初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程教案

21.2.4 判别一元二次方程根的情况

    教学内容

    用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．

    教学目标

    掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．

    通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．

    重难点关键

    1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．

    2．难点与关键

    从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．

    教具、学具准备

    小黑板

    教学过程

    一、复习引入

    （学生活动）用公式法解下列方程．

    （1）2x2-3x=0    （2）3x2-2x+1=0    （3）4x2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根.

二、探索新知

请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。

       从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

    求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．

    因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．

    （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．

    （3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

    例1．不解方程，判定方程根的情况

    （1）16x2+8x=-3    （2）9x2+6x+1=0

    （3）2x2-9x+8=0    （4）x2-7x-18=0

    分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．

    解：（1）化为16x2+8x+3=0

    这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0

    所以，方程没有实数根．

 三、巩固练习

    不解方程判定下列方程根的情况:

    （1）x2+10x+23=0    （2）x2-x-=0      （3）3x2+6x-5=0      （4）4x2-x+=0

    （5）x2-x-=0  （6）4x2-6x=0      （7）x（2x-4）=5-8x

    四、应用拓展

    例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

    分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

    五、归纳小结

    本节课应掌握：

    b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．

    六、布置作业

     教材复习巩固6  综合运用9  拓广探索1、2．