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2022届高三物理一轮复习 微专题09 圆周运动（全国通用）
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微专题09 圆周运动
解决目标及考点:
1. 向心力、圆周运动基础知识
2. 竖直面圆周运动
3. 水平面圆周运动
4. 临界问题
【例题1】(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则（ ）
A.小球运动到最低点Q时，处于失重状态
B.小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
C.当v0>时，小球一定能通过最高点P
D.当v0<时，细绳始终处于绷紧状态
【答案】 CD
【解析】 小球运动到最低点Q时，由于加速度向上，故处于超重状态，选项A错误；小球在最低点时：FT1－mg＝m；在最高点时：FT2＋mg＝m，其中mv02－mg·2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q两点绳对小球的拉力差与初速度v0无关，选项B错误；当v0＝时，得v＝，因为小球能通过最高点的最小速度为，则当v0>时小球一定能通过最高点P，选项C正确；当v0＝时，由mv02＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0<时，小球将在最低点位置来回摆动，细绳始终处于绷紧状态，选项D正确.
一、 匀速圆周运动定义及特征
定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动.
特征：速度大小不变，但是方向时刻改变，都与轨迹相切；加速度大小不变，但是方向时刻改变，都指向圆心，且与速度垂直。（所以匀速圆周运动是一个变速的曲线运动）
条件：合外力大小不变且方向时刻指向圆心，始终与速度相切。
二、描述匀速圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
（沿着圆周运动的速度=周长/周期）
(1)v＝＝=ωr
(2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝＝，单位：s
(2)f＝，单位：Hz
向心加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an＝＝rω2
(2)单位：m/s2
三、圆周运动的供需关系（这个说法是辅助理解的，并非教材说法）
理解：物体能否做圆周运动是由向心力的供给和需求的关系决定的。当二者关系不等，则会出现向心运动或者离心运动，仅当二者相等时，物体才能做对应的圆周运动。
向心力：物体做圆周运动时指向圆心的合外力。这个向心力可以由一个力组成，也可以是多个力组成。在向心力的作用下，物体产生时刻指向圆心的加速度，与线速度时刻垂直，所以不会改变速度的大小，只能改变速度的方向。
供给角度。也就是向心力的来源，由物体所处的环境和位置，外部作用在物体身上的合力，指向圆心部分的力就是外界提供的向心力。
需求角度。物体根据自己圆周运动的相关参数（如半径多大，速度多快，角速度，周期等数据）来确定需要多大的向心力。F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
当F供>F需，即提供的向心力过大，物体做向心运动
当F供
四、 常见模型
飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆
飞车走壁 汽车在水平路面转弯 水平转台
五、 圆周运动解题步骤
1、 确定分析对象 2、确定圆周运动的平面（找圆心和轨迹半径） 3、分析（分析物体运动情况、受力情况两个角度） 4、列式（供需关系相等的式子）
需要注意的是：分析向心力的时候一定是找指向圆心方向的直线上的力进行合成，垂直这直线的力不考虑。
考点: 圆周运动基础知识
【例题2】如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是（ ）
A.重力、支持力
B.重力、向心力
C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D.重力、支持力、向心力、摩擦力
【答案】 C
【解析】；受力情况是指性质力，向心力是合力。水平圆周运动需要有水平方向的力指向圆心提供向心力，所以一定有摩擦力的存在。
【例题3】如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑.在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度大小之比ωA∶ωB∶ωC；
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.
【答案】 (1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1
【解析】 (1)令vA＝v，由于皮带传动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝v/2，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.
(2)令ωA＝ω，由于轮O1、O3共轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.
(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a.
又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比.故aC＝a.
所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.
(1)皮带传动：如图甲、乙（左）所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙（右）所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比.
口诀：同轴角速度等，同皮线速度等
考点: 向心力
【例题4】(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车（ ）
A.在绕过小圆弧弯道后加速
B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D.通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
【答案】 AB
【解析】 在弯道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得，kmg＝m，当弯道半径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项A正确；在大圆弧弯道上的速率为vmR＝＝ m/s＝45 m/s，选项B正确；直道的长度为x＝＝50 m，在小弯道上的最大速率为：vmr＝＝ m/s＝30 m/s，在直道上的加速度大小为a＝＝ m/s2≈6.50 m/s2，选项C错误；由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为，通过小圆弧弯道的时间为t＝ s≈2.79 s，选项D错误.
