初中数学北师大版九年级下册3 确定二次函数的表达式课后练习题

初中数学·北师大版·九年级下册——第二章　二次函数

3　确定二次函数的表达式

测试时间:25分钟

一、选择题

1.(2021浙江杭州公益中学月考)已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的解析式为              (　　)

A.y=-x2-2x　　　　　B.y=-x2+2x

C.y=x2-2x　　　　　D.y=x2+2x

2.(2020辽宁铁岭昌图一模)如图所示的抛物线的解析式为 (　　)

A.y=x2-2x+3　　　　　B.y=x2-2x-3

C.y=x2+2x+3　　　　　D.y=x2+2x-3

3.(2021安徽合肥实验学校月考)已知抛物线与二次函数y=-5x2的图象相同,开口方向相同,且顶点坐标为(-1,2 020),则它对应的函数表达式为              (　　)

A.y=-5(x-1)2+2 020　　　　　B.y=5(x-1)2+2 020

C.y=5(x+1)2+2 020　　　　　 D.y=-5(x+1)2+2 020

二、填空题

4.(2021北京昌平期末)请写出一个开口向上且过点(0,-2)的抛物线的解析式:　　　　. 

5.一座抛物线形拱桥如图所示,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m,以水平向右为x轴的正方向建立平面直角坐标系,当选取点A为坐标原点时,抛物线的解析式是y=-(x-6)2+4,当选取点B为坐标原点时,抛物线的解析式是　　　　　　　　. 

三、解答题

6.(2021江西抚州期末)已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:

(1)观察上表可求得m的值为　　　　; 

(2)请求出这个二次函数的表达式.

7.求下列二次函数的解析式.

(1)(2020河南漯河实验中学期中)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3);

(2)已知二次函数的图象的顶点是(4,-12),且过(2,0).

8.如图,一个二次函数的图象经过A、B、C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴的正半轴上,且OC=AB.求:

(1)点C的坐标;

(2)这个二次函数的解析式.

9.已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3,x2=1,且与y轴的交点坐标为(0,-3).

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;

(2)把二次函数的图象沿坐标轴如何平移,能使得该图象的顶点在原点?

10.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).

(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标;

(2)请你写出一种平移方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线对应的函数表达式.

11.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的平面直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为 m,到墙边OA的距离分别为 m, m.

(1)求最左边抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;

(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?

答案全解全析

一、选择题

1.答案　D　∵抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且抛物线的对称轴经过点A,

∴抛物线的顶点坐标是(-3,-3),∴解得∴该抛物线的解析式为y=x2+2x.故选D.

2.答案　B　因为抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),所以可设该抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(0,-3)代入y=a(x+1)(x-3),得-3=a(0+1)×(0-3),解得a=1,所以该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.故选B.

3.答案　D　∵抛物线的顶点坐标为(-1,2 020),∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2 020,∵抛物线y=a(x+1)2+2 020与二次函数y=-5x2的图象相同,开口方向相同,∴a=-5,∴抛物线的解析式为y=-5(x+1)2+2 020.故选D.

二、填空题

4.答案　y=x2-2(答案不唯一)

解析　可设抛物线的解析式为y=x2+m,把(0,-2)代入得m=-2,所以满足条件的抛物线的解析式为y=x2-2.(答案不唯一)

5.答案　y=-(x+6)2+4

解析　由题意可知,当选取点A为坐标原点时,抛物线的顶点坐标为(6,4),所以当选取点B为坐标原点时,抛物线的顶点坐标为(-6,4),开口大小与方向都不变,则所求抛物线的解析式为y=-(x+6)2+4.

三、解答题

6.解析　(1)由题表可知,函数图象的对称轴为直线x=1,∴m=3.

(2)∵函数图象的顶点坐标为(1,-1),∴设该二次函数的表达式为y=a(x-1)2-1,将(2,0)代入,得a-1=0,解得a=1,故该二次函数的表达式为y=(x-1)2-1.

7.解析　(1)把(-1,0),(0,3)代入y=-x2+bx+c,得解得

所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2-12,

∵二次函数的图象过(2,0),∴a(2-4)2-12=0,解得a=3,

∴抛物线的解析式为y=3(x-4)2-12.

8.解析　(1)∵点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),∴OA=1,OB=4,∴AB=OA+OB=1+4=5.

∵OC=AB,∴OC=5,即点C的坐标为(0,5).

(2)设这个二次函数的解析式为y=a(x-4)(x+1)(a≠0).

∵点C(0,5)在该二次函数的图象上,∴5=a(0-4)×(0+1),解得a=-.

∴y=-(x-4)(x+1)=-(x2-3x-4)=-x2+x+5.

9.解析　(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),

把(0,-3)代入,得a×3×(-1)=-3,解得a=1,

所以抛物线的解析式为y=(x+3)(x-1),

即y=x2+2x-3.

化为顶点式为y=(x+1)2-4,则抛物线的顶点坐标为(-1,-4).

(2)把抛物线y=x2+2x-3向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,可使该图象的顶点在原点.

10.解析　(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),

∴可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-1)(x-3)(a≠0).

把(0,-3)代入,得3a=-3,解得a=-1,

故抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3.

∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).

(2)答案不唯一,如:将抛物线y=-(x-2)2+1先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后,得到的抛物线对应的函数表达式为y=-x2,平移后抛物线的顶点坐标为(0,0),在直线y=-x上.

11.解析　(1)将B,C代入y=ax2+bx(a≠0),得

解得

∴y=-x2+2x=-(x-1)2+1.

∴最左边抛物线的函数关系式是y=-x2+2x,图案最高点到地面的距离是1 m.

(2)当y=0时,-x2+2x=0,

解得x1=0,x2=2,∴|x2-x1|=2,

∵10÷2=5,

∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案.