初中数学第三章 圆3 垂径定理课堂检测

初中数学·北师大版·九年级下册——第三章　圆

*3　垂径定理

测试时间:30分钟

一、选择题

1.下列说法中正确的有 (　　)

①垂直平分弦的直线经过圆心;

②平分弦的直径一定垂直于弦;

③一条直线平分弦,那么这条直线垂直于这条弦;

④平分弦的直线,必定过圆心;

⑤平分弦的直径,平分这条弦所对的弧.

A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个

2.一块圆形玻璃被打碎后,其中四块碎片如图所示,若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃,则选择的是              (　　)

A.①　　　　B.②　　　　C.③　　　　D.④

3.(2021江苏泰州兴化月考)如图,已知☉O的半径为10,弦AB=12,M是AB上任意一点,则线段OM的长可能是　              (　　)

A.5　　　　B.7　　　　C.9　　　　D.11

4.(2021浙江杭州翠苑中学二模)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点M,AM=2,BM=8,则CD的长为              (　　)

A.4　　　　B.5　　　　C.8　　　　D.16

5.如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弦AB的长为 (　　)

A.10 cm　　　　B.16 cm　　　　C.24 cm　　　　D.26 cm

二、填空题

6.如图,☉O的半径为13,弦AB的长为24,那么圆心O到AB的距离为　　　　. 

7.如图,已知直线AB与☉O相交于A、B两点,∠OAB=30°,半径OA=2,那么弦AB的长为　　　　. 

8.如图,在☉O中,AB、AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,且AB=8 cm,AC=

6 cm,那么☉O的半径长为　　　　. 

9.(2020安徽安庆十四中模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(10,0),点B的坐标为(8,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为　　　. 

三、解答题

10.(2021浙江丽水青田期末)如图,在☉O中,半径OC过弦AB的中点E,OC=2,OE=.

(1)求弦AB的长;

(2)求∠CAB的度数.

11.如图,AB是☉O的直径,CB是弦,OD⊥CB于E,交劣弧CB于D,连接AC.

(1)请写出两个不同的正确结论;

(2)若CB=8,ED=2,求☉O的半径.

12.(2021广西河池环江期末)如图1,点P表示我国古代水车的一个盛水筒.如图2,当水车工作时,盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心,5 m为半径的圆.若☉O被水面截得的弦AB长为8 m,求水车工作时,盛水筒在水面以下的最大深度.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　A　垂直平分弦的直线经过圆心,故①正确;平分弦(不是直径)的直径一定垂直于弦,故②错误;一条经过圆心的直线平分弦,那么这条直线才垂直于这条弦,故③错误;平分弦(不是直径)的直径,才经过圆心,故④错误;平分弦(不是直径)的直径,平分这条弦所对的弧,故⑤错误.即正确的说法有1个,故选A.

2.答案　B　第②块有一段完整的弧,可在这段弧上任取三点作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,它们的交点即为圆心,进而可得半径.故选B.

3.答案　C　如图,连接OA,过点O作ON⊥AB,垂足为N,

∵ON⊥AB,AB=12,∴AN=BN=6.

在Rt△OAN中,ON===8,

所以8≤OM≤10,故选C.

4.答案　C　∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CM=DM,

∵AM=2,BM=8,∴AB=10,∴OA=OC=5,∴OM=OA-AM=3,

在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2,∴CM==4,∴CD=8.

故选C.

5.答案　C　如图,易知OD⊥AB,

∵O为圆心,OD⊥AB,∴∠OCB=90°,BC=AC,

∵CD=8 cm,OD=13 cm,

∴OC=5 cm,

又∵OB=13 cm,

∴在Rt△BCO中,BC==12 cm,

∴AB=2BC=24 cm.

故选C.

二、填空题

6.答案　5

解析　如图,连接OB,过点O作OC⊥AB于点C,则AC=BC=12.

在Rt△BCO中,由勾股定理得OC2=OB2-BC2,∴OC==5,故答案为5.

7.答案　2

解析　如图,过O作OC⊥AB于C,则AB=2AC,∠OCA=90°,

在Rt△AOC中,OA=2,∠OAC=30°,∴OC=1,

由勾股定理得AC===,∴AB=2AC=2.

8.答案　5 cm

解析　如图,连接OA.∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴AE=AC=×6=3(cm),AD=AB=×8=4(cm),∠OEA=∠ODA=90°,∵AB、AC是互相垂直的两条弦,∴∠EAD=90°,∴四边形OEAD是矩形,∴OD=AE=

3 cm,在Rt△OAD中,OA==5(cm).故答案为5 cm.

9.答案　(1,3)

解析　∵四边形OCDB是平行四边形,B(8,0),∴CD∥OB,CD=OB=8.

如图,过点M作MF⊥CD于点F,则CF=CD=4.过点C作CE⊥OA于点E,易知CF=EM.

∵A(10,0),∴OE=OM-ME=OA-CF=5-4=1.

连接MC,则MC=OA=5,在Rt△CMF中,由勾股定理得MF===3,易知CE=MF,

∴点C的坐标为(1,3).故答案为(1,3).

三、解答题

10.解析　(1)连接OB,如图所示,

∵半径OC过弦AB的中点E,

∴OC⊥AB,AE=BE,

∴BE===,

∴AB=2BE=2.

(2)连接OA,如图所示,由(1)得BE=OE,OC⊥AB,

∴△BOE是等腰直角三角形,∴∠OBE=45°,

同理可得△AEO为等腰直角三角形,∴∠OAE=∠EOA=45°.

又∵OA=OC,∴∠OAC=(180°-∠AOC)=67.5°,

∴∠CAB=∠OAC-∠OAB=22.5°.

11.解析　(1)∵OD⊥CB,

∴CE=BE,=.(答案不唯一)

(2)∵OD⊥CB,

∴CE=BE=CB=4,∠OEB=90°,∴OB2=OE2+BE2.

设☉O的半径为R,∵DE=2,∴OE=R-2,

在Rt△OEB中,R2=(R-2)2+42,解得R=5,

即☉O的半径为5.

12.解析　如图,过O点作半径OD⊥AB于E,

∴AE=BE=AB=×8=4(m),

在Rt△AEO中,OE===3(m),

∴ED=OD-OE=5-3=2(m).

答:水车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为2 m.