2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2=1B.x+1x=1C.x+2y=1D.x(x−1)=x2

2. 已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( )
A.−3B.3C.0D.0或3

3. 不解方程，判断方程2x2−3x+1＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根

4. 二次函数y=x2+1的图象大致是( )
A.B.C.D.

5. 已知抛物线y=−(x−1)2+4，下列说法错误的是( )
A.开口方向向下B.形状与y=x2相同
C.顶点(−1, 4)D.对称轴是x=1

6. 将x2+4x−5=0进行配方变形，下列正确的是( )
A.(x+2)2=9B.(x−2)2=9C.(x+2)2=1D.(x−2)2=1

7. 抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A.y=3(x−1)2−2B.y=3(x+1)2−2
C.y=3(x+1)2+2D.y=3(x−1)2+2

8. 已知点A(−3, y1)，B(−1, y2)，C(2, y3)在函数y＝−x2−2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A.y1
9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（ ）
A.抛物线开口向上
B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x＝4时，y>0
D.方程ax2+bx+c＝0的正根在2与3之间

10. 二次函数y=−(x−1)2+5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为( )
A.52B.2C.32D.12
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

若抛物线y=a(x−3)2+2经过点(1, −2)，则a=________．

方程x2−x=0的解是________．

为解决老百姓看病贵的问题，对某种原价为400元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为256元，设每次降价的百分率为x，则依题意列方程为：________．

若二次函数y=(k−2)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是________．

从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度ℎ（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是ℎ＝30t−5t2(0≤t≤6)，则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是________米．

已知抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于A，B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象．如图，当直线y=−x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为________．

三、解答题（共8题，共72分）

解方程：
（1）x2−6x+5＝0

（2）x(x−4)+5(x−4)＝0

某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3, 0)，B(−1, 0)．
(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标．

已知关于x的方程x2−(k+1)x+14k2+1=0．
(1)当k取何值方程有两个实数根．

(2)是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为5．

已知二次函数y=−(a+b)x2−2cx+a−b中，a，b，c是△ABC的三边．
(1)当抛物线与x轴只有一个交点时，判断△ABC是什么形状；

(2)当x=−12时，该函数有最大值a2，判断△ABC是什么形状．

小红的父母开了一个小服装店，出售某种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖300件．该同学对市场作了如下调查：每降价1元，每星期可多卖20件；每涨价1元，每星期要少卖10件．
(1)小红已经求出在涨价情况下一个星期的利润w（元）与售价x（元）（x为整数）的函数关系式为w=−10(x−65)2+6250，请你求出在降价的情况下w与x的函数关系式；

