江苏省南京市秦淮区五校联考2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

这是一份江苏省南京市秦淮区五校联考2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（Word版含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x3+2x+1＝0B．x2+1＝2x+1C．＝1D．x2+y＝1
2．用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
3．如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．10D．12
4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（ ）
A．10B．12C．20D．24
5．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（ ）
A．（40﹣x）（20+2x）＝1250B．（40﹣2x）（20+x）＝1250
C．（40+x）（20﹣2x）＝1250D．（40+2x）（20﹣x）＝1250
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．方程x2＝5的解是 ．
8．一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：
鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是 ．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
9．若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是 ．
10．如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C﹣∠1＝ °．
11．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝ ．
12．将圆锥的侧面沿一条母线剪开并展平，可以得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，圆锥的母线长l＝12cm，则扇形的圆心角的度数是 °．
13．超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
如果将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按4：3：1的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
14．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝ ．
15．百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：
①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；
③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；
④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．
其中所有正确结论的序号是 ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ °．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
18．解方程（x﹣1）2＝4（1﹣x）．
19．阅读解方程的途径．
方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程．
（1）请用“转化”的数学思想，填写如图的空格．
（2）求方程＝x的解．
20．某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为：
76 76 76 73 72 75 74 71 73 74 78 76
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分；
（3）若该校共有2000名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．
21．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
22．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是﹣2，求2021﹣m2+4m的值．
23．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝26°，请用两种方法求∠P的度数．
24．请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；
（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，＝，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为 ．
26．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元，该店在8月份售出“天问一号”模型400个，“嫦娥五号”模型200个．该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，
9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%．
（1）用含有a的代数式填表（不需化简）：
（2）据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值．
27．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为 ；②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC＝45°的位置有两个，则m的取值范围为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x3+2x+1＝0B．x2+1＝2x+1C．＝1D．x2+y＝1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，故本选项符合题意；
D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
【分析】根据配方法即可求出答案．
解：∵x2﹣2x＝1，
∴（x﹣1）2＝2，
故选：D．
3．如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．10D．12
【分析】先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，然后根据n边的外角和为360°即可得到其边数．
解：∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，
∴这个多边形的边数360°÷36°＝10．
故选：C．
4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（ ）
A．10B．12C．20D．24
【分析】连接OA、OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．
解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5，
∴AC＝＝12，
∴AB＝2AC＝24．
故选：D．
5．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（ ）
A．（40﹣x）（20+2x）＝1250B．（40﹣2x）（20+x）＝1250
C．（40+x）（20﹣2x）＝1250D．（40+2x）（20﹣x）＝1250
【分析】由题意，可设衬衫的单价应下降x元．则每天可售出（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元．再根据相等关系：每天的获利＝每天售出的件数×每件的盈利；列方程即可．
解：设每件应降价x元/m3，根据题意，
得 （40﹣x）（20+2x）＝1250．
故选：A．
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可．
解：∵AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴CO＝OA＝1，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴的长为，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．方程x2＝5的解是 x＝± ．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：x2＝5，
直接开平方得，x＝±，
故答案为x＝±．
8．一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：
鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是 众数 ．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．
解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故答案为：众数．
9．若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是 4 ．
【分析】由正方形的性质得∠B＝90°，AB＝BC，再由圆周角定理得AC是⊙O的直径，则△ABC是等腰直角三角形，即可解决问题．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝8，AB＝BC＝AC＝4，
故答案为：4．
10．如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C﹣∠1＝ 54 °．
【分析】利用多边形的内角和定理可得∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E＝＝108°，由BF⊥AB，可得∠CBF的度数，利用三角形的内角和定理可得∠1，易得结果．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E＝＝108°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣90°＝18°，
∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CBF＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
∴∠C﹣∠1＝108°﹣54°＝54°，
故答案为：54．
11．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝ 2 ．
【分析】根据根与系数的关系求得x1＝1，将其代入已知方程，列出关于m的方程，解方程即可．
解：根据题意，知x1+x2＝3x1＝3，则x1＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+m＝0，得12﹣3×1+m＝0．
解得m＝2．
故答案是：2．
12．将圆锥的侧面沿一条母线剪开并展平，可以得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，圆锥的母线长l＝12cm，则扇形的圆心角的度数是 150 °．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•5，然后解方程即可．
解：设扇形的圆心角的度数是n°．
根据题意得＝2π•5，
解得n＝150．
故答案为150．
13．超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
如果将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按4：3：1的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 78 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
解：4+3+1＝8，
72×+80×+96×＝78（分）．
则该应聘者的总成绩是78分．
故答案为：78．
14．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝ 1.5 ．
【分析】连接DE，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到D为AB的中点，E为AC的中点，利用三角形的 中位线定理即可求得结论．
解：连接DE，如图，
∵点O是△ABC的外心，
∴O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3．
∵点M、N分别是OD、OE的中点，
∴MN是△ODE的中位线．
∴MN＝DE＝1.5．
故答案为：1.5．
15．百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：
①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；
③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；
④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．
其中所有正确结论的序号是 ①② ．
【分析】①连接AC并延长至点E，由三角形外角的性质即可得出∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
②连接AC，BD，证明△ABC≌△ACD，由等腰三角形三线合一即可得出AC⊥BD；
③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，不能得出BC＝CD；
④连接BD，证明△ABD≌△CDB进行判断即可．
解：①连接AC并延长至点E，如图1所示：
∵∠BCE为△ABC的外角，
∴∠BCE＝∠BAC+∠B，
∵∠DCE为△DAC的外角，
∴∠DCE＝∠CAD+∠D，
∴∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝∠BAC+∠DAC+∠B+∠D＝∠BAD+∠B+∠D，
故①正确；
②连接AC，BD，如图2所示：
在△ABC和△ACD中，
，
∴△ABC≌△ACD（SSS）．
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AC⊥BD，
故②正确；
③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，
不能得出BC＝CD，
故③不正确；
④连接BD，假设存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC，
则在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴∠A＝∠BCD，
又∵∠BCD＝∠A+∠B+∠D，
故④不正确；
故答案为：①②．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ 80 °．
【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC、CD的对称点A1、A2，由∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°得出∠BAD＝130°，继而得出∠A1+∠A2＝50°，由得出得出∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，进一步得出∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB），即可得出答案．
解：如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80°．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x＝．
解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0；
∴x＝
＝，
∴x1＝，x2＝．
18．解方程（x﹣1）2＝4（1﹣x）．
【分析】先把方程变形为（x﹣1）2+4（x﹣1）＝0，，再利用因式分解法解方程即可．
解：（x﹣1）2＝4（1﹣x），
（x﹣1）2+4（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1+4）＝0，
∴x﹣1＝0或x+3＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣3．
19．阅读解方程的途径．
方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程．
（1）请用“转化”的数学思想，填写如图的空格．
（2）求方程＝x的解．
【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根即可；
（2）通过方程两边平方，把无理方程转化为整式方程，利用一元二次方程的解法求解即可．
解：（1）∵x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0．
即x+2＝0或x﹣1＝0．
∴x2＝﹣2，x3＝1．
故答案为：﹣2，1；
（2）两边平方，得2x+3＝x2．
整理，得x2﹣2x﹣3＝0．
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x1＝3，x2＝﹣1．
经检验，x＝﹣1是增根，舍去．
所以原方程的解为x＝3．
20．某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为：
76 76 76 73 72 75 74 71 73 74 78 76
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是 76 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 77 分；
（3）若该校共有2000名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．
【分析】（1）求出第二组（60～70）的频数即可补全频数分布直方图；