【例题5】两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是（ ）
【答案】 B
【解析】 小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得：Lcos θ＝，则两球处于同一高度，故B正确.
考点: 竖直面圆周运动、水平面圆周运动
【例题6】如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.g取10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
【答案】(1)2 m/s (2)15 N (3)4 m/s
【解析】(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg＋F1＝ ①
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，
亦即F1≥0 ②
联立①②得v≥，代入数值得v≥2 m/s
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s.
(2)将v2＝4 m/s代入①得，F2＝15 N.
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得
F3－mg＝ ③
将F3＝45 N代入③得v3＝4 m/s
即小球的速度不能超过4 m/s.
【变式1】如所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时（ ）
A.球B的速度为零 B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】 C
【解析】 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球所受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，故C正确，D错误.
【例题7】（2018湖南怀化期中联考）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
A. a绳的张力可能为零
B. a绳的张力随角速度的增大而增大
C. 当角速度，b绳将出现弹力
D. 若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】C
【解析】由于小球m的重力不为零，a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，选项A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，所以a绳的张力随角速度的增大不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，选项B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球m，Fsinθ=mg，Fcosθ=mω2l，联立解得：ω=，即当角速度，b绳将出现弹力，选项C正确；若ω=，b绳突然被剪断，则a绳的弹力不发生变化，选项D错误。
【变式2】如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）
A.当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为b
【答案】A
【解析】转盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力(摩擦力)提供物块做圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A正确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力，可能指向b，故C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向与a方向相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力，可能指向d，故D错误。
两类模型比较
绳—球模型
杆—球模型
实例
如球与绳连接、沿内轨道运动的球等
如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
最高点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于零
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征
mg＋FN＝m
mg±FN＝m
临界特征
FN＝0，vmin＝
竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件
v≥
v≥0
速度和弹力关系讨论分析
①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动
①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
②当0
④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
2.解题技巧
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同.
(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥及杆模型中v≥0这两个临界条件.
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向.
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
考点: 临界问题
【例题8】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A.当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B.当ω>，绳子一定有弹力
C.ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D.ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【答案】 ABD
【解析】 当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<内，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以Ff－FT＝mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确.
【变式1】(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是（ ）
A.6 cm
B.15 cm
C.30 cm
D.34 cm
【答案】BC
【解析】转台以一定的角速度ω旋转，木块M所需的向心力与回旋半径r成正比，在离O点最近处r＝r1时，M有向O点的运动趋势，这时摩擦力Ff沿半径向外，刚好达最大静摩擦力Ffm，即mg－Ffm＝Mω2r1
得r1＝＝ m＝0.08 m＝8 cm
同理，M在离O点最远处r＝r2时，有远离O点的运动趋势，这时摩擦力Ff的方向指向O点，且达到最大静摩擦力Ffm，即mg＋Ffm＝Mω2r2
得r2＝＝ m＝0.32 m＝32 cm
则木块M能够相对转台静止，回旋半径r应满足关系式r1≤r≤r2。选项B、C正确。[来
【例题9】如所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动.
(1)当v1＝时，求细线对小球的拉力大小；
(2)当v2＝时，求细线对小球的拉力大小.
【解析】小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN＝0，如图甲所示，设此时小球的线速度为v0，则F＝m＝m＝mgtan 30°解得v0＝
(1)因v1
FTcos 30°＋FNsin 30°＝mg解得FT＝
(2)因为v2>v0，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示，有
FT′sin α＝；FT′cos α＝mg解得FT′＝2mg(FT′＝－mg舍去).
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力.
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心.
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零.
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等.