(2)在降价的条件下，问每件商品的售价定为多少时，一个星期的利润恰好为6000元？

(3)问如何定价，才能使一星期获得的利润最大？

在Rt△ACB中，∠C=90∘，点O是AB的中点，点M，N分别在边AC，BC上，OM⊥ON，连MN，AC=4，BC=8，设AM=a，BN=b，MN=c．

(1)求证：a2+b2=c2；

(2)①若a=1，求b；②探究a与b的函数关系；

(3)△CMN面积的最大值为________（不写解答过程）

已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1, 0)，C(0, −3)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省武汉市某校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】
解：A，x2=1是一元二次方程，故A正确；
B，x+1x=1是分式方程，故B错误；
C，x+2y=1是二元一次方程，故C错误；
D，x(x−1)=x2是一元一次方程，故D错误；
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【解答】
解：∵ x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，
∴ 4+2m+2=0，
∴ m=−3．
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝1>0，由此即可得出结论．
【解答】
∵ 在方程2x2−3x+1＝0中，△＝(−3)2−4×2×1＝1>0，
∴ 方程2x2−3x+1＝0有两个不相等的实数根．
4.
【答案】
B
【考点】
二次函数的图象
二次函数图象与系数的关系
【解析】
利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．
【解答】
解：二次函数y=x2+1中，
a=1>0，图象开口向上，顶点坐标为(0, 1)，
符合条件的图象是B．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
【解析】
根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A，抛物线y=−(x−1)2+4，a=−1<0，抛物线开口向下，此选项正确；
B，抛物线y=−(x−1)2+4形状与y=x2相同，此选项正确；
C，抛物线y=−(x−1)2+4顶点坐标是(1, 4)，此选项错误；
D，抛物线y=−(x−1)2+4对称轴x=1，此选项正确．
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】
解：移项，得：x2+4x=5，
配方：x2+4x+4=5+4，
即(x+2)2=9．
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
二次函数图象的平移规律
【解析】
根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】
解：根据左加右减，上加下减的原则，
抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得到的抛物线是y=3(x−1)2−2，
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
【解答】
解：∵ y＝−x2−2x+b，
∴ 函数y＝−x2−2x+b的对称轴为直线x＝−1，开口向下，
当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，
∵ −1−(−3)＝2，−1−(−1)＝0，2−(−1)＝3，
∴ y3故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数的性质
【解析】
根据题意列出方程组，求出二次函数的解析式；根据二次函数的性质及与一元二次方程的关系解答即可．
【解答】
由题意可得a−b+c=−3c=1a+b+c=3 ，解得a=−1b=3c=1 ，
故二次函数的解析式为y＝−x2+3x+1．
因为a＝−1<0，故抛物线开口向下；
又∵ c＝1>0，
∴ 抛物线与y轴交于正半轴；
当x＝4时，y＝−16+12+1＝−3<0；
故A，B，C错误；
方程ax2+bx+c＝0可化为−x2+3x+1＝0，
△＝32−4×(−1)×1＝13，
故方程的根为x=−b±b2−4ac2a=−3±132×(−1)=32±132，
故其正根为32+132≈1.5+1.8＝3.3，3<3.3<4，
10.
【答案】
D
【考点】
二次函数的最值
【解析】
结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可．
【解答】
解：二次函数y=−(x−1)2+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n<1时，当x=m时，y取最小值，
即2m=−(m−1)2+5，
解得：m=−2．
当x=n时，y取最大值，
即2n=−(n−1)2+5，
解得：n=2或n=−2（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，
即2m=−(m−1)2+5，
解得：m=−2．
当x=1时，y取最大值，即2n=−(1−1)2+5，
解得：n=52，
所以m+n=−2+52=12．
故选D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
【答案】
−1
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据点(1, −2)在抛物线上利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】
解：∵ 抛物线y=a(x−3)2+2经过点(1, −2)，
∴ −2=a(1−3)2+2=4a+2，
解得：a=−1．
故答案为：−1．
【答案】
