2019-2020学年某校九年级（上）月考数学试卷（9月份） (1)

这是一份2019-2020学年某校九年级（上）月考数学试卷（9月份） (1)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 方程3x2+2＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A.3、−6B.3、6C.3、2D.2、−6

2. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A.x2+3＝0B.x2+x＝0C.x2+2x＝−1D.x2+3x＝1

3. 用配方法解方程x2+1＝4x，下列变形正确的是（ ）
A.(x+2)2＝3B.(x−2)2＝3C.(x+2)2＝5D.(x−2)2＝5

4. 已知2x2−x−1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2为（ ）
A.1B.−1C.12D.−12

5. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A.12x(x+1)=28B.12x(x−1)=28
C.x(x+1)=28D.x(x−1)=28

6. 抛物线y＝−(x−2)2−3经过平移得到抛物线y＝−x2−1，平移过程正确的是（ ）
A.先向下平移2个单位，再向左平移2个单位
B.先向上平移2个单位，再向右平移2个单位
C.先向下平移2个单位，再向右平移2个单位
D.先向上平移2个单位，再向左平移2个单位

7. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为( )
A.100(1+x)2=800
B.100+100×2x=800
C.100+100×3x=800
D.100[1+(1+x)+(1+x)2]=800

8. 已知关于x的方程kx2+(1−k)x−1=0，下列说法正确的是( )
A.当k=0时，方程无解
B.当k=1时，方程有一个实数解
C.当k=−1时，方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是（ ）
A.抛物线开口向上
B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x＝4时，y>0
D.方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间

10. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝−1，且过点(−3, 0)，说法：①abc<0；②2a−b＝0；③−a+c<0；④若(−5, y1)、(52, y2)是抛物线上两点，则y1>y2，其中说法正确的有（ ）个．

A.1B.2C.3D.4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

抛物线y＝2(x−4)2+1的顶点坐标为________．

方程x2−9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为________．

小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了________个好友．

某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 3 m．


二次函数y＝a(x−4)2−4(a≠0)的图象在2
我们把a、b两个数中较小的数记作min{a, b}，直线y＝kx−k−2(k<0)与函数y＝min{x2−1、−x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为________2或−53或-1 ．
三、解答题（共7题，共72分）

解方程：
（1）x2−4x−7＝0；

（2）x2−4x−12＝0．

已知抛物线的顶点坐标是(2, 3)，并且经过点(0, −1)，求它的解析式．

已知抛物线y=x2−4x+3
(1)直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标

(2)当y<0时，直接写出x的取值范围．

如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆围成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米，矩形场地的面积为s平方米．

（1）求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；

（2）若矩形场地的面积为48平方米，求矩形场地的长与宽．

关于x的方程x2+(2a−3)x+a2=0.
（1）有两个不等的实数根，求a的取值范围；

（2）若x1、x2是方程的两根，且1x1+1x2=1，求a．

某商品的进价为每件40元，售价每件不低于60元且每件不高于80元．当售价为每件60元是，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）当每件商品定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？

已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE．

（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；

（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG // BD，BG＝BD．
①求∠BDE的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值．

如图，抛物线y＝ax2−4ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连GD，是否存在点P，使GDGO=2？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由