1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（ ）
A.路面外侧高、内侧低
B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
2.(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O与板垂直的轴转动时，板上A、B两点的（ ）
A.角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B.角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C.线速度之比vA∶vB＝∶1
D.线速度之比vA∶vB＝1∶
3.(2015·天津理综·4)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示.当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力.为达到上述目的，下列说法正确的是（ ）
A.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
4.如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于零
B.小球过最高点时，速度至少为
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定不小于杆对球的作用力
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
5.如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A.A的速度比B的大
B.A与B的向心加速度大小相等
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
6.(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）
A.周期相同
B.线速度的大小相等
C.角速度的大小相等
D.向心加速度的大小相等
7.(多选)(2018·新疆石河子调研)为一链条传动装置的示意图.已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的半径比为k，下列说法正确的是（ ）
A.从动轮是顺时针转动的 B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C.从动轮的转速为nk D.从动轮的转速为
8.(多选)(2018·辽宁丹东质检)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点（ ）
A.A点和B点的线速度大小之比为1∶1
B.A点和B点的角速度之比为1∶1
C.A点和B点的角速度之比为3∶1
D.以上三个选项只有一个是正确的
9.(2017·广东汕头二模)如甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（ ）
A.数据a与小球的质量有关
B.数据b与圆周轨道半径有关
C.比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
10.(多选)(2018·江西吉安模拟)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω>，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
11.如所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是（ ）
A. rad/s B. rad/s C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
12.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（ ）
A.路面外侧高、内侧低
B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
13.(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O与板垂直的轴转动时，板上A、B两点的（ ）
A.角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B.角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C.线速度之比vA∶vB＝∶1
D.线速度之比vA∶vB＝1∶
14.如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于零
B.小球过最高点时，速度至少为
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定不小于杆对球的作用力
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
15..(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）
A.周期相同
B.线速度的大小相等
C.角速度的大小相等
D.向心加速度的大小相等
16.(多选)(2018·新疆石河子调研)图为一链条传动装置的示意图.已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的半径比为k，下列说法正确的是（ ）
A.从动轮是顺时针转动的 B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C.从动轮的转速为nk D.从动轮的转速为
17.(2017·河北保定一模)如图所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（ ）
A.小球在管顶部时速度大小一定为
B.小球运动到管底部时速度大小可能为
C.小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg
D.小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg
18.(多选)如甲所示，一长为l的轻绳，一端固定在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知、可视为质点的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动.小球通过最高点时，绳对小球的拉力F大小与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
0
A.图象函数表达式为F＝＋mg
B.重力加速度g＝
C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
19.(2016·全国卷Ⅱ·16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短.将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如所示.将两球由静止释放.在各自轨迹的最低点（ ）
1
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
20.(多选)如所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
2
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
21.(多选)(2018·新疆喀什质检)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心.已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑.今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（ ）
3
A.滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B.滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9
C.转速增加后，滑块B先发生滑动
D.转速增加后，两滑块一起发生滑动
22.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.
4
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；
(2)求绳能承受的最大拉力；
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
参考答案
1.【答案】 AC
【解析】 当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确.当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确.同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误.vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误.
2.【答案】 AD
3.【答案】 B
【解析】 由题意知有mg＝F＝mω2r，即g＝ω2r，因此r越大，ω越小，且与m无关，B正确.
4.【答案】 C
【解析】 由mg－FN＝m，小球在最高点的速度为v＝时，杆不受弹力，选项A错误；本题是轻杆模型，小球过最高点时，速度可以为零，选项B错误；小球的重力和杆对小球的弹力的合力提供向心力，向心力指向圆心，如果重力和杆的弹力方向相反，重力必须不小于杆的弹力，选项C正确；小球过最高点时，杆对球的作用力方向与重力方向可能相同，也可能相反，选项D错误.
5.【答案】 D
【解析】 根据题意可知，座椅A和B的角速度相等，A的转动半径小于B的转动半径，由v＝rω可知，座椅A的线速度比B的小，选项A错误；由an＝rω2可知，座椅A的向心加速度比B的小，选项B错误；座椅受力如图所示，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mrω2，tan θ＝，因座椅A的运动半径较小，故悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；拉力FT＝，可判断悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，选项D正确.
6.【答案】 AC
【解析】 对小球受力分析如图所示，受自身重力mg、绳子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为θ，小球到悬点的高度差为h，则有mgtan θ＝man＝mω2htan θ，可得向心加速度an＝gtan θ，所以向心加速度大小不相等，选项D错；角速度ω＝，所以角速度大小相等，选项C对；由于水平面内做圆周运动的半径不同，线速度v＝ωhtan θ，所以线速度大小不相等，选项B错；周期T＝，角速度相等，所以周期相等，选项A对.
7.【答案】 BC
【解析】 主动轮逆时针转动，带动从动轮逆时针转动，因为用链条传动，所以两轮边缘线速度大小相等，A错误，B正确；由r主∶r从＝k，2πn·r主＝2πn从·r从，可得n从＝nk，C正确，D错误.
