2022届高三物理一轮复习 微专题10 万有引力应用（全国通用）

这是一份2022届高三物理一轮复习 微专题10 万有引力应用（全国通用），共17页。试卷主要包含了双星系统，赤道轨道，极地轨道，其他轨道，9 km/s等内容，欢迎下载使用。
微专题10 万有引力应用
解决目标及考点：
1. 开普勒定律应用 4.卫星飞行与同步卫星、天体追及问题
2. 万有引力应用 5.双星系统
3. 天体质量与密度

【例题1】某物理兴趣小组通过查资料得到以下量的具体数据(用字母表示)：地球半径R，地球质量m，日地中心距离r，地球的近地卫星绕地球运行的周期T1，地球的同步卫星绕地球运行的周期T0，地球绕太阳运行的周期T。由此可知（　　）
A．太阳质量为 B．太阳质量为
C．地球同步卫星离地面的高度为(－1)R D．地球同步卫星离地面的高度为(－1)R
【答案】AC
【解析】设太阳质量为M，由万有引力提供向心力有G＝mr，在地球表面有G＝m′R，得M＝，A正确，B错误；由开普勒第三定律有＝，可得地球同步卫星离地面的高度为h＝(－1)R，C正确，D错误。
【例题2】我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则（　　）
A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
【答案】B
【解析】航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G＝m＝mrω2＝mr（2π/T）2＝ma，解得v＝，T＝，ω＝，a＝，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B正确.

一、 开普勒三定律的理解和应用
三定律内容：（记忆方式）
1、 椭圆定律：天体运动轨迹都是椭圆轨道
2、 面积定律：飞行天体与中心天体的连线在相等时间内扫过椭圆面积相等
3、 调和定律：＝k
注意：开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.
二、万有引力
1、公式F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
2、适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离.
3、天体运动问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.
三、 天体质量与密度
（一）中心天体质量求解
（1）（2）（3）是利用环绕天体的运动来求天体质量，只能求得中心天体的质量，并不能求得环绕天体质量。
利用这些公式求质量时，需要圆周运动的半径r加v\w\T其中之一。
（4）是利用天体自身表面的物体重力来求天体质量，此法需要知道天体半径R和重力加速度g。
（1）G＝mr 得M＝
（2）G＝m 得M＝
（3）G＝mrw2 得M＝
（4）mg＝ 得M＝
（二）中心天体密度求解ρ=M/V
（1） 根据环绕天体求解：；得当r＝R时ρ＝（利用近地卫星只需测出其运行周期）
（2） 利用天体自身加速度。mg＝M＝ρ·πR3得ρ＝
四、卫星飞行与同步卫星
卫星运行参量
相关方程
结论
线速度v
G＝m⇒v＝
r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω
G＝mω2r⇒ω＝
周期T
G＝m（2π/T）2r ⇒T＝2π
向心加速度a
G＝ma⇒a＝
（一）卫星轨道
1.赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种.
2.极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星.
3.其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道.
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
（二）地球同步卫星的特点
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星.同步卫星有以下“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面.
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.
(4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝－R ≈3.6×107 m.
(5)速率一定：v＝≈3.1×103 m/s.
(6)向心加速度一定：由G＝man得an＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度.
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致.
五、双星系统
1.双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示.
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π
⑥双星的总质量m1＋m2＝
2.多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同.
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示).
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).


考点： 开普勒定律应用
【例题3】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（　　）
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【例题3】【答案】C
【解析】由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误.根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D错误.

【例题4】(多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则（　　）
A. T卫T月
C. T卫r同>r卫，由开普勒第三定律＝k，可知，T月>T同>T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月>T地>T卫。
考点：万有引力的应用
【例题5】由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二.若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝G.由于地球的质量为：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝＝＝πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”的加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误.
【例题6】“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（　　）
A.0 B. C. D.
【答案】B
考点：天体质量与密度
【例题7】假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m()2R＝G，又M＝πR3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝，故选项B正确，选项A、C、D错误.
【例题8】据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍.已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力：G＝m，且ρ地＝，联立得ρ地＝.而＝＝，因而ρ星＝.
考点：卫星飞行与同步卫星
【例题9】(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空.与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其（　　）
A.角速度小于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度
【答案】BCD
【解析】根据万有引力提供向心力得，G＝m(R＋h)ω2＝m＝m(R＋h)＝ma，解得，v＝，ω＝，T＝，a＝，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；由第一宇宙速度为可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确.
【例题10】中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统。预计2020年左右，北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力。如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，则（　　）
A．卫星a的角速度小于c的角速度
B．卫星a的加速度大于b的加速度
C．卫星a的运行速度大于第一宇宙速度
D．卫星b的周期大于24 h
【答案】A【解析】a的轨道半径大于c的轨道半径，因此卫星a的角速度小于c的角速度，选项A正确；a的轨道半径与b的轨道半径相等，因此卫星a的加速度等于b的加速度，选项B错误；a的轨道半径大于地球半径，因此卫星a的运行速度小于第一宇宙速度，选项C错误；a的轨道半径与b的轨道半径相等，卫星b的周期等于a的周期，为24 h，选项D错误。
【例题11】(2016·辽宁大连重点中学联考)如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h，则下列说法正确的是（　　）
A．该卫星的运行速度一定大于7.9 km/s
B．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2
C．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4
D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能
【答案】C
【解析】近地卫星的环绕速度等于第一宇宙速度7.9 km/s。根据G＝m，得v＝，半径越大线速度越小，该卫星的半径大于地球半径，则其运行速度一定小于7.9 km/s，选项A错误；该卫星从北纬60°到南纬60°，转过120°用时1 h，则其转过360°用时3 h，即周期为3 h，而同步卫星的周期为24 h，即该卫星与同步卫星的周期之比为1∶8。根据G＝mr，得＝，则可得半径之比为1∶4，选项C正确；再由v＝可得该卫星与同步卫星的运行速度之比为2∶1，选项B错误；该卫星与同步卫星的质量关系未知，无法判断两者机械能的大小关系，选项D错误。
【例题12】北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，下列说法正确的是（　　）
A．5颗同步卫星的轨道半径都相同
B．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内
C．导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度
D．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的卫星，周期越小
【答案】AB【解析】所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，选项A、B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，有G＝m，v＝，故随着卫星运行轨道半径的增大，运行速度减小，在地球表面附近运行的卫星的速度最大，等于第一宇宙速度，导航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，选项C错误；由G＝mr得T2＝，则轨道半径越大，周期越大，选项D错误。


