初中数学苏科版八年级下册11.2 反比例函数的图象与性质教案设计

11.3　用反比例函数解决问题（1）

教学目标

1．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；

2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，培养分析和解决问题的能力；

3．在交流过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点．

教学重点

把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想．

教学难点

1．把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想；

2．将生活问题与数学问题联系起来，培养学生对数学的兴趣．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

开场白：

同学们，你使劲踩过气球吗？为什么使劲踩气球，气球会发生爆炸？你能解释这个现象吗？

进入状态，积极思考，回答问题．

由学生熟悉的情景入手，给学生一个展示才华的机会，增强学生学习数学的兴趣．

引入：

反比例函数是刻画现实问题中数量关系的一种数学模型，它与一次函数、正比例函数一样，在生活、生产实际中也有着广泛的应用．

在一个实际问题中，两个变量x、y满足关系式（k为常数，k≠0），则y就是x的反比例函数．这时，若给出x的某一数值，则可求出对应的y值，反之亦然．

给学生展现一个美妙的前景，激发学生学习数学的欲望．

实践探索一：

小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．

（1）如果小明以每分钟 120 字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？

（2）完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）有怎样的函数关系？

（3）在直角坐标系中，作出相应函数的图像；

（4）要在3h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？

（分析：条件“3h内”即t的范围是0＜t≤3，而要求“每分钟至少应录入多少个字”是求v的取值范围，这是个不等式的问题．由于反比例函数t，当v＞0时，t随v的增大而减小，所以，当t取得最大值时，v有最小值；因此我们可以通过等式去解决这个问题） ．

（5）你能利用图像对（4）作出直观解释吗？

互相讨论，踊跃回答：

参考答案：（1） ．

所以完成录入任务需200 min ．

（2）由v·t＝24000，得t．

完成录入的时间t是录入文字的速度v的反比例函数．

（3）略．

（在实际问题中，反比例函数的自变量与函数的取值不再是非零实数，一般为正数、正整数等）．

（4）把t＝180代入v·t＝24000，得

≈133.3．

小明每分钟至少应录入134字，才能在3h内完成录入任务 (本题v的取值为正整数，需对计算结果“进一”， 作为实际问题的解．不等式的问题转化为求函数值的问题）．

（5）我们在函数图像上找到当t＝180的点，此时在这个点下侧也就是右侧的函数图像所对应的v值都是满足要求的．结合实际意义，此时v为≥134的正整数．

通过生活中的实际问题得出具体的反比例函数，其目的是丰富具体的反比例函数的实例，增强学生对反比例函数的认识．

通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．

实践探索二：

    某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．

（1）蓄水池的底面积S(m2）与其深度h(m）有怎样的函数关系？

（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为多少？

（3）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少米（精确到0.01）？

小组讨论，代表回答：

（1）由Sh＝4×104，得．

蓄水池的底面积S是其深度h的反比例函数．

（2）把h＝5代入，得．

当蓄水池的深度设计为5m时，它的底面积应为8000m2 (本题中给出了 h 的值，求相应 S 的值，这是个求函数值的问题）.

（3）根据题意，得S＝100×60＝6000．

把S＝6000代入，得≈6.667．

蓄水池的深度至少应为6.67m ．

通过学生相互讨论，提高学生的分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．无论学习成绩好坏，学生都有自己的思维方式和解决问题的途径，通过回答能把这些情况展示出来，有利于教师对症下药，掌握学生思路上的偏差．

实践探索三：

    某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa）是气体体积V(m3）的反比例函数，其图像如图所示．

（1）你能写出这个函数表达式吗？

（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？

（3）当气球内的气压大于140kpa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？

练习：课本练习1、2．

小组讨论，代表回答：

（1） ；

（2）当V＝1m3时， ．

（3）当P＝140时，V＝≈0.686．

所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．

学生答题的过程，就是学生主动参与学习的过程，既提高了学生的参与度，又发挥了学生的自由度，变被动学为主动学．

生活中还有许多反比例函数模型的实际问题，你能举出例子吗？

积极思考，踊跃回答．

让学生进一步感受反比例函数是一类反映现实世界特定数量关系的数学模型．学生利用已有的生活经验与对反比例函数的认识，通过举例、说理、交流达到内化、升华，渗透函数建模的数学思想．

最大限度地激发学生的学习兴趣，提高学生思考问题的主动性和解决问题的能力，从而培养对数学学科的浓厚兴趣．让学生真正体会到生活处处皆数学，生活处处有函数．

总结：

讨论后共同小结．

师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．

课后作业：

课本习题1、2．