8.【答案】 AC
【解析】 题图中三个齿轮边缘线速度相等，A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，选项B、D错误.
9.【答案】 D
【解析】 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有FT＋mg＝m，可得图线的函数表达式为FT＝m－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝m－mg，得g＝，则a＝gR；图线过点(2a，b)，则b＝m－mg，可得b＝mg，则＝，A、B、C错.由b＝mg得m＝，由a＝gR得R＝，则D正确.
10.【答案】 AC
11.【答案】 C
【解析】 当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r
解得ω＝1.0 rad/s，故选项C正确.
12【答案】 AC
【解析】 当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确.当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确.同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误.vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误.
13.【答案】 AD
14【答案】 C
【解析】 由mg－FN＝m，小球在最高点的速度为v＝时，杆不受弹力，选项A错误；本题是轻杆模型，小球过最高点时，速度可以为零，选项B错误；小球的重力和杆对小球的弹力的合力提供向心力，向心力指向圆心，如果重力和杆的弹力方向相反，重力必须不小于杆的弹力，选项C正确；小球过最高点时，杆对球的作用力方向与重力方向可能相同，也可能相反，选项D错误.
15.【答案】 AC
【解析】 对小球受力分析如图所示，受自身重力mg、绳子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为θ，小球到悬点的高度差为h，则有mgtan θ＝man＝mω2htan θ，可得向心加速度an＝gtan θ，所以向心加速度大小不相等，选项D错；角速度ω＝，所以角速度大小相等，选项C对；由于水平面内做圆周运动的半径不同，线速度v＝ωhtan θ，所以线速度大小不相等，选项B错；周期T＝，角速度相等，所以周期相等，选项A对.
16. BC
【解析】 主动轮逆时针转动，带动从动轮逆时针转动，因为用链条传动，所以两轮边缘线速度大小相等，A错误，B正确；由r主∶r从＝k，2πn·r主＝2πn从·r从，可得n从＝nk，C正确，D错误.
17.【答案】 C
【解析】 小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力.如果小球与外壁有作用力，对小球受力分析可知2mg＝m，可得v＝，其由管顶部运动到管底部的过程中由机械能守恒有mv12＝2mgR＋mv2，可得v1＝，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN1－mg＝m，解得FN1＝7mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为7mg.如果小球与内壁有作用力，对小球受力分析可知，在最高点小球速度为零，其由管顶部运动到管底部过程中由机械能守恒有mv22＝2mgR，解得v2＝2，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN2－mg＝m，解得FN2＝5mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为5mg.C对，A、B、D错.
18.【答案】 BD
【解析】 小球通过最高点时有F＋mg＝m，故图象函数表达式为F＝v2－mg，选项A错误；当F＝0时，v2＝b，解得重力加速度g＝，选项B正确；图线的斜率k＝，绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小，选项C错误；由于b＝gl，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，选项D正确.
19.【答案】 C
【解析】 小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因LPmQ，LP
【解析】 因圆盘从静止开始绕轴缓慢加速转动，在某一时刻，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则由牛顿第二定律可得Ff＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于a的轨道半径，故b做圆周运动需要的向心力较大，选项B错误；因为两木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，选项A正确；当b刚刚开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωb2·2l，可得ωb＝，选项C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωa2l，可得ωa＝，而<，故小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力提供，即Ffa＝mω2l＝kmg，选项D错误.
21.【答案】 ABC
【解析】 假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲·3R＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，A正确；滑块相对轮盘滑动前，根据an＝ω2r得A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，B正确；据题意可得滑块A、B的最大静摩擦力分别为FfA＝μmAg，FfB＝μmBg，最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，综上分析可得滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确，D错误.
22.【答案】 (1) (2)mg (3) d
【解析】 (1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得
竖直方向d＝gt2
水平方向d＝v1t解得v1＝
在竖直方向上有v⊥2＝2g(1－)d，则v22－v12＝2g(1－)d
解得v2＝
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小.球做圆周运动的半径为R＝d
对小球在最低点由牛顿第二定律得FT－mg＝
解得FT＝mg
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变.由牛顿第二定律得
FT－mg＝解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1，则
竖直方向d－l＝gt12水平方向x＝v3t1解得x＝4
当l＝时，x有最大值，xmax＝d.