0或1
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】
解：原方程变形为：x(x−1)=0，
∴ x=0或x=1．
故答案为：0或1.
【答案】
400(1−x)2=256
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是400(1−x)2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程400(1−x)2=256．
【解答】
解：设平均每次降价的百分率为x，
则第一降价售价为400(1−x)，则第二次降价为400(1−x)2，
由题意得：
400(1−x)2=256．
故答案为：400(1−x)2=256．
【答案】
k≤3且k≠2
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解析】
根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】
解：∵ 二次函数y=(k−2)x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴ 一元二次方程(k−2)x2+2x+1=0有解，
∴ k−2≠0△=22−4(k−2)=12−4k≥0，
解得：k≤3且k≠2．
故答案为：k≤3且k≠2．
【答案】
50
【考点】
二次函数的应用
【解析】
根据题目中的函数解析式可以求得ℎ的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长，本题得以解决．
【解答】
∵ ℎ＝30t−5t2＝−5(t−3)2+45(0≤t≤6)，
∴ 当t＝3时，ℎ取得最大值，此时ℎ＝45，
∴ 小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45+[45−(30×4−5×42)]＝50（米），
【答案】
n>214或−1【考点】
两直线平行问题
翻折问题
一次函数图象与系数的关系
抛物线与x轴的交点
二次函数图象与几何变换
根的判别式
【解析】
(1)根据解析式求与x轴交点A、B的坐标，确定二次函数的顶点M，由翻折性质求新抛物线顶点坐标为(1, 4)，得出新抛物线的解析式；
(2)求直线y=−x+n过两个边界点时对应的n的值，并求直线与新抛物线相切时的n值，继而得出n的取值范围．
【解答】
解：
当y=0时，y=x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
x=−1或3，
∴ A(−1, 0)，B(3, 0)，
y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴ M(1, −4)，
如图，作直线y=−x，
分别过A，B作直线y=−x的平行线，
当直线y=−x+n经过A(−1, 0)时，1+n=0，n=−1，
当直线y=−x+n经过B(3, 0)时，−3+n=0，n=3，
∴ n的取值范围为：−1根据题意得：翻折后的顶点坐标为(1, 4)，
∴ 翻折后的抛物线的解析式为：
y=−(x−1)2+4=−x2+2x+3，
当直线y=−x+n与抛物线y=−x2+2x+3只有一个公共点时，
则y=−x+ny=−x2+2x+3，
−x2+2x+3=−x+n，
−x2+3x+3−n=0，
Δ=9+4(3−n)=0，
n=214，
综上所述：当直线y=−x+n与此图象有且只有两个公共点时，
则n的取值范围为n>214或−1故答案为：n>214或−1三、解答题（共8题，共72分）
【答案】
x2−6x+5＝0，
(x−5)(x−1)＝0，
x−5＝0，x−1＝0，
x1＝5，x2＝1；
x(x−4)+5(x−4)＝0，
(x−4)(x+5)＝0，
x−4＝0，x+5＝0，
x1＝4，x2＝−5．
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】
x2−6x+5＝0，
(x−5)(x−1)＝0，
x−5＝0，x−1＝0，
x1＝5，x2＝1；
x(x−4)+5(x−4)＝0，
(x−4)(x+5)＝0，
x−4＝0，x+5＝0，
x1＝4，x2＝−5．
【答案】
解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x(1+x)=121，
∴ x=10或x=−12（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．
【考点】
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用——其他问题
【解析】
设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有(x+1)人患了流感，第二轮有x(x+1)人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题．
【解答】
解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x(1+x)=121，
∴ x=10或x=−12（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3, 0)，B(−1, 0)．
∴ 抛物线的解析式为y=−(x−3)(x+1)，
即y=−x2+2x+3.
(2)∵ 抛物线的解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为：(1, 4)．
【考点】
二次函数的性质
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）根据抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3, 0)，B(−1, 0)，直接得出抛物线的解析式为；y=−(x−3)(x+1)，再整理即可，
（2）根据抛物线的解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，即可得出答案．
