2022届高三物理一轮复习 微专题07 曲线运动（全国通用）

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微专题07 曲线运动解决目标及考点：曲线运动的条件和特征小船渡河模型连接体速度问题例1　如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的（　　）【答案】　C【解析】  从M运动到N的曲线轨迹，由轨迹可知，符合情况的受力情况只有BC；题中说明是减速运动，所以符合情况的只有C。1、曲线运动的轨迹凹的开口为受力方向2、曲线运动中某点的切线方向为物体的瞬时速度方向3、瞬时速度方向与受力方向的夹角θ作为判断加速/减速的判断依据。夹角θ大于90°则减速，小于90°则加速，等于90°则速度不变。一、物体运动分类及其原因直线运动条件：受到合外力与初速度在同一直线即可。在这条件成立条件下，①和②区别在于合外力是否为0，即有无加速度a的存在，有则①，无则②。在①成立的条件下，③和④的区别在于a是否恒定（方向、大小都不变才叫恒定），恒定则③，不恒定则④。在③成立的条件下，⑤和⑥的区别在于a与初速度v是否同向，同向加速，异向减速。曲线运动的条件：受到合外力与初速度不在同一直线即可。在这条件成立条件下，⑦和⑧区别在于合外力（或者加速度）是否恒定，恒定则为⑦，不恒定则为⑧。而A和B的区别就在于合外力与初速度是否在同一直线。⑦中的代表有：平抛、斜抛等，它们的合外力只有重力，恒定力；而熟知的匀速圆周运动是属于⑧的。二、两个直线运动的合运动性质的判断标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，为匀变速直线运动如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动三、小船模型中的两个问题渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝渡河位移最短如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于四、连接体速度问题关键：沿着绳子/杆方向的速度相等原则：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图所示.考点： 曲线运动条件【例题1】下列说法正确的是（　　）A.做曲线运动的物体的速度一定变化B.速度变化的运动一定是曲线运动C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动D.加速度变化的运动一定是曲线运动【答案】　A【解析】　做曲线运动的物体，速度方向一定改变，选项A正确；速度大小改变而方向不变的运动是直线运动，选项B错误；平抛运动是加速度恒定的曲线运动，选项C错误；加速度大小改变，但加速度方向与速度方向始终相同，这种运动是直线运动，选项D错误.考点： 小船模型【例题2】小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的航速是4 m/s，求：(1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？(3)小船渡河的最短时间为多长？(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？【解析】　(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动.因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝＝ s＝50 s小船沿水流方向的位移x水＝v水t＝2×50 m＝100 m即船将在正对岸下游100 m处靠岸.(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则cos θ＝＝＝，故θ＝60°即船的航向与上游河岸成60°角，渡河时间t＝＝ s＝ s.(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角β，如图乙所示.船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin β，故小船渡河的时间为t＝.当β＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间tmin＝50 s.(4)因为v船＝3 m/s<v水＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游.如图丙所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短.以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大.则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°又＝＝，代入数据解得x′≈267 m.【变式1】　(2018·云南保山模拟)如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同.某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化.求：(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小.(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值.【答案】　(1)5 m/s　(2)2.4 m/s【解析】　(1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示.故此时轮船相对于静水的速度v2的大小为v2＝＝ m/s＝5 m/s.(2)由(1)中，熄火前，设v与v2的夹角为θ，则cos θ＝＝0.8，轮船的牵引力沿v2的方向，水的作用力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在水的作用力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，α＝θ，则vmin＝v1cos α＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s.考点： 连接体速度问题【例题3】A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示，物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)（　　）A.                     B.     C.      D.【答案】　D【解析】　设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝   ①物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，则有v绳A＝v1cos α ②由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A        ③联立①②③式解得vB＝，选项D正确.【例题4】如图所示，当小车A以恒定的速度v向左运动时，对于B物体，下列说法正确的是（　　）A．匀加速上升B．B物体受到的拉力大于B物体受到的重力C．匀速上升D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力【答案】　B[来源：Z_xx_k.Com]【解析】　将小车的速度分解，如图所示，合速度v沿绳方向的分速度等于物体B的速度vB，所以vB＝vcosθ，随着小车的运动，θ变小，速度vB增大，但速度vB增大不均匀，B物体做变加速运动；进一步可以推知，B物体受到的拉力大于B物体受到的重力．【例题5】如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是(   )A．此时B球的速度为vB．此时B球的速度为vC．在β增大到90°的过程中，B球做匀速运动D．