微专题09 圆周运动
解决目标及考点:
1. 向心力、圆周运动基础知识
2. 竖直面圆周运动
3. 水平面圆周运动
4. 临界问题
【例题1】(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则（ ）
A.小球运动到最低点Q时，处于失重状态
B.小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
C.当v0>时，小球一定能通过最高点P
D.当v0<时，细绳始终处于绷紧状态
【答案】 CD
【解析】 小球运动到最低点Q时，由于加速度向上，故处于超重状态，选项A错误；小球在最低点时：FT1－mg＝m；在最高点时：FT2＋mg＝m，其中mv02－mg·2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q两点绳对小球的拉力差与初速度v0无关，选项B错误；当v0＝时，得v＝，因为小球能通过最高点的最小速度为，则当v0>时小球一定能通过最高点P，选项C正确；当v0＝时，由mv02＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0<时，小球将在最低点位置来回摆动，细绳始终处于绷紧状态，选项D正确.
一、 匀速圆周运动定义及特征
定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动.
特征：速度大小不变，但是方向时刻改变，都与轨迹相切；加速度大小不变，但是方向时刻改变，都指向圆心，且与速度垂直。（所以匀速圆周运动是一个变速的曲线运动）
条件：合外力大小不变且方向时刻指向圆心，始终与速度相切。
二、描述匀速圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
（沿着圆周运动的速度=周长/周期）
(1)v＝＝=ωr
(2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝＝，单位：s
(2)f＝，单位：Hz
向心加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an＝＝rω2
(2)单位：m/s2
三、圆周运动的供需关系（这个说法是辅助理解的，并非教材说法）
理解：物体能否做圆周运动是由向心力的供给和需求的关系决定的。当二者关系不等，则会出现向心运动或者离心运动，仅当二者相等时，物体才能做对应的圆周运动。
向心力：物体做圆周运动时指向圆心的合外力。这个向心力可以由一个力组成，也可以是多个力组成。在向心力的作用下，物体产生时刻指向圆心的加速度，与线速度时刻垂直，所以不会改变速度的大小，只能改变速度的方向。
供给角度。也就是向心力的来源，由物体所处的环境和位置，外部作用在物体身上的合力，指向圆心部分的力就是外界提供的向心力。
需求角度。物体根据自己圆周运动的相关参数（如半径多大，速度多快，角速度，周期等数据）来确定需要多大的向心力。F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
当F供>F需，即提供的向心力过大，物体做向心运动
当F供
四、 常见模型
飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆
飞车走壁 汽车在水平路面转弯 水平转台
五、 圆周运动解题步骤
1、 确定分析对象 2、确定圆周运动的平面（找圆心和轨迹半径） 3、分析（分析物体运动情况、受力情况两个角度） 4、列式（供需关系相等的式子）
需要注意的是：分析向心力的时候一定是找指向圆心方向的直线上的力进行合成，垂直这直线的力不考虑。
考点: 圆周运动基础知识
【例题2】如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是（ ）
A.重力、支持力
B.重力、向心力
C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D.重力、支持力、向心力、摩擦力
【答案】 C
【解析】；受力情况是指性质力，向心力是合力。水平圆周运动需要有水平方向的力指向圆心提供向心力，所以一定有摩擦力的存在。
【例题3】如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑.在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度大小之比ωA∶ωB∶ωC；
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.
【答案】 (1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1
【解析】 (1)令vA＝v，由于皮带传动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝v/2，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.
(2)令ωA＝ω，由于轮O1、O3共轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.
(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a.
又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比.故aC＝a.
所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.
(1)皮带传动：如图甲、乙（左）所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙（右）所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比.
口诀：同轴角速度等，同皮线速度等
考点: 向心力
【例题4】(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车（ ）
A.在绕过小圆弧弯道后加速
B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D.通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
【答案】 AB
【解析】 在弯道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得，kmg＝m，当弯道半径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项A正确；在大圆弧弯道上的速率为vmR＝＝ m/s＝45 m/s，选项B正确；直道的长度为x＝＝50 m，在小弯道上的最大速率为：vmr＝＝ m/s＝30 m/s，在直道上的加速度大小为a＝＝ m/s2≈6.50 m/s2，选项C错误；由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为，通过小圆弧弯道的时间为t＝ s≈2.79 s，选项D错误.