【解答】
解：(1)∵ 抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3, 0)，B(−1, 0)．
∴ 抛物线的解析式为y=−(x−3)(x+1)，
即y=−x2+2x+3.
(2)∵ 抛物线的解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为：(1, 4)．
【答案】
解：(1)∵ Δ=[−(k+1)]2−4×(14k2+1)=2k−3≥0，
∴ k≥32，
(2)设方程的两根为x1，x2
∴ x12+x22=5，
∵ x1+x2=k+1，x1x2=14k2+1，
∴ x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2
=(k+1)2−2×(14k2+1)=5，
化简得k2+4k−12=0，
即(k+6)(k−2)=0，
解得k1=−6，k2=2，
∵ x1+x2=k+1>0，
∴ k=2．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
解一元二次方程-因式分解法
勾股定理
完全平方公式
【解析】
(1)根据判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围；
(2)设方程的两根为x1，x2，依题意x12+x22=5，又根据根与系数的关系可以得到x1+x2=k+1，x1⋅x2=14k2+1，而x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2，这样利用这些等式变形即可求解．
【解答】
解：(1)∵ Δ=[−(k+1)]2−4×(14k2+1)=2k−3≥0，
∴ k≥32，
(2)设方程的两根为x1，x2
∴ x12+x22=5，
∵ x1+x2=k+1，x1x2=14k2+1，
∴ x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2
=(k+1)2−2×(14k2+1)=5，
化简得k2+4k−12=0，
即(k+6)(k−2)=0，
解得k1=−6，k2=2，
∵ x1+x2=k+1>0，
∴ k=2．
【答案】
解：(1)当抛物线与x轴只有一个交点时，△ABC是直角三角形；理由如下：
当抛物线与x轴只有一个交点时，Δ=0，
即(−2c)2−4×[−(a+b)(a−b)]=0，
整理得c2+a2=b2，
∴ △ABC是直角三角形；
(2)△ABC是等边三角形；理由如下：
根据题意得：−2c2(a+b)=−12，即c=a+b2时，
代入x=−12，
−(a+b)4−2×a+b2×(−12)+a−b
=(a+b)4+a−b
=5a−3b4=a2.
解得a=b，
又c=a+b2，
∴ a=b=c，
即△ABC是等边三角形．
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数的最值
根的判别式
直角三角形的性质
【解析】
（1）由题意得出△=0，得出c2+a2=b2，由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形即可；
（2）由x=−12时函数有最大值为a2，可知顶点的横坐标为−12，纵坐标为a2，根据顶点坐标公式列方程求解即可．
【解答】
解：(1)当抛物线与x轴只有一个交点时，△ABC是直角三角形；理由如下：
当抛物线与x轴只有一个交点时，Δ=0，
即(−2c)2−4×[−(a+b)(a−b)]=0，
整理得c2+a2=b2，
∴ △ABC是直角三角形；
(2)△ABC是等边三角形；理由如下：
根据题意得：−2c2(a+b)=−12，即c=a+b2时，
代入x=−12，
−(a+b)4−2×a+b2×(−12)+a−b
=(a+b)4+a−b
=5a−3b4=a2.
解得a=b，
又c=a+b2，
∴ a=b=c，
即△ABC是等边三角形．
【答案】
解：(1)降价时，
w=(x−40)[300+20(60−x)]
=−20x2+2300x−60000(40(2)令w=−20x2+2300x−60000=6000，
解得x1=55，x2=60（舍去）
答：当每件商品的售价定为55元时，一个星期的利润恰好为6000元.
(3)w1=−10(x−65)2+6250，
∵ a=−10<0，
∴ 当x=65时，w1有最大值为6250元，
w2=−20x2+2300x−60000=−20(x−57.5)2+6125，
当x=57.5时，w2有最大值为6125元，
∵ 6250>6125，
∴ 当每件商品的定价为65元时，获得利润最大．
【考点】
二次函数的应用
一元二次方程的应用
【解析】
（1）根据利润=每件的利润×销售量，即可解决问题．
（2）利用（1）中结果，列出方程即可．
（3）利用配方法，即可解决问题．
【解答】
解：(1)降价时，
w=(x−40)[300+20(60−x)]
=−20x2+2300x−60000(40(2)令w=−20x2+2300x−60000=6000，
解得x1=55，x2=60（舍去）
答：当每件商品的售价定为55元时，一个星期的利润恰好为6000元.
(3)w1=−10(x−65)2+6250，
∵ a=−10<0，
∴ 当x=65时，w1有最大值为6250元，
w2=−20x2+2300x−60000=−20(x−57.5)2+6125，
当x=57.5时，w2有最大值为6125元，
∵ 6250>6125，
∴ 当每件商品的定价为65元时，获得利润最大．
【答案】
(1)证明：如图，
过点B作BE // AC交MO的延长线于E，连接NE．
∵ AM // BE，
∴ ∠A=∠OBE，
在△AOM和△BOE中，
∠A=∠OBEAO=BO∠AOM=∠BOE，
∴ △AOM≅△BOE，
∴ MO=OE，AM=BE=a，
∵ OM⊥ON，
∴ MN=NE=c，
∵ ∠C=90∘
∴ ∠A+∠ABC=90∘，
∴ ∠OBE+∠ABC=90∘，
∴ ∠EBN=90∘，
∴ NE2=BN2+BE2，
∵ NE=c，BE=a，BN=b，
∴ a2+b2=c2．
(2)①在Rt△MNC中，MN2=CM2+CN2，