（3）如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N，若∠MON＝45∘，求m的值．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省武汉市某校九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
方程移项变形为一般形式，找出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】
方程整理得：3x2−6x+2＝0，
则二次项系数和一次项系数分别为3，−6，
2.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
判断方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2−4ac的值的符号就可以了．
【解答】
A、x2+3＝0，
∵ a＝1，b＝0，c＝3，
∴ △＝b2−4ac＝−12<，
∴ 此方程没有实数根；
B、x2+x＝0，
∵ a＝1，b＝1，c＝0，
∴ △＝b2−4ac＝1>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根；
C、x2+2x＝−1，
∵ a＝1，b＝2，c＝1，
∴ △＝b2−4ac＝4−4＝0，
∴ 方程有两个相等的实数根；
D、x2+3x＝1，
∵ a＝1，b＝3，c＝−1，
∴ △＝b2−4ac＝9+4＝13>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
3.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
移项，配方，即可得出选项．
【解答】
x2+1＝4x，
x2−4x＝−1，
x2−4x+4＝−1+4，
(x−2)2＝3，
4.
【答案】
C
【考点】
根与系数的关系
【解析】
根据根与系数的关系，即可得到答案．
【解答】
根据题意得：
x1+x2=−−12=12，
5.
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
一元二次方程的应用——其他问题
【解析】
关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．
【解答】
解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：12x(x−1)=4×7．
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
先利用顶点式得到抛物线y＝−(x−2)2−3的顶点坐标为(2, −3)，抛物线y＝−x2−1的顶点坐标为(0, −1)，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
【解答】
抛物线y＝−(x−2)2−3的顶点坐标为(2, −3)，抛物线y＝−x2−1的顶点坐标为(0, −1)，而点(2, −3)先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后可得点(0, −1)，
抛物线y＝−(x−2)2−3先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后可得抛物线y＝−x2−1．
7.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．
【解答】
解：∵ 一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴ 二月份的营业额为100(1+x)，
∴ 三月份的营业额为100(1+x)(1+x)=100(1+x)2，
∴ 可列方程为100+100(1+x)+100(1+x)2=800，
即100[1+(1+x)+(1+x)2]=800.
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
一元一次方程的解
【解析】
利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可．
【解答】
解：关于x的方程kx2+(1−k)x−1=0，
A、当k=0时，x−1=0，则x=1，故此选项错误；
B、当k=1时，x2−1=0，x=±1，方程有两个实数解，故此选项错误；
C、当k=−1时，−x2+2x−1=0，则(x−1)2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；
D、Δ=(1−k)2−4k×(−1)=(k+1)2≥0，故此选项错误．
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
【解析】
根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
由图表可得，
该函数的对称轴是直线x=0+32=32，有最大值，
∴ 抛物线开口向下，故选项A错误，
抛物线与y轴的交点为(0, 1)，故选项B错误，
x＝−1和x＝4时的函数值相等，则x＝4时，y＝−3<0，故选项C错误，
方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间，故选项D正确，
故选：D．
10.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与系数的关系
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据抛物线开口方向得到a>0，根据抛物线的对称轴得b＝2a>0，则2a−b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则abc<0，于是可对①进行判断；由于x＝−1时，y<0，则得到a−2a+c<0，则可对③进行判断；通过点(−5, y1)和点(52, y2)离对称轴的远近对④进行判断．