【例题5】两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是（ ）
【答案】 B
【解析】 小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得：Lcos θ＝，则两球处于同一高度，故B正确.
考点: 竖直面圆周运动、水平面圆周运动
【例题6】如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.g取10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
【答案】(1)2 m/s (2)15 N (3)4 m/s
【解析】(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg＋F1＝ ①
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，
亦即F1≥0 ②
联立①②得v≥，代入数值得v≥2 m/s
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s.
(2)将v2＝4 m/s代入①得，F2＝15 N.
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得
F3－mg＝ ③
将F3＝45 N代入③得v3＝4 m/s
即小球的速度不能超过4 m/s.
【变式1】如所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时（ ）
A.球B的速度为零 B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】 C
【解析】 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球所受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，故C正确，D错误.
【例题7】（2018湖南怀化期中联考）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
A. a绳的张力可能为零
B. a绳的张力随角速度的增大而增大
C. 当角速度，b绳将出现弹力
D. 若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】C
【解析】由于小球m的重力不为零，a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，选项A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，所以a绳的张力随角速度的增大不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，选项B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球m，Fsinθ=mg，Fcosθ=mω2l，联立解得：ω=，即当角速度，b绳将出现弹力，选项C正确；若ω=，b绳突然被剪断，则a绳的弹力不发生变化，选项D错误。
【变式2】如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）
A.当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为b
【答案】A
【解析】转盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力(摩擦力)提供物块做圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A正确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力，可能指向b，故C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向与a方向相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力，可能指向d，故D错误。
两类模型比较
绳—球模型
杆—球模型
实例
如球与绳连接、沿内轨道运动的球等
如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
最高点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于零
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征
mg＋FN＝m
mg±FN＝m
临界特征
FN＝0，vmin＝
竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件
v≥
v≥0
速度和弹力关系讨论分析
①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动
①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
②当0
④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
2.解题技巧
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同.
(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥及杆模型中v≥0这两个临界条件.
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向.
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
考点: 临界问题
【例题8】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A.当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B.当ω>，绳子一定有弹力
C.ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D.ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【答案】 ABD
【解析】 当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<内，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以Ff－FT＝mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确.
【变式1】(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是（ ）
A.6 cm
B.15 cm
C.30 cm
D.34 cm
【答案】BC
【解析】转台以一定的角速度ω旋转，木块M所需的向心力与回旋半径r成正比，在离O点最近处r＝r1时，M有向O点的运动趋势，这时摩擦力Ff沿半径向外，刚好达最大静摩擦力Ffm，即mg－Ffm＝Mω2r1
得r1＝＝ m＝0.08 m＝8 cm
同理，M在离O点最远处r＝r2时，有远离O点的运动趋势，这时摩擦力Ff的方向指向O点，且达到最大静摩擦力Ffm，即mg＋Ffm＝Mω2r2
得r2＝＝ m＝0.32 m＝32 cm
则木块M能够相对转台静止，回旋半径r应满足关系式r1≤r≤r2。选项B、C正确。[来
【例题9】如所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动.
(1)当v1＝时，求细线对小球的拉力大小；
(2)当v2＝时，求细线对小球的拉力大小.
【解析】小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN＝0，如图甲所示，设此时小球的线速度为v0，则F＝m＝m＝mgtan 30°解得v0＝
(1)因v1
FTcos 30°＋FNsin 30°＝mg解得FT＝
(2)因为v2>v0，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示，有
FT′sin α＝；FT′cos α＝mg解得FT′＝2mg(FT′＝－mg舍去).
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力.
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心.
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零.
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等.