在β增大到90°的过程中，B球做加速运动[来源：学科网ZXXK]【答案】AD【解析】由于两球沿着绳子方向速度大小相等，因此vcosα=vBcosβ，解得vB=vcosα/cosβ，A正确B错误；在β增大到90°的过程中α在减小，因此B的速度在增大，C错误D正确 【例题6】如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方0点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与o点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平（转过了90°角）．下列有关此过程的说法中正确的是（　　） A．重物M做匀速直线运动B．重物M做变速直线运动[来源：学科网]C．重物M的最大速度是2ωLD．重物M的速度先减小后增大【答案】B【解析】设C的线速度方向与绳子方向夹角θ（锐角），由题知C的线速度wl，该线速度在绳子方向上的分速度为wlcosθ，θ的规律是开始最大，逐渐减小，所以wlcosθ逐渐变大，直至绳子与杆垂直，θ为0，绳子速度变为最大，为wl；然后θ逐渐增大，wlcosθ逐渐变小，绳子的速度变慢，所以物体的速度先增大后减小，最大为wl，即B正确1.下列关于运动和力的叙述中，正确的是（　　）A.做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的B.做圆周运动的物体，所受的合力一定指向圆心C.物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动D.物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同2.一质点做曲线运动，速率逐渐减小.关于它在运动过程中P点的速度v和加速度a的方向，下列描述准确的图是（　　）3.(2017·甘肃兰州一中期中)小船过河时，船头偏向上游与河岸成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（　　）A.减小α角，增大船速vB.增大α角，增大船速vC.减小α角，保持船速v不变D.增大α角，保持船速v不变4.如图6所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是（　　）A.小船渡河的轨迹为直线B.小船在河水中的最大速度是5 m/sC.小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度D.小船渡河的时间是160 s5.(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河.河水流速为v0.两船在静水中的速率均为v.甲、乙两船船头与河岸夹角均为θ，如图7所示，已知甲船恰好能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为l.则下列判断正确的是（　　）A.甲、乙两船同时到达对岸B.若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变C.不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ，甲船总能到达正对岸的A点D.若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为l6.一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？7.(2015·广东理综·14)如图4所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物（　　）A.帆船朝正东方向航行，速度大小为vB.帆船朝正西方向航行，速度大小为vC.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为vD.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v8.(2018·湖北荆州模拟)帆船船头指向正东以速度v(静水中速度)航行，海面正刮着南风，风速为v，以海岸为参考系，不计阻力.关于帆船的实际航行方向和速度大小，下列说法中正确的是（　　）A.帆船沿北偏东30°方向航行，速度大小为2vB.帆船沿东偏北60°方向航行，速度大小为vC.帆船沿东偏北30°方向航行，速度大小为2vD.帆船沿东偏南60°方向航行，速度大小为v参考答案1.【答案】　C【解析】　做匀变速曲线运动的物体，其加速度不变，故A错误；做匀速圆周运动的物体，所受的合力才指向圆心，做变速圆周运动的物体，所受的合力不指向圆心，故B错误；物体所受合外力与运动方向共线，一定是直线运动，故C正确；物体运动的速率在增加，所受合力方向与运动方向可能相同，也可能夹角为锐角，故D错误.2.【答案】　C【解析】　题图A中，加速度方向与速度方向夹角小于90°，质点做加速运动，故A错误；题图B中，加速度的方向不能沿曲线的切线方向，应与力同向指向曲线内侧，故B错误；题图C中，加速度方向与速度方向夹角大于90°，质点做减速运动，故C正确；题图D中，速度方向应该沿曲线的切线方向，故D错误.3.【答案】　A【解析】　由题意可知，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，当水流速度稍有增大，如图所示，为保持航线不变，且准时到达对岸，则减小α角，增大船速v，可知，A正确，B、C、D均错误.故选A.4.【答案】　B【解析】　小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，A错.当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，B对.小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错.小船的渡河时间t＝＝200 s，D错.5.【答案】　ABD【解析】　甲、乙两船在垂直河岸方向上的分速度相同，都为vsin θ，根据合运动与分运动具有等时性可知，两船的渡河时间相同，且与河水流速v0无关，故A、B正确；将船速v正交分解，当vcos θ＝v0，即甲船的合速度垂直指向对岸时，甲船才能到达正对岸，故C错误；两船到达对岸时，两船之间的距离x＝x乙－x甲＝(vcos θ＋v0)t－(v0－vcos θ)t＝2vtcos θ，与v0无关，故D正确.6.【答案】　(1)船头垂直于河岸　36 s　90 m(2)船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m(3)船头与上游河岸成53°角　150 s　300 m【解析】　将船实际的速度(合速度)分解为垂直于河岸方向和平行于河岸方向的两个分速度，垂直于河岸的分速度影响渡河的时间，而平行于河岸的分速度只影响船在平行于河岸方向的位移.(1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应垂直于河岸方向，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直于河岸的分速度为v2＝5 m/s.t＝＝＝ s＝36 sv合＝＝ m/sx＝v合t＝90 m.(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，合速度应沿垂直于河岸方向，船头应朝图乙中的v2方向.垂直于河岸过河则要求v∥＝0，有v2sin θ＝v1，得θ＝30°.所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短.x＝d＝180 mt＝＝＝ s＝24 s.(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝.欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向的夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2.由sin α＝＝，得α＝37°所以船头应朝与上游河岸成53°角方向.t＝＝ s＝150 sv合＝v1cos α＝2 m/sx＝v合t＝300 m.7.【答案】　D【解析】　以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v和正北方向的速度v，所以帆船相对帆板的速度v相对＝v，方向为北偏东45°，D正确.8.【答案】　A【解析】　由于帆船的船头指向正东，并以相对静水中的速度v航行，南风以v的风速向北吹来，当以海岸为参考系时，实际速度v实＝＝2v，设帆船实际航行方向与正北方向夹角为α，则sin α＝＝，α＝30°，即帆船沿北偏东30°方向航行，选项A正确.