【解答】
∵ 抛物线开口向上，
∴ a>0，
∵ 抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴ b＝2a>0，则2a−b＝0，所以②正确；
∵ 抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴ c<0，
∴ abc<0，所以①正确；
∵ x＝−1时，y＝a−b+c<0，
∵ b＝2a，
∴ a−2a+c<0，即−a+c<0，所以③正确；
∵ 点(−5, y1)离对称轴要比点(52, y2)离对称轴要远，
∴ y1>y2，所以④正确．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
【答案】
(4, 1)
【考点】
二次函数的性质
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数的三种形式
【解析】
由抛物线解析式可求得答案．
【解答】
∵ y＝2(x−4)2+1，
∴ 顶点坐标为(4, 1)，
【答案】
15
【考点】
三角形三边关系
解一元二次方程-因式分解法
等腰三角形的判定与性质
【解析】
利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．
【解答】
解：x2−9x+18=0，因式分解得(x−3)(x−6)=0，
所以x1=3，x2=6，
若腰为3，底为6，则3+3=6，没办法构成三角形；
所以等腰三角形的底为3，腰为6，
所以这个等腰三角形的周长为3+6+6=15．
故答案为：15．
【答案】
5
【考点】
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用——其他问题
【解析】
设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有x人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向(x+1)个人发送短信，则第二轮后又有x(x+1)个人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有35人收到同一条短信列出方程．
【解答】
解：设每轮每人向x人 发送短信，
依题意得：x+x(x+1)=35，
解得：x1=5，x2=−7（不合题意，舍去）
故答案为：5．
【答案】
3
【考点】
相似三角形的应用
勾股定理
两点间的距离
【解析】
设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，由图得知点(0, 2.4)，(3, 0)在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=−415x2+2.4，根据题意求出y＝1.8时x的值，进而求出答案；
【解答】
设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，
由图得知：点(0, 2.4)，(3, 0)在抛物线上，
∴ 2.4=b0=9a+b ，解得：a=−415b=2.4 ，
∴ 抛物线的解析式为：y=−415x2+2.4，
∵ 菜农的身高为1.8m，即y＝1.8，
则1.8=−415x2+2.4，
解得：x＝±32，
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米，
【答案】
1
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解析】
利用二次函数的性质得抛物线的对称轴为直线x＝4，利用抛物线的对称性得到x＝2和x＝6对应的函数值相等，由于抛物线在2【解答】
∵ 抛物线y＝a(x−4)2−4(a≠0)的对称轴为直线x＝4，
∴ x＝2和x＝6对应的函数值相等，
∵ 抛物线在2∴ x＝2和x＝6时，y＝0，
即抛物线与x轴的交点坐标为(2, 0)，(6, 0)，
把(2, 0)代入y＝a(x−4)2−4(a≠0)得a(2−4)2−4＝0，解得a＝1．
【答案】
2−2
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
一次函数的图象
待定系数法求一次函数解析式
【解析】
结合x的范围画出函数y＝min{x2−1、−x+1}图象，由直线y＝kx−k−2(k<0)与该函数图象只有两个交点且k<0，判断直线的位置得①直线y＝kx−k−2经过点(−2, 3)时可以求出k；②直线y＝kx−k−2与函数y＝x2−1相切时，可以求出k．
【解答】
根据题意，x2−1<−x+1，即x2+x−2<0，
解得：−2故当−2当x≤−2或x≥1时，y＝−x+1；
函数图象如下：
由图象可知，∵ 直线y＝kx−k−2(k<0)与函数y＝min{x2−1、−x+1}的图象有且只有2个交点，且k<0，
①直线y＝kx−k−2经过点(−2, 3)时，3＝−2k−k−2，k=−53，此时直线y=−53x−13，与函数y＝min{x2−1、−x+1}的图象有且只有2个交点．
②直线y＝kx−k−2与函数y＝x2−1相切时，由y=x2−1y=kx−k−2 消去y得x2−kx+k+1＝0，∵ △＝0，k<0，
∴ k2−4k−4＝0，
∴ k＝2−22（或2+22舍弃），此时直线y＝(2−22)x−4+22与函数y＝min{x2−1、−x+1}的图象有且只有2个交点．
③直线y＝kx−k−2和直线y＝−x+1平行，k＝−1，直线为y＝−x−1与函数y＝min{x2−1、−x+1}的图象有且只有2个交点．
综上，k＝2−22或−53或−1．