1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（ ）
A.路面外侧高、内侧低
B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
2.(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O与板垂直的轴转动时，板上A、B两点的（ ）
A.角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B.角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C.线速度之比vA∶vB＝∶1
D.线速度之比vA∶vB＝1∶
3.(2015·天津理综·4)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示.当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力.为达到上述目的，下列说法正确的是（ ）
A.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
4.如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于零
B.小球过最高点时，速度至少为
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定不小于杆对球的作用力
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
5.如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A.A的速度比B的大
B.A与B的向心加速度大小相等
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
6.(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）
A.周期相同
B.线速度的大小相等
C.角速度的大小相等
D.向心加速度的大小相等
7.(多选)(2018·新疆石河子调研)为一链条传动装置的示意图.已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的半径比为k，下列说法正确的是（ ）
A.从动轮是顺时针转动的 B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C.从动轮的转速为nk D.从动轮的转速为
8.(多选)(2018·辽宁丹东质检)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点（ ）
A.A点和B点的线速度大小之比为1∶1
B.A点和B点的角速度之比为1∶1
C.A点和B点的角速度之比为3∶1
D.以上三个选项只有一个是正确的
9.(2017·广东汕头二模)如甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（ ）
A.数据a与小球的质量有关
B.数据b与圆周轨道半径有关
C.比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
10.(多选)(2018·江西吉安模拟)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω>，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
11.如所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是（ ）
A. rad/s B. rad/s C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
12.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（ ）
A.路面外侧高、内侧低
B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
13.(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O与板垂直的轴转动时，板上A、B两点的（ ）
A.角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B.角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C.线速度之比vA∶vB＝∶1
D.线速度之比vA∶vB＝1∶
14.如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于零
B.小球过最高点时，速度至少为
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定不小于杆对球的作用力
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
15..(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）
A.周期相同
B.线速度的大小相等
C.角速度的大小相等
D.向心加速度的大小相等
16.(多选)(2018·新疆石河子调研)图为一链条传动装置的示意图.已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的半径比为k，下列说法正确的是（ ）
A.从动轮是顺时针转动的 B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C.从动轮的转速为nk D.从动轮的转速为
17.(2017·河北保定一模)如图所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（ ）
A.小球在管顶部时速度大小一定为
B.小球运动到管底部时速度大小可能为
C.小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg
D.小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg
18.(多选)如甲所示，一长为l的轻绳，一端固定在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知、可视为质点的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动.小球通过最高点时，绳对小球的拉力F大小与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
0
A.图象函数表达式为F＝＋mg
B.重力加速度g＝
C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
19.(2016·全国卷Ⅱ·16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短.将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如所示.将两球由静止释放.在各自轨迹的最低点（ ）
1
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
20.(多选)如所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
2
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
21.(多选)(2018·新疆喀什质检)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心.已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑.今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（ ）
3
A.滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B.滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9
C.转速增加后，滑块B先发生滑动
D.转速增加后，两滑块一起发生滑动
22.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.
4
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；
(2)求绳能承受的最大拉力；
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
参考答案
1.【答案】 AC
【解析】 当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确.当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确.同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误.vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误.
2.【答案】 AD
3.【答案】 B
【解析】 由题意知有mg＝F＝mω2r，即g＝ω2r，因此r越大，ω越小，且与m无关，B正确.
4.【答案】 C
【解析】 由mg－FN＝m，小球在最高点的速度为v＝时，杆不受弹力，选项A错误；本题是轻杆模型，小球过最高点时，速度可以为零，选项B错误；小球的重力和杆对小球的弹力的合力提供向心力，向心力指向圆心，如果重力和杆的弹力方向相反，重力必须不小于杆的弹力，选项C正确；小球过最高点时，杆对球的作用力方向与重力方向可能相同，也可能相反，选项D错误.
5.【答案】 D
【解析】 根据题意可知，座椅A和B的角速度相等，A的转动半径小于B的转动半径，由v＝rω可知，座椅A的线速度比B的小，选项A错误；由an＝rω2可知，座椅A的向心加速度比B的小，选项B错误；座椅受力如图所示，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mrω2，tan θ＝，因座椅A的运动半径较小，故悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；拉力FT＝，可判断悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，选项D正确.
6.【答案】 AC
【解析】 对小球受力分析如图所示，受自身重力mg、绳子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为θ，小球到悬点的高度差为h，则有mgtan θ＝man＝mω2htan θ，可得向心加速度an＝gtan θ，所以向心加速度大小不相等，选项D错；角速度ω＝，所以角速度大小相等，选项C对；由于水平面内做圆周运动的半径不同，线速度v＝ωhtan θ，所以线速度大小不相等，选项B错；周期T＝，角速度相等，所以周期相等，选项A对.
7.【答案】 BC
【解析】 主动轮逆时针转动，带动从动轮逆时针转动，因为用链条传动，所以两轮边缘线速度大小相等，A错误，B正确；由r主∶r从＝k，2πn·r主＝2πn从·r从，可得n从＝nk，C正确，D错误.
