2时,y1>y2.

15.解析　(1)∵抛物线y=-0.2x2+3.5的顶点坐标为(0,3.5),∴球在空中运行的最大高度为3.5 m.

(2)在y=-0.2x2+3.5中,

当y=3.05时,3.05=-0.2x2+3.5,解得x=±1.5,

∵篮筐在第一象限内,∴篮筐中心的横坐标为1.5.

当y=2.25时,2.25=-0.2x2+3.5,解得x=±2.5,

∵运动员在第二象限内,∴球出手时的横坐标为-2.5.

故该运动员要想投入篮筐,他距离篮筐中心的水平距离为1.5-(-2.5)=4(m).

16.解析　(1)把代入y=ax2,得=9a,∴a=,∴抛物线的解析式为y=x2.

(2)证明:设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),将,代入,

得解得

∴直线l的解析式为y=-x+,令x=0,得y=,∴C,

由解得或∴B.

如图,过点A作AA1⊥x轴于A1,过点B作BB1⊥x轴于B1,则BB1∥OC∥AA1,

∴===,= = =,

∴=,即MC2=MA·MB.