三、解答题（共7题，共72分）
【答案】
x2−4x＝7，
x2−4x+4＝7+4，
(x−2)2＝11，
x−2=±11，
则x1＝2+11，x2＝2−11；
x2−4x−12＝0
(x−6)(x+2)＝0，
则x−6＝0，x+2＝0，
解得：x1＝6，x2＝−2．
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
（1）首先把常数项移到等号右边，然后利用配方法把方程的左边化为平方的形式，再利用直接开平方法解即可．
（2）首先把方程的左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，可得(x−6)(x+2)＝0，进而可得x−6＝0，x+2＝0，再解即可．
【解答】
x2−4x＝7，
x2−4x+4＝7+4，
(x−2)2＝11，
x−2=±11，
则x1＝2+11，x2＝2−11；
x2−4x−12＝0
(x−6)(x+2)＝0，
则x−6＝0，x+2＝0，
解得：x1＝6，x2＝−2．
【答案】
根据题意，设抛物线的解析式y＝a(x−2)2+3，
∵ 抛物线经过点(0, −1)，
∴ −1＝a(0−2)2+3，解得a＝−1，
∴ y＝−(x−2)2+3，
∴ 抛物线的解析式为y＝−x2+4x−1．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数的性质
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据已知设出抛物线的解析式y＝a(x−2)2+3，把点(0, −1)代入即可求得a的值，即可求得抛物线的解析式．
【解答】
根据题意，设抛物线的解析式y＝a(x−2)2+3，
∵ 抛物线经过点(0, −1)，
∴ −1＝a(0−2)2+3，解得a＝−1，
∴ y＝−(x−2)2+3，
∴ 抛物线的解析式为y＝−x2+4x−1．
【答案】
解：(1)∵ y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴ 开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2, −1)；
（2）y<0即x2−4x+3<0，
解得：1【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
【解析】
(1)配方成顶点式，根据二次函数的性质解答即可；
(2)根据y<0得出不等式，解不等式可得．
【解答】
解：(1)∵ y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴ 开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2, −1)；
（2）y<0即x2−4x+3<0，
解得：1【答案】
∵ AD＝BC＝x，
∴ AB＝20−2x．
又∵ 墙长10米，
∴ 20−2x≤102x<20 ，
∴ 5≤x<10．
∴ s＝x(20−2x)＝−2x2+20x(5≤x<10)．
当矩形场地的面积为48平方米时，−2x2+20x＝48，
解得：x1＝4（不合题意，舍去），x2＝6，
∴ 20−2x＝8．
答：矩形的长为8米，宽为6米．
【考点】
函数自变量的取值范围
函数关系式
一元二次方程的应用
【解析】
（1）由AD＝x，可得出AB＝20−2x，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函数关系式；
（2）根据矩形场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】
∵ AD＝BC＝x，
∴ AB＝20−2x．
又∵ 墙长10米，
∴ 20−2x≤102x<20 ，
∴ 5≤x<10．
∴ s＝x(20−2x)＝−2x2+20x(5≤x<10)．
当矩形场地的面积为48平方米时，−2x2+20x＝48，
解得：x1＝4（不合题意，舍去），x2＝6，
∴ 20−2x＝8．
答：矩形的长为8米，宽为6米．
【答案】
解：(1)∵ 有两个不等的实数根，
∴ Δ=(2a−3)2−4a2>0，
整理得：9−12a>0，
解得：a<34，
即a的取值范围为：a<34.
(2)根据题意得：x1+x2＝3−2a，x1x2＝a2，
∵ 1x1+1x2=1，
∴ 3−2aa2=1，
解得：a1＝1，a2＝−3，
经检验：a1＝1，a2＝−3时，a2≠0，
∴ 原方程的解为：a1＝1，a2＝−3，
又∵ a<34，
∴ a＝−3．
【考点】
根的判别式
根与系数的关系
【解析】
（1）根据“有两个不等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2＝3−2a，x1x2＝a2，结合“1x1+1x2=1”，得到关于a的分式方程，解之，经过检验，并结合（1）的结果，即可得到答案．
【解答】
解：(1)∵ 有两个不等的实数根，
∴ Δ=(2a−3)2−4a2>0，
整理得：9−12a>0，
解得：a<34，
即a的取值范围为：a<34.
(2)根据题意得：x1+x2＝3−2a，x1x2＝a2，
∵ 1x1+1x2=1，
∴ 3−2aa2=1，
解得：a1＝1，a2＝−3，
经检验：a1＝1，a2＝−3时，a2≠0，
∴ 原方程的解为：a1＝1，a2＝−3，
又∵ a<34，
∴ a＝−3．
【答案】
y＝(x−40)[100+2(60−x)]＝−2x2+300x−8800；（60≤x≤80且x为整数）
y＝−2x2+300x−8800＝−2(x−75)2+2450，∵ a＝−2<0，∴ 当x＝75时，y有最大值2450．∴ 每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