8.【答案】 AC
【解析】 题图中三个齿轮边缘线速度相等，A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，选项B、D错误.
9.【答案】 D
【解析】 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有FT＋mg＝m，可得图线的函数表达式为FT＝m－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝m－mg，得g＝，则a＝gR；图线过点(2a，b)，则b＝m－mg，可得b＝mg，则＝，A、B、C错.由b＝mg得m＝，由a＝gR得R＝，则D正确.
10.【答案】 AC
11.【答案】 C
【解析】 当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r
解得ω＝1.0 rad/s，故选项C正确.
12【答案】 AC
【解析】 当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确.当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确.同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误.vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误.
13.【答案】 AD
14【答案】 C
【解析】 由mg－FN＝m，小球在最高点的速度为v＝时，杆不受弹力，选项A错误；本题是轻杆模型，小球过最高点时，速度可以为零，选项B错误；小球的重力和杆对小球的弹力的合力提供向心力，向心力指向圆心，如果重力和杆的弹力方向相反，重力必须不小于杆的弹力，选项C正确；小球过最高点时，杆对球的作用力方向与重力方向可能相同，也可能相反，选项D错误.
15.【答案】 AC
【解析】 对小球受力分析如图所示，受自身重力mg、绳子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为θ，小球到悬点的高度差为h，则有mgtan θ＝man＝mω2htan θ，可得向心加速度an＝gtan θ，所以向心加速度大小不相等，选项D错；角速度ω＝，所以角速度大小相等，选项C对；由于水平面内做圆周运动的半径不同，线速度v＝ωhtan θ，所以线速度大小不相等，选项B错；周期T＝，角速度相等，所以周期相等，选项A对.
16. BC
【解析】 主动轮逆时针转动，带动从动轮逆时针转动，因为用链条传动，所以两轮边缘线速度大小相等，A错误，B正确；由r主∶r从＝k，2πn·r主＝2πn从·r从，可得n从＝nk，C正确，D错误.
17.【答案】 C
【解析】 小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力.如果小球与外壁有作用力，对小球受力分析可知2mg＝m，可得v＝，其由管顶部运动到管底部的过程中由机械能守恒有mv12＝2mgR＋mv2，可得v1＝，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN1－mg＝m，解得FN1＝7mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为7mg.如果小球与内壁有作用力，对小球受力分析可知，在最高点小球速度为零，其由管顶部运动到管底部过程中由机械能守恒有mv22＝2mgR，解得v2＝2，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN2－mg＝m，解得FN2＝5mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为5mg.C对，A、B、D错.
18.【答案】 BD
【解析】 小球通过最高点时有F＋mg＝m，故图象函数表达式为F＝v2－mg，选项A错误；当F＝0时，v2＝b，解得重力加速度g＝，选项B正确；图线的斜率k＝，绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小，选项C错误；由于b＝gl，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，选项D正确.
19.【答案】 C
【解析】 小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因LP
【解析】 因圆盘从静止开始绕轴缓慢加速转动，在某一时刻，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则由牛顿第二定律可得Ff＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于a的轨道半径，故b做圆周运动需要的向心力较大，选项B错误；因为两木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，选项A正确；当b刚刚开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωb2·2l，可得ωb＝，选项C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωa2l，可得ωa＝，而<，故小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力提供，即Ffa＝mω2l＝kmg，选项D错误.
21.【答案】 ABC
【解析】 假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲·3R＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，A正确；滑块相对轮盘滑动前，根据an＝ω2r得A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，B正确；据题意可得滑块A、B的最大静摩擦力分别为FfA＝μmAg，FfB＝μmBg，最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，综上分析可得滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确，D错误.
22.【答案】 (1) (2)mg (3) d
【解析】 (1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得
竖直方向d＝gt2
水平方向d＝v1t解得v1＝
在竖直方向上有v⊥2＝2g(1－)d，则v22－v12＝2g(1－)d
解得v2＝
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小.球做圆周运动的半径为R＝d
对小球在最低点由牛顿第二定律得FT－mg＝
解得FT＝mg
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变.由牛顿第二定律得
FT－mg＝解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1，则
竖直方向d－l＝gt12水平方向x＝v3t1解得x＝4
当l＝时，x有最大值，xmax＝d.
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