拓展：天体的追及相遇问题
1.相距最近：
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…).
2.相距最远：
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…).
【例题13】(多选)如图，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有（　　）
A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】AD
【解析】根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对；设图示位置夹角为θωB>ωC
C. FA>FB>FC
D. TA＝TC>TB
9.(多选)“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日顺利发射升空，已知“嫦娥三号”探月卫星绕月球表面做匀速圆周运动，飞行N圈用时为t；地球的质量为M，半径为R，表面重力加速度为g；月球半径为r，地球和月球间的距离为L，则（　　）
A.“嫦娥三号”绕月球表面匀速飞行的速率为
B.月球的平均密度为
C.“嫦娥三号”的质量为
D.月球受地球的引力为
10.(多选)在发射一颗质量为m的地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高度为h的预定圆轨道Ⅲ上.已知它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度为g，地球半径为R，图4中PQ长约为8R，卫星在变轨过程中质量不变，则（　　）
A.卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为g
B.卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v＝
C.卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率
D.卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
11.(多选)“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间且三者排成一条直线的天文现象.2014年4月9日发生了火星冲日的现象.已知火星和地球绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道半径为地球的1.5倍，以下说法正确的是（　　）
A.火星的公转周期比地球的大
B.火星的运行速度比地球的大
C.每年都会出现火星冲日现象
D.2015年一定不会出现火星冲日现象
12.(多选)最近我国连续发射了多颗北斗导航定位卫星，使我国的导航定位精度不断提高.北斗导航卫星有一种是处于地球同步轨道，假设其离地高度为h，地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则有（　　）
A.该卫星运行周期为24 h B.该卫星所在处的重力加速度为g
C.该卫星周期与近地卫星周期之比为 D.该卫星运动动能为
13.如图所示，A是地球的同步卫星.另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转的角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地心.
(1)求卫星B的运行周期.
(2)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

14.(2018·安徽安庆模拟)发射宇宙飞船的过程要克服引力做功，已知将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r处的过程中，引力做功为W＝，飞船在距地球中心为r处的引力势能公式为Ep＝－，式中G为引力常量，M为地球质量.若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度(也称逃逸速度).
(1)试推导第二宇宙速度的表达式.
(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M＝1.98×1030 kg，求它可能的最大半径？
15.我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入.
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h的某处以速度v0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x.已知月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月.

1．(2017·全国卷Ⅲ·14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行.与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的（　　）
A.周期变大 B.速率变大
C.动能变大 D.向心加速度变大
2.(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（　　）
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
3.(2014·天津理综·3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（　　）
A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大
C.线速度变大 D.角速度变大
参考答案

1.【答案】D
2.【答案】B
【解析】分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式＝m(R＋h)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度，由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值，故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，故D错误.
3.【答案】C
【解析】开普勒第三定律同样适用于卫星与行星间的运动关系，当轨道为圆轨道时，公式中的a为半径r，则有＝，得＝.
4.【答案】CD
【解析】根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝，R火＝，则＝∶＝，选项D正确.

5.【答案】B
【解析】根据开普勒第三定律得＝，所以T2＝T1≈25天，选项B正确，选项A、C、D错误.
6.【答案】D
7.【答案】AD
【解析】设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体的质量为m2，近地卫星的质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1，G＝m2′，解得＝，选项D正确.
8.【答案】AD
【解析】A为地球同步卫星，故ωA＝ωC，根据v＝ωr可知，vA>vC，再根据G＝m得到v＝，可见vB>vA，所以三者的线速度关系为vB>vA>vC，故选项A正确；由同步卫星的含义可知TA＝TC，再由G＝m2r，可知TA>TB，因此它们的周期关系为TA＝TC>TB，由ω＝可知它们的角速度关系为ωB>ωA＝ωC，所以选项D正确，B错误；由F＝G可知FA