当y＝2250元时，−2x2+300x−8800＝2250，解得：x1＝65，x2＝85；其中，x2＝85不符合题意，舍去．因此当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元．
【考点】
二次函数的应用
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用——利润问题
【解析】
（1）由于售价为60时，每个月卖100件，售价上涨影响销量，因此根据60≤x≤80列式求解；
（2）由（1）中求得的函数解析式来根据自变量x的范围求利润的最大值；
（3）在60≤x≤80，令y＝2250，求得定价x的值．
【解答】
y＝(x−40)[100+2(60−x)]＝−2x2+300x−8800；（60≤x≤80且x为整数）
y＝−2x2+300x−8800＝−2(x−75)2+2450，
∵ a＝−2<0，
∴ 当x＝75时，y有最大值2450．
∴ 每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
当y＝2250元时，
−2x2+300x−8800＝2250，
解得：x1＝65，x2＝85；
其中，x2＝85不符合题意，舍去．
因此当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元．
【答案】
（1）证明：∵ 四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴ BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90∘．
∴ ∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴ ∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，
BC = DC∠ BCG = ∠ DCE CG = CE ，
∴ △BCG≅△DCE(SAS)．
∴ BG=DE；
（2）①连接BE．由（1）可知：BG=DE．
∵ CG // BD，
∴ ∠DCG=∠BDC=45∘．
∴ ∠BCG=∠BCD+∠GCD=90∘+45∘=135∘．
∵ ∠GCE=90∘，
∴ ∠BCE=360∘−∠BCG−∠GCE=360∘−135∘−90∘=135∘．
∴ ∠BCG=∠BCE．
∵ BC=BC，CG=CE，在△BCG和△BCE中，
BC = BC∠ BCG = ∠ BCE GC = EC ，
∴ △BCG≅△BCE(SAS)．
∴ BG=BE．
∵ BG=BD=DE，
∴ BD=BE=DE．
∴ △BDE为等边三角形．
∴ ∠BDE=60∘；
②延长EC交BD于点H，在△BCE和△DCE中，
DE = BEDC = BC CE = CE，
∴ △BCE≅△BCG(SSS)，
∴ ∠BEC=∠DEC，
∴ EH⊥BD，BH = 12BD．
∵ BC=CD=2，在Rt△BCD中由勾股定理，
得：BD = BC2 + CD2 = (2)2 + (2)2 = 2．
∴ BH=1．
∴ CH=1．
在Rt△BHE中，由勾股定理，得EH = 3，
∴ CE = 3 − 1．
∴ 正方形CEFG的边长为3 − 1．
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
勾股定理
【解析】
（1）根据正方形的性质可以得出BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90∘，再证明△BCG≅△DCE就可以得出结论；
（2）①根据平行线的性质可以得出∠DCG=∠BDC=45∘，可以得出∠BCG=∠BCE，可以得出△BCG≅△BCE，得出BG=BE得出△BDE为正三角形就可以得出结论；
②延长EC交BD于点H，通过证明△BCE≅△BCG就可以得出∠BEC=∠DEC，就可以得出EH⊥BD，BH = 12BD，由勾股定理就可以求出EH的值，从而求出结论．
【解答】
（1）证明：∵ 四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴ BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90∘．
∴ ∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴ ∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，
BC = DC∠ BCG = ∠ DCE CG = CE ，
∴ △BCG≅△DCE(SAS)．
∴ BG=DE；
（2）①连接BE．由（1）可知：BG=DE．
∵ CG // BD，
∴ ∠DCG=∠BDC=45∘．
∴ ∠BCG=∠BCD+∠GCD=90∘+45∘=135∘．
∵ ∠GCE=90∘，
∴ ∠BCE=360∘−∠BCG−∠GCE=360∘−135∘−90∘=135∘．
∴ ∠BCG=∠BCE．
∵ BC=BC，CG=CE，在△BCG和△BCE中，
BC = BC∠ BCG = ∠ BCE GC = EC ，
∴ △BCG≅△BCE(SAS)．
∴ BG=BE．
∵ BG=BD=DE，
∴ BD=BE=DE．
∴ △BDE为等边三角形．
∴ ∠BDE=60∘；
②延长EC交BD于点H，在△BCE和△DCE中，
DE = BEDC = BC CE = CE，
∴ △BCE≅△BCG(SSS)，
∴ ∠BEC=∠DEC，
∴ EH⊥BD，BH = 12BD．
∵ BC=CD=2，在Rt△BCD中由勾股定理，
得：BD = BC2 + CD2 = (2)2 + (2)2 = 2．
∴ BH=1．
∴ CH=1．
在Rt△BHE中，由勾股定理，得EH = 3，
∴ CE = 3 − 1．
∴ 正方形CEFG的边长为3 − 1．
【答案】