（2）根据众数、中位数的意义进行计算即可；
（3）求出样本中学生成绩不低于80分的人数所占的百分比，估计总体中成绩不低于80分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如下：
（2）第三组数据中出现次数最多的是76分，共出现4次，因此众数是76分，
将抽取的50名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝77（分），因此中位数是77分，
故答案为：76，77；
（3）2000×＝960（人），
答：该校2000名学生中成绩不低于80分的大约960人．
21．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
【分析】连接BD，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．
【解答】证明：连接BD．
∵AB＝CD，
∴＝
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
22．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是﹣2，求2021﹣m2+4m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（2m）2+4（m2﹣1），然后根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝﹣2代入原方程得到4﹣4m+m2﹣1＝0，求得﹣m2+4m＝3代入代数式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵b 2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m2﹣1）＝4m 2﹣4m2+4＝4＞0，
即Δ＞0，
∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是﹣2，
∴4﹣4m+m2﹣1＝0，
∴﹣m2+4m＝3，
∴2021﹣m2+4m＝2024．
23．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝26°，请用两种方法求∠P的度数．
【分析】方法一：根据切线的性质和切线长定理得到OA⊥PA，PA＝PB，则∠CAP＝90°，于是可计算出∠PAB＝64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和求∠P的度数；
方法二：连接OB，如图，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再计算出∠BOC＝52°，然后根据等角的补角相等得到∠P的度数．
解：方法一：∵PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，PA＝PB，
∴∠CAP＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠PAB＝90°﹣26°＝64°，
∴∠PBA＝∠PAB＝64°，
∴∠P＝180°﹣64°﹣64°＝52°；
方法二：连接OB，如图，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠BAO＝26°，
∴∠BOC＝∠OAB+∠BAO＝52°，
∵∠P+∠AOB＝180°，∠BOC+∠AOB＝180°，
∴∠P＝∠BOC＝52°．
24．请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；
（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．
【分析】（1）利用网格即可画出这个圆的一条直径；
（2）根据直径所对圆周角是直角，同弧所对圆周角相等即可画一个含有50°角的直角三角形．
解：（1）如图1，线段EF即为所求；
（2）如图2，Rt△BEF即为所求．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，＝，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为 ．
【分析】（1）连接AD，OD，由＝，得∠DAB＝∠DAC，根据等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ODA，等量代换得到∠DAC＝∠ODA，推出AE∥OD，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，根据30度角所对直角边等于斜边一半即可得到结论．
解：（1）证明：连接OD，AD．
∵＝，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵EF⊥AC，
∴∠E＝90°．
在⊙O中，∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∴∠ODF＝∠E＝90°，
即OD⊥EF，
又∵点D在⊙O上，
∴直线EF是⊙O的切线．
（2）在Rt△AEF中，AE＝1，∠F＝30°，
∴AF＝2AE＝2，
在Rt△ODF中，∠F＝30°，
∴OF＝2OD，
∴OB＝BF＝OD＝AF＝．
则⊙O半径长为．
故答案为：．
26．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元，该店在8月份售出“天问一号”模型400个，“嫦娥五号”模型200个．该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，
9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%．
（1）用含有a的代数式填表（不需化简）：
（2）据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值．
【分析】（1）根据8月份两种模型的销售量及9月份销量的增长率，即可用含a的代数式表示出9月份两种模型的销量；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
解：（1）∵9月份，“天问一号”模型的销量比8月份增加a%，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加a%，
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1+a%）个，“嫦娥五号”模型的销量为200（1+a%）个．
故答案为：400（1+a%）；a%；200（1+a%）．
（2）依题意得：90×400（1+a%）+100（1﹣a%）×200（1+a%）＝（90×400+100×200）（1+a%），
整理得：3a2﹣30a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
27．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为 2 ；②△ABC面积的最大值为 +2 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC＝45°的位置有两个，则m的取值范围为 ．
【分析】（1）①由圆周角定理可得∠BOC＝60°，可证△OBC是等边三角形，即可求解；
②由题意可得当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，即可求解；
（2）由同弧所对的圆周角相等可得∠BHC＝∠BAC，由三角形的外角的性质可得结论；
（3）以BC为边作等腰直角三角形ODC，以点O为圆心，OD为半径作圆D，可得当点P在OC上方的圆D上时，∠OPC＝45°，分别求出点B在圆D和线段AB与圆D相切时，m的值，即可求解．
解：（1）①如图1，设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2，
故答案为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图1，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝＝，
∴DE＝+2，
∴△ABC的最大面积为×2×（+2）＝+2，
故答案为：+2；
（2）如图1﹣1，延长BA′，交圆于点H，连接CH，
∵＝，
∴∠BHC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BHC+∠A′CH，
∴∠BA′C＞∠BHC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）如图2，以BC为边作等腰直角三角形ODC，以点O为圆心，OD为半径作圆D，
∴OD＝CD＝，∠ODC＝90°，
∴当点P在OC上方的圆D上时，∠OPC＝45°，
当点A或点B在圆D上时，BC＝OC＝2，即m＝2，
当AB与圆D相切时，m＝1+，
∴．
故答案为：．
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
72
80
96
8月份销量
销量的增长率
9月份销量
“天问一号”模型
400
a%

“嫦娥五号”模型
200


型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
72
80
96
8月份销量
销量的增长率
9月份销量
“天问一号”模型
400
a%
400（1+a%）
“嫦娥五号”模型
200
a%
200（1+a%）