∴ c2=(4−a)2+(8−b)2，
∵ a=1，a2+b2=c2，
∴ 9+(8−b)2=1+b2，
∴ b=92
②∵ c2=(4−a)2+(8−b)2=a2+b2，
∴ a+2b=10．
254
【考点】
三角形的面积
二次函数的最值
勾股定理
全等三角形的判定
全等三角形的性质
平行线的性质
【解析】
（1）过点B作BE // AC交MO的延长线于E，连接NE，由△AOM≅△BOE，得MO=OE，AM=BE=a，根据垂直平分线的性质得NM=NE，只要证明△NBE是RT△即可．
（2）①根据MN2=AM2+BN2=CM2+CN2列出方程即可解决．
②方法类似①．
（3）根据S△CMN=12(4−a)(8−b)=−b2+11b−24，利用二次函数的性质解决问题．
【解答】
(1)证明：如图，
过点B作BE // AC交MO的延长线于E，连接NE．
∵ AM // BE，
∴ ∠A=∠OBE，
在△AOM和△BOE中，
∠A=∠OBEAO=BO∠AOM=∠BOE，
∴ △AOM≅△BOE，
∴ MO=OE，AM=BE=a，
∵ OM⊥ON，
∴ MN=NE=c，
∵ ∠C=90∘
∴ ∠A+∠ABC=90∘，
∴ ∠OBE+∠ABC=90∘，
∴ ∠EBN=90∘，
∴ NE2=BN2+BE2，
∵ NE=c，BE=a，BN=b，
∴ a2+b2=c2．
(2)①在Rt△MNC中，MN2=CM2+CN2，
∴ c2=(4−a)2+(8−b)2，
∵ a=1，a2+b2=c2，
∴ 9+(8−b)2=1+b2，
∴ b=92
②∵ c2=(4−a)2+(8−b)2=a2+b2，
∴ a+2b=10．
(3)S△CMN=12(4−a)(8−b)=−b2+11b−24
=−(b−112)2+254，
∴ 当b=112时，S△CMN最大值=254．
故答案为：254.
【答案】
解：(1)将点B，C的坐标代入抛物线的解析式得：4a+c=0c=−3，
解得：a=34，c=−3．
∴ 抛物线的解析式为y=34x2+94x−3
(2)令y=0，则34x2+94x−3=0，解得x1=1，x2=−4
∴ A(−4, 0)，B(1, 0)
令x=0，则y=−3
∴ C(0, −3)
∴ S△ABC=12×5×3=152
设D(m, 34m2+94m−3)
过点D作DE // y轴交AC于E．直线AC的解析式为
y=−34x−3，则E(m, −34m−3)
DE=−34m−3−(34m2+94m−3)=−34(m+2)2+3
当m=−2时，DE有最大值为3
此时，S△ACD有最大值为12×DE×4=2DE=6
∴ 四边形ABCD的面积的最大值为6+152=272．
(3)如图所示：
①过点C作CP1 // x轴交抛物线于点P1，
过点P1作P1E1 // AC交x轴于点E1，
此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵ C(0, −3)
∴ 设P1(x, −3)
∴ 34x2+94x−3=−3
解得x1=0，x2=−3
∴ P1(−3, −3)；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，
当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵ C(0, −3)
∴ 设P(x, 3)，
∴ 34x2+94x−3=3，
解得x=−3+412或x=−3−412，
∴ P2(−3+412, 3)或P3(−3−412, 3)
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是
P1(−3, −3)或P2(−3+412, 3)或P3(−3−412, 3)．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；过点D作DE // y轴交AC于E，则E(m, −34m−3)，可得到当△ADC面积有最大值时，四边形BCD的面积最大值，然后列出四边形的面积与m的函数关系式，利用配方法可求得此时m的取值范围；
（3）本题应分情况讨论：①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．
【解答】
解：(1)将点B，C的坐标代入抛物线的解析式得：4a+c=0c=−3，
解得：a=34，c=−3．
∴ 抛物线的解析式为y=34x2+94x−3.
(2)令y=0，则34x2+94x−3=0，解得x1=1，x2=−4
∴ A(−4, 0)，B(1, 0)
令x=0，则y=−3
∴ C(0, −3)
∴ S△ABC=12×5×3=152
设D(m, 34m2+94m−3)
过点D作DE // y轴交AC于E．直线AC的解析式为
y=−34x−3，则E(m, −34m−3)
DE=−34m−3−(34m2+94m−3)=−34(m+2)2+3
当m=−2时，DE有最大值为3
此时，S△ACD有最大值为12×DE×4=2DE=6
∴ 四边形ABCD的面积的最大值为6+152=272．
(3)如图所示：
①过点C作CP1 // x轴交抛物线于点P1，
过点P1作P1E1 // AC交x轴于点E1，
此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵ C(0, −3)
∴ 设P1(x, −3)
∴ 34x2+94x−3=−3
解得x1=0，x2=−3
∴ P1(−3, −3)；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，
当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵ C(0, −3)
∴ 设P(x, 3)，
∴ 34x2+94x−3=3，
解得x=−3+412或x=−3−412，
∴ P2(−3+412, 3)或P3(−3−412, 3)
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是
P1(−3, −3)或P2(−3+412, 3)或P3(−3−412, 3)．x
…
−1
0
1
2
…
y
…
−3
1
3
1
…