∵ OB＝OC＝3，∴ B(3, 0)，C(0, 3)，代入y＝ax2−4ax+b，得b=39a−12a+b=0 ，解得a=1b=3 ，∴ 抛物线的解析式为y＝x2−4x+3．
如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K．由题意D(2, −1)，B(3, 0)，C(0, 3)，∵ 直线BC的解析式为y＝−x+3，设G(m, −m+3)，∴ GD=2GO，∴ (m−2)2+(−m+4)2＝2[m2+(−m+3)2]，解得m＝±1，当m＝1时，G(1, 2)设直线OG的解析式为y＝kx，把G点坐标代入得到，k＝2，∴ 直线OG的解析式为y＝2x，由y=2xy=x2−4x+3 解得x=3−6y=6−26 或x=3+6y=6+26 ，∵ 点P在对称轴左侧，∴ 点P坐标为(3−6, 6−26)．当m＝−1时，G(−1, 4)，直线OG的解析式为y＝−4x，y=−4xy=x2−4x+3 方程组无解，此时点P不存在，综上所述，满足条件的点P坐标为(3−6, 6−26)．
如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90∘得到△OBG．∵ ∠MON＝45∘，∴ ∠MOC+∠NOB＝∠NOB+∠BOG＝45∘，∴ ∠MON＝∠GON＝45∘，∵ ON＝ON，OM＝OG，∴ △ONM≅△ONG，∴ MN＝NG，∵ ∠NBG＝∠NBO+∠OBG＝45∘+45∘＝90∘，∴ NG2＝BN2+BG2，∴ MN2＝CM2+BN2，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则MN2＝[2(x2−x1)]2＝2[(x1+x2)2−4x1x2]，设平移后的抛物线的解析式为y＝x2−4x+3+m，由y=−x+3y=x2−4x+3+m 消去y得到x2−3x+m＝0，∴ x1+x2=3x1x2=mx1+y1=3x2+y2=3 ∴ y1＝x2，y2＝x1，∴ M、N关于直线y＝x对称，∴ CM＝BN，设CM＝BN＝a，则MN＝32−2a，∴ (32−2a)2＝a2+a2，∴ a＝32−3（负根已经舍弃），∴ MN＝6−32，∴ (6−32)2＝2(32−4m)，∴ m=92(2−1)．
【考点】
二次函数综合题
反比例函数与一次函数的综合
勾股定理
【解析】
（1）把B(3, 0)，C(0, 3)，代入y＝ax2−4ax+b，解方程组即可．
（2）如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K，将△OBD绕点O逆时针旋转90∘得到△OCG，则点G在线段BC上，只要证明△GOD是等腰直角三角形，即可得到直线GO与抛物线的交点即为所求的点P．利用方程组即可解决问题．
（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90∘得到△OBG，首先证明MN2＝CM2+BN2，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则MN2＝[2(x2−x1)]2＝2[(x1+x2)2−4x1x2]，
设平移后的抛物线的解析式为y＝x2−4x+3+m，由y=−x+3y=x2−4x+3+m 消去y得到x2−3x+m＝0，由x1+x2=3x1x2=mx1+y1=3x2+y2=3 ，推出y1＝x2，y2＝x1，M、N关于直线y＝x对称，所以CM＝BN，设CM＝BN＝a，则MN＝32−2a，利用勾股定理求出a以及MN的长，再根据根与系数关系，列出方程即可解决问题．
【解答】
∵ OB＝OC＝3，
∴ B(3, 0)，C(0, 3)，代入y＝ax2−4ax+b，
得b=39a−12a+b=0 ，解得a=1b=3 ，
∴ 抛物线的解析式为y＝x2−4x+3．
如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K．
由题意D(2, −1)，B(3, 0)，C(0, 3)，
∵ 直线BC的解析式为y＝−x+3，设G(m, −m+3)，
∴ GD=2GO，
∴ (m−2)2+(−m+4)2＝2[m2+(−m+3)2]，
解得m＝±1，
当m＝1时，G(1, 2)
设直线OG的解析式为y＝kx，把G点坐标代入得到，k＝2，
∴ 直线OG的解析式为y＝2x，
由y=2xy=x2−4x+3 解得x=3−6y=6−26 或x=3+6y=6+26 ，
∵ 点P在对称轴左侧，
∴ 点P坐标为(3−6, 6−26)．
当m＝−1时，G(−1, 4)，
直线OG的解析式为y＝−4x，
y=−4xy=x2−4x+3 方程组无解，此时点P不存在，
综上所述，满足条件的点P坐标为(3−6, 6−26)．
如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90∘得到△OBG．
∵ ∠MON＝45∘，
∴ ∠MOC+∠NOB＝∠NOB+∠BOG＝45∘，
∴ ∠MON＝∠GON＝45∘，∵ ON＝ON，OM＝OG，
∴ △ONM≅△ONG，
∴ MN＝NG，
∵ ∠NBG＝∠NBO+∠OBG＝45∘+45∘＝90∘，
∴ NG2＝BN2+BG2，
∴ MN2＝CM2+BN2，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则MN2＝[2(x2−x1)]2＝2[(x1+x2)2−4x1x2]，
设平移后的抛物线的解析式为y＝x2−4x+3+m，
由y=−x+3y=x2−4x+3+m 消去y得到x2−3x+m＝0，
∴ x1+x2=3x1x2=mx1+y1=3x2+y2=3
∴ y1＝x2，y2＝x1，
∴ M、N关于直线y＝x对称，
∴ CM＝BN，设CM＝BN＝a，则MN＝32−2a，
∴ (32−2a)2＝a2+a2，
∴ a＝32−3（负根已经舍弃），
∴ MN＝6−32，
∴ (6−32)2＝2(32−4m)，
∴ m=92(2−1)．x
…
−1
0
1
3
…
y
…
−3
1
3
1
…